2025蘇教版高二數(shù)學上學期期末教學質量模擬檢測（一）（含解析）

2024-2025學年上學期蘇教版高二年級期末教學質量模擬檢測（三）

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

22

1.已知耳，工是雙曲線2__匕=1（人〉0）的左、右焦點，過耳的直線與雙曲線的左、右兩支分別

4b2

交于A,8兩點，若為等邊三角形，則匕=（）

AA/6B-2A/6C.4aD.4n

2.如圖，一個工業(yè)凹槽的截面是某拋物線的一部分，拋物線方程是必=2y,ye[0,10],在凹槽內

放入一個清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（）

22

3.拋物線E:y=^x2的焦點到其準線的距離為（）

4

11

A.-B.-C.2D.4

84

4.設A,8為雙曲線爐—于=1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(—D

5.過點（0,—2）與圓/+4x—1=0相切的兩條直線的夾角為c,貝|sina=（）

A.lB.---C.---D.------

444

6.點（0,-1）到直線y=k（x+l）距離的最大值為（）

A.lB.A/2C.V3D.2

7.若直線2x+y—1=0是圓(%—。)2+丁=1的一條對稱軸，則〃=()

111

A.—B.----C.ID.—I

22

8.過點A(l,2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x-y+l=0B.x+y-l=0

C.2元一y=0或x-y+l=0D.2元+丁=0或x+y+l=0

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項

中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知。為坐標原點，點A(l,l)在拋物線(夕>0)上，過點8(0,—1)的直線交C于P,

0兩點，貝K)

A.C的準線為y=—lB.直線AB與C相切

C.OPOQ>OA1D.BPBQ>BA2

10.已知直線/：以+力-尸=0,圓C：必+y2=廠2,點A(q,b).下列命題中的真命題有()

A.若A在C上，貝心與C相切B.若A在C內，貝門與C相離

C.若A在C外，則/與C相離D.若A在/上，則/與C相切

11.在平面直角坐標系中，己知點A(2,0),8(0,2),圓C:(x—a)2+V=1.若圓。上存在點知，

使得1MAi2+|MB|2=12,則實數(shù)。的值可以是()

A.-2B.OC.2D.4

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線乙，4的斜率％，42是關于。的方程2a2+8a+〃=0的兩根，若/i，］，則實數(shù)“=.

13.已知直線x—陽+1=0與OC:(x—1)2+/=4交于a,g兩點，寫出滿足“△ABC面積為二”

的m的一個值___________.

14.設〃zeR,過定點A的動直線為+7型+/"=0和過定點B的動直線阿v-y-m+2=0交于點

P(x,y),貝11R41+1|的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.將圓必+9=4上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到曲線E.

(1)求曲線￡的方程;

(2)設點A(O,1),點尸為曲線E上任一點，求|上4|的最大值.

16.已知圓C的圓心為(-2,1),且圓C.在下列所給的三個條件中任選一個，填在橫線上,

并完成解答.

①與直線3x+4y+17=0相切；

②與圓M:(x—2)2+(y—4)2=4相外切；

③經(jīng)過直線3x+y+2=0與直線%—3y+14=0的交點.

(1)求圓C的方程.

(2)圓N:(x-根)2+/=蘇(根＞o),是否存在實數(shù)沉，使得圓N與圓C公共弦的長度為2?若

存在，求出實數(shù)機的值；若不存在，請說明理由.

17.某濕地公園內有一直角梯形區(qū)域ABC。，AD//BC,ADA.CD,|3C|=2|AQ|=40m.相關

部門欲在A,B兩處各建一個景點，將。邊建成人行步道(人行步道的寬度忽略不計).

C~P------]D

b(1)若分別以A,8為圓心的兩個圓都與直線。相切，且這兩個圓外切，求A,8兩點之間的距離.

(2)若|A31=20夜m,今欲在人行步道(線段CD)上設一觀景臺P,已知觀景臺尸在過A,B

兩點的圓與直線相切的切點處時，有最佳觀賞和拍攝的效果，問觀景臺尸設在何處時，觀賞和拍

攝的效果最佳？

18.已知直線2x—3y+l=0和直線x+y—2=0的交點為P.

(1)求過點尸且與直線x—3y—1=0平行的直線方程；

(2)若直線/與直線x—3y—1=0垂直，且尸至心的距離為普，求直線/的方程.

19.已知拋物線C的頂點為坐標原點，C關于無軸對稱且過點(1,2).

(1)求C的標準方程;

（2）若直線/與。交于4（石,％）,5（%2，%）兩點，且玉+%2=8，AB=6,求直線/的方程.

參考答案

1.答案：B

解析：???△458為等邊三角形，二|AB卜|叫|=忸閭，

\AFi\=\BF1\-\BA\=\BF1\-\BF2\=2a=4>|AF；|=|AF；|+2a=8-N串*=120。，

△耳A居中,由余弦定理有(2c)2=|A片「+|明廣—2|4?訃|4?訃cosl20。=112,

??c2—28'b1—c~~a~—24，?-b-2y[6-

故選:B.

2.答案：B

解析：如圖，設小球圓心(o,%)(%>0)，若小球觸及凹槽的最底部，則小球半徑廠=%?拋物線上點

(x,y)到圓心距離的平方為/=爐+(y—%了=2y+(y-陽了=V+2(1—%)y+y；.若小球觸及

凹槽的最底部，則儲的最小值在(0,0)處取到，又y20,所以—2(1；%)W0,即為<1,所以

解析：拋物線=即必=4>，則2p=4,所以p=2,

所以拋物線的焦點到其準線的距離為p=2.

故選：c.

4.答案：D

解析：結合選項可知，直線A8的斜率存在且不為零.設4(%,%),A3的中點為

%-L122

/(七,%)，由點A，B在雙曲線上，得19兩式作差，得『'J—」,即

卜一.9

(Xf)(%+々)=5一%)(…％),化簡得『2戶+J=9,即

'八'9(i2)(石+々)

入二造?一2_=左加?&=9,因此=9?E.由雙曲線方程可得漸近線方程為y=±3x.對于A,

玉一尤2可+尤2%%

2

因為kAB=9X：=9>3,所以直線AB與雙曲線無交點，不符合題意；對于B,因為

-191

kAB=9x-=--<-3,所以直線AB與雙曲線無交點，不符合題意；對于C,kAB=9x-=3,此

時直線的斜率與漸近線y=3x的斜率相同，與雙曲線不可能有兩個交點，不符合題意；對于D,

因為KB=9X——==<3,所以直線AB與雙曲線有兩個交點，滿足題意.故選D.

AB-44

5.答案：B

解析：設圓好+丁―以―1=0為圓c,化簡得(x—2)2+/=5,圓心為C(2,0),半徑廠=百.如

圖，設NCB4=e,則a=2。，sin￡=01=,&=*,易知cos?！?。，

\CP\7(2-0)2+[0-(-2)]22A/2

J3Jl5

則cos。二一產,所以sin。=sin20=2sin9cose=-----.故選B.

2V24

6.答案：B

解析：點(0,—D到直線H—y+左=0的距離1=里生=、且。竺=、1+^^.當左40時，

TFT!V產+ivF+i

<.1+-=V2,當且僅當左=工，即左=1時等號成立.綜上,

d<\；當左>0時，d

V2k

點(0,-1)到直線y=左(x+1)距離的最大值為V2.故選B.

7.答案：A

解析：依題意可知圓心坐標為(。,0),又直線2x+y-1=0是圓的一條對稱軸，所以圓心在該直線上,

即2。+0—1=0,解得。=!，故選A.

2

8.答案：C

解析：當直線過原點時，在兩坐標軸上的截距都為0,滿足題意，

2-0

又因為直線過點AQ2),所以直線的斜率為丁了=2,所以直線方程為y=2x,即2%-y=0；

當直線不過原點時，設直線方程為匹+上=1,因為點A(l,2)在該直線上，所以工+2=1,解得

a-aa-a

a=-l,所以直線方程為x—y+1=0.故所求直線方程為2x—y=0或x—y+l=0.故選C.

9.答案：BCD

解析：如圖，因為拋物線C過點所以l=2p,解得。所以C：》2=y的準線方程為

1-(-1)，=*,得

因為左”二一字=2,所以直線A3的方程為y—l=2(x—1),即y=2x—l,由<

1—0y=2x-l,

X2-2X+1=0,A=0,所以直線A3與C相切，所以B正確;

由[y=履—1得%2_6+]=0

設？(%，%)，。(％2，72)，直線PQ的方程為丁=近一1，所以

尤=y

2

xx+x2=k,XjX2=1,且A=^-4>0,得k>2或k<-2所以

OPOQ=Jx；+y；.也;+￡=+%；）（￥+x；）

=++k%=J1+（X1+%2）-2%逮2+x；x；=>2-OA1,所以C正確;

BPBQ=收+（%+1）2々考+（為+1）2=+（、+1）2.'考+（后+1）2

=x：+3尤;+1）（x；+3x；+1）=Jx：x；+（3x；x；+3）（x；+x；）+x：+x；+9x；x；+1

解析：圓心(0,0)到直線ax+6y-/=0的距離若點A在圓上，則4+^二產，則

22

d=,r=—=\r\,所以直線/與圓C相切，故A正確；若點A在圓內，則標+匕2</，則

77壽Id

22

d=,'>—=\r\,所以直線/與圓C相離，故B正確；若點A在圓外，則4+62>產，則

必壽Id

22

d=-*'<L=|川，所以直線/與圓。相交，故C錯誤;若點A在直線/上，則之+廿一產=0,

77壽Id

即4+廿=產，則點A也在圓C上，d=\r\,所以直線/與圓C相切，故D正確.

11.答案：BC

解析：設M(x,y),由|MA|2+|MB|2=12,得(x—2丁+/+必+"—2y=12,整理得

(x—1)2+(y—=4,所以點M的軌跡是以。(1,1)為圓心，半徑(=2的圓.圓C:(x—萬+y=1

的圓心為C(a,0),半徑々=1,由于點M存在，兩圓有公共點，所以2—1W|CD|W2+1,即

1<7(?-1)2+1^3,1<(?-1)2+1<9,其中l(wèi)<(a—iy+1恒成立，由(a—1『+1<9得

(o-l)2<8,|a—1區(qū)2應，則—2點Ka—1<2行，解得1—2后<a<1+2行，所以實數(shù)a的

值可以是B,C選項，故選BC.

12.答案：—2

解析：因為4,4,而且斜率存在，

所以左］?&=一1，

又上i,左2是關于a的方程2〃2+8〃+〃=0的兩根，

所以匕?%=：=—1，解得〃=—2.

故答案為：-2.

13.答案：2或-2或或—工（填一個即可）

22

解析：方法一：由題知，OC的半徑r=2,圓心C（l,0）.設圓心C到直線x—陽+1=0的距離為d,

則弦長|AB|=214—d2,所以S-c=g><2j4_d2.叩=|,解得或Q2=g,所以

d=2叵或4=拽.由點到直線的距離公式可知，當d=2叵時，2=撞，解得〃=±2；

555冊2+15

當［=上4J5時，2乙=4A*/5,解得加=±±1.綜上，加=±2或土I二

5冊2+1522

2

方法二：由題知，OC的半徑〃=2,圓心CQ0）,圓心C到直線x—“y+l=0的距離/-----Y2,

，加2+i

所以niwO.直線方程x—陽+1=0可化為y='（x+l）,所以直線的斜率為,且過定點（—1,0）.因

mm

1QQ

為點（—1,0）在0c上，設為A（如圖），所以S%c=5lAC||%|=，解得1yBi=，所以點B

的縱坐標為土代入0c方程，得（1）2+包=4,解得點B坐標為當或［□,-鼻或

525155］（55）

［―士9］或（―因為4-1,0）,所以直線A8的斜率為土工或乜，故加=±2或土L

（55J155J22

14.答案：［廂,26］

解析：由題意可知，動直線x+緲+根=。經(jīng)過定點A（0,-1）,

動直線mx-y-相+2=0,即y—2二加（％-1）,經(jīng)過定點5（1,2）,

所以|A3|=J(O—1)2+(—1—2)2=而，

顯然動直線x+my+根=0和動直線和x-y-根+2=0始終垂直,

又因為尸是兩條直線的交點，所以E4LPB,

所以|PA「+忸@2==10,

設NAB0=氏貝MQA|=JI5sine,|PB|=710cos6",

因為且|尸耳NO,可得夕e0弓，

所以|PA|+|P周=7i5sin，+Mcos，=2V^sin,+；1,

因為Oejo,巴］,所以，+巴e|*巴,空］,

L2］4144」

所以也＜sin［e+P］〈l,即加＜2百sin［e+四］＜26.

故答案為：［廂,26］.

15.答案:(1)—+y2=1

解析：(1)在曲線E上任取一點Af(x,y),貝！JA/'(x,2y)在圓九2+

所以丁+(2丁)2=4,即一+/=1,

所以曲線￡的方程為土+/=1.

(2)設尸(x,y),貝|]|尸4|2=/+(、—1)2=4—4/+(y—1)2

-3/-2y+5=-3+—?ye[-1,1],

所以當y=—!時,(|出|2).=^

所以IPALax=W，即|申|的最大值為半

16.答案：(1)(x+2)2+(y—iy=9

(2)存在實數(shù)加=巫匚

2

解析：(1)設圓C的半徑為r.

若選條件①，圓C與直線3x+4y+17=0相切,

則圓心C到直線3x+4y+17=0的距離是圓C的半徑，即r=i+；+17|=3,

所以圓C的方程為(x+2)2+(y—1)2=9.

若選條件②，圓C與圓M:(x—2)2+(y—4『=4相外切，圓M的圓心為(2,4),半徑為2,

所以r+2=J(2+2)2+(4_lf=5,所以廠=3,

所以圓C的方程為(x+2y+(y-1『=9.

若選條件③，圓C經(jīng)過直線3x+y+2=0與直線x—3y+14=0的交點,

13%+y+2=0,x——2,

由V得，所以「二4—1=3,

1%-3丁+14=0,。=4,

所以圓C的方程為(x+2)2+(y—I)?=9.

(2)圓N：(x-7〃y+y2=>0)的圓心為(私0),半徑為機，

_________rs

兩個圓有公共弦，貝U|〃7—3|<|OV|<〃?+3,BP|m-3|<7(m+2)2+l<m+3,解得機〉

7X+2)2+(V-1)2-Q

由'\，'得，兩圓公共弦所在直線的方程為(m+2)x—y—2=0,

(x-m)+y~=m'

又兩圓的公共弦長為2,則圓心C到公共弦所在直線的距離為

d=|-2m-4-l-2J=\2m+7\；且2的-儲=2,

J(機+2/+1yjm2+4m+5

鏟汨V10_11

解得m=-----或m=-------,

22

2A/j7)_1

又m>—,所以m----.經(jīng)檢驗符合題意.

52

故存在實數(shù)加=巫匚，使得圓N與圓。公共弦的長度為2.

2

17.答案：（1）60m

（2）觀景臺尸設在C處時，觀賞和拍攝的效果最佳

解析：（1）因為分別以A,3為圓心的兩個圓都與直線8相切,

所以這兩個圓的半徑分別為20m和40m,

又因為兩個圓外切，所以兩個圓心A,8之間的距離為|A5|=40+20=60m,

故A,8兩點之間的距離為60m.

（2）以C（。）為原點，C￡）所在直線為x軸，8c所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示,

則5(0,40),設A(x,20)(x>0),

由|AB|=2O7I,得|AB=7^^3=200，解得x=20.

所以A(20,20),5(0,40).

因為觀景臺尸在過A,B兩點的圓與直線C。相切的切點處,

所以設過A,B兩點的圓的方程為（x—a>+（y—加2=",

已知此圓與線段CD切于點尸（。,0），則0WaW20,

"(20-4+(20-bp=b2,

由A,8兩點在圓上，把兩點的坐標代入得<