2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型

近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模

型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型r

------------------------1.........................................................................................................................................................2

模型1.高分線模型.....................................................................2

模型2.雙垂直模型.....................................................................6

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）...................................................8

習(xí)題練模型,

；-----............................................................................................................................................................11

例題講模型

模型1.高分線模型

模型解讀

三角形的高：-從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線畫(huà)垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高.

三角形的角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它所對(duì)的邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線

段叫做三角形的角平分線.

高分線模型：過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)的高與角平分線的夾角等于另外兩個(gè)角差的絕對(duì)值的一半。

1)條件：如圖1,在"中，AD,ZE分別是AA8C的高和角平分線，結(jié)論：NDAE=-NB).

2)條件：如圖2,尸為“3C的角平分線NE的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EDL8C于。，結(jié)論：NDF4=-NB).

A

圖1圖2

1)證明：:4E平分NBAC,：.ZEAC=-ZBAC,

2

'：ZSylC=180°-Z5-ZC,Z￡4C=1(180°-Z5-ZC)=90°-1z5-1zC,

ZEAD=ZEAC-ADAC=90°-1zS-|zC-(90°-ZC)

2)證明：如圖，過(guò)A作NG,8c于G,由(2)可知：ZEAG=^(ZC-ZB),

■：AGA.BC,ZAGB=90°,?/FD1BC,ZFDC=90°,:.ZAGD=NFDC,FD//AG,

ZAFD=AEAG,ZAFD=^(ZC-ZB).

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級(jí)上?山東臨沂?階段練習(xí)）如圖，AD,/E分別是V48c的角平分線和高線，且—2=50。,

NC=10°,則.

【答案】10。

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線、高線的定義，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識(shí)圖找出各

角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。求出NA4C,再根據(jù)角平分線的定義求出

ZBAD,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/A4E,然后根據(jù)=-/氏4D代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可

得解.

【詳解】解：V=50°,ZC=70°,\DBAC=180°-D5-DC=180°-50°-70°=60°,

■.■AD是AABC的角平分線，NBAD=；N歷IC=gx60。=30°,

ZE是V/8C的高線，NBAE=90°-Z5=90°-50°=40°,

ZEAD=ABAE-ABAD=40°-30°=10°.故答案為：10。.

例2.（23-24八年級(jí)上?重慶?期中）己知：如圖①所示，在V48C中，4。為8C的高，/E為/A4c平分線

交2C于點(diǎn)￡,ZS=20°,ZC=50°.

⑴求NE4D的度數(shù)；（2）NE4。與4,NC之間有何數(shù)量關(guān)系？

（3）若將題中的條件“N8=20?！备臑椤癗/8C=100。"（如圖②），其他條件不變，則NE/D與之間

又有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（l）15o（2）/￡40=g（/C-/3）（3）NE4D=g（N48C-NC）,理由見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查三角形中角與角之間的關(guān)系，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外

角的性質(zhì)的應(yīng)用.(1)首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得/A4C,再根據(jù)角平分線的定義求得/氏4￡,再

根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求得N/即，最后根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即

可求解，(2)根據(jù)(1)即可得出NE4。與/5、/C之間的關(guān)系，

(3)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)依次推理即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：V=20°,ZC=50°,AABAC=ISQ°-ZB-ZC=llQ°

又：/E為/R4C的平分線，NEAC=L/BAC=55。

2

；/。為8。的高，/.ZADC=90°,ZDAC=90°-ZC=40°,AEAD=ZEAC-ZDAC=15°；

(2)解：由圖知==—=1(180°-Z5-ZC)-(90°-ZC)=1(ZC-Z5):

(3)解：ZEAD=^(ZABC-ZC)理由如下：由三角形內(nèi)角和知，

AE為NBAC的平分線,：.NBAE=|ABAC=((180。-ZABC-ZC)

/D為BC的高，；.ZADC=90°=ZDAB+ZABD

又?/ZABD=180°-ZABC,：./DAB=90°-(180°-ZABC)=ZABC-90°

ZEAD=ZDAB+ZBAE=ZABC-90°+1(180°-NABC-ZC)=|(Z^5C-ZC).

例3.(23-24八年級(jí)上?廣東?校考期中)已知：在V/3C中，NC>NB,4E平分NBAC交BC于點(diǎn)E.

(1)如圖①，4D上BC于點(diǎn)D,若/。=60。,/8=30。，求ND4E的度數(shù)；

(2)如圖①，于點(diǎn)。，若NB=a,NC=0,求NZME的度數(shù)(用含氏月的式子表示)；

(3)如圖②，在V48c中，4D人BC于點(diǎn)D,尸是/E上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,E重合)，過(guò)點(diǎn)下作FGL8C

于點(diǎn)G,且N2=30。,/。=80。，請(qǐng)你運(yùn)用(2)中的結(jié)論求出NEFG的度數(shù)；

(4)在(3)的條件下，若點(diǎn)尸在NE的延長(zhǎng)線上(如圖③)，其他條件不變，則NE尸G的度數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎？

說(shuō)明理由.

【答案】(1)ND4E=15°(2)NDAE=；(尸-a)(3)ZEFG=25°(4)NEFG的度數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得/A4c=180。--NC,再結(jié)合角平分線的定義可知

NBAE=NC/E=；NA4C=90。-；(/B+NC),然后由“直角三角形兩銳角互余”可得ZDAC=90°-ZC,進(jìn)而

ZDAE=ZCAE-ADAC=-ZB),即可獲得答案；(2)結(jié)合(1)可得結(jié)論；

(3)結(jié)合ND4￡=；(NC-N8),易得ND4E=25。,再證明尸G〃AD,由“兩直線平行，同位角相等”可得

ZEFG=ZEAD,即可獲得答案；

(4)證明尸G〃/。，由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得=即可獲得答案.

【詳解】(1)解：?.?在V/3C中，ZB+ZC+ZBAC=1SO°,：.ZBAC=1800-ZB-ZC,

?：AE平分ZBAC,/.ABAE=NCAE=|ZBAC=1(180°-ZB-ZC)=90°-1(ZB+ZC),

ADIBC,：.AADC=90°,Z.ZDAC=90°-ZC,

：.ZDAE=ZCAE-ZDAC=90°-1(Z5+ZC)-(90°-ZC)=1(ZC-ZB),

當(dāng)NC=60。,ZB=30。時(shí),ZONE=(60。-30。)=15。；

(2)由(1)可知，/D4E=；(NC-NB),.?.當(dāng)N8=a,NC=￡時(shí)，:.NDAE=g(0-a)；

(3)?:NDAE=g(NC-NB),而N8=30°,NC=80°,AZDAE=1x(80°-30°)=25°,

VADIBC,FGIBC,：.FG//AD,：.ZEFG=ZEAD=25°；

(4)NE尸G的度數(shù)大小不發(fā)生改變.理由如下：

VAD1BC,FG1BC,：.FG//AD,：.ZEFG=ZEAD=25°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形兩銳角互余、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、

垂直的定義等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

模型2.雙垂直模型

模型解讀

雙垂直模型的定義是一個(gè)三角形中有兩條高，則圖中會(huì)產(chǎn)生多個(gè)直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之

間的關(guān)系。

模型證明

條件：如圖所示，在△ZBC中，BD,“是兩條高，

結(jié)論：?ZABD=ZACE；?ZA=ZBOE=ZCOD；③ABCE=ACBD。

證明：,:BD,CE是兩條高，：?NAEC=/BEC=/ADB=/CDB=90。,

：.ZABD+ZA=90°,ZACE+ZA=90°,ZACE+ZDOC=90°,:?/ABD=/ACE,ZDOC=ZA,

■:/DOC=NBOE,：.ZA=ZBOE=ZCODo

,：BD,CE是△ASC的兩條高，S^ABC=ABCE=-AC-BD,：?4B?CE=AC?BD。

模型運(yùn)用

例1.（2023?陜西咸陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，在“8C中，分別是42,4C邊上的高，并且CD,5E交于點(diǎn)

P,若乙4=50。，則/APC的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和直角三角形的兩個(gè)銳角互余可求得NN8E的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角即可得.

【詳解】解：:BE是/C邊上的高，；.NBEA=90°,,：ZA=50°,ZABE=90°-ZA=90°-50°=40°,

：CD是邊上的高，ZCDB=90°,/.ZBPC=ZCDB+ZABE=90°+40°=130°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

例2.（23-24八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）在V/8C中，ZA=55°,是它的兩條高，直線BD,CE交

于點(diǎn)凡ZDFE=.

【答案】55?；?25。

【分析】分兩種情況：當(dāng)VN2C為銳角三角形時(shí)，當(dāng)V/8C為鈍角三角形時(shí)，用三角形內(nèi)角和求解即可.

【詳解】解:當(dāng)V4BC為銳角三角形時(shí)，如圖，

VZA=55°,BRCE是它的兩條高，:./DFE=125。；

當(dāng)V/2C為鈍角三角形時(shí)，如圖，：N/=55。，AD是它的高，=尸=35。，

；CE是V/8C的高，ZDFE=55°,綜上所述：NDFE=125°或/DFE=55°,故答案為：55?；?25。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直的定義、四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和為360度及分類討論是

解題的關(guān)鍵.

例3.（2022秋?安徽宿州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在AABC中，CD和BE分別是48,/C邊上的高，若CD=12,

Ar

BE=T6,則不的值為（）.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的高的性質(zhì)，利用等積法求解即可.

11AC1?3

【詳解】?/5--ABCD=-AC-BE,：.12AB=]6AC,：.——故選B.

AIBC22AB164

【點(diǎn)睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題.根據(jù)三角形的面積公式得出N8CD=NC.3E是解題關(guān)鍵.

模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）

模型解讀

子母型雙垂直模型的定義是一個(gè)直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關(guān)系。

模型證明

條件：在R/A/BC中，ZACB=90°,CD是A4BC的高線，

結(jié)論：?ZB=ZACD；?ZA=ZBCD；③AC?BC=CD-AB。

c

：.ZACD+ZA=90°,ZACD+ZBCD=90°,ZB+ZBCD=90°,：.NA=NBCD,ZB=ZACD,

VZACB=90°,CD是高線，...LBCJ/HCOJ/C/C，

模型運(yùn)用

例1.（2023?廣東廣州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△4C2中，44cB=90。，CDJ.48于。，求證:

NB=NACD.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)CD_L/3可得44cB=/CD8=90。，再根據(jù)/B+/BCD=/BCD+乙4cD=90。，即可求證.

【詳解】證：,/CDLAB,ZACB=90°：,ZACB=ZCDB=90°

又NB+ZCDB+ABCD=180。，?.AB+/BCD=90°

又ZACB=/BCD+AACD=90°,；.NB+/BCD=ZBCD+ZACD=90°ZB=ZACD

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì).

例2.（2024八年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在中，ZACB=9Q°,AC=6,BC=S,CD為4B邊上

的高.（1）求斜邊48的長(zhǎng)；（2）求CD的長(zhǎng).

【答案】（1）10（2）4.8

【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

（1）由勾股定理可求解；（2）由面積法可求解.

【詳解】(1)在中，ZACB=9Q°,AC=6,BC=S,AB=dAC?+BC?=10；

(2)VS=-xACxBC=-xABxCD,：.6x8=10xCZ),/.CD=4.8.

“ABC22

（1）求證：NDAC=/ABC；（2）如圖②，V4BC的角平分線CF交/。于點(diǎn)E.求證：ZAFE=ZAEF；

（3）在（2）的條件下，/9。的平分線分別與CF,8c相交于點(diǎn)“、點(diǎn)G,如圖③，若/〃=6,CH=8,

CG=10,求ND的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）AD=9.6.

【分析】（1）據(jù)三角形高的定義及直角三角形兩銳角互余的關(guān)系即可得結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義及

直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得/AFE=/CED,根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)即可得結(jié)論；（3）根據(jù)等腰三角

形“三線合一”的性質(zhì)可得AHJ_EF,根據(jù)勾股定理可求出HG的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AG的長(zhǎng)，利用面積法即可得

答案.

【詳解】（1）VZBAC=90°,：.ZABC+ZACB=90°,

是BC邊上的高，AD1BC,：.ZADC=90°.

AZDAC+ZACB=90°,:.NDAC=ZABC.

（2）：CF是V/BC的角平分線，:.ZACF=NBCF,

?：NBAC=NADC=90°,二ZAFE+ZACF=ZCED+ZBCF=90°,ZAFE=ZCED,

ZAEF=ZCED,ZAFE=ZAEF.

(3)由(2)可知：ZAFE=ZAEF,；.AF=AE,

：AG平分/BAD,AG分別與CF,BC相交于點(diǎn)反、點(diǎn)G,AH_LEF,

VCH=8,CG=10,.,.GH=7CG2-C//2=6-

VAH=6,；.AG=AH+GH=12,SAGC=-AG-CH=-CG-AD,即12x8=10AD,解得：AD=9.6.

A22

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，直角三角形兩銳

角互余；等腰三角形底邊的中線、底邊上的高及頂角的角平分線“三線合一”；直角三角形的兩條直角邊的平

方和等于斜邊的平方；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵.

習(xí)題練模型

1.(2023?北京通州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在“BC中,ZABC=90°,BDLAC,垂足為。.如果/C=6,

BC=3,則的長(zhǎng)為()

A.2B.-C.3石D.—

22

【答案】D

【分析】先根據(jù)勾股定理求出再利用三角形面積求出8。即可.

【詳解】解：???N/2C=90。，AC=6,BC=3,，根據(jù)勾股定理/臺(tái)=北6口=病=滎=，

BDLAC,：.S^ABC=~ABBC=-ACBD,即工x3&x3=Lx6-8Z),解得：BD=他.故選擇D.

22222

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

三角形面積等積式是解題關(guān)鍵.

2.(2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，“3C中，BD1AC,8E平分//3C,若IM=2DC,ZDBE=20°,

則ZABC=()

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】設(shè)NC=cz,那么乙l=2a,然后利用a分別表示/4BC,/ABE,ZABD,最后利用三角形內(nèi)

角和定理建立方程解決問(wèn)題.

【詳解】解：；“3C中，EM=2DC,.?.設(shè)/C=a,那么44=2a,二/48C=180°-44一/。=180°-3a,

；BE平分/ABC,：.ZABE=-AABC=-(180°-3a),

22

i3

"?BDLAC,ADBE=20°,AZABD=ZABE-ZDBE=-（lS00-3a]-2.0°=10°--a,

3

ZA+ZABD=2a+10°一一a=90°,a=40°,ZABC=180°-ZA-ZC=]80°-3a60°.故選：B.

2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同時(shí)也利用了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練使用三角

形內(nèi)角和定理.

3.（23-24八年級(jí)上?陜西西安?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在V4BC中，NA4c=45。，AD1BC,CE1AB,垂足

分別為點(diǎn)。、E,AD.CE交于點(diǎn)、H,EH=EB.下列結(jié)論：①ZABC=45。；②AH=BC；?AE-BE=CH；

@BHLAC.你認(rèn)為正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、三角形的

一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角.

①根據(jù)AD1BC,若/43。=45。，則/840=45。，而/A4c=45。，很明顯不成立；②③可以通過(guò)證明

△/ET/gACEB得至IJ；④延長(zhǎng)交/C于點(diǎn)貝!]N班C=/EB〃+Z8/C=90。，所以5//_L/C.

【詳解】解：假設(shè)/48C=45。成立，AD1BC,：.ABAD=45°,

?：ABAC=45°,矛盾，=45。不成立，故①錯(cuò)誤.

,/ABAC=45°,CE1AB,:.AE=EC,

AE=EC

在八AEH和ACEB中，-NAEC=ZBEC:.AAEH知CEB（SAS）：.AH=BC故②正確.

EH=EB

?：EC-EH=CH,二/E-BE=CH故③正確.延長(zhǎng)Aff交NC于點(diǎn)￡,

,:EH=EB,CELAB,:.NEBH=NEHB=45。,

?：ABAC=45°,:.NBLC=NEBH+NBAC=90。,：.BH1AC,故④正確.故選：B.

4.(23-24八年級(jí)下?廣西柳州?開(kāi)學(xué)考試)如圖，在VN8C中，NA4c和//BC的平分線NE,相交于

點(diǎn)。，AE交BC于E,BF交AC于F,過(guò)點(diǎn)。作OD，BC于。，下列三個(gè)結(jié)論：①N/08=90。+g/C；

②當(dāng)/C=60。時(shí)，AF+BE=AB；③若OD=a,AB+BC+CA=2b,則5人叱=2。6.其中正確的是()

A.①②B.②③C.①②③D.①③

【答案】A

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線

證得△7730名△E3。，得到/反汨=/20E=60。，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角

和的可求解NNO3與/C的關(guān)系，進(jìn)而判斷①；在45上取一點(diǎn)M使BN=BE,證得ANBO2AEBO,得

gl]ZBON=ZBOE=60°,再證得也AE4O,得到4F=/N,進(jìn)而判斷②正確；作?！╛LZC于X,

OM_L48于Af,根據(jù)三角形的面積可證得③錯(cuò)誤.

11

【詳解】解：：/BAC和N/8C的平分線相交于點(diǎn)。，,NOBA=—NCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

Z.408=180。一AOBA-NOAB=18Q°--ZCBA--ZCAB=180°--(180°-ZC)=90°+-ZC,故①正確.

222''2

ZC=60°,；.ABAC+ZABC=12(F,

,/AE,8/分別是N3NC和//2C的平分線，/.AOAB+AOBA=^(ZBAC+ZABC)=60°,

AZAOB=120°,：.ZAOF=60°,Z.ZBOE=60°,如圖，在N3上取一點(diǎn)N,使.BN=BE,

BF是ZABC的角平分線，ZNBO=NEBO,

'BN=BE

在ANBO和AEBO中，＜ZNBO=NEBO,：.^NBO^EBO[SAS'),

BO=BO

：.BE=BN,ZBON=ZBOE=ZAOF=60°,,ZAON=120°-60°=60°=ZAOF

?：OA=OA,ZOAF=AOAN：.^AOF^AON：.AF=AN：.AB=AN+BNAF+BE,故②正確.

作。”_L/C于(W_L/B于"，

和N/3C的平分線NE,8尸相交于點(diǎn)。，.?.點(diǎn)。在/C的平分線上，/.OH=OM=OD=a,

*.*AB+BC+CA=2b,S^ABC=~4B?0M—xAC,OH+—xBC,OD=5(4B+AC+BC).a=ab.

故③錯(cuò)誤.故選：A.

5.(2023下?重慶涪陵?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，鈍角A/IBC中，N2為鈍角，4D為3C邊上的高，AE為/B4C

的平分線，則/D4E與Nl、N2之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個(gè)規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)

現(xiàn)的是()

A.NDAE=N2-N1B.ZDAE=----------C.NDAE=------Z1D.ZDAE=-----------

222

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)依次推理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由三角形內(nèi)角和知48/。=180。-/2-/1,

為/比1C的平分線，AZBAE=^ZBAC=^(18O°-Z2-Z1).

■:AD為BC邊上的高，,ZADC=90°=ZDAB+ZABD.

又?.,NA8Z>180°-N2,AZDAB=90°-(180°-Z2)=Z2-90°,

AZEAD=ZDAB+ZBAE=Z2-90o+^-(18O0-Z2-Z1)=|(Z2-Z1).故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義、三角形外角性質(zhì)及三角形的高的定義，

解答的關(guān)鍵是找到已知角和所求角之間的聯(lián)系.

6.(2023下?湖北襄陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)如圖，在“BC中，是高，/E是角平分線，B尸是中線，AE

與BF相交于O,(NONN8C)以下結(jié)論正確的有()

①ABAD+ZABD=ZCAD+ZC；@SAABF=S^CBF■③ZEAD=1（ZC-NABC）；④S^ME:S^ACE=AB;AC-

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】解：由高的定義，得NB4D+乙4BD=NC4D+/C=90。,①正確；由中線得/尸=CF,兩三角形

等底同高，于是昉=5根",②正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余及外角知識(shí)，得

ZEAD=90°-(ZABC+ZBAE),結(jié)合角平分線定義可判斷③正確；如圖，過(guò)點(diǎn)￡作由，，NC,垂

足為X,/,根據(jù)角平分線性質(zhì)，得EH=EI,可證得%=(，8?￡〃)：(*C-E/)=N5:/C.④

正確.

【詳解】解：是高，/.AADB=ZADC=90°.；.NB4D+=/CID+/C=90。，①正確；

.?”是中線，—.令"比中"C邊上的高為〃'止②正確；

ZEAD+/AED=9b,/AED=ZABC+NBAE：.ZEAD=90°-(/ABC+NBAE).

：/E是角平分線，ZBAE=-ABAC=-(18(F-AABC-ZACB)=9(F-」ABC-‘WACB.

2222

AZEAD=90°-(ZABC+90°-^ZABC-^ACB)=^ZC-ZABC),③正確；

如圖，過(guò)點(diǎn)E作,垂足為X,/,是角平分線，???￡〃=￡/.

A

sAABE：S“E=04B.EH):.EI)=AB:4c.④正確?故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形角平分線，中線，高的定義，直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性

質(zhì)；熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

7.（2023下?重慶江北?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，NACB>NB,AD,ZE分別是高和角平分線,

點(diǎn)尸在的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)HL4E交4D于G,交48于下列結(jié)論中不正確的是（）

A.ZDAE=ZFB.ZAEF=^（ZACF+ZB）C.NF=g（NACB-NB）D.ZAGH=NCAE+NB

【答案】C

【分析】先根據(jù)垂直的定義可得4MG=/EDG=90。，然后根據(jù)同角的余角相等即可判定A；根據(jù)角平分

線的定義可得由三角形外角的性質(zhì)可得

ZAEF=ZBAE+ZB,ZACF=ABAC+ZB=2^BAE+ZB,然后運(yùn)用角的和差即可判定B；先根據(jù)三角形

外角的性質(zhì)可得NDAE=ZACB-ZB-/ZME,再結(jié)合ZEAD=NF可判定C；先說(shuō)明44GH=NB+NBAE,

然后根據(jù)等量代換即可解答.

【詳解】解：?/AD±BC,FH±AE,：.ZAMG=AFDG=90°,

,:4GH=NFGD,:.NDAE=NF,故A正確；

A

,：AD>ZE分別是高和角平分線，，

2

/AEF=ZBAE+,ZACF=NBAC+ZB=ZBAE+ZB,

ZBAE=^(ZACF-ZB),：.ZAEF=^(ZACF-ZB)+ZB,

：.ZAEF=^(ZACF+ZB)-,故B正確；VZCAD=900-ZACB,

：.ZDAE=ZCAE-ACAD=NCAE-90°+NACB=ABAD-NDAE-90°+ZACB,

?：ABAD=90。-ZB,ADAE=ZACB-NB-ZDAE,

由A得：ZEAD=ZF,；.NF=NACB-NB-NDAE,故C錯(cuò)誤；

,?ZAGH+ZGAE=ZAEC+ZDAE=90°,；.ZAGE=ZAEF,：.ZAGH=ZB+ZBAE,

'：ZBAE=ZCAE,/.ZAGH=ZCAE+ZB,故D正確.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、垂直的定義、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角

形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，28c是等腰三角形，AB=AC,44=45。，在腰48上取一

點(diǎn)。，DE1BC,垂足為E,另一腰/C上的高3尸交。E于點(diǎn)G,垂足為R若BE=3,則。G的長(zhǎng)

為.

【答案】6

【分析】過(guò)點(diǎn)G作MGL8尸交AD于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)“作NMLEZ),根據(jù)等腰三角形各角之間的關(guān)系得出

/FBC=/BDE,再由垂直及等量代換得出/MGD=NBDG,利用等角對(duì)等邊確定MG=MD=BG,

DG=2DN,再由全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作時(shí)交AD于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作如圖所示：

,/AB=AC,ZA=45°,DE1BC,：.NABC=ZC=67.5°,NBDE=22.5°,ZABF=//=45°,

/.ZFBC=ZABC-ZABF=22.5°,ZBGE=67.5°A/FBC=ZBDE,

,?MGLBF,NMLED,：.ZBGM=ZMND=90°,ZABF=ZBMG=45°

NMGD=180°-ZBGE-NBGM=22.5°,MG=BG,

：.NMGD=ZBDG,：.MG=MD=BG,DG=2DN,

'ZMND=NBEG=90。

在.ADNM與ABEG中,■NBDE=NFBC,:.ADNM”ABEG(AAS)

DM=BG

：.DN=BE=3,：.DG=2DN=6,故答案為：6.

【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，熟

練運(yùn)用等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.(2024?重慶?三模)如圖，“3C中，于點(diǎn)。，于點(diǎn)E,CE與3。相交于點(diǎn)//,已知

AD=HD=2,CD=6,則“3C的面積為.

A

【答案】24

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)ASA證明△AD8之△HOC,得到BZ)=CD=6,再根

據(jù)AABC的面積=解答即可求解，證明是解題的關(guān)鍵.

2

【詳解】解：VBDLAC,CE1AB,：.ZHDC=NADB=ZAEC=90°,

NA+AHCD=90°,ADHC+AHCD=90°,N4=ZDHC,

Z=ZDHC

在“D2與△HDC中，＜AD=HD,；.AADB為HDC(ASA),:.BD=CD=6,

ZADB=ZHDC

VAC=AD+CD=2.+6=?,,；.“BC的面積」x8x6=24,故答案為：24.

22

10.(23-24八年級(jí)上?安徽六安?期中)如圖，在V/8C中，ZABC=48°,ZACB=76°,兩條高AD、CE交

于點(diǎn)。，連接NO,則NCM￡=.

【答案】42。/42度

【分析】本題考查了三角形的三條高交于一點(diǎn)，三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形的三條高交于一點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

如圖，延長(zhǎng)/。交2c于尸，則4尸為8c邊上的高，即乙4F8=90。，ZOAE=180°-ZABC-ZAFB,

計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)/O交BC于尸，

;兩條高50、CE交于點(diǎn)。，二/F為8c邊上的高，即//F3=90。，

AZOAE=180°-ZABC-ZAFB=42°,故答案為：42°.

11.（2023春?江蘇宿遷?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在“3C中，NA4c=90。，ZC=40°,4H、BD分別是“BC

的高和角平分線，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，當(dāng)AADE為直角三角形時(shí)，則NCDE=

【答案】50或25/25或50

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得乙48c=50。，由角平分線的定義得/D8C=25。，當(dāng)△ADE為直角三角

形時(shí)，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：Z.BAC=90°,ZC=40°,NABC=9（F-40°=50。

BD平分/ABC：.ZDBC=-ZABC=25=

2

當(dāng)△瓦?￡為直角三角形時(shí)，有以下兩種情況：

①當(dāng)ZBED=90。時(shí)，如圖1,；ZC=40°，：,ZCDE=90°-40°=50°；

②當(dāng)/8?！?90。時(shí)，如圖2,；.NBED=90°-25°=65°,

,:NBED=NC+NCDB,/CDE=65。-40=25。，

綜上，NCAE的度數(shù)為50°或25。.故答案為：50或25.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此

題的關(guān)鍵.

12.（2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtAlBC中，ZACB=9Q。，CD_L/3于。，AF平分NCAB

交CD于￡,交BC于F.

c

（1）如果/?；?70。，求/B的度數(shù)；（2）試說(shuō)明：NCEF=NCFE.

【答案】（1）50°（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)二角形內(nèi)角和可得NC/尸的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得的度數(shù)，根據(jù)直角二

角形的性質(zhì)可得N8的度數(shù)；

（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得NC/B+NCFE=90。，ZDAE+ZAED=90°,根據(jù)角平分線的定義

nJZ.CAF=Z.DAE,從而可得NCFE=N/ED,即可得證.

【詳解】（1）解：???ZACB90°,ZCFE=70°,/.ZCAF=180°-90°-70°=20°,

；AF平分/CAB交CD于E,ZCAB=2ZCAF=40°,ZB=90°-40°=50°；

（2）證明：VZACB=90°,:.NCAF+NCFE=90°,

CDLAB,AADE=90°,:.ZDAE+ZAED=90°,

;4F平分/CAB交CD于E,ZCAF=ZDAE,ZCFE=ZAED,

???ZAED=NCEF,:.ZCEF=ZCFE.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握直角三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（23-24七年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，在V48c中，AD平分NB4C,P為線段ND上的一個(gè)點(diǎn),

/>￡1/。交直線5（7于點(diǎn)￡1.（1）若/8=35。，乙4c8=85。，求/E的度數(shù).（2）猜想/E與/B、//C2的

數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)25。；(2)NE=；(N4CB-NB).

【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180。是解答此題的關(guān)鍵.

（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得NA4c的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得/D/C的度數(shù)，從而

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出ZADC的度數(shù)，進(jìn)一步求得/￡的度數(shù)；

（2）根據(jù)第（1）小題的思路即可推導(dǎo)這些角之間的關(guān)系.

【詳解】（1）解：;NB=35°,ZACB=85°,ABAC=60°,

?.?AD平分/3/C,ADAC=30°,:.ZADC=65°,ZE=25°；

（2）如圖，設(shè)Z8=〃°,ZACB=m°,?.?/￡）平分/B/C,:.Z1=Z2=^ZBAC,

■：ZB+ZACB+ZBAC^180°,?:NB=n°,ZACB=m°,ZCAB=(l80-n-m)°,

：.ZBAD=1(180-W-m)°,Z3=ZS+Z1=n°+1(180-?-m)°=90°+~^m°,

vPELAD,ZDPE=90°,NE=90°-(90°+-lm°)=1(w-?)°=^(ZACB-NB).

14.(23-24八年級(jí)上?遼寧鞍山?期中)(1)如圖①，在R3ABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足為D,求

證：ZACD=ZB；(2)如圖②，在R3ABC中，ZC=90°,D、E分別在AC,AB上，且NADE=/B,判

斷AADE的形狀？并說(shuō)明理由？(3)如圖③，在RtZkABC和RtADBE中，ZC=90°,/E=90。，點(diǎn)C,B,

E在同一直線上，若AB_LBD,AB=BD,則CE與AC,DE有什么等量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE

【分析】⑴根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出NACD+NA=NB+NDCB=90。，再解答即可；⑵根據(jù)直角三角

形的性質(zhì)得出NADE+NA=NA+NB=90。，再解答即可；（3）由AB_LBD可得NDBE+NABC=90。，進(jìn)而可

證明/A=/DBE,禾U用AAS可證明AABC0ABDE,即可證明BC=DE,AC=BE,從而可證明CE=AC+DE.

【詳解】（1）:在R3ABC中，ZACB=90°,AZA+ZB=90°,

VCDXAB,.,.ZACD+ZA=90°,AZACD=ZB.

（2）AADE是直角三角形，理由如下：：在RtAABC中，ZACB=90°,AZA+ZB=90°,

VZADE=ZB,.,.ZA+ZADE=90°,.,.ZAED=90°,即AADE得直角三角形.

(3)CE=AC+DE,證明如下：?點(diǎn)C、B、E在同一直線上，ABXBD,AZDBE+ZABC=90°,

VZA+ZABC=90°,AZA=ZDBEVZC=ZE=90°,AB=BD,ZA=ZDBE,△ABCABDE,

；.BC=DE,AC=BE,CE=CB+BE=DE+AC.

【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出兩銳角互余

是解題關(guān)鍵.

15.(23-24七年級(jí)下?河南周口?階段練習(xí))已知在V4BC中，ADJ.BC于點(diǎn)D.

圖2

(1)如圖1,若/A4c的平分線交8C于點(diǎn)E,ZB=35°,ZC=25°,則/D/E的度數(shù)為.

(2)如圖2,點(diǎn)M、N分別在線段/2、/C上，將V/3C折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕

分別為和DN,點(diǎn)G、尸均在直線ND上，若/A4c=120。，試說(shuō)明N4MF+N4NG=/B+/C.

【答案】(1)5。(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查三角形綜合題，涉及翻折變換，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定義，三角形外角性質(zhì),

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.(1)利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可解決問(wèn)題,

(2)由折疊可知=和NC=NG,由NA4C=120。得出乙8+/C=60。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)

可得出/胡。=/8/。+/。/。=//必+//玲/+44"7+/6,從而得出N4WF+N/NG=6QP,即可證明

結(jié)論.

【詳解】(1)解：,/AD1BC,：.ZADB=90°,

又：/3=35°,ZC=25°,ABAD=180°-ZS-ZADB=55°,ABAC=180°-25°-35°=120°,

；/E平分NBAC,ZBAE=ZCAE=60°,：.ZDAE=/BAE-ZBAD=5°.

(2)解：由折疊可知=/AR",ZC=ZG.

ZBAC=120°,；.Z5+ZC=180°-120°=60°,

ABAC=/BAD+ZDAC=ZAMF+NAFM+ZANG+ZG,

：.ABAC=AAMF+ZANG+ZB+ZC,即120°=ZAMF+ZANG+60°,

ZAMF+ZANG=60P,ZAMF+ZANG=NB+NC.

16.（22-23八年級(jí)上?廣西桂林?期中）如圖，V/2C中，乙4=40。，/8=60。，CE平分NACB,CD1AB

4cAE

于D,DF1CE,交CE于尸，求：⑴NCD廠的度數(shù)；（2）當(dāng)CE平分//C2時(shí)，——=—，若NC=m,BC=n,

CBBE

AB=a,請(qǐng)用含機(jī)，”，a的代數(shù)式表示BE的長(zhǎng).

c

【答案】（l）/CDb=80。；Q）BE=------.

m+n

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和180。以及角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用.

（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得/