幾何圖形初步（講義）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第15講幾何圖形初步[2大考點(diǎn)10大題型】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

題型1直線、射績口線段

題型2線段長度的相關(guān)計(jì)算

題型3確定線段之間的關(guān)系

題型4與角平分線相關(guān)的計(jì)算

題型5與對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角相關(guān)的計(jì)算

[1題型6確定角度之間的關(guān)系

)：題型7平行線的性質(zhì)

考點(diǎn)二相交線與平行線

題型8平行線的判定

幾何圖形初步題型9平行線與幾何教具的綜合考查

題型10平行線的實(shí)際應(yīng)用

新考向：新考法)

新考向：新趨勢)

特色專項(xiàng)練新考向：新情境)

新考向：跨學(xué)科)

中考真題練

⑵相交線：當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就稱這兩條直線相交。這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)。

(3)兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡稱：兩點(diǎn)之間，線段最短。

連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離。

(4)線段的中點(diǎn)：線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)。

(5)直線沒有端點(diǎn)，向兩方無限延伸，不可度量;

射線有一個(gè)端點(diǎn)，向一方無限延伸，不可度量;

線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不向任何一方延伸，能度量。

2、角

⑴定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，兩條射線是角的兩條邊。

⑵角的度量

1°=60',1'=60"

⑶角的分類

①銳角（0°<a<90。）

②直角（a=90。）

③鈍角（90。<a<180°）

④平角（a=180。）

⑤周角（a=360°）

⑷角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。

⑸角平分線的性質(zhì)與判定：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

（6）余角與補(bǔ)角

余角：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90。（直角），就說這兩個(gè)角互為余角。

補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180。（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。

性質(zhì)：同角（等角）的余角相等。同角（等角）的補(bǔ)角相等。

典例分析

【題型1直線、射線和線段】

【例1】（2024.江蘇常州?中考真題）如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)。為支點(diǎn)，使其向右傾斜.若在點(diǎn)A處分別施

加推力a、F2,則&的力臂0力大于F2的力臂。從這一判斷過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A.垂線段最短

B.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

C.兩點(diǎn)確定一條直線

D.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】A

【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線特點(diǎn)，垂線段最短，根據(jù)圖形分析得到過點(diǎn)。有OB1

AB,進(jìn)而利用垂線段最短得到。4>0B即可解題.

【詳解】解：???過點(diǎn)。有。

0A>0B,

即得到出的力臂。4大于尸2的力臂0B,

其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，

故選：A.

【變式1-1]（2024?吉林?中考真題）如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近,

其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是.

--------------aIk

長春站

O長壽站

Q

歐亞越市中備普運(yùn)中心站

K

民

西廣場大

金

【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短

【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，熟記相關(guān)結(jié)論即可.

【詳解】從長春站去往勝利公園，走人民大街路程最近，

其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：兩點(diǎn)之間，線段最短

故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短.

【變式1-2]（2024?浙江溫州?中考真題）下面給出的四條線段中，最長的是（）

A.aB.bC.cD.d

【答案】D

【分析】本題考查線段的應(yīng)用，通過觀察比較即可得出答案.

【詳解】解：通過觀察比較：d線段長度最長.

故選：D.

【變式1-3］（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最

多有6個(gè)交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有個(gè)交點(diǎn)

【答案】190

【分析】根據(jù)題目中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出踐條直線相交最多有的交點(diǎn)個(gè)數(shù)公式：jn（n-l）.

【詳解】解：2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；

3條直線相交最多有1+2=3=|x3x2個(gè)交點(diǎn)；

4條直線相交最多有1+2+3=6=?x4x3個(gè)交點(diǎn)；

5條直線相交最多有1+2+3+4=10=1x5x4個(gè)交點(diǎn)；

20條直線相交最多有］x20x19=190.

故答案為：190.

【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即71條直線相交最多有（踐5-

1）.

【題型2線段長度的相關(guān)計(jì)算】

【例2】（2024?四川達(dá)州.二模）如圖，點(diǎn)C在線段4B上，圖中三條線段中，若有一條線段長是另一條線段

長的兩倍，則稱點(diǎn)C是線段力B的“巧分點(diǎn)”.已知AB=6,點(diǎn)C是線段力B的“巧分點(diǎn)”，則BC=.

II1

ACB

【答案】2或4或3

【分析】本題考查了線段上兩點(diǎn)間的距離，當(dāng)點(diǎn)C是線段的“巧分點(diǎn)”時(shí)，可能有=2AC,AC=2BC和

AB=2AC=2BC三種情況，分類討論計(jì)算即可.分類討論并根據(jù)題意正確列式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C是線段4B的“巧分點(diǎn)”時(shí)，可能有BC=24C、AC=2BC、

AB=2AC=2BC三種情況，

①BC=22C時(shí)，AC==|x6=2,

AcB

②AC=28c時(shí)，AC=-AB=-x6=4,

33

]]]

AcB

③AB=2AC=2BC時(shí)，AC=-AB：=-x6=3

22

1__i

ACB

故答案為：2或4或3.

【變式2-1](2024?河北秦皇島?一模)如圖，點(diǎn)A,B,C在直線/上，AB=m,BC=nAB,m,“滿足—3|+

(n-2)2=0.

—?--?—-----?—I

PABC

(1)求線段AC的長.

(2)P為線段B4延長線上一點(diǎn)，若以P4AB,BC的長為邊長的三角形為等腰三角形，求線段PC的長.

【答案】⑴9

⑵15

【分析】(1)由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得m=3,n=2,可得4B=3,BC=2AB=6,再結(jié)合線段的和差關(guān)系可

得答案；

(2)分情況討論，結(jié)合等腰三角形的定義可得24=6,再結(jié)合線段的和差可得答案.

【詳解】(1)解：；|巾-3|+5-2)2=0,

/.m-3=0,n—2=0,

解得：m=3,n=2,

".'AB-m,BC=nAB,

：.AB=3,BC=2AB=6,

：.AC=AB+BC=3+6=9；

(2)解：：aB=3,BC=6,以24,AB,BC的長為邊長的三角形為等腰三角形，

當(dāng)24=3時(shí)，3+3=6,不符合題意，舍去,

當(dāng)尸a=6時(shí)，3+6>6,符合題意；

：.PC=PA+AC=6+9=15；

【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段的和差運(yùn)算，等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，掌握

相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2024?山東苗澤?中考真題）已知線段AB=8cm,在直線AB上畫線段BC,使它等于3cm,則

線段AC=cm.

【答案】5或11

【分析】由于C點(diǎn)的位置不能確定，故要分兩種情況考慮AC的長，注意不要漏解.

【詳解】由于C點(diǎn)的位置不確定，故要分兩種情況討論：

當(dāng)C點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖所示：

ABC

III

AC=AB+BC=8+3=llcm；

當(dāng)C點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖所示：

_AI__CIBI_

AC=AB-BC=8-3=5cm；

所以線段AC等于11cm或5cm.

【變式2-3］（2024?河南駐馬店?一模）有公共端點(diǎn)尸的兩條線段MP,NP組成一條折線M-P-N,若該折

線M-P-N上一點(diǎn)Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)Q叫做這條折線的“折中點(diǎn)”.已知點(diǎn)。是

折線4—C—B的“折中點(diǎn)”，點(diǎn)E為線段4C的中點(diǎn)，CD=3,CE=4,則線段BC的長是（）

A.2B.4C.2或14D.4或14

【答案】C

【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差計(jì)算.根據(jù)題意運(yùn)用分類討論畫出兩個(gè)圖形，運(yùn)用線段中點(diǎn)的

定義與線段的和差即可解答.

【詳解】分兩種情況討論：

①如圖，CD=3,CE=4,

c

A.

???點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，

：.AC=2CE=2X4=8,

：.AD=AC-CD=8-3^5,

???點(diǎn)r＞是折線4-c-B的“折中點(diǎn)”,

：.ADDC+CB,即5=3+CB

：.BC=2；

:點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，

：.AC=2CE=2X4=8,

:點(diǎn)D是折線a-C-B的“折中點(diǎn)”，

：.BD=AC+CD=8+311,

：.BC=BD+CD=11+3=14；

綜上所述，線段BC的長為2或14.

故選：C

【題型3確定線段之間的關(guān)系】

【例3】(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測)如圖，已知M是線段2B的中點(diǎn)，N是4M上一點(diǎn)且滿足MN=24N,P

為BN的中點(diǎn)，則4B=()MP.

AyM~PB

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】設(shè)AN=x,利用MN=24N求出MN=2x,AM=3AN=3x,根據(jù)M是線段4B的中點(diǎn)，求出

BN=BM+MN=5x,根據(jù)P為BN的中點(diǎn)，求出MP=BM-BP=0.5x,列得空＞=2=12,求出答案.

MP0.5%

【詳解】設(shè)AN=x,

〈MN=24V,

???MN=2x,AM=3AN=3x,

是線段的中點(diǎn),

/.BM=AM=3x,AB=6x,

ABN=BM+MN=5x,

??,尸為BN的中點(diǎn)，

ABP=2.5x,

.*.MP=BM-BP=0.5x,

,AB__6%_1

MP0.5X

即AB=12MP,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查線段的和差計(jì)算，線段中點(diǎn)的計(jì)算，理解圖形中各線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2024.江西?中考模擬）如圖，C,B是線段AD上的兩點(diǎn)，若4B=CD,BC=2AC,則AC與

CD的關(guān)系為（）

I???

ACBD

A.CD=2ACB.CD=3ACC.CD=4ACD.不能確定

【答案】B

【分析】由AB=CD,可得AC=BD,又BC=2AC,所以BC=2BD,所以CD=3AC.

【詳解】：AB=CD,

；.AC+BC=BC+BD,

即AC=BD,

又：BC=2AC,

；.BC=2BD,

；.CD=3BD=3AC.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段長短的比較，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性.同

時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點(diǎn).

【變式3-2]（2024?黑龍江哈爾濱?二模）如圖，A、B、C、。依次是直線加上的四個(gè)點(diǎn)，且線段力B+CD=5,

則線段2D—BC=

m

BD

【答案】5

【分析】根據(jù)圖形得出AD-BC=AB+CD即可求解.

【詳解】解：???A8+C￡)=5,

：.AD-BC=AB+CD=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】題目主要考查線段的和差，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](2024?江蘇?模擬預(yù)測)如圖，點(diǎn)C在線段4B上，點(diǎn)〃、N分別是的中點(diǎn).

IIIII

AMCNB

⑴若AC=9cm,CB=6cm,求線段MN的長；

(2)若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足4C+C8=acm,其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請(qǐng)直接寫出你

的答案.

⑶若C在線段4B的延長線上，且滿足AC-BC=bcm,M、N分別為AC,BC的中點(diǎn)，你能猜想MN的長度嗎？

請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

【答案】⑴7.5cm

(2)MN=(acm

(3)MN=|b,圖形見解析；結(jié)論理由見解析

【分析】(1)根據(jù)分別是4C,BC的中點(diǎn)，可得MC=[4C,CN=?BC,從而得到MN=MC+CN=1AC+

|BC-|(XC+BC),即可求解；

(2)根據(jù)M、N分別是4C,BC的中點(diǎn)，可得MC=|4C,CN=^BC,從而得到MN=MC+CN=+(BC=

l(AC+BC),即可求解；

(3)根據(jù)M、N分別是4C,BC的中點(diǎn)，可得MC=24C,CN=gBC,從而得到MN=MC-CN=2AC-(BC=

^AC-BC),即可求解.

【詳解】(1)解：N分別是4C,BC的中點(diǎn)，

：.MC^-AC,CN=-BC,

22

AC=9cm,CB=6cm,

：.MN=MC+CN=|XC+|FC="AC+BC)=*9+6)=7.5cm；

(2)解：：“、N分別是4C,BC的中點(diǎn)，

：.MC^-AC,CN=-BC,

22

AC+CB=acm,

-1-1-1-1

：.MN=MC+CN=-AC+-BC=±Q4C+BC)=±acm；

222',2

(3)解：MN=^b,理由如下：

如圖，

I1111

AMBNC

VM>N分別是AC,BC的中點(diǎn)，

：.MC^^AC,CN=^BC,

\9AC—BC=bcm,

：.MN=MC-CN=-AC--BC^-(AC-BC)=4cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，明確題意，準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【題型4與角平分線相關(guān)的計(jì)算】

【例4X2024?山東東營?中考真題)如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)。，射線OM平分NB。。,若乙40c=42。,則乙4OM

等于()

A.159°B.161°C.169°D.138°

【答案】A

【分析】先求出NAOD=18(F-/AOC,再求出NBOD=18(r-NAOD,最后根據(jù)角平分線平分角即可求解.

【詳解】解：由題意可知：ZAOD=180o-ZAOC=180°-42o=138°,

ZBOD=180°-ZAOD=42°,

又：OM是NBOD的角平分線，

.,.ZDOM=iZBOD=21°,

2

ZAOM=ZDOM+ZAOD=21°+138°=159°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及平角的定義，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和平角的定義是解決此類題的

關(guān)鍵.

【變式4-1］（2024?山東日照?中考真題）如圖，4。是NC4E的平分線，48=35。，ND4C=60。，則乙4CD等

于（）

A.25°B.85°C.60°D.95°

【答案】D

【分析】本題考查求角度，涉及角平分線定義、平角定義及三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，先由角平分線定義得到

Z.DAE-Z.DAC=60°,進(jìn)而由平角定義得到NB4C=60。，再由外角性質(zhì)即可得到答案，熟練掌握三角形外

角性質(zhì)求角度是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：AD是NC4E的平分線，ND4c=60。，

.-./.DAE=Z.DAC=60°,

ABAC=180°-2^DAC=180°-60°X2=60°,

???N4CD是AABC的一個(gè)外角，ZB=35。，

.-.Z.ACD=+/.BAC=35°+60°=95°,

故選：D.

［變式4-2］（2024?四川樂山?中考真題）如圖,E是直線C4上一點(diǎn),AFEA=40°,射線EB平分NCEF,GE1￡尸.則

乙GEB=（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】先根據(jù)射線EB平分NCEF,得出NCEB=/BEF=70。，再根據(jù)GE_LEF,可得NGEB=NGEF-NBEF

即可得出答案.

【詳解】?：^FEA=40°,

：.ZCEF=140°,

?.?射線E8平分NCEF,

NCEB=/BEF=7Q°,

VGE1EF,

：.ZGEB=ZGEF-ZBEF=90o-70o=20°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，補(bǔ)角，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

【變式4-319.（2024?湖南益陽?中考真題）如圖，與CD相交于點(diǎn)O,0E是乙40C的平分線，且。C恰好

平分NE0B,貝=度.

【答案】60

【分析】先根據(jù)角平分線的定義、平角的定義可得NCOB=60。，再根據(jù)對(duì)頂角相等即可得.

【詳解】解：設(shè)乙4OC=2x,

????！晔荖ZOC的平分線，

Z.AOE=Z.EOC=-Z.AOC=x,

2

V0C平分乙EOB,

???/.COB=Z.EOC=x,

又???/.AOE+/.EOC+乙COB=180°,

x+x+x=180°,

解得x=60°,即NCOB=60°,

由對(duì)頂角相等得：乙4。。=ACOB=60°,

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義、對(duì)頂角相等，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)二卜相交線與求行爰

知識(shí)導(dǎo)航

1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角

鄰補(bǔ)角：有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個(gè)角，叫做互為鄰補(bǔ)角。

對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。

對(duì)頂角相等。

2、垂線

(1)定義：兩直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角時(shí)，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另外一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

⑵性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;

連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。

(3)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

3、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

如圖，N1和N4是同位角，/3和/4是內(nèi)錯(cuò)角，N2和N4是同旁內(nèi)角。

4、平行線

⑴定義：在平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。

⑵平行公理

經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

(3)平行線的性質(zhì)

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；

兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

(4)平行線的判定

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行；

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。

典例分析

【題型5與對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角相關(guān)的計(jì)算】

【例5】（2024.廣東深圳.中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側(cè)面圖，乙DEF=120°,DE與地面平行，N4BD=

50°,貝lUacB=（）

【答案】A

【分析】根據(jù)平行得到NABD=乙EDC=50。，再利用外角的性質(zhì)和對(duì)頂角相等，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：DE||AB,

=乙EDC=50°,

；4DEF=Z.EDC+Z.DCE=120°,

."DCE=70°,

：.Z.ACB=乙DCE=70°；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1]（2024?北京?中考真題）如圖，點(diǎn)。在直線力B上，OC1OD.若乙4。。=120。，貝UNB。。的大小

為（）

C.50°D.60°

【答案】A

【分析】由題意易得NC08=60。，Z.COD=90°,進(jìn)而問題可求解.

【詳解】解：：點(diǎn)。在直線4B上，0C10D,

：./LAOC+乙COB=180°,乙COD=90°,

'：/LAOC=120°,

SB=60°,

:.乙BOD=90°-乙COB=30°；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2024?福建莆田?中考真題）將一副三角尺按如圖所示放置，則Nl=_度.

【答案】105

【分析】本題考查了三角尺的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.由

三角尺的性質(zhì)可知，^BAE=30°,^ABE=45°,先利用三角形外角的性質(zhì)，求出NBEC的度數(shù)，再利用鄰

補(bǔ)角，即可求出41的度數(shù).

【詳解】解：如圖，由三角尺的性質(zhì)可知，NB4E=30。，/.ABE=45°,

???NBEC是AABE的外角，

.-.乙BEC=/-BAE+/.ABE=75°,

AZ1=180°-^AEB=105°,

故答案為：105.

【變式5-3］（2024?河北?中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），4E與BD的交點(diǎn)為C,且乙4,NB,

NE保持不變.為了舒適，需調(diào)整ND的大小，使NEFD=110。，則圖中ND應(yīng)_________（填“增加”或“減少”）

度.

【答案】減少10

【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到NE。尸與/。、NE、NOCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即

可判斷.

【詳解】解：VZA+ZB=50o+60o=110°,

二ZACB=180°-110o=70°,

ZDCE=10°,

如圖，連接CF并延長，

ZDFM^ZD+ZDCF=20°+ZDCF,

ZEFM=ZE+ZECF=30°+ZECF,

：.ZEFD=ZDFM+ZEFM=20°+ZDCF+30°+ZECF=50°+ZDCE=50°+70°=l20°,

要使NEF￡)=110。，則/EFD減少了10°,

若只調(diào)整的大小，

由ZEFD=ZDFM+ZEFM=ZD+ZDCF+ZE+ZECF=ZD+ZE+ZECD=Z￡>+30°+70°=Z￡)+100°,

因此應(yīng)將/。減少10度；

故答案為：①減少；②10.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時(shí)涉及到了三角形的內(nèi)角和與對(duì)頂角相等的知識(shí)；解決本題的關(guān)

鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含了

數(shù)形結(jié)合的思想方法.

【題型6確定角度之間的關(guān)系】

[例6](2024.北京.模擬預(yù)測)如圖1,AB||CD,在AB、CD內(nèi)有一條折線EPF.

圖1圖2

⑴求證：乙AEP+乙CFP=KEPF.

(2)如圖2,已知N8EP的平分線與NDFP的平分線相交于點(diǎn)Q,試探索NEPF與NEQF之間的關(guān)系.

(3)已知N8EQ=；NBEP,4DFQ=；ADFP,有NP與NQ有什么關(guān)系.(直接寫結(jié)論)

【答案】(l)^AEP+乙CFP=4EPF

(2)NEPF+2乙EQF=360°

(3)NP+nzQ=360°

【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，平行公理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是熟記平行

線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.

(1)首先過點(diǎn)尸作PGII4B,然后根據(jù)ABIICD,PGWCD,可得乙4EP=Nl,zCFP=Z2,據(jù)此判斷出NAEP+

乙CFP=NEPF即可.

(2)首先由(1),可得NEPF=NAEP+CFP,乙EQF=乙BEQ+乙DFQ；然后根據(jù)NBEP的平分線與乙DFP的

平分線相交于點(diǎn)。，推得NEQF=|x(360O-NEPF),即可判斷出NEPF+2/EQF=360。.

_1-1

(3)首先由(1),可得/。=^AEP+CFP,Z.Q=NBEQ+NDFQ；然后根據(jù)N8EQ=-Z.BEP,Z.DFQ=*DFP,

推得NQ=ix(360°-乙P),即可判斷出NP+n^Q=360°.

【詳解】(1)證明：如圖1,過點(diǎn)P作PGII4B,

圖1

'：AB\\CD,

：.PG\\CD,

J.Z.AEP=zl,Z.CFP=Z2,

XVzl+Z2=乙EPF,

：.Z.AEP+Z.CFP=乙EPF.

(2)如圖2,

圖2

由(1),可得NEPF=N4EP+CFP,4EQF=4BEQ+乙DFQ,

：NBEP的平分線與NDFP的平分線相交于點(diǎn)Q,

11

:.乙BEQ=上乙BEP,乙DFQ=-ADFP,

4EQF=乙BEQ+乙DFQ=|[4BEP+乙DFP),

又?：乙BEP=180°-Z.AEP,Z.DFP=180°-Z.CFP,

:.乙BEP+乙DFP=360°-(N4EP+ZCFP),

:.乙EQF=jx[360°-"EP+"FP)],

即：2乙EQF+{Z.AEP+4CFP)=360°,

."EPF+2NEQF=360°.

(3)由(1),可得NP=N4EP+CFP,4Q=4BEQ+乙DFQ,

9：Z.BEQ="1BEP,(DFQ="1DFP,

JZ.Q=Z.BEQ+(DFQ=1"BEP+乙DFP)

1

=—[360°-^AEP+ZCFP)]

n

=i(360°-zP),

n

/.Z-P+n乙Q=360°.

【變式6-1](2024?浙江衢州?中考真題)已知：如圖，AB1CD,垂足為0,則N1與42的關(guān)系一定成立的是

()

D

A.相等B.互余C.互補(bǔ)D.互為對(duì)頂角

【答案】B

【分析】本題考查了對(duì)頂角，互補(bǔ)、互余的概念，根據(jù)圖示可得N1=乙4OF,根據(jù)力B1CD可得440D=90°=

Z.AOF+Z2,由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，zl=AAOF,

,：AB1CD,

J.^AOD=90°=Z.AOF+42,

?.zl+42=90°,

.31與42互余，

故選：B.

【變式6-2］（2024?山西太原?一模）綜合與探究：如圖，射線0B在04上方，射線。C在。4下方，^AOB=a,

乙AOC=B（0°<a<90°,0°<p<90"）,OP與。Q分另ij是44。8和NAOC的平分線.

操作發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)a=40°,￡=60°時(shí)，求NPOQ的度數(shù)；

（2）繼續(xù)探究，當(dāng)a=40°固定不變，把￡擴(kuò)大為80。時(shí)，求NPOQ的度數(shù)；

探索發(fā)現(xiàn)：（3）在完成（1）（2）時(shí)，小亮發(fā)現(xiàn)NPOQ與a,0之間存在一個(gè)固定關(guān)系，你認(rèn)為小亮說的

對(duì)嗎?請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)50°；(2)60°；(3)小亮的說法正確，見解析

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，=乙4OQ=1N40C,代入數(shù)值計(jì)算后再相加即可.

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，乙40P=[乙4OB/aOQ=：乙4OC,代入數(shù)值計(jì)算后再相加即可.

(3)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，N40P=1N40C,代入a與￡后再相力口即可.

【詳解】解：⑴當(dāng)a=40°,0=60"時(shí),

AAOB=40°,"。。=60".

???OP與。Q分另lj是Z■力。8和Z71OC的平分線，

.-./.AOP=-Z.AOB=ix40°=20°,Z.AOQ=-Z.AOC=工x60°=30°,

22x22

.-.乙POQ=Z.AOP+乙4OQ=20°+30°=50°.

(2)當(dāng)a=40°,￡=80°時(shí)，

同理可得：Z.XOP=]x40°=20°,^AOQ=|N&OC=^x80°=40°,

.-.Z.POQ=Z.AOP+/.AOQ=20°+40°=60°.

(3)小亮的說法正確.

由題可知么乙4OB=a,Z.AOC=0,

OP與OQ分另1]是44。8和N40C的平分線，

Z.AOP=LOB=%，乙40Q=-乙4。。=

22y22產(chǎn)

APOQ=AAOP+^AOQ=|a+|/?=|(cr+/?).

即小亮的說法正確.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)與角之間的關(guān)系，觀察圖形，找到數(shù)量關(guān)系是解答關(guān)鍵.

【變式6-3](2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖，AB/7EF,則a、0、丫的關(guān)系是()

AB

A.p+y-a=90°B.a+p+y=360°C.a+p-y=90°D.p=a+y

【答案】B

【分析】如圖，作GH〃AB.利用平行線的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】如圖，作GH〃AB.

?「AB〃EF,GH〃AB,

AGH/7EF,

???ZBCG+ZCGH=180°,ZFDG+ZHGD=180°,

???ZBCG+ZCGH+ZHGD+ZFDG=360°,

a+P+y—360°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？?/p>

題型.

【題型7平行線的性質(zhì)】

【例7】(2024?陜西?中考真題)如圖，AB\\DC,BC\\DEfLB=145。,則的度數(shù)為()

BC

ADE

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ)”，得到NC=35。，再根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等“，即可得到答案.

【詳解】VABWDC,

■■■4B+NC=180°,

???ZB=145°,

???ZC=180°-乙B=35°,

???BCWE,

Z.D=L.C=35°.

故選B.

【變式7-1]（2024.湖北?中考真題）如圖，一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了ZB,CD兩條平行管道，并有縱向管道4C連

通.若N1=120°,則N2的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解："AB||CD,

■.Z1+Z2=180°,

???zl=120°,

z2=180°-zl=60°,

故選：B.

【變式7-2]（2024?四川綿陽?中考真題）如圖，點(diǎn)M是乙4BC的邊B力上的動(dòng)點(diǎn)，BC=6,連接MC,并將線

段繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MN.

（1）如圖1,作垂足H在線段BC上，當(dāng)=時(shí)，判斷點(diǎn)N是否在直線4B上，并說明理由;

（2）如圖2,若乙4BC=30。，NC//AB,求以MC、MN為鄰邊的正方形的面積S.

【答案】（1）點(diǎn)N在直線上，見解析；（2）18

【分析】（1）根據(jù)=NB,ACMH+ZC=90°,得到NB+NC=90。，可得線段CM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。落

在直線B4上，即可得解；

（2）作CDLAB于0,得出NMCN=45。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N8MC=45。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

計(jì)算即可；

【詳解】解：（1）結(jié)論：點(diǎn)N在直線4B上；

■:乙CMH=乙B,4CMH+NC=90°,

+NC=90°,

"BMC=90°,KPCM1XB.

線段CM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。落在直線BA上，即點(diǎn)N在直線4B上.

(2)作CD1AB于。，

:MC=MN,"MN=90°,

:.乙MCN=45°,

"."NC//AB,

；.乙BMC=45°,

"：BC=6,ZB=30°,

ACD=3,MC=V2CD=3A/2,

；.S=MC2=18,即以MC、MN為鄰邊的正方形面積S=18.

B30c

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)綜合題，結(jié)合平行線的性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3](2024?浙江紹興?中考真題)如圖，AB〃CD,以點(diǎn)A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別

交AB,AC于E,F兩點(diǎn)，再分別以E,F為圓心，大于扣F長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P,作射線

AP,交CD于點(diǎn)M.

(1)若NACD=114。，求/MAB的度數(shù)；

(2)若CN_LAM,垂足為N,求證：ZkACNg/kMCN.

【答案】(1)33。(2)證明見解析

【詳解】(1)解：VAB/7CD,.".ZACD+ZCAB=180°.

又：/人?口=114°,；./CAB=66°.

由作法知，AM是NACB的平分線，.\ZAMB=|ZCAB=33O.

(2)證明：：AM平分/CAB,.*.ZCAM=ZMAB,

VAB/7CD,/.ZMAB=ZCMA.AZCAN=ZCMN.

又：CN_LAM,AZANC=ZMNC.

在小ACN和小MCN中，

VZANC=ZMNC,ZCAN=ZCMN,CN=CN,/.AACN^AMCN(AAS).

(1)由作法知，AM是NACB的平分線，由AB〃CD,根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，得/CAB=66。,

從而求得NMAB的度數(shù).

(2)要證AACN咨△MCN,由己知，CN_LAM即/ANC=NMNC=90。；又CN是公共邊，故只要再有一邊

或一角相等即可，考慮到AB〃CD和AM是/ACB的平分線，有NCAN="/MAB"=/CMN.

從而得證.

【題型8平行線的判定】

【例8】(2024.黑龍江大慶.中考真題)如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小

慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿28折疊，量得Nl=42=59。；小鐵把紙帶②沿GH折疊,

發(fā)現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合.且點(diǎn)C,G,。在同一直線上，點(diǎn)E,H,E也在同一直線上.則下列判

A.紙帶①、②的邊線都平行

B.紙帶①、②的邊線都不平行

C.紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行

D.紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行

【答案】D

【分析】對(duì)于紙帶①，根據(jù)對(duì)頂角相等可得41=〃DB=59。，利用三角形內(nèi)角和定理求得40B4=62。，再

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得“BC=乙DBA=62°,由平行線的判定即可判斷；對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，

乙CGH=KDGH,4EHG=4FHG,由平角的定義從而可得NEHG=4FHG=90。，4CGH=￡DGH=9Q°,

再根據(jù)平行線的判定即可判斷.

【詳解】解：對(duì)于紙帶①，

Vzl=42=59°,

Azi=AADB=59°,

J.Z.DBA=180°-59°-59°=62°,

由折疊的性質(zhì)得，^ABC=4DBA=62°,

.,.Z.2豐/.ABC,

對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，乙CGH=乙DGH,乙EHG=乙FHG,

又：點(diǎn)C,G,。在同一直線上，點(diǎn)E,H,P也在同一直線上，

:.乙CGH+乙DGH=180°,EHG+乙FHG=180°,

:.乙EHG=乙FHG=90°,4CGH=乙DGH=90°,

:.乙EHG+乙CGH=180°,

，CDWEF,

綜上所述，紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定、對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和

折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式8-1](2024?北京?中考真題)在AABC中，AACB=90°,。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD,DC,延長0c到

點(diǎn)、E,使得CE=DC.

(1)如圖1,延長BC到點(diǎn)F,使得CF=8C,連接2F,EF,若4F1EF,求證：BD1AF；

(2)連接AE,交BD的延長線于點(diǎn)H,連接依題意補(bǔ)全圖2,^AB2AE2+BD2,用等式表示線段CD與

CH的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析

⑵CD=CH；證明見解析

【分析】(1)先利用已知條件證明AFCEWABCD(SAS),得出NCFE=NCBD,推出EFIIBD,再由4F1EF

即可證明8014尸；

(2)延長BC到點(diǎn)使CM=CB,連接EM,AM,先證△MECWABDC(SAS),推出ME=BD,通過等量

代換得到AM?=AE2+ME2,利用平行線的性質(zhì)得出NBHE=^AEM=90°,利用直角三角形斜邊中線等于

斜邊一半即可得到=CH.

【詳解】(1)證明：在AFCE和△BCD中，

-CE=CD

乙FCE=乙BCD,

、CF=CB

：.^FCEa△BCD(SAS),

Z.CFE=Z.CBD,

EF||BD,

9：AF1EF,

：.BDLAF.

(2)解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，CD=CH,證明如下:

延長8C到點(diǎn)使CM=C3,連接EM,AM,

9：/.ACB=90°,CM=CB,

：.ZC垂直平分

：.AB=AM,

在△MEC和△BOC中，

CM=CB

匕MCE=乙BCD,

CE=CD

：.UMEC=ASZ)C(SAS),

???ME=BD,乙CME=LCBD,

*：ABi2=AE2+BD2,

：.AM2=AE2+ME2,

：.^AEM=90°,

VzCME=乙CBD,

：.乙BHE=AAEM=90°,即NOME=90°,

VCE=CD=-DE

2f

i

JCH=-DE,

2

???CD=CH.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆用,

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，第二問有一定難度，正確作輔助線，證明NDHE=90。是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2]（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，直線a||b,矩形4BCD的頂點(diǎn)A在直線6上，若N2=41。,

則N1的度數(shù)為（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)B作BE||a,得到BE||a||b,推出N4BC=Z1+42,

進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???矩形2BCD,

J.^ABC=90°,

過點(diǎn)B作BE||a,

Va||b,

：.BE||a||b,

z.1=Z.ABE,z2=Z-CBE,

/./.ABC=Z.ABE+Z.CBE=zl+z.2,

Vz2=41°,

.\z.l=90°-41°=49°；

故選C.

【變式8-3］（2024?山東?中考真題）如圖，在四邊形4BCD中，4BC=乙BAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)廠在線段4E上，^ADF=^BAE,則線段的最小值為.

【答案】V29-2/-2+V29

【分析】設(shè)4。的中點(diǎn)為。，以4。為直徑畫圓，連接。B,設(shè)0B與O。的交點(diǎn)為點(diǎn)證明4。凡4=90。，可

知點(diǎn)尸在以4D為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到0B與。。的交點(diǎn)廠時(shí)，線段BF有最小值，據(jù)此求解即

可.

【詳解】解：設(shè)4。的中點(diǎn)為0,以力。為直徑畫圓，連接0B,設(shè)。B與。。的交點(diǎn)為點(diǎn)。，

^ABC=乙BAD=90°,

：.AD\\BC,

：./.DAE=Z.AEB,

'：^ADF=ABAE,

J.Z.DFA=4ABE=90°,

.?.點(diǎn)/在以4。為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，

二當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到。B與。。的交點(diǎn)尸'時(shí)，線段BF有最小值，

VAD=4,

：.AO=OF'=-AD=2,,

2

：.BO=V52+22=V29，

BF的最小值為回-2,

故答案為：V29-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意分析得到點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)軌

跡是解題的關(guān)鍵.

【題型9平行線與幾何教具的綜合考查】

【例9】（2024?湖南邵陽?中考真題）將一幅三角板拼成如圖所示的圖形，過點(diǎn)C作CF平分/OCE交。E于

點(diǎn)、F,

（1）求證：CF//AB,

（2）求/DFC的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）105°

【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得Nl=45。，再有N3=45。，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可判定出

AB//CF-,

（2）利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）證明：尸平分NOCE,

.,.Z1=Z2=-ZZ）CE.

2

ZDCE=90°f

AZ1=45°.

VZ3=45°,

AZ1=Z3.

：.AB//CF.

（2）VZ￡>=30°,N1=45°,

???ZDFC=180°-30°-45°=105°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是本題的解

題關(guān)鍵.

【變式9-1］（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）將一個(gè)含30。角的三角尺和直尺如圖放置，若乙1=50。，則42

的度數(shù)是（）

C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示,

由題意得43=zl=50°,Z5=90°,z2=Z4,

42=44=180°-90°-43=90°-50°=40°,

故選：B.

【變式9-2]（2024?安徽馬鞍山.三模）如圖，將量角器置入一組平行線a,b之間，A,8分別是量角器上兩

點(diǎn)，連接力B并延長交直線。于點(diǎn)C,則圖中N1的度數(shù)為（）

C.70°D.50°

【答案】B

【分析】該題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

如圖，過點(diǎn)3作EF||a,得出a||b||EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NEB。=NBOD,Nl=NCBE,根據(jù)題意可得出

乙BOD=60°,^AOD=30。,OB=OA,從而算出A40B=30°,N2=43=75°,4CBO=105°,LEBO=60°,

即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)B作EF||a,

Va||Z),

：.a\\b\\EF,

:.乙EBO=乙BOD=60。，=乙CBE,

木艮據(jù)題意可得