直線與圓錐曲線的位置關(guān)系-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破

考點(diǎn)53直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）

m【考試提醒】

1.了解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.

2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長(zhǎng)公式.

3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問題

皿【知識(shí)點(diǎn)】

1.直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y（或x）,得到關(guān)于尤（或y）的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交

生生0；直線與圓錐曲線相切0/三0；直線與圓錐曲線相離0/00.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).

②與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).

2.弦長(zhǎng)公式

已知A（xi,yi）,B（X2,m），直線AB的斜率為網(wǎng)左W0）,

則\AB\=M（xi—vG+Ui—”）2

=、1+42出一刈

=71+網(wǎng)（xi+X2）2—4X1X2

或|AB|={1+（〃-y2|

因【核心題型】

題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

（1）直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.

（2）直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行（或重合）.

2

【例題11（2023?重慶?二模）已知點(diǎn)尸（1,2）和雙曲線C:V-5=L過點(diǎn)尸且與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的

直線有（）

A.2條B.3條C.4條D.無數(shù)條

【變式1］（2022?北京房山?一模）已知直線/被圓C：f+丁=2所截的弦長(zhǎng)不小于2,則下列曲線中與直

線/一定有公共點(diǎn)的是()

A.y=x2-lB.(x-1)2+y2=1

22

C.一+y2=iD.x-y=1

27'

【變式2】(2024?上海浦東新?三模)已知點(diǎn)A、B位于拋物線y2=2px(p＞0)上"AB|=20,點(diǎn)M為線段A5

的中點(diǎn)，記點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為d.若d的最小值為7,則當(dāng)d取該最小值時(shí)，直線的斜率左(左＞0)為.

【變式3](2022?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0),且過點(diǎn)尸卜,

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

⑵已知直線/：尤=〃2y-l與橢圓C交于A、8兩點(diǎn)，若弦A3中點(diǎn)在直線＞=g上，求直線/的方程.

O

題型二弦長(zhǎng)問題

(1)弦長(zhǎng)公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點(diǎn)的弦長(zhǎng)都可以用弦長(zhǎng)公式求.

(2)拋物線的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)應(yīng)選用更簡(jiǎn)捷的弦長(zhǎng)公式|AB|=xi+x2+p.

⑶設(shè)直線方程時(shí)應(yīng)注意討論是否存在斜率.

【例題2】(2022?河南鄭州?三模)斜率為1的直線/與橢圓工+丁=1相交于A,8兩點(diǎn)，則IA例的最大值

2

為()

A)n2A/3r2瓜c4布

333

22

【變式1](2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線C:=1(。＞0,b＞0)的左焦點(diǎn)為%圓O:f+V=〃.

ab

若過K的直線分別交C的左、右兩支于A,B兩點(diǎn)，且圓。與48相切，C的離心率為3,4到c的漸近線的

距離為20,則1鉆1=()

【變式2](2023?四川綿陽?三模)已知尸為拋物線C：V=2x的焦點(diǎn)，過尸作兩條互相垂直的直線4，3直

線4與C交于A,B兩點(diǎn)，直線4與C交于RE兩點(diǎn)，則|陰+|小|的最小值為

【變式3](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知?jiǎng)狱c(diǎn)A(x,y)到點(diǎn)的距離與到直線/：y=-：的距離相等,

記動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為。.

⑴過點(diǎn)(3,0)且斜率為-2的直線/'與。交于尸,Q兩點(diǎn),求「0的值；

⑵已知是。上不同的三點(diǎn)，直線A?,ME與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓相切，切點(diǎn)分別為G,H,若

直線OE的傾斜角為120。，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

題型三中點(diǎn)弦問題

(1)解決圓錐曲線“中點(diǎn)弦”問題的思路

①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的

關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.

②點(diǎn)差法：設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為A(xi,ji),8(X2,y2),將這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲

線的方程，并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和直線斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計(jì)算量.

(2)點(diǎn)差法常用結(jié)論

已知AQ1,州)，8(X2,")為圓錐曲線E上的兩點(diǎn)，A8的中點(diǎn)為c(xo,聲)，直線A8的斜率為上

22

若E的方程為

則—黑

若石的方程為宏一為=1(〃>0,/?>0),

則仁鬻

若￡的方程為產(chǎn)2px(p>0),則k=^.

TT丫？

【例題3](2024?甘肅張掖?三模圮知傾斜角為二的直線/與橢圓C:上+/=1交于42兩點(diǎn)，P為A8中點(diǎn),

44-

0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線。尸的斜率為（

22

【變式1］（2023,陜西寶雞?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線-2=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為網(wǎng)5,0）,過點(diǎn)廠的

ab

直線交雙曲線E于A、B兩點(diǎn).若48的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6,-2）,則E的方程為（）

【變式2］（2023?貴州遵義?三模）已知拋物線V=2y上兩點(diǎn)A,3關(guān)于點(diǎn)“（2"）對(duì)稱，則直線的斜率

為.

22

【變式3］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：A+2=l（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線V=4x的焦點(diǎn)

ab

重合，離心率為3.

⑴求橢圓C的方程；

⑵過點(diǎn)尸，作斜率為|的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，求弦尸。中點(diǎn)坐標(biāo).

【基礎(chǔ)保分練】

一、單選題

22

1.（2024?湖南長(zhǎng)沙三模）已知雙曲線C：3-2=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳（-c,0）,月（c,0）,尸為C

ab

的漸近線上一點(diǎn).若/耳F?的面積為6c2,尸耳.尸耳=302,則C的離心率為（）

A.aB.2C.6D.75

22

2.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知直線x-gy-2=0與橢圓C：—+——=1(〃>4)交于N兩點(diǎn)，橢圓C

cia—4

的左、右焦點(diǎn)分別為耳工，若/4邛1/+/與鳥M=N邛明，則。的值為（）

A.4+百B.4+2港C.5+3D,5-3

22

222

3.（2024?山西臨汾?三模）已知橢圓G：〉齊=1（。>6>0）與橢圓。2：；+丁=1有相同的焦點(diǎn)，且C1與直

線/?-y+3=0相切，則橢圓G的離心率為（）

A百R石c及J_

,----D?----C..---nU.

5322

4.（2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：/=4丫上存在兩點(diǎn)4（和%），3（%，%）關(guān)于直線/：丫=一工+。

對(duì)稱，若再々=-2,貝!J"=（）

97

A.5B.-C.4D.-

22

二、多選題

2

5.（2024?四川巴中?模擬預(yù)測(cè)）已知A,8為雙曲線C:f-工=1的左，右頂點(diǎn)，居，工分別為雙曲線C的左，

2

右焦點(diǎn).下列命題中正確的是（）

A.若R為雙曲線C上一點(diǎn)，且|明卜4,則|R段=6

B.居到雙曲線C的漸近線的距離為四

C.若尸為雙曲線C上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則直線上4、尸3的斜率之積為2

D.雙曲線C上存在不同兩點(diǎn)M,N關(guān)于點(diǎn)Q（l,l）對(duì)稱

6.（2024?河南新鄉(xiāng)?一模）已知拋物線C:;/=8x的焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)f的直線/的斜率為左,且/與C交于A,B

兩個(gè)不同的點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的上方），下列說法正確的是（）

A.若k=2,則|AB|=10B.若同=2忸2，貝也=20

C.點(diǎn)A,2的縱坐標(biāo)之積與上有關(guān)D.若|。4|=2]。理（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），貝1AF|<2忸同

三、填空題

22

7.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）雙曲線C:'-3=l,過點(diǎn)尸（CU）作直線/,與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)M,貝I]/

的斜率為—.

8.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知橢圓C，+}1與直線2y-4=0交于48兩點(diǎn)，且線段的

中點(diǎn)為〃（2,1）,則橢圓C的方程為.

9.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知橢圓C:=+1=l（a>b>0）的離心率為過C的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線

ab2

與C交于A8兩點(diǎn).若|ABk12,則C的焦距為.

四、解答題

10.(2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線。:，-%=1(“>0*>0)的虛軸長(zhǎng)為2,離心率為手，AA

分別為C的左、右頂點(diǎn)，直線丁=履-1交C的左、右兩支分別于D,E兩點(diǎn).

⑴求C的方程;

⑵記AO&E斜率分別為若勺+2%=0,求上的值.

11.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線C:無2一y=8,圓A：(x-2)2+(y-2)2=/,其中廠>0.圓A與雙曲

線C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)2E,線段。E的中點(diǎn)為G.

⑴記直線AG的斜率為《，直線OG的斜率為心，求口.

(2)當(dāng)直線DE的斜率為3時(shí)，求G點(diǎn)坐標(biāo).

【綜合提升練】

一、單選題

22

1.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A,8是橢圓工+上=1上不關(guān)于長(zhǎng)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且A,8兩點(diǎn)到

1612

點(diǎn)M(m,0)的距離相等，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

1133

A.B.(-U)C.D.(-2,2)

?2

2.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓的右焦點(diǎn)是尸，直線/:xcos6+ysinO=l(OwR)交橢圓C

于A、B兩點(diǎn)，則A4B尸周長(zhǎng)的最大值為()

A.6B.8C.6^/^D.80

3.（2024?湖南益陽?一模）已知拋物線G：y2=4x,G：V=8x的焦點(diǎn)分別為片、F2,若尸、。分別為

G上的點(diǎn)，且線段A3平行于x軸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

14

A.當(dāng)|尸。1=］時(shí)，.當(dāng)尸。是直角三角形B.當(dāng)|尸。|=耳時(shí)，△耳PQ是等腰三角形

C.存在四邊形耳與PQ是菱形D.存在四邊形耳鳥尸。是矩形

2

4.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:/-上=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線y=x+2與雙曲線C的兩條

3

漸近線分別交于點(diǎn)A8,則△OAB內(nèi)切圓的半徑等于（）

A.72-1B.2-73C.2-72D.73-1

5.（2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的方程為5/一V=i,過點(diǎn)PQ-1）作直線/與雙曲線左右兩支

分別交于點(diǎn)M,N.若MP=2PN，則直線/的方程為（）

11-1,

A.y=-x-lB.y=-x-l^（iy=-—x-l

C.y=x-l^y=-x-lD.y=x-l

2

6.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線/一］=1（。＞0）的右支上存在兩點(diǎn)A,8使直線A3垂直于雙曲線

在點(diǎn)A處的切線，則。的取值范圍是（）

A.（l,+oo）B.（0,72）C.（0,1］D.（0,1）

22

7.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓=+1=1（穌6＞0）右頂點(diǎn)為42,0）,上頂點(diǎn)為3,該橢圓上一點(diǎn)P與

ab

A的連線的斜率《=-；,"的中點(diǎn)為E,記OE的斜率為的E，且滿足BE+4K=0,若C、。分別是x軸

、了軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形ABCD的面積為2,則三角形COD面積的最大值是（）

A.3—2A/2B.3+2\/2C.2—A/2D.—^―-

22

8.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線C:與-2=1（。＞0,。＞0）的左焦點(diǎn)4的直線/（斜率為正）交雙曲

ab

線于A,3兩點(diǎn)，滿足片B=3耳A,設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則直線ON（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）斜率的最小值是（）

A.2遍B.73C.4石D.百

二、多選題

9.（2024?廣西柳州?一模）過拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)尸作傾斜角為。的直線交E于A,B兩點(diǎn),

經(jīng)過點(diǎn)A和原點(diǎn)。的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，則下列說法正確的是（）.

A.BD//OFB.OA±OB

2

C.以AF為直徑的圓與y軸相切D.AFBF

\'\\"\1^-si^n2-0

2

10.（2024?寧夏吳忠?一模）過雙曲線C:x?-乙=1的右焦點(diǎn)廠作直線/,交雙曲線C于A,8兩點(diǎn)，則（）

2

A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2

B.當(dāng)/_Lx軸時(shí)，|AB|=4

C.當(dāng)|AB|=3時(shí)，這樣的直線/有3條

D.當(dāng)時(shí)，這樣的直線/有4條

22

11.（2023?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:土+匕=1,A，4分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，B為橢圓的上

43

頂點(diǎn).設(shè)M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線AB與直線4M交于點(diǎn)P,直線A"與直線交于

點(diǎn)Q,則（）

3

A.若直線&W與4M的斜率分別為左，右，則勺乂=-1

B.直線P。與x軸垂直

c.\BP\=\BQ\

D.\MP\^\MQ\

三、填空題

丫2

12.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線C:工-丁=1的右焦點(diǎn)廠的直線與C的右支交于48兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，

3

線段0M的中點(diǎn)與線段AB的中點(diǎn)重合，則四邊形OAWB面積的取值范圍是.

22

13.（2024?河北衡水三模）已知橢圓C:++斗=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，且，焦距為6,點(diǎn)"（LD,

直線g與C交于A,2兩點(diǎn)，且加為AB中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為.

14.（2024?湖南郴州?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y=4x,從拋物線內(nèi)一點(diǎn)A（2,0）發(fā)出平行于龍軸的光線經(jīng)過

掩物線上點(diǎn)3反射后交拋物線于點(diǎn)C,則VA3C的面積為.

四、解答題

1T

15.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知傾斜角為a（0<dz<-）的直線/與拋物線C：y2=2px（p>0）只

有1個(gè)公共點(diǎn)A,C的焦點(diǎn)為區(qū)直線AF的傾斜角為夕.

⑴求證：B=2a；

（2）若。=1,直線/與直線x=交于點(diǎn)尸，直線AF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為8,求證：PAVPB.

22

16.（2024?安徽?一模）已知雙曲線C：?-4=：1（4>0,6>0）的離心率為2.且經(jīng)過點(diǎn)（2,3）.

cib

⑴求C的方程；

⑵若直線/與C交于A,B兩點(diǎn),且0408=0（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.

17.（2024?廣東韶關(guān)?一模）已知拋物線x?=8y的焦點(diǎn)為產(chǎn)，其準(zhǔn)線與>軸相交于點(diǎn)知.動(dòng)點(diǎn)尸滿足直線

PRPM的斜率之積為-（，記點(diǎn)P的軌跡為「

（1）求r的方程；

⑵過點(diǎn)4（0,1）且斜率為左的直線/與X軸相交于點(diǎn)B,與r相交于C,。兩點(diǎn)，若能=茂.求上的值.

18.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，圓「的圓心尸在y軸上（尸不與。重合），且與雙曲

22

線。:?-當(dāng)=1的右支交于A,B兩點(diǎn).B^]|R4|2+|PB|2=|OA|2+|OB|2.

ab

⑴求Q的離心率；

⑵若。的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,且圓「過點(diǎn)片求IE4I+IFBI的取值范圍.

19.（2022?山東臨沂?二模）已知拋物線H:V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,拋物線H上的一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5,

2

0為坐標(biāo)原點(diǎn)，cosZOFM

⑴求拋物線H的方程；

⑵若一直線經(jīng)過拋物線〃的焦點(diǎn)R與拋物線〃交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線％=上的動(dòng)點(diǎn).

①求證：ZACB<1.

②是否存在這樣的點(diǎn)C,使得S4BC為正三角形?若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由,

【拓展沖刺練】

一、單選題

22

1.（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)M是橢圓亍+%=1,>。>0）上的點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切于橢

圓的焦點(diǎn)尸，圓M與y軸相交于尸，。兩點(diǎn)，若二尸。河是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（2-73,1）

y/6—5/2（^6—A/2-y/5—1

C.-----------,1D.-----------,--------

272

2.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：V=6x,過動(dòng)點(diǎn)尸作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C相

切于點(diǎn)A,2,則皿面積的最小值是（）

A.6B.9C.12D.18

3.（2023?廣東廣州?一模）雙曲線C:。一「=4的左,右焦點(diǎn)分別為耳F2,過尸2作垂直于x軸的直線交雙

曲線于A,8兩點(diǎn)，4K月,,8月工”耳48的內(nèi)切圓圓心分別為。1,。2。3，貝八。。2。3的面積是（）

A.6A/2-8B.6A/2-4C.8-40D.6-40

二、多選題

22

4.（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，6,尸2分別是雙曲線E：點(diǎn)一我=1（。>0/>0）的左、右焦

點(diǎn)，P是雙曲線E的右支上一點(diǎn)，若儼胤一戶局=8,雙曲線E的離心率為手，則下列結(jié)論正確的是（）

22

A.雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為土一二=1

164

B.雙曲線￡的漸近線方程為2x土y=0

C.點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為為

D.若直線尸耳與雙曲線E的另一支交于點(diǎn)點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則瓦N

5.（2024,河北唐山?二模）設(shè)拋物線C：y2=?的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)（4,0）的直線與C交于A&,%）,

兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.%％=16B.以為直徑的圓與/相切

C.以A8為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)