安徽省淮北市相山區(qū)師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)2025屆3月高三線上自我檢測試題數(shù)學(xué)試題含解析

安徽省淮北市相山區(qū)師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)2025屆3月高三線上自我檢測試題數(shù)學(xué)試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．2．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦距為（）A． B． C．6 D．83．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，當(dāng)周長最小時，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若，，,則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．6．如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）A． B． C． D．9．在三棱錐中，，，，，點到底面的距離為2，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（）A．命題“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，滿足，則C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布（），若，則D．設(shè)是實數(shù)，“”是“”的充分不必要條件11．波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k＞0，且k≠1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓=1（a＞b＞0），A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點M滿足=2，△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．已知無窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知曲線的方程為，其圖象經(jīng)過點，則曲線在點處的切線方程是____________．14．的展開式中，常數(shù)項為______；系數(shù)最大的項是______.15．在中，角，，的對邊分別為，，.若；且，則周長的范圍為__________.16．已知，(，)，則＝_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個不同的極值點，，且，若不等式恒成立.求正實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F到準(zhǔn)線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．線段AB的垂直平分線與x軸交于點C．（1）求拋物線E的方程；（2）求△ABC面積的最大值．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線與曲線的普通方程，并求出直線的傾斜角；（2）記直線與軸的交點為是曲線上的動點，求點的最大距離.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，不等式恒成立，求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列，其前項和為，證明：.22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),，，即函數(shù)為減函數(shù),,，則不等式等價為，則不等式的解集為,即的解為，，由得或，解得或,故不等式的解集為.故選:.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是難題.2．A【解析】

依題意可得，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得解；【詳解】解：∵雙曲線的離心率為，所以，∴，∴，雙曲線的焦距為.故選：A本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時A,P位于同一水平線上，計算點P的坐標(biāo)，計算斜率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值，即計算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN，所以，故當(dāng)點P運動到M點處，三角形周長最小，故此時M的坐標(biāo)為，所以斜率為，故選A．本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等．4．D【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù)，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則有在上恒成立，則在上為增函數(shù)；又由，則；故選：．本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．B【解析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.6．A【解析】

分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時，上式取最小值，選A.點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。7．A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時，，之后將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時，，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.8．C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P?ABC，正方體的棱長為2，

該幾何體的表面積：．故選C．本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．9．C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定，由此可知為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出的一個表達(dá)式，在中，可以計算出的一個表達(dá)式，根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積．【詳解】取中點，由，可知：，為三棱錐外接球球心，過作平面，交平面于，連接交于，連接，，，，，，為的中點由球的性質(zhì)可知：平面，，且．設(shè)，，，，在中，，即，解得：，三棱錐的外接球的半徑為：，三棱錐外接球的表面積為．故選：.本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.10．D【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A；可能相交，可判斷B選項；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項C；或，利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項D.【詳解】命題“，”的否定形式是“，”，故A錯誤；，，則可能相交，故B錯誤；若，則，所以，故，所以C錯誤；由，得或，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：D.本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容易題.11．D【解析】

求得定點M的軌跡方程可得，解得a，b即可.【詳解】設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵動點M滿足=2，則=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，∴，解得，∴橢圓的離心率為．故選D．本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題．12．A【解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項，再求出，利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳驗闊o窮等比數(shù)列的公比為2，則無窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A。本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

依題意，將點的坐標(biāo)代入曲線的方程中，解得.由，得，則曲線在點處切線的斜率，所以在點處的切線方程是，即．14．【解析】

求出二項展開式的通項，令指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入可得出展開式中的常數(shù)項；求出項的系數(shù)，利用作商法可求出系數(shù)最大的項.【詳解】的展開式的通項為，令，得，所以，展開式中的常數(shù)項為；令，令，即，解得，，，因此，展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為：；.本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解，同時也考查了系數(shù)最大項的求解，涉及展開式通項的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15．【解析】

先求角，再用余弦定理找到邊的關(guān)系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長故答案為：考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.16．【解析】

先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡可得，平方可得.【詳解】∵，∴，則，平方可得．故答案為：.本題主要考查三角恒等變換，倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到有兩個不相等實根，令，計算函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到值域，得到答案.（2），是方程的兩根，故，化簡得到，設(shè)函數(shù)，討論范圍，計算最值得到答案.【詳解】（1）由題可知有兩個不相等的實根，即：有兩個不相等實根，令，，，，；，，故在上單增，在上單減，∴.又，時，；時，，∴，即.（2）由（1）知，，是方程的兩根，∴，則因為在單減，∴，又，∴即，兩邊取對數(shù)，并整理得：對恒成立，設(shè)，，，當(dāng)時，對恒成立，∴在上單增，故恒成立，符合題意；當(dāng)時，，時，∴在上單減，，不符合題意.綜上，.本題考查了根據(jù)極值點求參數(shù)，恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18．（1）y2＝6x（2）．【解析】

（1）根據(jù)拋物線定義，寫出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，列方程即可得解；（2）根據(jù)中點坐標(biāo)表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【詳解】（1）拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F（，0）到準(zhǔn)線x的距離為3，可得p＝3，即有拋物線方程為y2＝6x；（2）設(shè)線段AB的中點為M（x0，y0），則，y0，kAB，則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0（x﹣2），①可得x＝5，y＝0是①的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C（5，0），由①可得直線AB的方程為y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2②代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0③，由題意y1，y2是方程③的兩個實根，且y1≠y2，所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，|AB|，又C（5，0）到線段AB的距離h＝|CM|，所以S△ABC|AB|h?，當(dāng)且僅當(dāng)9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），或A（，），B（，）時等號成立，所以S△ABC的最大值為．此題考查根據(jù)焦點和準(zhǔn)線關(guān)系求拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系求解三角形面積的最值，表示三角形的面積關(guān)系常涉及韋達(dá)定理整體代入，拋物線中需要考慮設(shè)點坐標(biāo)的技巧，處理最值問題常用函數(shù)單調(diào)性求解或均值不等式求最值.19．（1），，直線的傾斜角為（2）【解析】

（1）由公式消去參數(shù)得普通方程，由公式可得直角坐標(biāo)方程后可得傾斜角；（2）求出直線與軸交點，用參數(shù)表示點坐標(biāo)，求出，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值．【詳解】（1）由，消去得的普通方程是：由，得，將代入上式，化簡得直線的傾斜角為（2）在曲線上任取一點，直線與軸的交點的坐標(biāo)為則當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值.本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題．求兩點間距離的最值時，用參數(shù)方程設(shè)點的坐標(biāo)可把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．20．（1）或；（2）【解析】

（1）使用零點分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.（2）利用等價轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，原不等式可化為.①當(dāng)時，則，所以；②當(dāng)時，則，所以；⑧當(dāng)時，則，所以.綜上所述：當(dāng)時，不等式的解集為或.（2）由，則，由題可知：在恒成立，所以，即，即