浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)突破：一次函數(shù)與特殊圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題壓軸題（解析版）

第20講一次函數(shù)與特殊圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題壓軸題探究

類型一一次函數(shù)與等腰直角三角形

【知識(shí)點(diǎn)睛】

當(dāng)一個(gè)直角（或者一個(gè)等腰直角三角形）放在一條直線上或平面直角坐標(biāo)系中時(shí)，

常通過(guò)構(gòu)造“K型圖”全等來(lái)轉(zhuǎn)化等量線段。

【類題訓(xùn)練】

1.已知A點(diǎn)坐標(biāo)為4（/2，0）點(diǎn)8在直線y=-%上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，2點(diǎn)坐標(biāo)

（）

A.（0,0）B.（返，-返）C.（1,-1）D.（-返，返）

2222

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由垂線段最短得到垂直于直線y=-x時(shí)A2最短，此

時(shí)過(guò)B作2。垂直于x軸，由直線y=-X為第二四象限的角平分線，得出NA02為45°,

再由/A2。為直角，得到三角形AOB為等腰直角三角形，利用三線合一得到。為OA

的中點(diǎn)，8。為斜邊OA上的中線，利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得

到8。為OA的一半，由A的坐標(biāo)求出OA的長(zhǎng)，得出的長(zhǎng)，而三角形8。。也為等

腰直角三角形，得到求出OD的長(zhǎng)，最后由2在第四

象限，即可確定出8的坐標(biāo).

【解答】解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

當(dāng)AB_L08時(shí)，AB最短，此時(shí)過(guò)8作軸，交x軸于點(diǎn)D

由直線y=-x為第二、四象限的角平分線，得到/AOB=45°,

VA（加，0）,即OA=近,ZABO=90°,

:.△kOB為等腰直角三角形，

：.OD=AD,即BD為RtAAOB斜邊上的中線,

.?.8。=工04=返，

22

又,NBDO=9Q°,

...△080為等腰直角三角形，

：.OD=BD=^,

2

：3在第四象限，

??.2的坐標(biāo)為（返，-返）.

22

故選：B.

2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線>=無(wú)上一點(diǎn)尸（1,1）,C為y軸上一點(diǎn)，連接PC,

線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段P。，過(guò)點(diǎn)。作直線A8J_x軸，垂足為8,直線A8

與直線y=x交于點(diǎn)A,且連接CD,直線CD與直線y=無(wú)交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。的

坐標(biāo)為（）

A.(5,$)B.(3,3)C.(工，工)D.包旦)

224444

【分析】過(guò)P作MN_Ly軸，交y軸于M,交AB于N,過(guò)。作￡>8_Ly軸，交y軸于X,

ZCMP=ZDNP=ZCPD=90°,求出NMCP=/DPN,證△MCPgZXNP。，推出DN

=PM,PN=CM,設(shè)A￡）=a,求出￡W=2a-l,得出2a-1=1,求出a=l,得出Z）的

坐標(biāo)，在RtZkDNP中，由勾股定理求出PC=PO=近，在RtZXMCP中，由勾股定理求

出CM=2,得出C的坐標(biāo)，設(shè)直線CD的解析式是y=fcv+3,把￡>（3,2）代入求出直

線CD的解析式，解由兩函數(shù)解析式組成的方程組，求出方程組的解即可.

【解答】解：過(guò)尸作MVLy軸，交y軸于交AB于N,過(guò)D作軸，交y軸

于H,

ZCMP=ZDNP=ZCPD=90°,

：.ZMCP+ZCPM=90°,ZMPC+ZDPN=90a,

/MCP=ZDPN,

'：P(1,1),

：.OM=BN=1,PM=1,

在△MCP和△'「￡)中，

fZCMP=ZDNP

，ZMCP=ZDPN

PC=PD

:AMCP”ANPD(AAS),

：.DN=PM,PN=CM,

'：BD=2AD,

???設(shè)AO=a,BD=2a,

VP（1,1）,

：.DN=2a-1,

貝！J2a-1=1,

〃=1,即3Z）=2.

?.?直線y=x,

?9.AB=OB=3,

在RtZXONP中，由勾股定理得：pc=PD=yl（2-l）2+（2-1）2=^5-

在RtaMCP中，由勾股定理得：CM=《（粕）2_]2=2,

則C的坐標(biāo)是（0,3）,

設(shè)直線CD的解析式是y=fcv+3,

把。（3,2）代入得：k=-?1,

3

即直線CD的解析式是y=-1+3,

3

'_1

即方程組，y=~Tx+3得：X7

9

y=xy=-r

即。的坐標(biāo)是（9，9）.

44

故選：D.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)（6,0）,8點(diǎn)坐標(biāo)（3,-3）,

動(dòng)點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿?zé)o軸正方向運(yùn)動(dòng)，連接8P,以8尸為直角邊向下作等腰直角三角

形BPC,ZPBC=90°,連接。C,當(dāng)0c=10時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.(7,0)B.(8,0)C.(9,0)D.(10,0)

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CELy軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BDLOA于點(diǎn)D,延長(zhǎng)DB交CE于點(diǎn)F,

證明(A4S),由全等三角形的性質(zhì)得出DP=BF,BD=CF=3,由勾股

定理求出OE的長(zhǎng)，則可得出答案.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE_Ly軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)。，延長(zhǎng)。8交CE于

點(diǎn)、F,

,:B(3,-3),A(6,0),

：.OD=DA=BD=3,

???△P8C為等腰直角三角形，

:.PB=BC,/P2C=90°,

"：ZPBD+ZCBF=90°,ZCBF+ZBCF=90a,

ZPBD=ZBCF,

：.APDB^ABFC(AAS),

:.DP=BF,BD=CF=3,

：.CE=EF+CF=6,

oc=io,

A￡0=VOC2-CE2=V102-62=8,

???。尸=8,

:?BF=5,

工。尸=5,

???OP=DP+OD=Sf

：.P(8,0).

故選：B.

4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線y=Y3x+愿上，點(diǎn)C在直線y=-L+4上，

,32

點(diǎn)A,C都在第一象限內(nèi)，點(diǎn)8,。在x軸上，若△AO8是等邊三角形，△BCD是以BD

【分析】設(shè)OG=x,作AGLO8根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出GA,將A的坐標(biāo)代入y

=返刀+我即可求出A；作CHLBD,設(shè)BH=m,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CH,

3

然后將C的橫縱坐標(biāo)代入直線y=-lx+4,即可求出m,從而確定D點(diǎn)坐標(biāo).

2

【解答】解：作AGLOB,CH1BD,垂足分別為G,H,如下圖所示：

：△042是等邊三角形，

；.G為。8的中點(diǎn)，ZAOB=60°,

，O8=OA=2x,AG=ax，

,：A點(diǎn)在直線產(chǎn)喙%+如上，

???1=返什加，

3

解得x=3,

2

???OB=2OG=3,

設(shè)BH=m,

VABCD是等腰直角三角形，

：.ZCBH=45°,

：.BH=CH=DH,

C(3+m,m),

;點(diǎn)C在直線y=-lx+4上，

2

.'.m--—(m+3)+4,

2

解得m=k,

3

.?.2。=228=型，

3

.,.。￡)=。2+2。=3+蛇=獨(dú)，

33

：.D(11,0).

3

故答案為：(蛇，0).

3

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/i：y=Wr與直線/2：y=fcr+6(左W0)相交于點(diǎn)A(a,

4

3),直線/2與y軸交于點(diǎn)8(0,-5).

(1)求直線/2的函數(shù)解析式；

(2)將△OAB沿直線/2翻折得到△C48,使點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，AC與x軸交于點(diǎn)D求

證：AC//OB；

(3)在直線BC下方是否存在點(diǎn)P,使△8CP為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)

尸坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)解方程得到A(4,3),待定系數(shù)法即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)勾股定理得到。4=43乙不=5,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NOAB=/OBA,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到/。48=/CAB,于是得到結(jié)論；

(3)過(guò)C作CM_LOB于求得CM=OO=4,得到C(4,-2),過(guò)Pi作PiALLy軸

于N,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1).直線4：>=當(dāng)與直線為：y=&+b相交于點(diǎn)A(a,3),

4

AA(4,3),

:直線交?2交y軸于點(diǎn)2(O，-5),

??y—'kx-5,

把A(4,3)代入得，3=4左-5,

:.k=2,

???直線12的解析式為y=2x-5；

(2)VOA=^32+42=5,

：.OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

??,將△。43沿直線/2翻折得到△CAB,

：.ZOAB=ZCAB,

：.ZOBA=ZCABf

：.AC//OB；

(3)存在.理由如下：

如圖，過(guò)。作。M_L08于

則CM=OD=4,

?:BC=OB=5,

：.OM=2,

：.C(4,-2),

過(guò)Pi作PiNLy軸于N,

???△8CP是等腰直角三角形，

：.ZCBPi=90°,

:?/MCB=/NBP\,

;BC=BPi,

:.ABCM絲APiBN(AAS),

；.BN=CM=4,

：.Pi(3,-9)；

類型二一次函數(shù)與最值

>最值常結(jié)合模型一一將軍飲馬;

>“兩定一動(dòng)型”將軍飲馬解決步驟：①對(duì)稱；②連接;

>“兩定兩動(dòng)型“將軍飲馬解決步驟：①平移；②對(duì)稱；③連接；

1.已知直線/i：與直線/2：y=-1x+機(jī)都經(jīng)過(guò)C（-旦，旦），直線八交y軸于點(diǎn)

255

B（0,4）,交x軸于點(diǎn)A,直線/2交y軸于點(diǎn)。，尸為y軸上任意一點(diǎn)，連接以、PC,

有以下說(shuō)法：

r[6

y=kx+b*=宕

①方程組1_1的解為；

y=-2x+m[y=f

②△BC。為直角三角形；

③SAABD=6；

④當(dāng)必+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,1）.

其中正確的說(shuō)法是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與二元一次方程的關(guān)系，利用交點(diǎn)坐標(biāo)可得方程組的解；根

據(jù)兩直線的系數(shù)的積為-1,可知兩直線互相垂直；求得8。和A。的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面

積計(jì)算公式，即可得到的面積；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間，線段最短，即

可得到當(dāng)B4+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1).

【解答】解：①；直線/1：y=Ax+b與直線/2：產(chǎn)-都經(jīng)過(guò)C(一2，3■),

255

((6

y=kx+bx='^5

.?.方程組,_1的解為，，

尸亍也卜得

故①正確，符合題意；

4=b

k=2,

②把8(0,4),C(-A,1)代入直線A：y=kx+b可得＜86，解得

55IT”b=4

.,.直線/i：y=2x+4,

又?直線；2：y=--x+m,

2

直線/1與直線/2互相垂直，即/BCZ)=90°

...△BCD為直角三角形,

故②正確，符合題意;

③把C(一2，—)代入直線12：y=--kv+m,可得m=1,

552

y=-Ax+141,令x=0,則y=l,

2

：.D(0,1),

：.BD=4-1=3,

在直線A：y=2x+4中，令y=0,則尤=-2,

AA(-2,0),

：.AO=2,

S/\ABD~—X3X2=3,

2

故③錯(cuò)誤，不符合題意；

④點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為4(2,0),

由點(diǎn)C、A'的坐標(biāo)得，直線CV的表達(dá)式為：y=-L+l,

2

令x=0,則y=l,

???當(dāng)B4+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,1）,

故④正確，符合題意；

故選：B.

2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線>=/+4分別交x軸，y軸于A,B兩點(diǎn),C為08的中點(diǎn)，

點(diǎn)。在第二象限，且四邊形AOC。為矩形，P是C。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸04于

H,。是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則8P+PH+//0的最小值為

【分析】根據(jù)直線產(chǎn)&+4先確定0A和0B的長(zhǎng)，證明四邊形PHOC是矩形，得PH

3

=OC=BC=2,再證明四邊形PBCH是平行四邊形，貝！J8P=CH,在BP+PH+HQ中，

尸8=2是定值，所以只要CH+8。的值最小就可以，當(dāng)C、8、。在同一直線上時(shí)，CH+HQ

的值最小，利用平行四邊形的性質(zhì)求出即可.

【解答】解：如圖，連接CH,

:直線>=寺+4分別交x軸，y軸于A,B兩點(diǎn),

.*.08=4,04=3,

：C是。2的中點(diǎn)，

：.BC=0C=2,

ZPH0=ZCOH=ZDCO=90°,

四邊形PHOC是矩形，

:.PH=0C=BC=2,

"JPH//BC,

四邊形P2CH是平行四邊形,

：.BP=CH,

?.BP+PH+HQ=CH+HQ+2,

要使CH+8。的值最小，只需C、H、。三點(diǎn)共線即可，

:點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，

：.QC-6,-4),

又：點(diǎn)C(0,2),

根據(jù)勾股定理可得?！?4(2+4)2+62=6?，

此時(shí)，BP+PH+HQ=CH+HQ+PH=CQ+2=6V2+2.

即BP+PH+HQ的最小值為6&+2；

故答案為：6y+2.

3.如圖，將一塊等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，ZACB=90°,AC=BC,

點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在無(wú)軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第二象限，AC所在直線的函

數(shù)表達(dá)式是y=2x+4,若保持AC的長(zhǎng)不變，當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸滑動(dòng)，點(diǎn)C隨之在x

軸的負(fù)半軸上滑動(dòng)，則在滑動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B與原點(diǎn)O的最大距離是.

【分析】根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A,C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AC

的長(zhǎng)度；根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得。，8。的長(zhǎng)，可得8點(diǎn)坐標(biāo)；首先取AC

的中點(diǎn)E,連接BE,OE,OB,可求得OE與8E的長(zhǎng)，然后由三角形三邊關(guān)系，求得點(diǎn)

2到原點(diǎn)的最大距離.

【解答】解：當(dāng)冗=0時(shí)，y=2x+4=4,

???A(0,4)；

當(dāng)y=2x+4=0時(shí)，x=-2,

：.C(-2,0).

???OA=4,OC=2,

.\AC=^OA240C2=275.

如圖所示，過(guò)點(diǎn)2作2。，無(wú)軸于點(diǎn)D

VZACO+ZACB+ZBCD=180°，ZACO+ZCAO=9Q°,ZACB=90°,

：.ZCAO=ZBCD.

，ZAOC=ZCDB=90°

在△AOC和△88中，，NCAO=/BCD，

AC=CB

.?.△AOC妾△CZJB(A4S),

：.CD=AO=4,DB=OC=2,

OD=OC+CD=6,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-6,2).

如圖所示.取AC的中點(diǎn)E,連接BE,OE,OB,

VZA(9C=90°,AC=2娓,

:*OE=CE=1AC=E

2

\'BC±AC,BC=2立，

AB￡=VBC2-K：E2=5,

若點(diǎn)O,E,2不在一條直線上，則。2＜。￡+8￡=5+a.

若點(diǎn)。，E,8在一條直線上，則。B=OE+BE=5+巡，

...當(dāng)。，E,8三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，。2取得最大值，最大值為5+a,

故答案為：5+-y5-

類型三一次函數(shù)與等腰三角形存在性

＞點(diǎn)在圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)符合直線的解析式

＞“兩定一動(dòng)型”等腰三角形一一即已知兩個(gè)定點(diǎn)，求第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，使形成等腰

三角形；

＞解決辦法：“兩圓一線”

“兩圓”：以兩個(gè)頂點(diǎn)為圓心，兩定點(diǎn)組成線段長(zhǎng)為半徑作圓，圓與目標(biāo)直線的交點(diǎn)即

為所求的動(dòng)點(diǎn)；

“一線”：兩定點(diǎn)組成線段的中垂線與目標(biāo)直線的交點(diǎn)即為所求的動(dòng)點(diǎn)；(求解常需要結(jié)

合勾股定理)

1.如圖所示，已知直線了=八區(qū)x+1與x、y軸交于&C兩點(diǎn)，A(0,0),在△ABC內(nèi)依

3

次作等邊三角形，使一邊在X軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第

1個(gè)△44181,第2個(gè)△81A282,第3個(gè)AB2A3陰，…則第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)等

于________

【分析】根據(jù)題目已知條件可推出，A4i=1oC=返，8/2=返41a=返，依此

2

2222

類推，第力個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)等于近.

2n

【解答】解：???直線y=71x+l與X、y軸交于8、C兩點(diǎn)，

3

：?OB=M，OC=1,

：.BC=2,

???NO3C=30°,NOC8=600.

而△AALBI為等邊三角形，ZAiABi=60°,

：.ZCOAi=30°,

：.ZCAiO=90°.

在Rt/XCAAi中，AAI=J^OC=JLL,

22

同理得：31A2=Lh5i=1,

222

依此類推，第w個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)等于近.

2n

故答案為：返.

2n

2.已知平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0,8）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)

E是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若NEA2=/AB。，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在y軸右側(cè)時(shí)，由條件可判定AE〃BO,容易求得E點(diǎn)坐

標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)E在y軸左側(cè)時(shí)，可設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a+4),過(guò)AE作直線交無(wú)軸于點(diǎn)C,可

表示出直線AE的解析式，可表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可表示出AC的長(zhǎng)，由條

件可得到AC=2C,可得到關(guān)于。的方程，可求得E點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在y軸右側(cè)時(shí)，如圖1,連接AE,

'：ZEAB^ZABO,

：.AE//OB,

VA(0,8),

點(diǎn)縱坐標(biāo)為8,圖1

又E點(diǎn)在直線y=x+4上，把y=8代入可求得x=4,

點(diǎn)坐標(biāo)為(4,8)；

當(dāng)點(diǎn)E在y軸左側(cè)時(shí)，過(guò)A、E作直線交無(wú)軸于點(diǎn)C,如圖2,

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a+4),設(shè)直線AE的解析式為

z_a-4

把A、E坐標(biāo)代入可得,解得甘二一，

Iak+b=a+4,_o

直線AE的解析式為y=*lx+8,令y=0可得生生x+8=0,解得x=&

aa4-a

；.c點(diǎn)坐標(biāo)為(舉0),

4-a

.,.AC2=OC2+OA2,即AC2=(8a)2+82,

4-a

,:B(4,0),

2

：.BC=(4-8a.)2=(8a)2_64a+16;

4-a4-a4-a

ZEAB=ZABO.

：.AC=BCf

2222

：.AC=BC,即(-8a.)+8=(.8a)2_64a+16)

4-a4-a4-a

解得a=-12,貝!Jq+4=-8,

???E點(diǎn)坐標(biāo)為（-12,-8）.

方法二：設(shè)C（m，0）,

9：ZCAB=ZCBAf

：.AC=BCf

222

（4-m）=m+8f

解得m=-6,

?,?直線AE的解析式為y=￡+8,

3

’4

由廠鏟+8,解得卜=72.

y=x+4ly-8

：.E（-12,-8）.

綜上可知，E點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）或（-12,-8）.

故答案為：（4,8）或（-12,-8）.

3.如圖，直線AB：>=旦葉2與坐標(biāo)軸交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱.C￡）_L

42

X軸與直線AB交于點(diǎn)。.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)尸在直線C。上運(yùn)動(dòng)，且始終在直線A8下方，當(dāng)AAB尸的面積為2時(shí)，求出點(diǎn)

2

P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)。為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫出所有使△APQ是以AP為

腰的等腰三角形的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【分析】（1）對(duì)于y=Sx+旦，令x=0,則y=3,令y=0,解得尤=-2,即可求解；

422

（2）由△ABP的面積即可求解；

（3）求出線段AP、AQ.PQ的長(zhǎng)度，再分AP=PQ、AP=AQ兩種情況，分別求解即可.

【解答】解：（1）對(duì)于y=3x+3,令x=0,則丫=旦，令y=0,解得x=-2,

422

故點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為（-2,0）、（0,旦）；

2

設(shè)直線AP的表達(dá)式為：y=k（x+2）,

當(dāng)x=0時(shí)，y—2k,當(dāng)x=2時(shí)，y—4k,

即點(diǎn)H、尸的坐標(biāo)分別為（0,2k）,（2,4k）,

則4482的面積=&.產(chǎn)+54/珥4=上><4。乂8//=!X4乂（―-2k）=9,

2222

解得：k=--,

8

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,-—）；

2

（3）由（2）知，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,一旦），點(diǎn)A（-2,0）,設(shè)點(diǎn)。（2,f）,

2

由勾股定理得：AP2=（2+2）2+（3）2=16+9,

24

同理可得：PQ2=（f+3）2,AQ2=16+t2,

2

當(dāng)時(shí)，即16+9=G+2）2,解得尸-3+\廂或-3-473,

4222

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,3氣幅）或（2,-3-V73

22

當(dāng)AP=AQ時(shí)，即16+9=16+P,解得片旦（負(fù)值已舍去），

42

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,3）；

2

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（2,土匝）或（2,土匝）或（2,3）.

222

類型四一次函數(shù)與全等三角形

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=_/x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)2，將

△A08沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在x軸負(fù)半軸上，記作點(diǎn)C,折痕與y軸交點(diǎn)交

于點(diǎn)D,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為,點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

L-

【分析】由折疊的性質(zhì)得到三角形AB。與三角形4CD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊

相等得到BD=CD,AB=AC,由一次函數(shù)解析式求出A與8坐標(biāo)，確定出04與0B的

長(zhǎng)，由2￡>+。。=03,OC+OA^AC,在直角三角形COD中，設(shè)C￡>=x,表示出0，

利用勾股定理求出x的值，即可確定出C與。坐標(biāo).

【解答】解:由折疊的性質(zhì)得：△AD8g△AOC,

：.AB=AC,BD=CD,

對(duì)于直線>=-m+3,令尤=0,得到y(tǒng)=3；令y=0,得到x=4,

4

.?.0A=4,02=3,

在RtZXAOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=5,

：.OC=AC-OA=AB-0A=5-4=1,即C(-1,0)；

在RtACOD中，設(shè)CD=BD=x,則0。=3-尤，

根據(jù)勾股定理得：/=(3-X)2+1,

解得：尤=互，

3

：.OD=^,即D(0,A).

33

故答案為：(T,0)；(0,

3

2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,A為坐標(biāo)原點(diǎn)，和分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E

是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交線段。C于點(diǎn)R連接ER若平分/。正￡,

則k的值為

【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)尸在。C之間時(shí)，作出輔助線，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)即可求出

上的值；②當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)即可求出人的值.

【解答】解：①如圖，作AGLEE交EE于點(diǎn)G,連接AE,

：.DA=AG=2,

在RTAADF和RT4AGF中,

[DA=AG,

lAF=AF，

:.RTLADF/RTAAGF(HL),

:.DF=FG,

:點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，

：.BE=CE=1,

AE=VAB2+BE2=疾，

?'-G￡=VAE2-AG2=1,

.,.在RTZ\PCE中，EF2^FC2+CE2,即(DF+l)2=(2-￡>F)2+l,解得。尸=Z,

3

...點(diǎn)尸(2,2),

3

把點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入y=fcr得：2=2k,解得k=3；

②當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)C重合時(shí),

?.?四邊形ABC。是正方形，

.?.4B平分/￡)五￡,

：.F(2,2),

把點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入得：2=2%,解得k=1.

故答案為：1或3.

3.如圖，直線y=fcv+6交y軸于點(diǎn)A,交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)2,且。4=308,尸是直線A8

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0),直線PC交y軸點(diǎn)于。，。是原點(diǎn).

(1)求k的值；

(2)直線上是否存在一點(diǎn)P,使得△OC￡>與△AOB是全等的？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在射線8A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OP,是否存在點(diǎn)P,使得△OPC為等腰三角形？

【分析】(1)在、=區(qū)+6中，可得A(0,6),OA=6,又。4=3。8,即知。8=2,B(-

2,0),用待定系數(shù)法可得左的值是3；

(2)由OC=6=OA,ZCOD=90°=ZAOB,可知△OCD與△AOB全等，只需OO=

'1

OB=2,即。(0,2),用待定系數(shù)法得直線C。解析式為產(chǎn)-lx+2,解|產(chǎn)萬(wàn)'+2即

3

y=3x+6

可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-旦，或)；

55

(3)設(shè)P(/,3什6),且t2-2,有。尸=^+(3/+6)2,OC2=36,B=(f-6)2+

(3f+6)2,分三種情況列方程即可得到答案.

【解答】解：(1)在>=丘+6中，令x=0得y=6,

AA(0,6),OA=6,

???04=303,

：.OB=2,8(-2,0),

把B(-2,0)代入>=依+6得：

0=-2k+6,

解得k=3；

的值是3；

(2)存在一點(diǎn)尸，使得△OC￡>與△AOB是全等的，理由如下:

VC(6,0),

；.OC=6=OA,

VZCO￡>=90°=ZAOB,

...△OC。與△AOB全等，只需。￡>=02=2,

：.D(0,2),

設(shè)直線CD解析式為y=g+2,把C(6,0)代入得：

0=6m+2,

解得m=-A,

3

?,?直線CD解析式為y=-AX+2,

3

由(1)知k=3,

.,?直線AB解析式為y=3x+6,

,(6

由尸石x+2得5

c._12

y=3x+6

D

...點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-旦，衛(wèi))；

55

(3)存在點(diǎn)尸，使得△OPC為等腰三角形，理由如下：

設(shè)P。，3/+6),且/2-2,

'：0(0,0),C(6,0),

...OP2=/2+(3Z+6)2,0。2=36,cp2=G-6)2+(3什6)2,

①當(dāng)OP=OC時(shí)，r+(3f+6)2=36,

解得￡=0或k-3.6(舍去)，

：.P(0,6)；

②當(dāng)。尸=CP時(shí)，?+(3什6)2=(L6)2+(3什6)2,

解得t=3,

：.P(3,15)；

③當(dāng)OC=CP時(shí)，36=G-6)2+(3f+6)2,

方程無(wú)實(shí)數(shù)解；

綜上所述，尸的坐標(biāo)為(0,6)或(3,15).

綜合練習(xí)

1.已知：如圖，直線y=-x+4分別與x軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，從點(diǎn)尸(2,0)射出的

光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所

經(jīng)過(guò)的路程是()

C.35/3D.4+2亞

【分析】由題意由題意知y=-x+4的點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,4),也可知點(diǎn)尸(2,0),

設(shè)光線分別射在A3、上的/、N處，由于光線從點(diǎn)P經(jīng)兩次反射后又回到P點(diǎn)，反

射角等于入射角，則ZPNO^ZBNM.由尸M_LOA而求得.

【解答】解：由題意知y=-x+4的點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)3(0,4)

則點(diǎn)P(2,0)

設(shè)光線分別射在A8、08上的M、N處，由于光線從點(diǎn)P經(jīng)兩次反射后又回到P點(diǎn),

根據(jù)反射規(guī)律，則ZPNO=ZBNM.

作出點(diǎn)尸關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Pi,作出點(diǎn)尸關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P2,則：

ZP2MA=ZPMA=ZBMN,ZP\NO=ZPNO=ZBNM,

：.Pi,N,M,尸2共線,

"：ZPiAB^ZPAB^45°,

即P2A±OA；

PM+MN+NP=P?M+MN+P1N=PiP2=Jp]A2+P2A2=2，/10.

故選：A.

2.如圖，四邊形042c是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的正方形紙片，點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,

點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上.0C=5,點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3,0）.過(guò)點(diǎn)

N且平行于y軸的直線MN與防交于點(diǎn)現(xiàn)將紙片折疊，使頂點(diǎn)C落在上的點(diǎn)G

處，折痕為。E.

（1）點(diǎn)G的坐標(biāo)為；

（2）求折痕OE所在直線的表達(dá)式；

（3）若直線/：y=:加+〃平行于直線OE,且與長(zhǎng)方形有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出n

的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)求出OG,根據(jù)勾股定理計(jì)算求出GN,得到點(diǎn)G的坐標(biāo);

（2）設(shè)CE=x，根據(jù)勾股定理求出x,求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出OE所在

直線的解析式；

（3）根據(jù)平行的性質(zhì)求出血，分別把點(diǎn)M、點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求出〃，得到答案.

【解答】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，OG=OC=5,

由勾股定理得，GN=QQ2_Q2=^^2_g2=4,

.?.點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3,4）,

故答案為：（3,4）；

（2）設(shè)CE=x,則EM=3-x,

由折疊的性質(zhì)可知，EG=CE=x,

:GN=4,

：.GM=5-4=1,

在RtZ\￡MG中，EG2=EM2+MG2,即_?=（3-x）2+12,

解得,尤=5,

3

...點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5,5）,

3

設(shè)。E所在直線的解析式為：y=kx,

則包1=5,

3

解得,k=3,

...0E所在直線的解析式為：y=3x；

(3),直線/：y=mx+〃平行于直線0E,

.*.771=3,即直線I的解析式為y=3x+n,

當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)“(3,5)時(shí)，5=3X3+n,

解得，n=-4,

當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,0)時(shí)，0=3X5+”，

解得，〃=-15,

.,.直線/與長(zhǎng)方形有公共點(diǎn)時(shí)，-15W/W-4.

3.如圖，一次函數(shù)尸息+6的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,5),并與直線y=/x相交于點(diǎn)2,與x軸

相交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2.

(1)求8點(diǎn)的坐標(biāo)和左，6的值；

(2)證明直線>=丘+》與直線y=上互相垂直；

(3)在無(wú)軸上是否存在點(diǎn)P使△E48為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)因?yàn)?是直線y=lx上一點(diǎn)，且8的橫坐標(biāo)為2,代入解析式中，求得2

'2

點(diǎn)坐標(biāo)，再將A,8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到直線y=fcv+b中，求得上和b的值；

(2)根據(jù)勾股定理求出OB、AB的值，利用勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；

(3)因?yàn)闉榈妊切?，且A,8兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，故要分三

類討論，即8A=BP,AP=AB,PA=PB,畫出圖形，求解出P點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：(1)令尤=2,則>=」工=1,

2

的坐標(biāo)為(2,1),

將A,8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到直線中得,

f2k+b=l

lb=5

解得，k=-2,

lb=5

??.8的坐標(biāo)為(2,1),k=-2,b=5；

(2)證明：?.,點(diǎn)A(0,5),B(2,1),

,?OA=5,OB=Q+12=AB=J(5-1)22=2<\/^,

V52=(泥)2+(2巡2),

.\OA2=OB2+AB2,

AZABO=90°,

直線y=kx+b與直線