中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)突破：將軍飲馬模型（含答案及解析）

將軍飲馬模型

-知識導(dǎo)航

考情分析：:通過全國中考試題分析來看，將軍飲馬的模型多出現(xiàn)在中考二次函數(shù)壓軸題第二

問中出現(xiàn)，難度不大，但需要注意對稱點(diǎn)的選擇，動點(diǎn)通常在對稱軸上，而且已

知定點(diǎn)中往往有一個與X軸的交點(diǎn).

考法主要有以下幾種：1.求取最小值時動點(diǎn)坐標(biāo)2.求最小值3求三角形或四邊形

周長最小值.

模型一：兩定點(diǎn)一動點(diǎn)

如圖，AB為定點(diǎn)，P為/上動點(diǎn)，求AP+BP最小值

解析：作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)4,連接B4',則府'=①，PA+PB=PA+PB

當(dāng)4、P、3三點(diǎn)共線的時候，PA'+PB=A'B,此時為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）

B

/

A端點(diǎn)/

:、、、/

____I_____________

1/0折點(diǎn)

I/

A

模型二：一定點(diǎn)兩動點(diǎn)

如圖，P為定點(diǎn)，M、N分別為。4和08上的動點(diǎn)，求△尸跖V周長最小值

解析：分別作點(diǎn)P關(guān)于04、。8的對稱點(diǎn)，魁LPMN的周長為PM+MN+NP=P'M+MN+NP”,

當(dāng)尸'、M、N、P”共線時，△尸周長最小.

模型三：兩定點(diǎn)兩動點(diǎn)

如圖，P、。為兩定點(diǎn)，M、N分別為04、。8上的動點(diǎn)，求四邊形PQMN的最小值.

解析：；PQ是條定線段，

...只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，

分別作點(diǎn)尸、。關(guān)于。4、08對稱，

PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ',

當(dāng)P'、M,N、Q'共線時，四邊形PMNQ的周長最小。

2

模型四：一定點(diǎn)兩動點(diǎn)

如圖，P為定點(diǎn)，M、N分別為。4、OB上的動點(diǎn)、,求尸最小值。

解析：作點(diǎn)P關(guān)于對稱的點(diǎn)尸'，

PM+MN^P'M+MN,

過點(diǎn)P作0B垂線分別交04、0B于點(diǎn)M,N,

得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）

模型五：將軍飲馬有距離

例一、如圖，4。為定點(diǎn)，B、C為直線/上兩動點(diǎn)，3C為定值，求A3+BC+C。最小值？

*

D

A

BCI

解析：8c為定值，只需求AB+C。最小即可；

平移AB至CE,則變成求CE+CO的最小值，基本將軍飲馬的模型

例二、如圖，4。為定點(diǎn)，B、C為直線A、/2上兩動點(diǎn)，BCLlx,求A3+3C+CD最小值?

A

B

11

C12

D

解析：3C為定值，只需求AB+C。最小即可；

平移C。至BE,則變成求A3+3E最小，基本將軍飲馬.

3

二、典例精析

例一：如圖1(注：與圖2完全相同)，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)4(1,0)、3(5,0)、CQ4)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足R4+PC的值為最小的點(diǎn)P坐標(biāo)(請?jiān)趫D1中探索)；

【分析】(1)將點(diǎn)A、3的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y=?(x-l)(x-5)=a(x2-6x+5),即可求解;

(2)連接3、C交對稱軸于點(diǎn)尸，此時上4+尸。的值為最小，即可求解；

【解答】解：(1)將點(diǎn)A、3的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y=a(x-V)(x-5')=a(x2-6x+5),

4

貝！)5々=4,解得：a=-f

拋物線的表達(dá)式為：y=|(x2-6x+5)=|x2-yx+4,函數(shù)的對稱軸為：x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1)；

(2)連接3、C交對稱軸于點(diǎn)P,此時PA+PC的值為最小，

將點(diǎn)3、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：>=區(qū)+6得：

k—__

解得：5，

8=4

直線BC的表達(dá)式為：y=--x+49

5

當(dāng)尤=3時，y=->

5

4

故點(diǎn)尸(3,1)；

例二：如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點(diǎn)，拋物線y=-犬+灰+。經(jīng)過點(diǎn)3、c,與

x軸另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為O.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在無軸上找一點(diǎn)E,使EC+￡D的值最小，求EC+ED的最小值；

【分析】(D直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)3、C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,3),

將點(diǎn)3、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

(2)如圖1,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C,連接C。交x軸于點(diǎn)E,則此時EC+ED為最小，即可求解;

【解答】解：(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)3、C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,3),

C_Q3/7+r—f)(h=?

將點(diǎn)3、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，一，解得：一。，

[c=3[c=3

故函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3,令y=0,則彳=一1或3,故點(diǎn)4-1,0)；

(2)如圖1,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)CI連接CO交x軸于點(diǎn)E,則此時EC+ED為最小，

函數(shù)頂點(diǎn)。坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)C(0,-3),

將C\。的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:

直線。。的表達(dá)式為：y=7尤-3,

當(dāng)y=0時，x=—,

7

5

圖1

故點(diǎn)E(—,0),

貝!IEC+ED的最小值為DC

三、中考真題演練

1.(2023?寧夏?中考真題)如圖，拋物線>=辦2+版+3(。W0)與》軸交于人，8兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)C.已

知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0),拋物線的對稱軸是直線x=l.

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)在對稱軸上找一點(diǎn)P,使R4+PC的值最小.求點(diǎn)尸的坐標(biāo)和24+PC的最小值；

(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)過點(diǎn)M作軸，垂足為N,連接3c交于點(diǎn)Q.依題意

補(bǔ)全圖形，當(dāng)MQ+應(yīng)CQ的值最大時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究

如圖，拋物線y=f2+bx+c上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為(0,2),(4,0),拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)、M

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(4)將拋物線沿?zé)o軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C',在拋物線平

移過程中，當(dāng)M4'+MC'的值最小時，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，M4'+MC的最小值為.

3.(2023?湖南張家界?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)>=內(nèi)2+版+。的圖象與x軸交

于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)3(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,6).點(diǎn)。為線段BC上的一動點(diǎn).

(2)如圖1,求△AOZ)周長的最小值;

4.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線w-f+bx+c經(jīng)過A(T,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)2,

點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線4M與軸交于點(diǎn)D

備用圖

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)H是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH,DH,求+的最小值；

5.如圖，已知拋物線y=-6與x軸的交點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),與y軸的交點(diǎn)是點(diǎn)C.

7

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)PB+PC的值最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)/在拋物線上運(yùn)動，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動，是否存在點(diǎn)N,使得NCMN=90。且以點(diǎn)C，M,N為頂

點(diǎn)的三角形與“MC相似？若存在，求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-N+6x+c經(jīng)過點(diǎn)A(4,。)、B(0,4)、C.其對稱軸/交x

軸于點(diǎn)。，交直線于點(diǎn)尸，交拋物線于點(diǎn)￡.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)尸為直線/上的動點(diǎn)，求仆P8C周長的最小值；

(3)點(diǎn)N為直線A8上的一點(diǎn)(點(diǎn)N不與點(diǎn)尸重合)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)使以點(diǎn)E、F、N、/為頂

點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

7.已知，拋物線y=/+2x-3,與無軸交于A、B兩點(diǎn)、(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C,拋物線的頂

點(diǎn)為點(diǎn)D.

8

(1)求A3的長度和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P,求出尸3+PC的值最小時尸點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M是第三象限拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)S-MAC最大時，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)，并求出S’”.的最大值.

9

將軍飲馬模型

一、知識導(dǎo)航

考情分析：:通過全國中考試題分析來看，將軍飲馬的模型多出現(xiàn)在中考二次函數(shù)壓軸題第二

問中出現(xiàn)，難度不大，但需要注意對稱點(diǎn)的選擇，動點(diǎn)通常在對稱軸上，而且已

知定點(diǎn)中往往有一個與X軸的交點(diǎn).

考法主要有以下幾種：1.求取最小值時動點(diǎn)坐標(biāo)2.求最小值3求三角形或四邊形

周長最小值.

模型一：兩定點(diǎn)一動點(diǎn)

如圖，為定點(diǎn)，P為/上動點(diǎn)，求AP+BP最小值

解析：作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A連接PA',則PA'=PA,所以PA+PB=PA+PB

當(dāng)A'、P、8三點(diǎn)共線的時候，PA'+PB=A'B,此時為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）

B

/

A端點(diǎn)/

\~*——

1/'尸折點(diǎn)

A

10

模型二：一定點(diǎn)兩動點(diǎn)

如圖，P為定點(diǎn)，M,N分別為。4和08上的動點(diǎn)，求周長最小值

解析：分別作點(diǎn)尸關(guān)于。4、08的對稱點(diǎn)，時APMN的局長為PM+MN+NP=P'M+MN+NP”,

當(dāng)P、M.N、P”共線時，周長最小.

模型三：兩定點(diǎn)兩動點(diǎn)

如圖，尸、。為兩定點(diǎn)，M、N分別為。4、。8上的動點(diǎn)，求四邊形尸QMN的最小值.

解析：:PQ是條定線段，

,只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，

分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于。4、08對稱，

PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ,

當(dāng)尸、M,N、Q'共線時，四邊形PMN。的周長最小。

模型四：一定點(diǎn)兩動點(diǎn)

如圖，P為定點(diǎn)，M.N分別為0A、08上的動點(diǎn)，求PM+MV最小值。

解析：作點(diǎn)P關(guān)于0A對稱的點(diǎn)P',

PM+MN^P'M+MN,

過點(diǎn)尸作0B垂線分別交。4、0B于點(diǎn)M、N,

得PM+MV最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）

模型五：將軍飲馬有距離

例一、如圖，4。為定點(diǎn)，B、C為直線/上兩動點(diǎn)，BC為定值，求A3+BC+C。最小值？

*

D

A

BCI

解析：3C為定值，只需求AB+C。最小即可；

平移A3至CE,則變成求CE+CD的最小值，基本將軍飲馬的模型

例二、如圖，4。為定點(diǎn)，B、C為直線6、，2上兩動點(diǎn)，BCl/i,求A3+BC+CD最小值?

A

B

11

C12

*

D

解析：8c為定值，只需求AB+C。最小即可；

平移至BE,則變成求A3+3E最小，基本將軍飲馬.

二、典例精析

12

例一：如圖1(注：與圖2完全相同)，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)4(1,0)、3(5,0)、CQ4)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足R1+PC的值為最小的點(diǎn)P坐標(biāo)(請?jiān)趫D1中探索);

【分析】(1)將點(diǎn)A、3的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y=a(x-lXx-5)=a(x2-6x+5),即可求解;

(2)連接3、C交對稱軸于點(diǎn)尸，此時R4+PC的值為最小，即可求解；

【解答】解：(1)將點(diǎn)A、3的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y=a(x-l)(x-5)=a(x2-6x+5),

4

貝!)5a=4,解得：a=—f

5

拋物線的表達(dá)式為：j=|(x2-6x+5)=|x2-yx+4,函數(shù)的對稱軸為：x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1)；

(2)連接3、C交對稱軸于點(diǎn)尸，此時R4+PC的值為最小,

將點(diǎn)3、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=fcr+b得:

解得：5，

b=4

直線3c的表達(dá)式為：y=--x+4,

5

當(dāng)x=3時，y=->

5

故點(diǎn)P(3,|)；

13

例二：如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點(diǎn)，拋物線＞=-/+云+。經(jīng)過點(diǎn)3、c,與

x軸另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為￡).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上找一點(diǎn)E,使EC+ED的值最小，求EC+RD的最小值;

【分析】(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)3、C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,3),

將點(diǎn)3、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

(2)如圖1,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)CI連接CO交x軸于點(diǎn)E,則此時EC+田為最小，即可求解;

【解答】解：(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,3),

[—Q「一

將點(diǎn)5、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：一,解得:

故函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3,令y=0,則x=—1或3,故點(diǎn)A(-l,0)；

(2)如圖1,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，，連接交x軸于點(diǎn)E,則此時EC+ED為最小,

函數(shù)頂點(diǎn)。坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)C(0,-3),

將C、。的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:

直線CD的表達(dá)式為：y=7x-3,

當(dāng))=0時，A：=—,

故點(diǎn)石弓，0),

圖1

14

則EC+ED的最小值為DC=Jl+(4+3)2=50；

三、中考真題演練

1.（2023?寧夏?中考真題）如圖，拋物線丁=0?+法+3（。工0）與》軸交于人，6兩點(diǎn)，與,軸交于點(diǎn)C.已

知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1,0）,拋物線的對稱軸是直線x=l.

備用圖

（1）直接寫出點(diǎn)3的坐標(biāo);

⑵在對稱軸上找一點(diǎn)尸，使B4+PC的值最小.求點(diǎn)尸的坐標(biāo)和B4+PC的最小值;

（3）第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)過點(diǎn)M作軸，垂足為N,連接BC交MN于點(diǎn)Q.依題意

補(bǔ)全圖形，當(dāng)MQ+后。的值最大時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】（1）（3,0）

（2）點(diǎn)P（l,2）,PA+PC的最小值為3也

【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得到=得到當(dāng)尸,3,C三點(diǎn)共線時，Bl+PC的值最小，

為3c的長，求出直線8C的解析式，解析式與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)尸的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出3C的

長，即為R4+PC的最小值；

【詳解】（1）解：：點(diǎn)A（-l,0）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)3,對稱軸為直線x=l,

六點(diǎn)6為（3,0）；

（2）當(dāng)x=0時，＞=3,

???C（0,3）,

連接3C,

15

VB(3,0),

?>-BC=^32+32=372-

:點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，

：.PA+PC=PB+PC>BC,

.?.當(dāng)P,2,C三點(diǎn)共線時，9+PC的值最小，為8C的長,

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+n,

n=3n=3

則:。'解得:

3"k=一1'

y—~x+3,

??,點(diǎn)尸在拋物線的對稱軸上,

??/(1,2)；

點(diǎn)尸(1,2),24+PC的最小值為3拒;

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究

如圖，拋物線y=-f+bx+c上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為(0,2),(4.0),拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)、M

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(4)將拋物線沿?zé)o軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C',在拋物線平

移過程中，當(dāng)M4'+MC的值最小時，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,M4'+MC的最小值為.

16

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且OM=2可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為加（0,-2）,利用待定系數(shù)法可得拋物線

7

的解析式為y=-x1+—x+2；

（4）設(shè)拋物線沿x軸的負(fù)方向平移機(jī)個單位長度得到新拋物線，將點(diǎn)M右平移機(jī)個單位長度得到點(diǎn)

由平移的性質(zhì)可知，MA^M'A,MC'=M'C,的值最小就是MA+MC最小值，作出點(diǎn)C關(guān)于直

線產(chǎn)-2對稱的對稱點(diǎn)C",連接AC"交直線尸-2于點(diǎn)連接M'C則此時"A+M'C取得最小值，即為

AC"的長度，利用兩點(diǎn)間的距離公式求這個長度，用待定系數(shù)法求出直線AC"的解析式，從而確定〃'的坐

標(biāo)，繼而確定平移距離，將原拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，從而得到其頂點(diǎn)，繼而確定新拋物線的頂點(diǎn).

【詳解】（1）解：：點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且31=2,

M（0,-2）

將4（0,2）,C（4,0）代入y=_Y+灰+c,得

Jc=2

[-16+4b+c=0

\=l

解得＜b2

c=2

7

.??拋物線的解析式為y=-x2+-x+2

（4）Hl為，2岳,

補(bǔ)充求解過程如下：

設(shè)拋物線沿X軸的負(fù)方向平移機(jī)個單位長度得到新拋物線,

將點(diǎn)M向右平移機(jī)個單位長度得到點(diǎn)AT,作出圖形如下:

由平移的性質(zhì)可知，MA=M'A,MC'=M'C,

：.MA+MC的值最小就是MA+M'C最小值,

顯然點(diǎn)在直線產(chǎn)-2上運(yùn)用,

17

作出點(diǎn)C關(guān)于直線廠-2對稱的對稱點(diǎn)c",連接AC〃交直線產(chǎn)-2于點(diǎn),連接M'c則此時MA+M'C取

得最小值，即為AC"的長度，

:點(diǎn)C關(guān)于直線產(chǎn)-2對稱的對稱的點(diǎn)是點(diǎn)C〃，C(4,0)

22

{MA!+=(M'A+M'C)mm=AC"=^(4-0)+(-4-2)=2屈,

設(shè)直線AC"的解析式是：y=kxx+b,

仿=2

將點(diǎn)A(0,2)，C"(4,T)代入得：'

I/v|I

k=--

解得：1x2

b\=2

3

直線AC〃的解析式是：y=-|x+2

令丁=-5%+2=-2,解得：x=-,

??.“[IT，

平移的距離是機(jī)=|

▽27(7丫，81

?y=—xH-x+2=—x—H---->

214)16

???平移前的拋物線的坐標(biāo)是倍，整〕

[416；

(QQQ1A(1181、

.?.新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為gp

(4316yI1216J

上……(1181)「

故答案是：|-R，/|,2A/13.

I"167

【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何變換綜合，二次函數(shù)與

相似三角形綜合，最短路徑問題，三角形面積公式等知識，難度較大，綜合性大，作出輔助線和掌握轉(zhuǎn)換

18

思想是解題的關(guān)鍵，第二問的解題技巧是使用鉛錘公式計算面積，第三問的技巧是轉(zhuǎn)化成直角三角形的討

論問題，如果直接按相似討論，則有四種情況，可以降低分類討論的種類，第四問的技巧，是將點(diǎn)M向反

方向移動，從而將兩個動點(diǎn)轉(zhuǎn)化成一個動點(diǎn)來解決.

3.（2023?湖南張家界?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知二次函數(shù)yuaY+bx+c的圖象與無軸交

于點(diǎn)4（-2,0）和點(diǎn)3（6,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,6）.點(diǎn)。為線段上的一動點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1,求△AOD周長的最小值；

【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+2）（x-6）,將（0,6）代入求解即可；

（2）作點(diǎn)。關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E,連接EC、EB,根據(jù)點(diǎn)坐特點(diǎn)及正方形的判定得出四邊形O3EC為

正方形，E（6,6）,連接AE,交BC于點(diǎn)D,由對稱性，國,此時口。+|必有最小值為AE的長，再

由勾股定理求解即可；

【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（尤+2）（尤-6）,

將（0,6）代入上式得：6=?（0+2）（0-6）,

a=—1

2

所以拋物線的表達(dá)式為y=-?2+2x+6；

（2）作點(diǎn)。關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E,連接EC、EB,

???3（6,0）,C（0,6）,ZBOC=90°,

：.OB=OC=6,

：O、E關(guān)于直線BC對稱，

.,?四邊形O3EC為正方形，

19

E(6,6),

連接AE,交BC于點(diǎn)D,由對稱性|DE|=|DO|,

此時QO|+|「闡有最小值為AE的長，

AE=yjAB2+BE2=V82+62=10

,?△AOD的周長為D4+DO+AO,

AO=2,D4+DO的最小值為10,

△AOZ)的周長的最小值為10+2=12；

4.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線>=-尤2+云+，經(jīng)過4—1℃(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)8,

直線AM與軸交于點(diǎn)D

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

⑵若點(diǎn)反是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH,DH,求+的最小值;

【分析】(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)連接DM,DM與無軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)進(jìn)而得到MW+O〃的最小值

為。的長，利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；

【詳解】(1)解：:?拋物線產(chǎn)-爐+帆+c經(jīng)過A(T0),C(0,3)兩點(diǎn),

20

-l-b+c=Ob=2

0,解得:

c=3c=3

?9y=—無2+2x+3；

(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

AM(1,4),

設(shè)直線AAf:y=kx+m(k^O),

-k+m=Qk=2

則:，解得:

k+m=4m=2

/.AM:y=2x+2,

當(dāng)x=0時，y=2,

/.D(0,2)；

作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)￡(我連接DM,

則：。(0,-2),MH+DH^MH+UH>iyM,

.?.當(dāng)三點(diǎn)共線時，MH+DH有最小值為?！钡拈L,

2),“(1,4),

/.D'M=JF+(4+2)2=屈,

即：+的最小值為：而'；

5.如圖，已知拋物線>=以2+法-6與x軸的交點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),與y軸的交點(diǎn)是點(diǎn)C.

21

(1)求拋物線的解析式;

⑵點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)PB+PC的值最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)/在拋物線上運(yùn)動，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動，是否存在點(diǎn)N,使得NCMN=90。且以點(diǎn)C，M,N為頂

點(diǎn)的三角形與“MC相似？若存在，求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】(1)>=2一+叔-6

(2)P(-1,-4)

17)或MTV-?)?

(3)M(-1,-8),N(0,--,N(0,

【分析】(1)將A(-3,0),B(1,0)代入y="2+6無一6,求出a和b即可；

(2)根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知足4=尸3,即尸8+尸。=%+「。24。，即AC與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)尸，根據(jù)

拋物線求出C點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出AC的直線解析式，從而即可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,2t2+4t-6)，分f>0和r<0討論，當(dāng)K0時，分^CMN^/XAOC

進(jìn)行討論，當(dāng)>0時，不存在符合的點(diǎn).

【詳解】(1)解：將A(-3,0),B(1,0)代入y=a%2+6x-6,得：

J0=<IX(-3)2+Z?X(-3)-6

?0-axl2+bxl-6'

:?拋物線的解析式為y=2f+4x-6；

(2)解：?..點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn),

/.PA=PB,

22

???PB+PC=PA+PC>AC,

???連接AC,AC與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)尸，如圖.

AC(O,-6),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b{kw0),

Q=-3k+b

—6=b

\k=—2

解得:

b=-69

?,?直線AC的解析式為y=-2x-6.

4

???拋物線對稱軸為x=---=-1

zxz

???對于y=_2x_6,

令產(chǎn)一1,貝!Jy=-2X(-1)-6=-4,

???P(-1,-4)；

(3)解：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(32/+4/-6),

當(dāng)點(diǎn)"在點(diǎn)。下方時，過M點(diǎn)作軸于點(diǎn)。,

當(dāng)時，ZMCD=ZOCAf

?.?NCMN=NMDN=9U。,

：.ZCMD+ZNMD=ZCMD+ZMCD=90°,

???ZNMD=ZMCD,

：?4CMNS4MDN,

23

AO1

tanZMCD=tanZOCA二tanZDMN=-----=—,

OC2

MDDN1

即nn---=----=-，

CDMD2

CD=2\t\,DN=^\t\,

貝I]OD=OC+CD=|2-+4f-6|,

即6+21|=|2/+取_6|

即6—2/=—2產(chǎn)―4f+6,

解得r=-l,

點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為M(-1,-8),N(0,-5)

當(dāng)△CMNs/vlOC時，可得co=-；f,

1°

則一一t+6=-2t-4t+6,

2

7

解得,

4

83

點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為N(0,

24

當(dāng)＞0時，沒有符合的點(diǎn),

)或叫55、

存在點(diǎn)M,N,使得NCMN=90。，點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為M(-l,-8),N(0,T

83

N(0,

8

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，涉及最短路徑問題，相似三角形問題，整體難度較大.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+版+。經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)、B(0,4)、C.其對稱軸/交x

軸于點(diǎn)。，交直線AB于點(diǎn)尸，交拋物線于點(diǎn)￡.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為直線/上的動點(diǎn)，求仆P8C周長的最小值；

(3)點(diǎn)N為直線AB上的一點(diǎn)(點(diǎn)N不與點(diǎn)尸重合)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)使以點(diǎn)E、F、N、M為頂

點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

【答案】⑴尸T+3X+4

(2)717+472

⑶存在，(2,0)或(山工一Z±坦)或(上叵，_*1)

242424

25

【分析】(1)把點(diǎn)A(4,0)、B(0,4)代入拋物線y=-N+6x+c中，求得6和c即可；

(2)作點(diǎn)2關(guān)于直線/的對稱軸"，連接交/于一點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為使APBC周長最小的點(diǎn)，由對稱可

知，PB'=PB,即△P8C周長的最小值為：BC+CB'；

(3)設(shè)M(如-/+3機(jī)+4),①當(dāng)口為邊時，則EF//MN,則N(m,-m+4),所以NM=EF=—,BP|-m2+3m+4-

4

(-7/2+4)|=1今5，求出機(jī)的值，代入即可；②當(dāng)為對角線時，EF的中點(diǎn)為3(;，3U5),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式

428

19

可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，可知-3+〃2+4=;層-3優(yōu)+不，解得加的值即可.

4

【詳解】(1)解：把點(diǎn)A(4,0)、B(0,4)代入拋物線y=-N+bx+c中，

「一16+4b+c=0(b—3

得，“，解得小

[c=4[c=4

拋物線的解析式為：y=-x?+3x+4；

3

(2)解：由拋物線解析式可知，對稱軸直線/：x=|,

;點(diǎn)A(4,0),

.?.點(diǎn)C(-1,0),

如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對稱軸〃，連接B'C交/于一點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為使APBC周長最小的點(diǎn),

此時夕(3,4),

設(shè)直線B'C的解析式為y=kx+bi,

[3k+b1=4

jd+4=0

k=l

解得:

4=1

直線9C的解析式為：y=x+l,

把尸|■代入得：y=|+l=j,

：.P

22

；B(0,4),C(-1,0),B'(3,4),

26

BC=衽+42=舊，CB'=43+1）2+不=4V2，

...△PBC周長的最小值為：而'+40;

（3）解：存在，以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（：，之）或（1±恒,

242

-2±坦）或（上畫，一1）.理由如下：

424

由拋物線解析式可知，E（43，325），

24

VA（4,0）、B（0,4）,

直線A8的解析式為：產(chǎn)“+4,

：.F

22

._15

??EF——.

4

設(shè)M（m,-m2+3m+4）,

①當(dāng)所為邊時，則EF〃MN,

:?N（m,-m+4）,

NM=EF=—,BP|-m2+3m+4-（-m+4）|=—,

4

3

解得m=1（舍）或|■或4+731^4-731

4+用7+2用）或4-7317-2用

A/（一,（

2

335

②當(dāng)政為對角線時'"的中點(diǎn)為（5,

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3-m,m2-3m+一）,

m=—，

綜上，滿足以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（g，斗）或（出包,「+2庖）