立體幾何平行的證明與應(yīng)用（等積變形截面探究性問題等12類題型）（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型重難點(diǎn)專項(xiàng)突破

專題8-2立體幾何中平行的證明與應(yīng)用

模塊一、熱點(diǎn)題型解讀（目錄）

【題型1］平行關(guān)系的判斷

【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系

【題型3】由中位線得出平行關(guān)系

【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）

【題型5】由面面平行得出線面平行

【題型6】?jī)蓚€(gè)平面交線相關(guān)的平行證明

【題型71證明線線平行

【題型8】通過平行證明四點(diǎn)共面

【題型9】平行關(guān)系的應(yīng)用：等積變形求體積

【題型10］平行的存在性問題（確定點(diǎn)的位置）

【題型11］平行的存在性問題（確定動(dòng)點(diǎn)軌跡）

【題型12】截面問題（通過作平行線或延長(zhǎng)線補(bǔ)全截面）

模塊二1核心題型?舉一反三

平行關(guān)系思維導(dǎo)圖

序號(hào)圖形展示符號(hào)語言文字語言

①垂直于同一平面的兩個(gè)直線平行

1②如果兩條直線分別與第三條直線平行則

這兩條直線平行

③線段成比例兩直線平行（中位線）

④平行四邊形對(duì)面平行

a_____aBa平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平

行，則該直線與此平面平行

2bua,na〃a

allb

a//a一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的

任一平面與此平面的交線與該直線平行

3QU,>=>a〃b

ac/3=b

a,bua一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)

的兩條相交直線分別平行，那么這兩個(gè)平面

ar\b-A

平行

4/m,nu/3>=>a//P

men=B

a//m,b//n

a//p'如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，

那么它們的交線平行

5acy=a>=a//b

(3cy=b

a,bu0一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平

6aob—P面平行，則這兩個(gè)平面平行

=>a//(3

//a//a

b//a

a〃/兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一

>na//p

7aua,條直線與另一個(gè)平面平行

【題型1】平行關(guān)系的判斷

基礎(chǔ)知識(shí)

常用結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a_La,arp,則a〃萬.

(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若a〃人p//y,則a〃/.

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a_La,bLa,則a〃8.

(4)若a〃4，，wUa,則

【例1】(2024?山東淄博?二模)己知a,B，y為三個(gè)不同的平面，a,b,/為三條不同的直線.

若(zn￡=/，an『a，￡n/=6，/〃%

則下列說法正確的是()

A.°與/相交B.b與/相交C.a//bD.a與夕相交

【例2】已知機(jī)、〃是兩條不同的直線，。、￡、/是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若&_!_，，/31丫,則《///；

B.若加〃"，"ua,則〃z//e；

C.若機(jī)、,是異面直線，根ua,mlIfi,nu/3,nlla,則tz〃/；

D.平面a內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面￡的距離相等，則a//〃.

【例3】（多選）己知平面aac/3=l,/3cy=m,yca=n,則下列結(jié)論正確的是（）

A.加與w可能是異面直線B.若/〃加，則加〃“

C.若租n〃=O，則。€/D.若名6,7兩兩垂直，則/,7",”也兩兩垂直

【鞏固練習(xí)1）下列關(guān)于平面平行的命題，正確的是（）

A.若一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

B.若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

C.若兩個(gè)平面與同一個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面平行

D.若兩個(gè)平面與同一條直線平行，則這兩個(gè)平面平行

【鞏固練習(xí)2】設(shè)斜〃是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若機(jī)〃〃，機(jī)//。，則”//cB.若alI/3,mua,nu/3,則加//“

C.若加〃則根//aD.若m//n,mLa,則〃

【鞏固練習(xí)3]已知私〃為兩條不同的直線，名￡為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列命題正確的是（）

A.mua,nua、m〃（3、n〃B=a〃{5

B.a〃尸，根uan〃z〃￡；

C.n[/〃％nua=m〃a

D.m〃a,nua0ml/n.

【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

【方法技巧】構(gòu)造平行四邊形找線線平行

【例1】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E、/及G分別為棱8用、和CG的中

點(diǎn).求證：。尸//平面。成;；

【例2】（2024?江蘇南京.模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐尸-ABC。中，上4,底面ABCD,AD//BC,

AB=AD=AC=3,"=8C=4,〃,N分別為線段AD,PC上一點(diǎn)，AM^2MD.

若N為尸。的中點(diǎn)，證明：MV〃平面RIB；

【鞏固練習(xí)1】如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A8CD是直角梯形，ADJ.AB,AB//DC,PA1.

底面ABC。，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，AD=DC=AP=2AB=2.證明：3E〃平面抬。；

【鞏固練習(xí)2X24-25高三上?青海西寧?期中）如圖，PD1.^ABCD,AD±CD,AB//CD,PQ//CD,

AD=CD=D尸=2PQ=2A5=2,點(diǎn)及尸，“分別為AP,CO,3Q的中點(diǎn).求證：斯〃平面CPM

【鞏固練習(xí)3】如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，。,2,尸分別是3C,BC，"的中點(diǎn)，阮=4施,

△ABC的邊長(zhǎng)為2.求證：：瓦V/平面A￡>A4；

【題型3】由中位線得出平行關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

涉及中點(diǎn)條件時(shí)考慮利用三角形中位線找線線平行.

【例1】如圖，已知四棱錐PABCf）的底面A8CD是平行四邊形，M,N分別是棱P8,PC的中點(diǎn),

。是棱B4上一點(diǎn)，且AQ=3QP,求證:NQ〃平面MCQ

【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上?廣東深圳?階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐S-ABCD中，四邊形A3CD是

矩形，平面SCO,平面ABC。，NSDC=90。，點(diǎn)M是線段5r的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段S3上，且ACVLS3.

s

【鞏固練習(xí)2】（2024?浙江金華?一模）如圖,三棱錐A—3CD中，AC平面BCD,AD=DB=DC=BC,

E為AB中點(diǎn)，M為DE中點(diǎn)，N為。C中點(diǎn).

求證：MN//平面ABC；

【鞏固練習(xí)3】已知在正四棱柱A3C￡>-AgCQ中，AD=3,A4j=4,點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，求證:

ADJI平面EBD

【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）

基礎(chǔ)知識(shí)

解析：模型鋪墊：AB〃平面0司AB〃DE

【例1】如圖，在三棱柱ABC-AAG中，側(cè)面ACGA為菱形，側(cè)面CBAG為正方形.點(diǎn)"為A。

的中點(diǎn)，點(diǎn)N為A8的中點(diǎn).

證明：MNII平面BCC\B]

【例2】如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是正方形，點(diǎn)/在棱左上（不與端點(diǎn)重合），E,

尸分別是尸。，AC的中點(diǎn).

p

證明：EF//平面PBC.

【例3】（2024?浙江?一模）如圖，在三棱錐尸-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PCI

平面A3C,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段CE上且CV:￡F=2:1,G為三角形ABC的重心.

B

求證：GP〃平面

【鞏固練習(xí)1】（2024?山東濟(jì)南?三模）如圖所示，PDCE為矩形，ABC。為梯形，平面尸DCE，平面

ABCD,ZBAD=ZADC=90°,AB=AD=^CD=1,PD=41-

若點(diǎn)M■為山的中點(diǎn)，證明:AC〃平面MDE；

【鞏固練習(xí)2】在直三棱柱ABC-A4c中，已知。為A3的中點(diǎn).求證：BG〃平面ACO.

【鞏固練習(xí)3】(24-25高三上?福建泉州?期中)如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ZACB=90°,

CA=CB=CC,=3,。是棱8月的中點(diǎn)，尸是G。的延長(zhǎng)線與C8的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).

(1)求證：AP〃平面AC。；

(2)若點(diǎn)E在線段AP上,且點(diǎn)E為靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),求直線AtE與平面所成的角的正弦值.

【鞏固練習(xí)4】如圖，三棱柱ABC—A與G中，E,P分別是耳G和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱4瓦上,

且用歹=2AJ,證明：AP//平面EFC.

【題型5】由面面平行得出線面平行

基礎(chǔ)知識(shí)

本法原理：已知平面.〃平面4，則平面￡里的任意直線均與平面a平行

思路比較簡(jiǎn)單不過書寫步驟會(huì)繁瑣一些，一般不做第一選擇

【例1】如圖，已知三棱柱ABC-A4G為直三棱柱，MnABuZAC,為AC的中點(diǎn).

證明：4C//平面BA。

【例2X2024?貴州貴陽?二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中,

2戶分別為ARAB的中點(diǎn)，AB=2A4=4,側(cè)面瓦?℃與底面ABC。所成角為45。.

求證：8?！ㄆ矫?石尸；

【鞏固練習(xí)1】（2024?廣東深圳?高三深圳外國(guó)語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，多面體ABCDEF中，四

邊形ABCD為矩形，二面角A—CD—尸的大小為45°，DE//CF,CD±DE,AD=2,DC=3.

（1）求證：BF7/平面ADE；

【鞏固練習(xí)2】（2024?四川達(dá)州?二模）如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,

AB=BC=2AD,把梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至ABCR,E,F分別為AB,CCt中點(diǎn).

證明：EF7/平面C，A；

【鞏固練習(xí)3】（2024?江蘇南京?二模）如圖，AD//BC,AD_LAB,點(diǎn)、E、F在平面ABCA的同側(cè),

CF//AE,AD=1,AB=BC=2,平面平面ABCD,EA=EC=VL求證：3尸〃平面ADE；

【題型6】?jī)蓚€(gè)平面交線相關(guān)的平行證明

基礎(chǔ)知識(shí)

兩個(gè)平面交線相關(guān)的平行證明可以考慮補(bǔ)全圖形得到交線，也可以先找一個(gè)線面平行，得出線線平

行來代換交線，原理是由線面平行得出線線平行

【例1】如圖，四棱錐產(chǎn)一a3c9的底面為正方形，且小，面ace.設(shè)平面必夕與

平面力0的交線為《證明：（〃CB

p

【例2】（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，AD//BCS.AD='2.BC,ADLCD,EG//ADS.EG=AD,

CDUFG豆CD=2FG,OG_L平面A3C￡>,DA=￡>C=DG=2,設(shè)平面與平面￡FG的交線為/,

求證：BC//1-,

【鞏固練習(xí)1】在圓柱中，AB是圓。的一條直徑，CD是圓柱的母線，其中點(diǎn)C與A,2不

重合，M,N是線段3。的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且BM=MN=ND.若平面COM和平面C4N的交線為/,

證明：〃/平面

【鞏固練習(xí)2】（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AC=BC,A,C=A.B,

側(cè)面B4GC為矩形.記平面A8G與平面A3C交線為/,證明：AC///；

【鞏固練習(xí)3】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，設(shè)平面與平面尸BC的交線為加,

MN分別為PC,A3的中點(diǎn).

(2)求證：BCHm.

【題型7】證明線線平行

基礎(chǔ)知識(shí)

利用線面平行和面面平行證明線線平行

【例1】如圖，平面ABCD,BFH平面ADE,CF//AE.求證：AD//BC.

【例2】如圖，直四棱柱ABCD-ABCa被平面。所截，截面為CDEF,且E尸=,

DC=2AD=4AE=2,ZADC=,平面石尸。與平面ABCD所成角的正切值為《石.證明：AD//BC.

i33

【鞏固練習(xí)1］如圖所示，圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為2cm和3c為圓臺(tái)的兩條不同的

母線.9，。分別為圓臺(tái)的上、下底面圓的圓心，且△OA3為等邊三角形.求證：AB,"AB.

【鞏固練習(xí)2】（2024?甘肅?一模）如圖，空間六面體A3CDEFGH中,〃/G,

NBCD=/FGH=9仃，平面ABCD//平面所6”,。。“6為正方形，平面8DCG_L平面

ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.求證：AE11BF

【題型8】通過平行證明四點(diǎn)共面

基礎(chǔ)知識(shí)

通過線線平行得出四點(diǎn)共面

【例1】如圖，在直三棱柱ABC-AqG中，AB1AC,AAl=AB=AC=2,M,N,P分別為AB,

BC,4月的中點(diǎn)

(1)求證：3P〃平面￡MN；(2)求證：尸、M、C、C］四點(diǎn)共面;

【鞏固練習(xí)1】(2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PC,平面A3CD,AB//CD,

點(diǎn)E在棱PB上，PE=2EB,HF,〃是棱上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G是棱PZ)的中

2

點(diǎn).PC=CB=CD=qAB=2,AC=713.

證明：平面CFG,且C,E,F,G四點(diǎn)共面;

【鞏固練習(xí)2】如圖，多面體ABCGDEF中，AB,AC,AD兩兩垂直，平面ABC//平面。石尸G,平

面BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.判斷點(diǎn)B,C,F,G是否共面，并說明理

由.

【鞏固練習(xí)3】如圖，在長(zhǎng)方體ABC?！狝gGQ中，點(diǎn)石，尸分別在棱。。i上，2DE=ED1,

BF=2FB1,證明：點(diǎn)G在平面隹/內(nèi)?

【題型9】平行關(guān)系的應(yīng)用：等積變形求體積

基礎(chǔ)知識(shí)

等積變形求體積，即形狀改變但體積不變。通過計(jì)算變形前后的體積相等

【例1】已知正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為1,尸是線段用C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐A-PCQ的

體積是否為定值？請(qǐng)說明理由

DiCi

AB

【例2】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A4GA中，力4,N,尸分別是GC,AA的中點(diǎn),

則三棱錐P—MNB的體積為________

DiMc

【例3】（多選）如圖，在正方體A3CD-A4GA中，相=血,尸為線段BG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確

的是（）

B.DP〃平面4BQ

C.三棱錐尸-AC，的體積為定值④

D.AP+PC的最小值為6+1

【鞏固練習(xí)1】在正方體A3CD-a瓦G2中，E為8片的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足加=4星，2e[0,l],

則三棱錐尸-A，E的體積與丸的值是否有關(guān)？請(qǐng)說明理由.

【鞏固練習(xí)2】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD-AgGR中，點(diǎn)E,P分別為棱。Q,GR的中

點(diǎn)，三棱錐B-AEF的體積為

【鞏固練習(xí)3】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A3C。-4片G0中，點(diǎn)尸在平面A片，內(nèi)，則三棱錐

G-P8。的體積為.

【題型10］平行的存在性問題（確定點(diǎn)的位置）

基礎(chǔ)知識(shí)

平行存在性問題：過定點(diǎn)構(gòu)造出平行平面（過相關(guān)點(diǎn)作2次平行）

通過面面平行的性質(zhì)來得到線面平行

【例1】如圖1,VABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)。E分別在線段AC,上，且AE=1,AT>=2,

沿DE將VADE翻折到△PDE的位置，使得PB=5,如圖2.

在線段依上是否存在點(diǎn)M,使得行〃平面口，若存在，求出面的值；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

4

【例2X2024?四川樂山?三模）在三棱柱ABC-44G中，點(diǎn)。在棱8用上，滿足匕_BccQ=g%c.gc,，

_______.NB

點(diǎn)/在棱AG上，且,點(diǎn)N在直線8為上，若〃平面AE>G，則加=（）

IV%

A.2B.3C.4D.5

【例3】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-4耳GQ中，E、P分別為他、的中點(diǎn)，則點(diǎn)尸為正方形

A與GA內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)。P〃平面耳￡廠時(shí)，O尸的最小值為（）

23加

A.3B.ra---

24

【例4】如圖，在正方體ABC。-A4CQ中，點(diǎn)P為線段QB上的動(dòng)點(diǎn)，M,N分別為棱BC,AB

D、P

的中點(diǎn)，若DP//平面片MN,則六=.

【鞏固練習(xí)1】在三棱柱ABC-44G中，點(diǎn)。、A分別是AC、4G上的點(diǎn)，且平面BQD//平面AB}DX,

試求券AD的值.

【鞏固練習(xí)2】在四棱錐P-ABCD中，底面A5co為平行四邊形,E為線段/D上靠近A的三等分點(diǎn),

方為線段PC上一點(diǎn)，當(dāng)B4//平面防尸時(shí)，—=()

1￡

C.D.

4

【鞏固練習(xí)3】在三棱柱ABC—A4G中，點(diǎn)。在棱54上，且5耳=43。，點(diǎn)M為AG的中點(diǎn)，點(diǎn)

一工」NB

N在棱5片上，若MN//平面AOG，貝4宙=

A.2B.3C.4D.5

【鞏固練習(xí)4】如圖，已知等腰梯形ABCD中，4￡>〃8。,43=4。=4小7=2,后是2（^的中點(diǎn),

2

AE（^BD=M,將^BAE沿著AE翻折成△耳AE,使平面4AE，平面AECD.

⑴求證：CDL平面片DW；

（2）在線段耳。上是否存在點(diǎn)尸，使得MP//平面與A。，若存在，求出券的值；若不存在，說明理

由.

【題型11］平行的存在性問題（確定動(dòng)點(diǎn)軌跡）

基礎(chǔ)知識(shí)

動(dòng)點(diǎn)軌跡即為兩個(gè)平面的交線

【例1】如圖，在邊長(zhǎng)為近的正方體ABC。-44GA中，點(diǎn)M在底面正方形A3CZ）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若

4"〃平面R4c,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為

【例2】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A耳G2中，AB=2BC=2CQ=4,E,F分別為BC,CQ的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在矩形BCG用內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），若4/〃平面AEF,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

c.2V2D.

[例3]（23-24高三上?北京朝陽?期末）如圖，在正方體A3。-A用G2中，點(diǎn)”是平面4801口內(nèi)

一點(diǎn)，且MB〃平面ACQ,則tanNDA/p的最大值為（）

【鞏固練習(xí)1】如圖，在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)。，E分別為棱PB,BC的中點(diǎn).若點(diǎn)F在線段AC上,

AF

且滿足AD〃平面尸跖，則——的值為（）

FC

12

C.D.

27

【鞏固練習(xí)2】（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖,正三棱柱ABC-A4G的底面邊長(zhǎng)是2,側(cè)棱長(zhǎng)是

2拓，M為AG的中點(diǎn)，N是側(cè)面BCG用上一點(diǎn)，且腦V//平面ABCX,則線段MN的最大值為（）

AB

C

“

C1

A.2A/2B.2C.72D.4

【鞏固練習(xí)3】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M是AA的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是側(cè)面CDDg

上的動(dòng)點(diǎn)，且〃截面做C,則線段M尸長(zhǎng)度的取值范圍是()

AG

AB

A.］乎,3B.［也，網(wǎng)

C.悸，同D.p,3］

【題型12］截面問題(通過作平行線或延長(zhǎng)線補(bǔ)全截面)

基礎(chǔ)知識(shí)

一、如何做截面？

作出過EFG三點(diǎn)的截面

法一：作平行線并標(biāo)出棱