河北省邢臺(tái)市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

邢臺(tái)市20242025學(xué)年高三（上）期末測試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡集合，結(jié)合交集定義求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：D.2.某校有男生人，女生人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取人進(jìn)行調(diào)查，則男生被抽取的人數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)男生被抽取的人數(shù)是，由條件結(jié)合分層抽樣性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】設(shè)男生被抽取的人數(shù)是，由已知可得，解得，.故選：C.3.某工廠有一個(gè)正四棱臺(tái)形的儲(chǔ)物料斗，該儲(chǔ)物料斗的上底面邊長為4米，下底面邊長為2米，高為3米，則該儲(chǔ)物料斗的體積是（）（不考慮儲(chǔ)物料斗斗壁的厚度）A.立方米 B.28立方米C.立方米 D.84立方米【答案】B【解析】【分析】由棱臺(tái)的體積公式計(jì)算可求得體積.【詳解】該儲(chǔ)物料斗正四棱臺(tái)，且上底面邊長為4米，下底面邊長為2米，高為3米，所認(rèn)立方米.所以該儲(chǔ)物料斗的體積是立方米.故選：B.4.“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化可得，結(jié)合充分條件和必要條件定義判斷條件與結(jié)論的關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，所以“”不能推出“”，“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A.5.向高為的容器中注水，且任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)所注入的水體積相等，若容器內(nèi)水面的高度與注水時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，則該容器的形狀可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知在相等時(shí)間間隔內(nèi)容器內(nèi)水面的高度增加量越來越大，結(jié)合容器形狀可確定選項(xiàng).【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知，隨著注水時(shí)間的增大，在相等時(shí)間間隔內(nèi)容器內(nèi)水面的高度的增加量越來越大，即的變化率逐漸增大，故該容器從下到上寬度應(yīng)逐漸減小，選項(xiàng)C中容器符合要求.故選：C.6.在中，，點(diǎn)在線段上，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在中利用余弦定理求的余弦，再在中由正弦定理求即可.【詳解】在中，由余弦定理可得，又，，，所以，又，所以，在由正弦定理可得，故又，，，所以.故選：D.7.設(shè)分別是直線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的最小值為圓心到直線的距離減去半徑可得結(jié)果.【詳解】圓方程可化為：，故圓心，半徑，∴圓心到直線的距離，∴的最小值為.故選：B.8.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，可得函數(shù)為奇函數(shù)，在上為單調(diào)遞增，由，可得，進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性可得，求解即可.【詳解】令，由對(duì)恒成立，所以的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為奇函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，由，可得，所以，即，所以，所以，解得或，所以不等式的解集是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性可解不等式.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求的代數(shù)形式，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義求，判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式求，判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則求判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，，在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：BD.10.純音是指單一頻率的聲音，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)．我們?cè)谌粘Ｉ钪新牭降穆曇魩缀醵际菑?fù)合音，而復(fù)合音是由多個(gè)頻率不同的純音組成的．已知某聲音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的單調(diào)遞增區(qū)間是D.的值域是【答案】ACD【解析】【分析】利用可判斷A；由可判斷B；求導(dǎo)，利用，求得單增區(qū)間判斷C；求得單減區(qū)間，結(jié)合周期可求得值域判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋值淖钚≌芷谑?，所以的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，求導(dǎo)得，令，即，所以，所以，解得（舍去）或，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故C正確；對(duì)于D，令，即，所以，所以，解得，所以，可得的單調(diào)遞減區(qū)間是，結(jié)合C選項(xiàng)，又函數(shù)的周期為，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域是，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在長方體中，，，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.點(diǎn)到平面的距離是C.存在點(diǎn)，使得平面D.過作該長方體外接球的截面，所得截面面積的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，利用空間向量法可判斷ABC選項(xiàng)；求出球心的坐標(biāo)，求出球心到直線的距離，分析可知，當(dāng)截面圓圓心在直線上時(shí)，截面圓的半徑最小，利用勾股定理結(jié)合圓的面積公式求解即可.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，其中，對(duì)于A選項(xiàng)，，，若，則，解得，合乎題意，所以，存在點(diǎn)，使得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，取，則，，所以，點(diǎn)到平面的距離為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若平面，則，即，無解，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，該長方體外接球球心為，，，所以球心到直線的距離為，當(dāng)截面圓圓心在直線上時(shí)，球心到截面的距離最大，此時(shí)，截面圓的半徑取最小值，且，因此，截面面積的最小值為，D對(duì).故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于截面圓的面積的最值問題，關(guān)鍵是要確定截面圓圓心的位置，結(jié)合勾股定理求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12已知向量，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算坐標(biāo)公式求，再由結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.13.某校開設(shè)了門體育類課程和門科技類課程，學(xué)生從這門課中最多選修門，且至少選修門體育類課程，則不同的選課方案有______種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先求出從門課程中至多選門至少選門課程的所有選法，再求出所選課程都是科技類課程的選法，前者減去后者可得結(jié)論.【詳解】學(xué)生從這門課中最多選修門且至少選修門課程的選法有，學(xué)生從這門課中最多選修門至少選門，且所選課程都為科技類課程的選法選法有，所以滿足條件的選法有（種）.故答案為：.14.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一點(diǎn)，直線與圓切于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是______．【答案】【解析】【分析】由化簡可得，由條件結(jié)合切線性質(zhì)可得，，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，結(jié)合雙曲線定義可得，根據(jù)關(guān)系，結(jié)合余弦定理可得，亦可做輔助線，利用三角形中位線和勾股定理求解，再由離心率定義求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)橹本€與圓切于點(diǎn)，所以，，又，所以，所以，，，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，又，故，由余弦定理可得，，所以，所以，又，，，，所以，所以，所以，所以則雙曲線的離心率.另解：作，垂足為，由，，于是為的中位線，結(jié)合已知分析，，，由勾股定理，即，整理得，其余同上.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可得切線的斜率為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求；（2）條件可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再分離變量，結(jié)合基本不等式求結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，直線的斜率為，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，即，又的導(dǎo)函數(shù)，所以，所以，所以，【小問2詳解】由若在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，由（1）可得在上恒成立，所以在上恒成立，所以，其中，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，所以的取值范圍為.16.旅游是人們?yōu)榱诵蓍e、商務(wù)或其他目的離開自己的常住地，前往其他地方進(jìn)行的活動(dòng)．甲、乙、丙三人計(jì)劃去西安旅游，經(jīng)過商議他們計(jì)劃各自從秦始皇兵馬俑、華清宮、大唐不夜城、華山、黃河壺口瀑布這五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇兩個(gè)景點(diǎn)游玩．（1）求甲選擇去華清宮游玩，且乙不去華山游玩的概率；（2）記他們選擇去大唐不夜城游玩的人數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析；.【解析】【分析】（1）先求出甲、乙、丙從五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇兩個(gè)景點(diǎn)游玩所有選法，再求其中甲選擇去華清宮游玩，且乙不去華山游玩的選法數(shù)，利用古典概型概率公式求結(jié)論；（2）先條件確定的可能取值，，結(jié)合二項(xiàng)分布分布列結(jié)論求的分布列，再根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式求期望.【小問1詳解】甲、乙、丙分別從五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇兩個(gè)景點(diǎn)游玩的所有選法有種選法，其中甲選擇去華清宮游玩，且乙不去華山游玩的選法有種選法，所以甲選擇去華清宮游玩，且乙不去華山游玩的概率；【小問2詳解】甲選擇去大唐不夜城游玩的的概率為，同理可得乙選擇去大唐不夜城游玩的的概率為，丙選擇去大唐不夜城游玩的的概率為，由已知的可能取值有，，，，且，所以，，，，所以的分布列為所以的期望.17.如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形是梯形，．（1）證明：平面平面．（2）若，求平面與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，結(jié)合已知可得，求得，，利用勾股定理的逆定理可得，進(jìn)而可證得平面，可證結(jié)論.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求得平面與平面夾角的余弦值，進(jìn)而可求正弦值.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切危?，所以，，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小?詳解】若，由（1）可得，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的角為，，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為．18.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程．（2）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線經(jīng)過點(diǎn)，且為定值？若存在，求出的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）定點(diǎn)的坐標(biāo)為，的定值為【解析】【分析】（1）由題意可得，，計(jì)算可求得，可求得拋物線方程；（2）假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得，可求定點(diǎn)坐標(biāo)與定值.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，又是拋物線上的一點(diǎn)，且，所以，，所以，所以，所以，解得．所以拋物線的方程為．【小問2詳解】假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得直線經(jīng)過點(diǎn)，且定值，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，可得，所以，，，所以，當(dāng)時(shí)，為定值，此時(shí)定點(diǎn)坐標(biāo)為，的定值為.19.若數(shù)列的首項(xiàng)，對(duì)任意的，都有（為常數(shù)，且），則稱為有界變差數(shù)列，其中為數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)差值的上界．已知數(shù)列是有界變差數(shù)列，的前項(xiàng)和為．（1）當(dāng)時(shí)，證明：．（2）當(dāng)中各項(xiàng)都取最大值時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求的最大值；（3）當(dāng)中各項(xiàng)都取最大值時(shí)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都有，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）的最大值為；（3）的取值范圍為.【解析】【分析】（1）由定義可得，結(jié)合關(guān)系證明結(jié)論；（2）由定義證明，由此可得，化簡條件不等式并分離變量可得，利用基本不等式求的最小值，結(jié)合條件可得結(jié)論；（3）由（2），利用錯(cuò)位相減法求，代入條件不等式可得，討論的奇偶，分離變量，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，滿足，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【小問2詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，滿足上式，所以.所以不等式可化為，所以，.因?yàn)?，所以，所以，而，?dāng)且