2025年陜西西安中學(xué)高三二模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁陜西省西安中學(xué)高2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)，其中i為虛數(shù)單位．則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．在矩形ABCD中，，則以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．4．已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是（

）A． B． C． D．5．若（a，b為有理數(shù)），則a=（

）A．-25 B．25 C．40 D．416．在研究變量與之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（

）A．8 B．12 C．16 D．207．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，且都有成立．若，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．8．設(shè)是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）．A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分．9．如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．四邊形的面積為 D．四邊形的周長為10．若曲線（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．111．甲、乙兩個(gè)口袋各裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．把從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球放入對方口袋中稱為一次操作，重復(fù)n次操作后，甲口袋中恰有0個(gè)紅球，1個(gè)紅球，2個(gè)紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．

C． D．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線右支上，若，則.13．在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的倍．14．把1?2?3?4?5這五個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先遞增后遞減，則這樣的數(shù)列共有.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)（ω＞0，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0πx020－20(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求使成立的x的取值集合．16．已知平面上動點(diǎn)到的距離比到直線的距離小1，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為（在第一象限），若過點(diǎn)的直線與曲線交于M，N兩點(diǎn)，證明：．17．已知函數(shù)．(1)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．18．如圖1，是等邊三角形，為等腰直角三角形，，將沿AC翻折到的位置，且點(diǎn)不在平面內(nèi)（如圖2），點(diǎn)在線段PB上（不含端點(diǎn)）．(1)證明：；(2)若直線PC與AB所成角的余弦值為．（i）當(dāng)直線PB與平面所成角為60°時(shí)，求PF；（ii）設(shè)平面與平面的夾角為，求的取值范圍．19．材料一：在伯努利試驗(yàn)中，記每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，試驗(yàn)進(jìn)行到事件第一次發(fā)生時(shí)停止，此時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為，其分布列為，我們稱服從幾何分布，記為.材料二：求無窮數(shù)列的所有項(xiàng)的和，如求，沒有辦法把所有項(xiàng)真的加完，可以先求數(shù)列前項(xiàng)和，再求時(shí)的極限：根據(jù)以上材料，我們重復(fù)拋擲一顆均勻的骰子，直到第一次出現(xiàn)“6點(diǎn)”時(shí)停止.設(shè)停止時(shí)拋擲骰子的次數(shù)為隨機(jī)變量.(1)證明：；(2)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；(3)求隨機(jī)變量的方差.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)模的計(jì)算，結(jié)合充分性和必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以．令，解得或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A2．A【分析】由題意可得，根據(jù)勾股定理求出，利用橢圓的定義即可求離心率.【詳解】由題知：，則，因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以由橢圓的定義知：，即，所以.故選：A.3．A【分析】易知，由時(shí)，，根據(jù)在區(qū)間上是增函數(shù)，由求解.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以，則，所以，則的最大值是，故選：A4．B【分析】兩圓方程作差即可.【詳解】由圓，圓，兩式作差得，，即，所以兩圓的公共弦所在直線方程是.故選：B.5．D【解析】先求得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，然后令求解.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：，則，故選：D6．C【分析】由題意，求出剔除后的平均數(shù)，進(jìn)而求出剔除前的平均數(shù)，根據(jù)回歸直線必過樣本點(diǎn)中心得到，進(jìn)而得到，將點(diǎn)代入，即可求解.【詳解】設(shè)沒剔除兩對數(shù)據(jù)前的平均數(shù)分別為，，剔除兩對數(shù)據(jù)后的平均數(shù)分別為，，因?yàn)椋?，，則，所以，又因?yàn)椋?，解?故選：C.7．A【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得在上為增函數(shù)，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又由對任意，且，都有成立，則函數(shù)在上為增函數(shù)，又，，，又，所以，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，知，又，所以，故，故選：A．8．C【分析】根據(jù)題意算出，可得且，由此對各項(xiàng)的結(jié)論加以判斷，即可得結(jié)論．【詳解】，，，即且，，且，兩邊都除以，得，可得．對于A，由，可得，故A項(xiàng)不正確；對于B，由于，所以不成立，故B不正確；對于C，因?yàn)?，所以，可得．結(jié)合，可得，故C正確；對于D，根據(jù)且，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)不成立，故D不正確．故選：C．9．BC【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到各邊長，結(jié)合，求出；B選項(xiàng)，由斜二測法可知；C選項(xiàng)，作出原圖形，求出各邊，由梯形面積公式得到C正確；D選項(xiàng)，在C基礎(chǔ)上，求出各邊長，得到周長.【詳解】A選項(xiàng)，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，因?yàn)榈妊菪沃校?，所以，又，所以，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由斜二測法可知，B正確；C選項(xiàng)，作出原圖形，可知，，，⊥，故四邊形的面積為，C正確；D選項(xiàng)，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，由勾股定理得，四邊形的周長為，D錯(cuò)誤.故選：BC10．AD【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得出斜率，利用點(diǎn)斜式得到切線方程，因?yàn)榍芯€過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得到，有兩條切線轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等的實(shí)根，即可求出a的取值范圍，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線的斜率，則此曲線在P處的切線方程為，又此切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，由此推出有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，解得或，故選：AD．11．ABD【分析】對于A項(xiàng)，重復(fù)一次操作，甲袋中有1紅的情況有兩種，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算即得；對于B項(xiàng)，運(yùn)用條件概率公式，分別算出和代入公式計(jì)算即得；對于C項(xiàng)，運(yùn)用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即得；對于D項(xiàng)，運(yùn)用相容事件的并的概率公式計(jì)算即得.【詳解】因在操作前，甲袋中：1紅2白，乙袋中：1紅2白．對于A項(xiàng)，重復(fù)1次操作，甲口袋中有1紅的概率，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，，，，故，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因事件與相互獨(dú)立，則，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對所求事件所包含的情況的判斷，求若干事件的并的概率，需要判斷互斥還是相容，對于條件概率題，要么用樣本空間中基本事件數(shù)計(jì)算，要么用概率公式計(jì)算，對于積事件的概率應(yīng)先判斷兩事件的獨(dú)立性，再用公式求.12．【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得，再利用余弦定理求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支上，且，則，又，在中，由余弦定理可得，，所以.故答案為：.

13．2【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求得點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離，即可求解.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)平面的法向量為，則，則，取，則，所以，，，所以點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為,所以，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的2倍.故答案為：2.14．14【分析】根據(jù)題意，5為遞增和遞減的分界點(diǎn)，分情況求出總數(shù)即可．【詳解】該數(shù)列為先增后減，則5一定是分界點(diǎn)，且前面的順序和后面的順序都只有一種，當(dāng)5前面只有一個(gè)數(shù)時(shí)，有4種情況，當(dāng)5前面只有2個(gè)數(shù)時(shí)，有種情況，當(dāng)5前面有3個(gè)數(shù)時(shí)，有4種情況，故一共有．故答案為：14.15．(1)表中數(shù)據(jù)見解析，；(2)【分析】（1）根據(jù)表示數(shù)據(jù)可得函數(shù)的最值、周期和取得最值時(shí)的的值，然后可得答案；（2）由條件可得，然后解出即可.【詳解】（1）表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整為：0πx020－20（2）由可得所以，解得所以使成立的x的取值集合為16．(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）直接法得到，分和兩種情況，進(jìn)行化簡，舍去不合要求的方程，求出曲線的方程為；（2）設(shè)，求導(dǎo)，得到過點(diǎn)的切線斜率為，結(jié)合兩點(diǎn)間斜率公式得到方程，求出，，軸，要使，只需，設(shè)直線的方程，聯(lián)立，求出兩根之和，兩根之積，計(jì)算出，證畢.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，平方化簡得，當(dāng)時(shí)，，平方化簡得，由可知，不合題意，舍去，綜上，曲線的方程為；（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，故過點(diǎn)的切線斜率為，又直線的斜率為，故，解得，故，又，所以軸，要使，只需，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，解得或，設(shè)，則，則，故，此時(shí)直線的斜率取值范圍是.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由參數(shù)分離整理不等式，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的最值，可得答案；（2）根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可得極值點(diǎn)的取值范圍以及等量關(guān)系，整理所證的不等式，可得答案.【詳解】（1）由，則可得不等式，由，則，令，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可得.（2）由，則，令，求導(dǎo)可得在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，即，由，則，所以.18．(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）取中點(diǎn)為，由題意可得，再結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證明；（2）（i）設(shè)，則，由，可得，即兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出的坐標(biāo)，結(jié)合題意利用線面角的向量求法即可求解.（ii）利用二面角的向量求法可得，令，則，可得，所以，繼而即可求解.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?（2）（i）因?yàn)闉榈妊切?，，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，設(shè)，所以，，，所以，，所以或，又因?yàn)?，所以，所以兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以，解得或0（不符合題意，舍去），所以，即.（ii）設(shè)平面的法向量為，，則，取，得，所以，令，則，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查線面角、二面角的向量求法，關(guān)鍵是需要建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知平面，所以需證明，設(shè)，以為基底來表示與，