新高考數(shù)學(xué)模擬卷（二）（學(xué)生版+解析）

專題25新高考數(shù)學(xué)模擬卷（二）

（模擬測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知集合A=比>o],B={x|x<4},則（）

A.{x|-l<x<4}B.{x|x<4}C.{x|-l<x<4jD.{工尤4-“

2.已知i為虛數(shù)單位，a>beR,復(fù)數(shù)=〃+則々一歷=（）

2-1

A13.13.八31.「3L

A.------1B.—+—iC.-------1D.—+—i

55555555

3.在所在平面內(nèi)，。是8C延長線上一點且3D=4CD,石是⑷？的中點，設(shè)而二九AC=b^貝1麗=

（）

A1-4廠n3-1r

A.—a+—bB.—a+—b

5544

C.~—a+—bD.~—a+—b

6364

4.已知函數(shù)/5）=$垣（。苫+夕）]。>0,|夕|<|^的最小正周期為萬，若將其圖象向右平移個單位長度后關(guān)

于y軸對稱，則的解析式可能為（）

A./(x)=sinB./(x)=cos

C./(x)=cos/(X)=sin

5.在1,2,…,20這20個正整數(shù)中隨機選取三個數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是（）

21-31

A.—B.—C.—D.一

5719383

6.菠蘿眼常有兩種剔除法：用圖1甲所示的去眼刀逐個挖掉菠蘿眼，或者用圖1乙所示的三角刀沿著菠蘿眼

挖出一條一條的螺旋線?現(xiàn)有一個波蘿準(zhǔn)備去眼，假設(shè)：（1）該菠蘿為圓柱體，菠蘿有64個菠蘿眼，都均勻

的錯位排列在側(cè)面上（如圖2甲）;（2）若使用去眼刀，則挖出的每一個菠蘿眼可看成側(cè)棱為3cm,且側(cè)棱與底

面成60。夾角的正四棱錐;（3）若使用三角刀，可挖出8根螺紋條，其側(cè)面展開圖如圖2丙所示，設(shè)螺紋條上

兩個相鄰菠蘿眼A,8的距離為Mem）.若將8根螺紋條看成8個完全一樣的直三棱柱，每個直三棱柱的高為

8/z（cm）,其底面為等腰三角形，該等腰三角形的底邊長為L4（cm）,頂角為30。，則當(dāng)菠蘿眼的距離〃接近

于（）cm時，兩種刀法留下的菠蘿果肉一樣多？（參考數(shù)據(jù)：^?1.7）

A.1.7B.1.8C.1.9D.2.0

7.己知函數(shù)的定義域為R,y=/（x）+e，是偶函數(shù)，y=〃x）-3/是奇函數(shù)，則的最小值為（）

B.2近C.2A/3D.2e

8.已知尸2分別是雙曲線C：m一二=1（。＞0,萬＞0）的左、右焦點，點尸在雙曲線上，PFJPF。,圓。：

ab

x2+y2=^a2+b2）,直線尸B與圓。相交于A,8兩點，直線尸尸2與圓。相交于M,N兩點.若四邊形

的面積為9廿，則C的離心率為（）

2M

5

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）

9.已知a>0,b>0,且/+8=1,則（）

A.a+y[b<\[2B.-<2a-^<2

2

2

C.log2a+log2yjb>-1D.a—b>—1

10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AAGA中，。為線段8c的中點，尸為線段CG上的動點（含端點）,

則下列結(jié)論正確的有（）

9

A.P為中點時，過。，P,。三點的平面截正方體ABCD-ABiGA所得的截面的面積為￡

B.存在點P,使得平面。尸?！ㄆ矫鍹C

C.。入「。的最小值為君+忘

D.三棱錐P-G2。外接球表面積最大值為9萬

11.已知拋物線C:y2=4%的焦點為p,點M,N為拋物線上兩個位于第一象限的動點，且有

右=與-/（%>1）-直線與準(zhǔn)線分別交于A,8兩點，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)八=9時,\MF\=|-R4|B.當(dāng)=2時,S^MFNS^ABF=4：5

C.當(dāng)時=2時，|A^:|明=9:5D.當(dāng)x“=3時，延長NM交準(zhǔn)線于C,SMBM：SBF=5：6

12.已知函數(shù),=〃力（％€11）的圖象是連續(xù)不間斷的，函數(shù)y=〃x-l）的圖象關(guān)于點（1,1）對稱，在區(qū)間

■TTJT

（L+8）上單調(diào)遞增.若〃加85。+485，-2）+/（^852，）>2對任意。€---恒成立，則下列選項中"的

可能取值有（）

A.272-4B.2-272C.72-2D.72-4

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識競賽，每名學(xué)生的成績X~N(70,l()2),成績不低于90分為優(yōu)秀,

依此估計優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為(結(jié)果填整數(shù)).

附：若4則尸(〃-CT<J<〃+b)=0.6827,P(〃一2<T<J<〃+2b)=0.9545.

14.幕函數(shù)/(x)=/(aeR)滿足:任意xeR有x)=〃x),且〃一1)<〃2)<2,請寫出符合上述條件

的一個函數(shù)〃力=.

15.已知函數(shù)4%)=^+7湎1?-/X2-(相+1)工+1,在x=0處取到極小值，則實數(shù)機=.

16.設(shè)過雙曲線C：=-*=1(°>0力>0)左焦點/的直線/與C交于M,N兩點，若麗=3兩，且

a"0

OM-FN=0(。為坐標(biāo)原點)，則C的離心率為

四、解答題(本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解

答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.在①4cos?C+4cosAcosB+1=4sinAsinB,②csinB=bcos]c-j,③6+6cosC=G?sinB這三個條件中

任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：

在AABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.

⑴求角C的值；

(2)若AABC的面積為96，點。在邊AB上，KAD=2DB,求。的最小值.

18.如圖所示，在等邊AABC中，AB=6,M,N分別是AB,AC上的點，S.AM=AN=4,E是BC的

中點，AE交MN千點、F.以為折痕把AAMN折起，使點A到達點P的位置(0<NPEE<兀)，連接PB,

PE,PC.

⑴證明：MN工PE；

(2)設(shè)點尸在平面43c內(nèi)的射影為點Q,若二面角尸-的大小為、，求直線QC與平面P3C所成角

的正弦值.

19.近年來，隨著智能手機的普及，網(wǎng)絡(luò)購物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進入了我們的生活，改

變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不

在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為"不喜歡網(wǎng)上買菜".某市M社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機抽取了該社

區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計

年齡不超過45歲的市民401050

年齡超過45歲的市民203050

合計6040100

(1)是否有99.9%的把握認(rèn)為加社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)？

(2)M社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從A,B兩個買菜平臺隨機選擇其中一個下單買菜.

4

如果周一選擇A平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為二；如果周一選擇8平臺買菜，那么周二選

擇8平臺買菜的概率為g,求李華周二選擇平臺3買菜的概率；

(3)用頻率估計概率，現(xiàn)從M社區(qū)市民中隨機抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為X,事件

“*=%”的概率為P(*=左)，求使尸(X=左)取得最大值時的左的值.

參考公式：Z2-/x-其中-a+b+c-\-d

(a+bv)(c+d)v(a+c)(b+d)

0.10.050.010.0050.001

即2.7063.8416.6357.87910.828

20.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足。1+3%+3?%-----1~3"一%〃=—；—(HGN*).

(1)求數(shù)列｛g｝的通項公式；

71「、7

(2)設(shè)a=3向(_4J,數(shù)列｛2｝的前〃項和求證：5?<—.

21.如圖，過y軸左側(cè)的一點P作兩條直線分別與拋物線/=4x交于A,C和8,。四點，并且滿足PC=3PA，

PD=3PB.

⑴設(shè)CO的中點為證明R0垂直于丁軸?

(2)若尸是雙曲線三-丁=1左支上的一點，求AW面積的最小值.

4

22.已知函數(shù)/(x)=ex+msinx.

⑴若函數(shù)〃尤)在(0,兀)上單調(diào)遞增，求正實數(shù)加的取值范圍；

⑵求證：當(dāng)"2=1時，〃力在(-兀,”)上存在唯一極小值點與,且—l<〃X0)<0.

專題25新高考數(shù)學(xué)模擬卷（二）

（模擬測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知集合A=比>o],3={x|x<4},則Bn0A=（）

A.{x|-l<x<4}B.{小<4}C.{x|-l<x<41D.

【答案】C

【分析】求出集合A,利用補集和交集的定義可求得集合

2l>0

【詳解】因為A=X布<-1或%>5},故%A={+1<%<5},

x-5

又因為5=國％<4},則3C%A={XH<X<4}.

故選：C.

2.已知i為虛數(shù)單位，。、Z?GR,復(fù)數(shù)上匕=〃+折，則〃一歷=（）

2-i

A.—13.-31.

B.-+-icD.—+-i

5555-255

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)相等求出。、b的值，即可得出結(jié)果.

1+i(l+i)(2+i)l+3i1313

【詳解】因為。+/=——=)~~。~~(=——=-+-i所以，b=《,

2-i(2-i)(2+i)555

13

因止匕，ci—bi=———i.

故選：A.

3.在△ABC所在平面內(nèi)，。是5c延長線上一點且4cD,￡是⑷？的中點，設(shè)荏耘，AC=b^則麗=

()

1431r

A.—a+—brB.—a+—b

5544

54f

C.—@H—bD.——a+—b

6364

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，借助向量的線性運算用通、/表示訪即可判斷作答.

—.4-.

【詳解】在AABC所在平面內(nèi)，。在5C延長線上，且&)=4CD,則=又￡是A5的中點，

所以麗=麗+麗■荏+"配=!而+紅(/—通)=工乙+±苗一心=-9萬+95.

23232363

故選：C

4.已知函數(shù)/(幻=5畝(。犬+。)［。＞0,|初＜|^的最小正周期為"，若將其圖象向右平移(個單位長度后關(guān)

于y軸對稱，則的解析式可能為()

A./(x)=sin^2x-^B./(x)=cos^2x-^

C./(x)=cos^2x+^D./(x)=sin^2x+-^^

【答案】B

【解析】先根據(jù)函數(shù)圖象的平移得到平移后函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式，再根據(jù)其圖象關(guān)于y軸對稱及i。5得

到夕的值，進而可得函數(shù)y=/(x)可能的解析式.

【詳解】解：由題意知刃='=2.

71

將〃x)=sin(2x+e)的圖象向右平移g個單位長度后得到y(tǒng)=siniL-^+cp的圖象，

因為其圖像關(guān)于V軸對稱,

所以9一,=彳+左〃■，左eZ.

又⑷苦，

所以?=[?

6

7T

即/(%)=sin(2xH——),

6

故選：B.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)圖象的對稱性等，考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯

推理等核心素養(yǎng).

5.在12…,20這20個正整數(shù)中隨機選取三個數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是（）

2131

A.—B.—C.—D.一

5719383

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得公差dV9,進一步確定滿足題意的可能情況數(shù)，再由古典概型概率公式計算即可.

【詳解】因為三個數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為a,a+d,a+2d,

按題意必須滿足a+2dW20,d<9,

若給定了d,貝ij?？梢匀?,2,…,2。一24,

9

故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個數(shù)為三（2。-2d）=10x9,

d=\

10x93

所以三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為，

Lx20JO

故選：C.

6.菠蘿眼常有兩種剔除法：用圖1甲所示的去眼刀逐個挖掉菠蘿眼，或者用圖1乙所示的三角刀沿著菠蘿眼

挖出一條一條的螺旋線?現(xiàn)有一個波蘿準(zhǔn)備去眼，假設(shè)：（1）該菠蘿為圓柱體，菠蘿有64個菠蘿眼，都均勻

的錯位排列在側(cè)面上（如圖2甲）;（2）若使用去眼刀，則挖出的每一個菠蘿眼可看成側(cè)棱為3cm,且側(cè)棱與底

面成60。夾角的正四棱錐;（3）若使用三角刀，可挖出8根螺紋條，其側(cè)面展開圖如圖2丙所示，設(shè)螺紋條上

兩個相鄰菠蘿眼A,8的距離為/z（cm）.若將8根螺紋條看成8個完全一樣的直三棱柱，每個直三棱柱的高為

8/7（cm）,其底面為等腰三角形，該等腰三角形的底邊長為L4（cm）,頂角為30。，則當(dāng)菠蘿眼的距離九接近

于（）cm時，兩種刀法留下的菠蘿果肉一樣多？（參考數(shù)據(jù)：有。1.7）

【答案】B

【分析】根據(jù)棱錐及棱柱的體積的計算公式即可得到答案.

【詳解】欲使留下的果肉一樣多，只需兩種刀法下削掉的菠蘿果肉的體積一樣大.

若用去眼刀削菠蘿，削掉的每個菠蘿眼視為一個正四棱錐，

該錐體的高為3xsin60o=±8,底面對角線長為2x3cos6（T=3,

2

故正四棱錐的體積為工，地

3224

菠蘿眼共有64個，故用去眼刀去掉的菠蘿果肉的體積為64x為8,

4

若用三角刀削菠蘿削掉的每根螺紋條視為一個直三棱柱，

其底面的身為tani5。=tan（45°_30°）=°'xR+6）,

底面積為:xL4x0.7x（2+g）=0.49x（2+g）,

直三棱柱的體積為0?49X（2+6）X8/7,

故用三角刀去掉的菠蘿果肉的體積為049x（2+石）x8/zx8,

973

由題可得:0.49xX8/IX8=64X-^

4

973

9x（2V3-3）9x（2xl.7-3）^3.6?1S.

則力二4

0.49x（2+司4x0.491.961.96,

故選：B.

7.己知函數(shù)的定義域為R,y=/（x）+e，是偶函數(shù)，y=〃x）-3/是奇函數(shù)，則的最小值為（）

A.eB.2忘C.2—D.2e

【答案】B

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)〃尤）的解析式，再利用基本不等式可求得“可的最小值.

【詳解】因為函數(shù)y=〃x）+e工為偶函數(shù)，則〃r）+eT=〃x）+e，，即/⑺―〃一尤）=b—e，,①

又因為函數(shù)y=〃尤）一3/為奇函數(shù)，則〃一X）—30=一〃尤）+3e=即〃尤）+"r）=3e*+3e「，②

聯(lián)立①②可得"x)=e*+2eT,

由基本不等式可得/（x）=e*+2e-t>2-Jex-2e-x=242,

當(dāng)且僅當(dāng)e、'=2eT時，即當(dāng)尤=；山2時，等號成立，

故函數(shù)/（無）的最小值為20.

故選：B.

8.已知B,尸2分別是雙曲線C：岑-普=1（。>°，8>°）的左、右焦點，點P在雙曲線上，PFJPF?,圓。：

x2+y2=^a2+b2）,直線尸B與圓O相交于A,B兩點，直線PB與圓O相交于M,N兩點.若四邊形AMBN

的面積為明2,則C的離心率為（）

A.-B.-C.旦D,

4525

【答案】D

2222

【分析】設(shè)|尸耳|="，|%|=加,有um=2a,n+m=4c,mn=2b,由弦長公式可得

孫=2,仔）-⑶，網(wǎng)=2佰］-償，四邊形AM2N的面積為扣斗解得°2=#,可

求雙曲線的離心率.

【詳解】根據(jù)對稱性不妨設(shè)點尸在第一象限，如圖所示,

Q

圓0入心彳面+⑹，圓心為0（0,0）,半徑為冷，

設(shè)|P￡|=〃，歸局=根，點P在雙曲線上，PF1工PF?,則有〃一〃z=2a,/+療=4。2,可得=

I〃

過。作MN的垂線，垂足為。，。為月外的中點，則|。。|=點「周=5,|MN|=2

同理，|AB|=2,由AB_LM7V,

四邊形AMBN的面積為:148HA/N

4

481C[/+/]9c2+祖2〃2=4，Adj=8?,化簡得°2=|凡則有?！弧?#，則c

^6_―1-4-)~T+16

的離心率e=￡=^=①

aV55

故選:D

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）

9.已知a>0,b>0,且q2+b=l,則（）

A.a+y[b<^[2B.；<2〃一礪<2

C.log2a+log2^>-lD.cr-b>-\

【答案】ABD

【分析】對于A利用基本不等式可判斷；對于B利用不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷;

對于C可用特殊值法判斷；對于D直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可.

【詳解】">。，b>0,Ka2+Z>?il,:.l=a1+b>2ay/b,

2（°2+匕"（4+振），;.（a+6）<2,

當(dāng)且僅當(dāng)°=揚=且取等號，故A正確；

2

■.■a>0,b>0,J^a2+1>=1,

:.0<a<1,0<y[b<1,/.-1<a-~Jb<1,—<2"-柘<2,故B正確；

則4_故D正確；

JRa=,y/b=—,則log。。+logz=-彳<—1,故C錯誤.

222

故選：ABD.

10.如圖，在棱長為2的正方體A3C。-4月0口中，。為線段耳。的中點，尸為線段CC,上的動點（含端點），

則下列結(jié)論正確的有（）

9

A.P為中點時，過。，P,。三點的平面截正方體ABCD-A4GA所得的截面的面積為］

B.存在點P,使得平面OPQ〃平面MC

C.DP+PQ的最小值為有+夜

D.三棱錐尸-G2。外接球表面積最大值為9萬

【答案】AD

【分析】連接AD，AQ，BC，由三角形中位線性質(zhì)和正方體性質(zhì)可知，過。，尸，。三點的截面為梯形

然后計算即可得截面面積，可判斷A；假設(shè)存在，然后利用面面平行性質(zhì)定理推得。QIIA4,矛盾，可判

斷B；利用側(cè)面展開圖可求得DP+PQ最小值，判斷C；利用補形法求外接球表面積即可判斷D.

【詳解】A選項：連接AR4。,瓦C,由三角形中位線性質(zhì)和正方體性質(zhì)可知，PQWA.D,且尸。=

所以過。，p,。三點的截面為梯形A。尸

易知AQ=DP=GPQ=0AD=2e，

作尸;/,以，則==半，

所以梯形AQPD的面積5=3(0+2金卜呼=|,A正確;

B選項：若存在點尸，使得平面OPQ〃平面MC,則由平面平面ABC=A與，平面A耳CQA平面

￡?「0=。。可知。。||4瓦，顯然。Q,A片不平行，故B錯誤;

C選項：將側(cè)面展開如圖，顯然當(dāng)。、P、。三點共線時，。尸+尸。取得最小值，最小值為

J*+DD；=如+2?=屈,C錯誤；

D選項：由題知，G°，G2，CIP兩兩垂直，所以三棱錐尸-G2Q外接球，即為以GQ，G2，GP為共頂點的

三條棱的長方體的外接球，記其半徑為凡

則2R=QcQ+GD；+CF=J5+C]P2,

3

顯然，當(dāng)點尸與C重合時，R取得最大值;，此時外接球表面積取得最大值4兀改=9兀，D正確.

故選：AD

11.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，點M,N為拋物線上兩個位于第一象限的動點，且有

只=與-4（/>1）.直線與準(zhǔn)線分別交于A,B兩點，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)與=9時,\MF\=|-R4|B.當(dāng)X”=2時,S^MFNS^ABF=4：5

C.當(dāng)時=2時，|A斗怛耳=9:5D.當(dāng)x“=3時，延長M0交準(zhǔn)線于：$△.=5：6

【答案】ACD

【分析】易得拋物線的焦點為尸。,0）,準(zhǔn)線為x=-1,則4=?=-1,xl=xN（xM>l）,求出的坐標(biāo)

s-\FM\\FN\sinZMFN

即可判斷A；根據(jù)芍血=看-----------------即可判斷B；結(jié)合B選項即可判斷C；結(jié)合A選項，求出

3-?-|FA||FB|sinZAFB

MCMFNF

，即可判斷

~NC~AFD.

【詳解】拋物線的焦點為/(1,0)，準(zhǔn)線為產(chǎn)一1,貝1，

由右=*?/（%>1），得就=漏（%>1）,

對于A,當(dāng)％N=9時，與=3,

則廠兩=丁力7=1，=H耳，故A正確；

AF1-（-1）1111

對于B,當(dāng)無M=2時，可得M（2,20）,N（4,4）,

則“|="Zi=3,回|=19+16=5,

設(shè)直線“尸：無=畋+1,把M（2,2挺）代入，可得機=/,；,x=￥y+i,

令％二—1,貝Uy=A（-1,一4右），

同理,

則|FA|=J4+32=6,\FB\=^4+y=y,

因為ZAFB=/MFN,所以sin/AFBusinNMW,

^\FM\\FN\sinZMFN

所以瓷L=V--------------------------=上2=：,故B錯誤；

4

以ABF^\FA\\FB\sinZAFB6xy

對于C,由B選項知，|AF|:忸典=6:g=9:5,故C正確；

對于D,當(dāng)如=3時，XN=9,則N（9,6）,

.?.|MC|:|A^C|=（3+1）:（9+1）=2:5,

._2_2

…S^CBM=MSCBN'-S<BM=g^NBM'

由選項A知\MF\-\AF\,:.5AM曬=5AM74,

Ml:阿=（9-1）:=|sAiVBM,

24

S&CBMS&NFAgS/\NBM-WSNBM=5:6,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】思路點睛：求三角形面積的比值可轉(zhuǎn)化為邊長的比值，進而可轉(zhuǎn)化為相似比問題.

12.已知函數(shù)y=〃x)(xeR)的圖象是連續(xù)不間斷的，函數(shù)y=1)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，在區(qū)間

JTJT

(1,+8)上單調(diào)遞增.若/(“05。+485。-2)+/(^^052。)>2對任意。￡恒成立，則下列選項中加的

可能取值有()

A.2A/2-4B.2-2V2C.y/2-2D.72-4

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性得到函數(shù)/(元)為R上單調(diào)遞增，進而得到mcos6^+4cos6^-2>4cos26),

利用參變分離和。的取值范圍求出加的取值范圍，進而求解.

【詳解】由函數(shù)丁=/(%-1)的圖象關(guān)于點(U)對稱且在區(qū)間。,+⑹上單調(diào)遞增可得，函數(shù)丁=/(%)(九￡2的

圖象關(guān)于(0,1)對稱，函數(shù)為R上單調(diào)遞增，

由/(mcos9+4cos9-2)+/(Tcos29)>2可得,

f(mcos夕+4cos夕一2)+/(Tcos2。)>/(Tcos20)+/(4cos20),

也艮flf(mcos+4cos0-2)>/(4cos20),

貝！J有mcos0+4cos6—2>4cos2夕恒成立，即mcos0>4cos20-4cos，+2

因為，所以cos8￡［0,］名］,

當(dāng)cos6=0時，得到0>-2恒成立；

、［/八_L1田4cos2e+2—4cos68cos?6—4cos6—22.

當(dāng)cos8wn0n時，則7n有m>--------------------------=--------------------------=o8cos6------------4,

cos0cos0cos0

令cose=『e(0,3，則y=8f1-4,

因為函數(shù)y=8—7-4在(0,+s)上單調(diào)遞增，且/?(。，￥］,

所以％1ax=2e-4，貝ibw>20-4，所以BC適合題意，AD不合題意?

故選：BC.

第n卷(非選擇題)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識競賽，每名學(xué)生的成績X~N(70,l()2),成績不低于90分為優(yōu)秀,

依此估計優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為(結(jié)果填整數(shù)).

附：若貝!]P(〃-cr<J<〃+cr)=C).6827,P(〃-2cr<J<〃+2cr)=0.9545.

【答案】23(22也可以)

【分析】根據(jù)X~N(7O,1()2),得出P(X>90)=尸(X>〃+2b),再乘以總?cè)藬?shù)得出結(jié)果.

【詳解】由每名學(xué)生的成績X~N(70,102),得〃=70,b=10,

貝I]尸(X>90)=尸(X>70+20)=P(X>〃+2cr)=；[l-P(〃一2cr</<〃+2b)]

=1(1-0.9545)=0.02275,

則優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為1000x0.02275=22.75?23.

故答案為：23.

14.塞函數(shù)/(無)=x"(aeR)滿足:任意尤eR有〃—x)=,且〃-L)<〃2)<2,請寫出符合上述條件

的一個函數(shù)〃x)=.

2

【答案】/(答案不唯一)

2

【分析】取/(尤)=Q，再驗證奇偶性和函數(shù)值即可.

222

【詳解】取〃%)=x§,則定乂域為R,且〃—%)=(—%)§=/=/(%),

2

/(-1)=1-42)=21=返，滿足"-l)<"2)<2.

2

故答案為：戶.

15.已知函數(shù)/(%)=?"+儂血-5%2一(加+1)%+1,在x=0處取到極小值，則實數(shù)加=.

【答案】1

【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求函數(shù)的多階導(dǎo)數(shù)，并分析求得加的取值.

【詳解】/，(x)=ex+mcosx-x-(,7?+l),由題意可知，/(。)=1+m一(〃?+1)=0,

設(shè)g(x)=/'(x)，g'(x)=ex-msinx-1,g，⑼=0,

設(shè)/z(x)=g'(x),hr(x)=ev-mcosx,h'(0)-1-m,

若砥0)=1—〃z>0,則存在了€(—￡,￡),使〃(x)>0,

則￡,￡),〃⑺單調(diào)遞增,即g'(x)單調(diào)遞增，又g'(0)=0,

所以xe(-￡,o),g,(x)<0,函數(shù)g(無)單調(diào)遞減，

xe(O,￡),g,(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

所以%€(—￡,￡),g(x)>g(o)=o,即尸(X)2O,

那么，xe(Y,￡),函數(shù)“X)單調(diào)遞增，在x=0處不能取到極小值，故不成立，

若/0)=1-加<0,則存在了?—￡,￡),使〃(X)<O,

則xe(-￡,￡),網(wǎng)力單調(diào)遞減,即g'(x)單調(diào)遞減,又/(0)=0,

所以XW(-￡,o),g，(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

xe(o,￡),g，(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以工?—￡,￡),g(x)<g(o)=o,即r(x)?0,

那么，xe(Y,￡),函數(shù)“X)單調(diào)遞減，在x=0處不能取到極小值，故不成立，

所以〃'(0)=1—7*=0,即加=1.

故答案為：1

【點睛】思路點睛：本題表面是一道普通的根據(jù)極小值點求參數(shù)的取值問題，實際得需要求多階導(dǎo)數(shù)，再

分析出機的取值.

16.設(shè)過雙曲線C：=1(〃>0乃>0)左焦點廠的直線/與C交于M,N兩點，若麗=3兩，且

ab

OM-FN=0(。為坐標(biāo)原點)，則C的離心率為

【答案】不

【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合向量知識建立關(guān)于。、c的方程即可求出離心率.

【詳解】如圖,

設(shè)尸為肱V中點，k/,

由兩=3兩可知|KV|=3f,|MP|=|ZW|=r,

由雙曲線的定義可知|崢卜/+2。，|意|=3-2a,

由兩■?前=0可知W1FN,

又。為仍中點，M為EP中點，可知。M||PK，則尸鳥，7W,

從而尸鳥為線段MN的垂直平分線，/周=|N閭，即f+2a=3-2a,

所以f=2a,貝IJAMA悠為正三角形，|P周=2四，

在直角△小瑞中，\FP^+\PF^=\FF^,即（4。）〉+（2島）z=（2c）2,所以e=?.

故答案為：用.

四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解

答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.在①4cos2c+4cosAcosB+1=4sinAsinB,②csinB=bcos[c-j,③6+bcosC=V3csinB這三個條件中

任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，瓦C,且滿足.

（1）求角C的值；

⑵若AABC的面積為96，點。在邊A3上，SLAD=2DB,求C￡）的最小值.

【答案】（l）C=g

(2)2A/6

【分析】（1）若選①：利用三角恒等變換化簡整理得cosC=g,即可得結(jié)果；若選②：利用正弦定理結(jié)合

兩角和差公式運算求解；若選③：利用正弦定理結(jié)合輔助角公式運算求解;

(2)利用面積可得必=36,利用向量運算結(jié)合基本不等式分析求解.

【詳解】(1)若選①：因為4COS2C+4cosAcosB+1=4sinAsinB，

則4cos2。+4(cosAcosB-sinAsinB)+l=4cos2C+4cos(A+1

=4cos2C—4cosC+l=(2cosC-l)2=0,

i

解得cosC=],且?！?0,兀)，所以C=g7r；

若選②：因為csinB=Z?cos(c-t],

由正弦定理可得：sinCsinB=sinBcos,

且5?0,兀)，則sin3w0,

可得sinC=cos1c-二]=，^cosC+'sinC，整理得tanC=G，

I6)22

且c?o，M，所以c=1；

若選③：因為Z?+Z?cosC=V3csinB，

由正弦定理可得sinB+sin反osC=A/3sinCsinB，

且3￡(0,JI),則sin_BwO,可得1+cosC二指sinC,

即6sinC-cosC=l,可得s'”]?！?]二；，

且Ce(O,7t),則0-谷(一3當(dāng)

6I66/

可知=9所以c=9.

663

(2)因為AABC的面積為S4MC=gobsinC=#^aZ?=9若，則H?=36,

uimuuruumuur9uunuur9zuuruir、1uir9

由題意可得：CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-\CB-CA\=-CA+-CB,

33、)33

utm2<1uur2"丫iuur24uur24uiruur144

貝IC。=-CA+-CB=-CA+-CB+-CA-CB=-b2+-a2+-abcosC

133J999999

1421422

=—b92+—a92+—ab>2.1—9b2x—9a2+—ab=—ab=24,

999V9993

14

當(dāng)且僅當(dāng)即6=2〃=6近時，等號成立，

|111叫

即卜。卜2太，所以8的最小值26.

18.如圖所示，在等邊N4BC中，AB=6,M,N分別是AB,AC上的點，且A0=AN=4,E是3C的

中點，AE交MN于點F.以MN為折痕把AAAW折起，使點A到達點P的位置(0<NPEE<7t),連接尸3,

PE,PC.

(1)證明：MN工PE；

2兀

(2)設(shè)點尸在平面A3C內(nèi)的射影為點Q,若二面角尸-MN-3的大小為求直線QC與平面P3C所成角

的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)逆

7

【分析】(1)根據(jù)條件得到折疊前MN±AE,折疊后由等腰三角形得到MN±PF,MN±FE,從而證明肱V，

平面PEF,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得到MV_LPE；

(2)根據(jù)二面角的定義得到二面角尸-MN-8的平面角為NPEE,結(jié)合(1)得到平面ABC/平面PFE,

從而可以確定Q的位置，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求解.

【詳解】(1)證明：因為AASC是等邊三角形，E是BC的中點，

所以AE_LBC,

因為AM=4V=4,所以則MV_LAE,

所以折疊后MV_L尸尸，MN工FE,又PFcFE=F,

所以跖V_L平面PEF,

又PEu平面PFE,

所以MN_LPE.

(2)因為腦V_LP尸，MN工FE,

且尸尸u平面ww,FEu平面ACVB,平面PMNCI平面A￡VB=MN,

所以二面角尸-MN-3的平面角為NPEE,

所以NPFE=W，貝=

由（1）知，肱V_L平面尸￡尸，肱Vu平面ABC,

所以平面ABC1平面PEF,

又因為平面A5Cc平面PEF=71E,

所以點尸在平面ABC內(nèi)的射影。在AE上，

在等邊AAAW中A"=4V=4,

所以AF=PF=2-\/3，即QF=A/3,PQ=3,EF=y/3,

過F作直線FK〃PQ交PE于點K,

以產(chǎn)為坐標(biāo)原點，F(xiàn)M,而