相交線與平行線熱考模型-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

第四章三角形

重難點07幾何熱考題一相交線與平行線熱考模型

（10種題型匯總+專題訓(xùn)練+10種模型解析）

【題型匯總】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

1）同位角有4組，如：N1與N5、/2與/6、N3與N

E

直線AB、CD被直線7、N4與/8；

EF所截，且AB與CD2）內(nèi)錯角有2組，如：/3與/5、N6與N8；

不平行3）同旁內(nèi)角有2組，如：/3與N6、/4與N5；

4）對頂角有4組，如：/I與N3、N2與/4、N5與/

7、/6與N8.

F

1）同位角相等：Z1=Z5>N2=/6、/3=/7、Z4=Z8；

E

2）內(nèi)錯角相等：/3=/5、Z6=Z8；

直線AB、CD被直線3）同旁內(nèi)角互補：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

4-匏，B

EF所截，且AB〃CD4）對頂角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解題方法：運用平行線的性質(zhì)計算角的度數(shù)，要正確地辨認(rèn)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，同時結(jié)合平行線

的性質(zhì)及其他有關(guān)角的性質(zhì)、定義進行計算.

1.（2022.青海?中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被

截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（）

A.同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角

B.同位角、內(nèi)錯角、對頂角

C.對頂角、同位角、同旁內(nèi)角

D.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

2.（2023?河北唐山?二模）下列圖中，N1和N2不是同位角的是（）

3.（2024.內(nèi)蒙古.中考真題）如圖，直線匕和G被直線G和〃所截，zl=Z2=130°,Z3=75°,貝吐4的度數(shù)

C.115°D.130°

4.（2024?陜西?中考真題）如圖，ABWDC,BC\\DE,Z.B=145°,貝吐。的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

題型02豬蹄模型

豬蹄模型豬蹄模型-進階（又稱“鋸齒”模型）

條件AB〃DEa〃b

圖示

ABABaAi

上*

DE

DE

b、

?------------

結(jié)論NB+NE=NBCEZB+NCMN+NE=NBCM+ZMNE

左拐角之和二右拐角之和

輔助線作法：過拐點作平行線，有多少拐點就作多少平行線.

【補充】選、填題結(jié)論直接套用，解答題需寫過程.

1.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，直線a||b,矩形力BCD的頂點A在直線6上，若N2=41。，則N1的度

數(shù)為（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

2.（2021九年級.全國.專題練習(xí)）在圖中，AB//CD,+NG與NB+NF+又有何關(guān)系？

3.（2024撫順市模擬預(yù)測）請閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題.

小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答,

今天老師介紹了一個“美味”的模型“豬蹄模型”.即

己知：如圖1,ABWCD,E為AB、之間一點，連接AE,CE得至UZTIEC.

求證：/LAEC=ZX+ZC

小明筆記上寫出的證明過程如下:

證明：過點E作EFII4B

Vzl=/.A

'：AB\\CD,EFWAB

：.EF\\CD

?"2=zC

Z-AEC=zl+z2

乙AEC=乙4+“

請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題.

(1)如圖，若ABIICD,ZE=60°,求NB+NC+NF；

(2)如圖，ABWCD,BE平分NABG,CT平分NDCG,NG=N”+27°,求

1.如圖，兩直線力B、CD平行，貝!JN1+N2+N3+N4+N5+N6=().

AB

A.630°B,720°C.800°D.900°

2.如圖1所示的是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸.如圖

2所示的是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知4B||CD,CG||EF,乙BAG=150。/。*=130°,

則乙4GC的度數(shù)是.

3.如圖①所示，四邊形MNBD為一張長方形紙片.如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角SAE、

乙4EC、^ECD）,貝IJ/BAE+乙4EC+NEC。=（度）；

N------------------F

MD

圖①

(1)如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角(AME、乙4EF、4EF、4FCD),貝此B4E+乙4EF+

乙EFC+乙FCD=(度)；

(2)如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角(NB4E、乙4EF、乙EFG、NFGC、乙GCD),則+

Z.AEF+Z.EFG+AFGC+乙GCD=(度)；

(3)根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是(度).

4.(1)如圖(1)AB||CD,猜想NBPD與4夙4。的關(guān)系，說出理由.

(2)觀察圖(2),已知4B||CD,猜想圖中的NBPD與4B、4。的關(guān)系，并說明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知||CD,猜想圖中的NBPD與48、的關(guān)系，不需要說明理由.

(1)(2)(3)⑷

1.（20-21八年級上?貴州六盤水?階段練習(xí)）如圖，已知=80°,^CDE=140。,則/BCD=.

2（2021九年級?全國?專題練習(xí)）已知A8//CD,求證：ZB=ZE+ZD

3.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，如果AB〃EF,EF//CD,則Nl,Z2,/3的關(guān)系式

4.①如圖1,AB//CD,貝l]NA+NE+NC=360。；②如圖2,AB//CD,貝l]NP=NA-NC；③如圖3,AB

//CD,則NE=NA+N1；④如圖4,直線A8〃C￡>//EF,點0在直線E尸上，則〃-4+々=180。.以

上結(jié)論正確的個數(shù)是()

題型05蛇形模型

條件AB/7CD

圖示

結(jié)論ZBCD+ZD-ZB=180°ZBCD+ZB-ZD=180°

1.(21-22八年級上.黑龍江哈爾濱?期中)已知直線4BIICD,P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD.

(1)如圖1,己知乙4=50。，AD=150。，求N4PD的度數(shù)；

(2)如圖2,判斷NPAB、乙CDP、41PD之間的數(shù)量關(guān)系為一.

(3)如圖3,在⑵的條件下,AP1PD,DN平分乙PDC,^/.PAN+^PAB=^APD,求乙4ND的度數(shù).

2.如圖，已知：點A、C、8不在同一條直線，ADWBE

圖①圖②圖③

(1)求證：z5+zC-Z/1=180°：

(2)如圖②，AQ、BQ分另1J為乙￡MC、NEBC的平分線所在直線，試探究NC與乙4QB的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，在(2)的前提下，且有2CIIQB,直線AQ、8c交于點P,QP1PB,直接寫出

Z-DAC：Z-ACB：乙CBE=.

3.(23-24七年級下?遼寧營口?階段練習(xí))如圖，AB||DC,點E在直線48,DC之間，連接DE,BE.

⑴寫出乙4BE,乙BED,NEDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(2)若NEDC=21°,乙BED=2乙B,求N8的度數(shù)；

題型06平行平分三等角

解題大招：平行平分得三等角.

1.(2024.山東淄博.中考真題)如圖，已知2D||BC,BD平分N4BC.若=110。，則ND的度數(shù)是()

C.35°D.30°

2.(2024?四川?中考真題)如圖,ABWCD,4D平分加C,41=30。，則N2=()

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.（2023?湖南張家界?中考真題）如圖，已知直線48||CD,EG平分N8EF,zl=40°,則N2的度數(shù)是（）

C.40°D.140°

4.（2023?四川資陽?模擬預(yù)測）如圖，直線4B||CD,BC平分以BD,41=54。，則42=

題型07平行線折疊問題

記住三句話：①折疊前后對應(yīng)角，對應(yīng)邊相等.

②折疊不改變原先的平行關(guān)系.

③以折線為對稱軸.

1.（2024.黑龍江大慶.中考真題）如圖，在一次綜合實踐課上，為檢驗紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和

小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿AB折疊，量得Nl=N2=59。；小鐵把紙帶②沿GH折疊，發(fā)

現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合.且點C,G,D在同一直線上，點E,H,尸也在同一直線上.則下列判斷

正確的是（）

A.紙帶①、②的邊線都平行

B.紙帶①、②的邊線都不平行

C.紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行

D.紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行

2.（2024?山西大同?模擬預(yù)測）如圖1,四邊形4BCD是一張矩形紙片，點。是BC上一點，將矩形紙片4BCD折

疊得到圖2,使得OB與。C重合.若42=50。，則N1的度數(shù)為（）

B

D.55°

3.（2023?江蘇鹽城?二模）如圖，將平行四邊形力BCD折疊，使點C落在4D邊上的點C，處,N1=58°,Z2=42°,

則NC的度數(shù)為（）

A.100°B.109°C.126.5°D.130°

4.（2024?四川涼山?模擬預(yù)測）如圖，把矩形4BCD紙片沿EF折疊后，點。，C分別落在。，1的位置.若

AAED'=50°,貝IJNEFC的度數(shù)為.

題型08三角板拼接模型

常見的三角板與三角板（平行）拼接模型:

【提示】根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和進行角度計算，計算線段長時會用到特殊角的三角函數(shù)值.

1.（2023?江蘇鹽城?中考真題）小華將一副三角板（NC=ND=90。，NB=30。，NE=45。）按如圖所示的

方式擺放，其中48IIEF,則N1的度數(shù)為（）

C.75°D.105°

2.（2024?四川涼山?中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點E在4B的延長線上，當(dāng)OF||4B時,

NEDB的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.30°D.45°

3.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則N1的大小為（

4.（2023?黑龍江綏化?中考真題）將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，41=25。，42=30。，則

43的度數(shù)為（）

A.55°B.65°C.70°D.75°

題型09直尺與三角板拼接模型綜合

類型一直尺與30°角的三角板拼接

圖示

解題方利用三線八角求解

法

結(jié)論Zl+Z2=90°Z1=Z2Zl+Z2=90°

C.50°D.40°

2.（2024.內(nèi)蒙古通遼.中考真題）將三角尺ABC按如圖位置擺放，頂點A落在直線%上，頂點3落在直線％上,

若31%，41=25。，貝此2的度數(shù)是（）

A.45°B.35°C.30°D.25°

3.（2024?海南?中考真題）如圖，直線加忻，把一塊含45。角的直角三角板ABC按如圖所示的方式放置，點B

在直線"上，乙4=90。，若41=25。，則42等于（）

A

A.70°B.65°C.25°D.20°

4.（2024?山東東營?中考真題）已知，直線磯6,把一塊含有30。角的直角三角板如圖放置，Z1=30°,三角

板的斜邊所在直線交b于點4貝此2=（）

5.（2024?山東濟南?中考真題）如圖，已知11口2，△力BC是等腰直角三角形，ABAC=90。，頂點4B分別

在幾％上，當(dāng)/1=70。時，Z2=.

6.（2023?江蘇?中考真題）將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若N1=56°,貝比2的度數(shù)是（）.

A.26°B.30°C.36°D.56°

7.（2024?江蘇鹽城?中考真題）小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖，若41=55。，則42的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

1.如圖，P是直線m上一動點，A,8是直線n上的兩個定點，且直線小舊，對于下列各值：①點P到直線n的

距離；②的周長；③APTIB的面積；④乙4PB的度數(shù).其中不會隨點P的移動而變化的是（）

A.①③B,①②C.②③D.③④

2.（2024?寧夏吳忠?二模）如圖，ADWBC,AC.BD相交于點E,△4BE的面積等于3,ABEC的面積等于5,

那么△BCD的面積是.

15.（23-24七年級下?上海松江?期中）如圖，在四邊形2BCD中，ADWBC,對角線AC、BD交于點0,若4ABC

的面積為8,AB。。的面積為5,則AC。。的面積是.

AD

V

BC

3.(2024.四川樂山.中考真題)如圖，在梯形4BCD中，AD||BC,對角線4C和BD交于點。，若22=士

S&BCD3

SxBOC

4(23-24七年級下.湖南永州.期末)課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用

(1)【問題探究】如圖2,若點C平移到點。，求證：S^A0C=S^B0D；

(2)【深化拓展】如