2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：全等與相似模型之手拉手模型解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專題20全等與相似模型之手拉手模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，

方便掌握。

目錄導(dǎo)航

例題講模型'

.........................................................................................................................................................2

模型1.手拉手模型（全等模型）.........................................................2

模型2.手拉手模型（相似模型）........................................................12

習(xí)題練模型

-----------------------...........................................................................................................................................................26

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

例題講模型］

模型1.手拉手模型（全等模型）

模型解讀

將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等,

也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左

手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。

4(興)

等線段，共頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進(jìn)

行解決。SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。

模型證明

1）雙等邊三角形型

條件:△A8C和AOCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,交于點(diǎn)凡

結(jié)論:①AACD咨ABCE；②BE=A。；?ZAFM=ZBCM=60°；④b平分NBFD。

證明:「△ABC和AOCE均為等邊三角形，：.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD^60°

/.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即：/BCE=/ACD,A(SAS),

；.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又YNCMB=NAMF,：.ZAFM=ZBCM=6Q°,

過點(diǎn)C作CPIARCQ/BE,貝!!/CQB=/CB4=90。，又：NCBE=/CAD,BC=AC,:.△BCQ^XACPCAAS)

:.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分/BFD。

2）雙等腰直角三角形型

結(jié)論：①△ACD四△BCE；②BE=AD；③NAMW=NBCM=90。；④iCN平分/BND。

證明：:△ABC和AOCE均為等腰直角三角形，：.BC=AC,CE=CD,NBCA=/ECD=9。。

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即NBCE=/ACZ),：.^ACD^/\BCE(SAS),

；.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又，：/CMB=/AMN,：.ZANM=ZBCM=9Q°,

過點(diǎn)C作瓦則/CQ8=NCE4=90。，又,：/CBE=/CAD,BC=AC,：.ABCQ^^ACP(AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分/BND。

3)雙等腰三角形型

條件：BC=AC,CE=CD,/BCA=/ECD,C為公共點(diǎn)；連接BE,A。交于點(diǎn)幾

結(jié)論：①△ACDgZkBCE；②BE=AD；③N8CM=/AFM；④CT平分/BFD。

證明："：ZBCA=ZECD,：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即/BCE=NAC。，

X".'BC=AC,CE=CD,：.AACD^ABCE(SAS),：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,

又?：NCMB=/AMF,：.ZBCM=ZAFM,過點(diǎn)C作

又,：NCBE=/CAD,BC=AC,：.hBCQ^/\ACP(AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分/BFD。

4）雙正方形形型

條件：四邊形A8CZ）和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG,ED交于點(diǎn)N。

結(jié)論：①△BCG94DCE；②BG=DE；③/BCM=/DNM=90。；④CN平分/BNE。

證明：：四邊形A8CD和四邊形CEEG都是正方形，：.BC=AC,CE=CG,ZBCD=ZECG=90°

：.ZBCD+ZDCG=ZECG+ZDCG,^ZBCG=ZDCE,：.4BCGqADCE(SAS'),

：.BG=DE,ZCBG=ZCDE,又，：4CMB=ZDMN,:./BCM=NDNM=90°,

過點(diǎn)C作CP」Z)E,C。上BG,貝!)NCP￡)=/CP8=90°,又?：NCBG=/CDE,BC=DC,：.^BCQ^/\DCP(.AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分/BND。

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級下?遼寧丹東?期中）如圖，點(diǎn)A,B,C在同一條直線上，AABD,ABCE均為等邊三角

形，連接AE和CD,AE分別交C。、BD于點(diǎn)M,P,CD交BE于點(diǎn)、Q,連接PQ,BM,下面結(jié)論：①

△ABE'DBC；②/r>M4=60。；③APB。為等邊三角形；④MB平分2MC；⑤/PEQ=3U°.其中結(jié)論

正確的有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可證得AABE絲ADBC故①正確；根據(jù)AME之△￡>3c結(jié)合三角形外角性質(zhì)

即可得出NDM4=/B4E+/3CD=/3r>C+/3CD=60。，故②正確；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易證

△ABP2ADBQ,得到時(shí)=3。結(jié)合々時(shí)=60。即可得到“BQ為等邊三角形，故③正確；根據(jù)全等三角

形性質(zhì)，得到點(diǎn)B到AE,C。的距離相等,，從而可得點(diǎn)8在/AWC的角平分線上，故④正確；已有的條

件無法求NPEQ的度數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；從而解題.

【詳解】解：?.?△ABD、ABCE為等邊三角形,

:.AB=DB,ZABD=ZCBE=60°,BE=BC,:.ZABE=ZDBC,NPBQ=60。,

AB=DB

在AABE和△Z32C中，=.?.△ABE0AZ)BC(SAS),故①正確；

BE=BC

?;AABE'DBC,:.ZBAE=ZBDC,ZBDC+ZBCD=180°-60°-60°=60°,

NDMA=ZBAE+ZBCD=NBDC+NBCD=60°,故②正確；

ZBAP=ZBDQ

在AAB尸和△D3。中，*AB=DB,.,.△ABPZADBQ(ASA),BP=BQ,

NABP=ZDBQ

二為等邊三角形，故③正確；?.?△ABE四ADBC,，AE=CD,SiABE=SADBC

點(diǎn)8到AE,C￡＞的距離相等，即AE、CD邊上的高相等，

.,?點(diǎn)B在/⑷WC的角平分線上，即MB平分/AMC；故④正確；

已有的條件無法求NPE。的度數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，三角形外角

性質(zhì)，角度的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識.

例2.(2024?山東泰安?中考真題)如圖1,在等腰RtaABC中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)、D,E分別在A3,

CB上,DB=EB,連接AE,CD,取AE中點(diǎn)尸，連接即.

⑴求證：CD=2BF,CDLBF；(2)將ADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請直接寫出BF與8的位置關(guān)系：；②求證：CD=2BF.

【答案】(1)見解析(2)①班」CD；②見解析

【分析】(1)先證明AABE絲ACBD得到AE=CD,AFAB=ZBCD,根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到

CD=AE=2BF,根據(jù)等邊對等角證明NFS4=N3CD,進(jìn)而可證明班'LCD；

(2)①延長8尸到點(diǎn)G,使FG=W,連結(jié)AG,延長BE到M,使BE=BM,連接AM并延長交CD于點(diǎn)

N.同(1)證明AAGB且△5DC得到NABG=NBCr),然后利用三角形的中位線性質(zhì)得到板〃AN,則

ZABG=ZBAN=ZBCD,進(jìn)而證明AN_LCD即可得到結(jié)論；

②延長8尸到點(diǎn)G,使FG=BF,連接AG.先證明AAGRZAEBP,得到NE4G=NFEB,AG=BE,進(jìn)而

AG//BE,AG=BD.證明△AGB也△8DC得到CD=8G即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在AABE和△CB。中，-.-AB=BC,ZABE=ZCBD=90°,BE=BD,

“ABE%ACBD(SAS),:.AE=CD,ZFAB=ZBCD.

?.?F是Rt/XABE斜邊AE的中點(diǎn)，:.AE=2BF,:.CD=2BF,

BF=-AE=AF,:.ZFAB=/FBA.NFBA=/BCD,

2

-,-ZFBA+ZFBC=90°,:.NFBC+NBCD=90°.BF±CD；

(2)解：?BF±CD；理由如下：延長即到點(diǎn)G,使產(chǎn)G=3尸，連結(jié)AG,延長BE到使BE=BM,

連接AM并延長交CD于點(diǎn)N.證明△AGBZABDC(具體證法過程跟②一樣)..1/ASG=/BCD,

:尸是AE中點(diǎn)，8是￡71/中點(diǎn)，二所是AABM中位線，：.BF//AN,

ZABG=ZBAN=ZBCD,ZABC=ZANC=90°,:.ANLCD,

■：BF//AN,BFLCD.故答案為：BF±CD；

AA

G/卜

②證明：延長所到點(diǎn)G,使FG=BF,連接AG.

■.■AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB,；.AAGF咨AEBF(SAS),

:./FAG=/FEB,AG=BE,:.AG//BE,ZGAB+ZABE=180°,

-,-ZABC=ZEBD=90°,ZABE+ZDBC=180°,:.ZGAB=ZDBC.

-,BE=BD,AG=BD.在AAGB和ABDC中,

VAG=BD,NGAB=NDBC,AB=CB,：.AAGB沿ABDC(SAS),：.CD=BGBG=2BFCD=2BF.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角

形的中位線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，涉及知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與

運(yùn)用，靈活添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵.

例3.（2023?山東?九年級專題練習(xí)）已知，AABC為等邊三角形，點(diǎn)。在邊8C上.

圖1圖2圖3

【基本圖形】如圖1,以AD為一邊作等邊三角形VADE,連結(jié)CE.可得CE+CD=AC（不需證明）.

【遷移運(yùn)用】如圖2,點(diǎn)尸是AC邊上一點(diǎn)，以￡>產(chǎn)為一邊作等邊三角ADEF.求證：CE+CD=CF.

【類比探究】如圖3,點(diǎn)尸是AC邊的延長線上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角J）EF.試探究線段CE,CD,

CF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由.

【答案】【基本圖形】見解析；【遷移運(yùn)用】見解析；【類比探究】見解析.

【分析】基本圖形：只需要證明A54Z在場得到=即可證明；

遷移運(yùn)用：過點(diǎn)。作OG〃AB,交AC于點(diǎn)G,然后證明ACDE會AGD尸得到CE=G/，即可推出

CE+CD=GF+CG=CF；類比探究：過點(diǎn)。作DG〃AB,交AC于點(diǎn)G,然后證明ACDEZAGDF,得到

CE=GF,再由GV=CF+CG=CF+CD,即可得到CE>+CF=CE.

【詳解】基本圖形：證明：???△AC8與VAZ汨都是等邊三角形，

AAC=AB=CB,ZCAB^60°,AD=AE,/ZME=60。，

Z.ZCAE=ZDAE-ZCAD=（fiP-ZCAD,ZBAD=ZCAB-ZCAD=60°-ZCAD,:./CAE=/BAD,

AC=AB

在與VG4￡中，-ZCAD=ZBAE,：.ABAZ）^AC4E（SAS）,

AD=AE

：.CE=BD,：.CE+CD^BD+CD=CB,:AC=CB,：.CE+CD=AC；

遷移運(yùn)用：證明：過點(diǎn)。作DG〃AB,交AC于點(diǎn)G,

---AACB是等邊三角形，Z./ACB=ZA=ZB=60°,

VDG//AB,"Gr>=NA=60°,/0X7=/3=60°,

又：NACB=60。，,ACDG為等邊三角形，:.CD=DG=CG,

,/J）EF為等邊三角形，，DE=DF，ZEDF=60°,

,/NCDE=ZCDG-ZEDG=60°-ZEDG,NFDG=/EDF-NEDG=60°-ZEDG,：.NCDE=NFDG,

BD=DG

在ACDE與AGDF中</BAD=NGDF,：.ACDE/&GDF（SAS）,；.CE=GF,；.CE+CD=GF+CG=CF；

DE=DF

類比探究：解：CD+CF=CE,理由如下：過點(diǎn)。作OG〃43,交AC于點(diǎn)G,

,?AACB是等邊三角形，NACB=ZA=ZB=60°,

,?DG//AB,：.^CGD=^A=60°,ZCDG=ZB=^°,

又：NACF=60。，，ACE?G為等邊三角形，CD=DG=CG,

,/d）EF為等邊三角形，；.DE=DF，/FDE=60°,

,/ZGDF=ZGDC+NCDF=60°+NCDF,NCDE=ZEDF+NCDF=60°+NCDF，,ZGDF=NCDE,

BD=DG

在CDE與AGDF中<NBDE=ZGDF,；.￡DE%GDF（SAS）,；.CE=GF,

DE=DF

VGF=CF+CG=CF+CD,：.CD+CF=CE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與

判定條件是解題的關(guān)鍵.

例4.（23-24九年級上?浙江臺州?期末）如圖，將VABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AED,并使C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)

。點(diǎn)落在直線BC上.（1）如圖1,證明：ZM平分/EDC；（2）如圖2,AE與BD交于點(diǎn)尸,若

ZAFB=50°,N3=20。，求，BAC的度數(shù)；（3）如圖3,連接3E,若EB=13,ED=5,CD=17,則AD的

長為.

A

AA

E、

圖1圖2圖3

【答案】（1）證明見解析；（2）15。；（3）土也.

2

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及逆定理的應(yīng)用等知識，解答本

題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).（1）根據(jù)VABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AAED,可得ZADE=NC,AD=AC,

即得NADC=NC,故/ADE=NADC,D4平分NE￡）C；（2）ZBAC=x°=ZDAE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和

三角形外角的性質(zhì)可得50°=（x°+20。）+廿，即可解得的C=15。；（3）過A作AH,3c于X,由已知可

得BD=CD-BC=12,即可得￡?2+3￡）2=跳；2,從而/即8=90。，可得NAZJC=ZADE=45。，AADH是

等腰直角三角形，故4。=0。"=必旦.

2

【詳解】（1）證明：：VABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A￡D,

:.ZADE=NC,AD=AC,：.ZADC=ZC,：.ZADE=ZADC,ZM平分N￡DC；

（2）解：^ZCAB^x0^ZDAE,,：ZACD=ZCAB+ZB,：.ZACD=^°+20°,

,/AD=AC,：.ZADC=ZACD=x°+20°,

,/ZAFB=ZADC+ZDAE,：.50°=(x°+20°)+x°,解得x=15。，AZBAC=15°；

（3）解：過A作AHLBC于H,如圖:

「VABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AED,AD=AC,ED=BC=5,ZADE=ZC,

,:CD=17,/.BD=CD-BC=12,'：ED2+BD2=52+122=169,BE2=132=169,

117

?*-ED2+BD2=BE2，:.NEDB=9G。,VAD=AC,AH±BC,：.ZADC=ZC,DH=-CD=—,

NADC=/4DE=45。，AADH是等腰直角三角形，4￡>=也。"="^,故答案為：5g.

22

例5.（2022?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）已知在R/AABC中，ZACB=90°,a,b分別表示NA,的對邊,

a>b.1己AABC的面積為S.

（1）如圖1,分別以AC,為邊向形外作正方形ACOE和正方形3GFC.記正方形ACQE的面積為S1,正

方形8GFC的面積為S?.①若岳=9,邑=16,求S的值；②延長EA交GB的延長線于點(diǎn)N,連結(jié)FN,交

BC于點(diǎn)、M,交于點(diǎn)H.若（如圖2所示），求證：S2-S1=2S.

（2）如圖3,分別以AC,CB為邊向形外作等邊三角形AC。和等邊三角形CBE,記等邊三角形AC。的面積

為E，等邊三角形C8E的面積為S”以為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在AABF內(nèi)），連結(jié)EF,CF.若

EFLCF,試探索其-H與S之間的等量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）①6；②見解析⑵$2-百=；5,理由見解析

【分析】（1）①將面積用a,b的代數(shù)式表示出來，計(jì)算,即可②利用AN公共邊，發(fā)現(xiàn)△E4NsA4AB

J7AAN

利用W=緇，得到。，°的關(guān)系式，化簡，變形，即可得結(jié)論（2）等邊與等邊共頂點(diǎn)2,

ANNB

形成手拉手模型，AABC咨NBE,利用全等的對應(yīng)邊，對應(yīng)角，得到：AC=FE=b,NFEB=NACB=9Q。,

從而得到/FEC=30。，再利用比cos300=—=-=^-,得到。與6的關(guān)系，從而得到結(jié)論

CEa2

【詳解】（1）：SI=9,邑=16.?/=3,。=4?.?/ACB=90。；.S=gab=gx3x4=6

②由題意得：/FAN=/ANB=90°,VFHLAB：.ZAFN^90°~ZFAH=ZNAB：./\FAN^/\ANB

得：ab+b2=a2：.2S+S^S.即邑一A=2S

ANNBab2

（2）S2-H=；S,理由如下：?.?△ABP和ABEC都是等邊三角形

：.AB=FB,ZABC=60°~ZFBC=ZFBE,CB=EB

：./\ABC^/\FBE(SAS)；.AC=FE=bZFEB=ZACB^90°：.ZFEC^3Q°

,?EFLCF,C￡=BC=a.\-=—=cos30°=—：.b=—a：.S=-ab=~a2

aCE2224

由題意得：S、=Bb。,S,衛(wèi)a1：.S「S、力a1-立2二a2：.S「S\=3s

4-42144164

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似，手拉手模型，代數(shù)運(yùn)算，本題難點(diǎn)是圖二中的相似和圖三中的手拉手

全等。

例6.(2024?黑龍江?九年級期中)已知RtzXABC中，AC=BC,ZACB=90°,尸為A8邊的中點(diǎn)，且DF=EF,

ZDFE=90°,。是上一個(gè)動點(diǎn).如圖1,當(dāng)。與C重合時(shí)，易證：CD2+DB2=2DF2；

(1)當(dāng)。不與C、2重合時(shí)，如圖2,CD、DB、有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明.

(2)當(dāng)D在BC的延長線上時(shí)，如圖3,CD、DB、。尸有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明.

■5(5)C

C(L>)

【答案】(1)C3+DB2=2DF2；(2)CD2+DB2=2DF2,證明見解析

【分析】(1)由己知得￡)6=2DF2，連接CF,BE,證明ACDF三ABEF得CD=BE,再證明ABDE為直角

三角形，由勾股定理可得結(jié)論；

(2)連接C尸，BE,證明AC"三ABE尸得CD=BE,再證明ABDE為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)CEP+DB^DF2

證明：?:DF=EF,ZDFE=90°,：.DF2+EF2=DE2：,DE2-2DF2連接CRBE,如圖

：△ABC是等腰直角三角形，F(xiàn)為斜邊A3的中點(diǎn)

CF=BF,CF1AB,即NCFB=90°;.NFCB=NFBC=45。,ZCFD+ZDFB=90°

CF=BF

又ZDFB+ZEFB=90°Z.ZCFD=ZEFB在ACFD和ABFE中］/CFD=ZBFE：.ACFD=NBFE

DF=EF

:.CD=BE,NEBF=NFCB=45。：.ZDBF+ZEBF=450+45°=90°DB2+BE2=DE2

'：CD=BE,DE2=2DF2,CD^+DB^IDF2；

（2）。2+￡>82=2￡）盧證明：連接CRBE:CF=BF,DF=EF又?：NDFC+NCFE=NEFB+/CFB=9。。

:.NDFC=NEFB：.ADFC"/\EFB：.CD=BE,ZDCF=ZEBF=135°

?；/￡2￡）=/班下一/尸2。=135°—45°=90°在冊△DBE中，BE2+DB2=DE2'：DE2=2DF2：.CLP+DB^DF2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、證明三角形全等是解決問題的關(guān)

鍵，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

模型2.手拉手模型（相似模型）

模型解讀

“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小（這個(gè)頂點(diǎn)不變），我們稱這樣的圖

形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。

手拉手模型有以下特點(diǎn)：1）兩個(gè)三角形相似；2）這兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)，且繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并縮放后2個(gè)

三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個(gè)三角形是相似的）。

模型證明

1）手拉手相似模型（任意三角形）

條件:如圖，ZBAC=ZDAE=a,絲=絲=左；

AEAC

結(jié)論：AABDsLACE；—=k；NBFC=NBAC.

EC

證明：?.,絲=竺=左，???絲=竺，?：ZBAC=ZDAE=a,：.AADEs叢ABC,

ABACABAC

VZBAC=ZDAE=a,ABAC-ADAC=ADAE-ADAC,：.ZBAD=ZCAEf

?.?"=絲=左，RABDS^ACE,:,也=但=卜，ZABD=ZACEf：.ZBFC=ZBAC=ZDAE=a,

AEACECAC

2）手拉手相似模型（直角三角形）

0

條件:如圖，ZAOB=ZCOD=90°,—=—=fc；

ODOB

結(jié)論：AAOC-ABOD；—=k>ACA.BD,S=-ABxCD-

BDABRCDn2

證明：VZAOB=ZCOD=90°,AZAOB-ZBOC=ZCOD-ZBOC,：,ZAOC=ZBOD,

...==U=k，：.&AOCsABOD,.?.把=匕=左，ZOAB=ZOBD,

ODOBBDOB

/?ZAEB=ZAOB=90°,：.AC±BD,SABCD=-ABxCD.

3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）

條件:M為等邊三角形ABC和?！晗碌倪匒C和。F的中點(diǎn)；結(jié)論：ABMEsACMF；-=d3.

CF

證明：?.,〃為等邊三角形ABC和。EE的邊AC和。尸的中點(diǎn)，.?.也=空=若，/BMC=NEMF=90°,

MCMF

：.ZBMC-ZEMC=ZEMF-ZEMC,：.ZBME=ZCMF,：.ABME^ACMF,:.里=眄=料,

CFCM

條件:AABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABDS/VVCE；ZAC￡=90°；處=也.

CE2

證明：:△ABC和AOE是等腰直角三角形，，絲=迎=變，ZBAC=ZDAE=45°,

ACAE2

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,：.ZBAD=ZCAE,：.^ABD^^ACE,

...處=任="ZACE=ZABD=90°

CEAC2

模型運(yùn)用

例1.(2023?江西?一模)圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰只角形的

旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究.

(1)［觀察猜想］如圖1,AABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在A3、AC上.且

將AAOE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<360°).請直接寫出旋轉(zhuǎn)后8。與CE的數(shù)量關(guān)系；

E

圖1

⑵［探究證明］如圖25女方是以NC為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,Z)E〃BC分別交AC與兩邊于點(diǎn)及

點(diǎn)D將AADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時(shí)，(1)中結(jié)論是否仍然成立.若成立，請給出證明;

若不成立，請說明理由；

(3)［拓展延伸］如圖3,8。是等邊AABC底邊AC的中線，AELBE,AE〃BC.將AABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

△EBE,點(diǎn)A落在點(diǎn)尸的位置，若等邊三角形的邊長為4,當(dāng)ABL3E時(shí)，求出。的值.

圖3

【答案】(1)結(jié)論BD=CE.證明見解析；

(2)結(jié)論不成立.2。與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=y/2CE.證明見解析；(3)28

【分析】(1)結(jié)論2D=CE.證明咨△ACE(SAS)；(2)結(jié)論不成立.8。與CE的數(shù)量關(guān)系：BZ)=&

CE.證明AD48s△EAC,可得結(jié)論；(3)根據(jù)條件可得當(dāng)AB_LBE時(shí)，NEBC=90。-NABC=30。，結(jié)合

等邊三角形的性質(zhì)，可得FBLBD,勾股定理即可求得。尸.

【詳解】(1)結(jié)論2D=CE.理由：如圖1中，,/ZBAC-ZDAE,：.ZBAD=ZCAE,

'JAB^AC,AD=AE,△AB。絲ZXACE(SAS),：.BD=EC.故答案為：BD=CE.

(2)結(jié)論不成立.2。與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=gCE.

ADAn_

理由：「△ABC,“匹都是等腰直角三角形，...NC42=/￡W=45。，普=嚓=&,

JACAE

VZDAB=ZEAC,：./\DAB^^EAC,：.—=—=y/2,：.BD=^CE

CEAC

（3）如圖3,50是等邊△ABC底邊AC的中線，AE_LBE,AE〃BC.

NBAE=60°,NABE=30°,AE=-AB^2,NCBD=ZABD=30°

2

將AABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△EBE,點(diǎn)A落在點(diǎn)F的位置，:.NFBE=ZABE=30°

當(dāng)AB_LBE時(shí)，ZEBC=90°-ZABC=30°/.ZFBD=ZFBE+ZEBC+ZCBD=90°:.BF±BD

??,△ABC是等邊△,等邊三角形的邊長為4,r.8。=走x4=2百，BF=AB=4

2

FD2=BF2+BD2=16+12=28

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題.

例2.（2024.山東棗莊.二模）綜合實(shí)踐

問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)頂點(diǎn)連線的長度

存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對此進(jìn)行了研究，如圖1,在金。中，？390?,AB=3C=4,分別取AB,

AC的中點(diǎn)。，E,作VADE.如圖2所示，將VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD,CE.

圖1圖2圖3

（1）探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段3。和CE的長度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明.

（2）性質(zhì)應(yīng)用：如圖3,當(dāng)DE所在直線首次經(jīng)過點(diǎn)8時(shí)，求CE的長.

【答案】（1）CE=&BD，證明見解析；（2）CE=2#

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)

前后對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等；相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，以及解直角三角形的方法和步驟.

（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義得出==進(jìn)而得出空=空，易得些=Y2,通過證明

AABD-AACE,即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意推出DE當(dāng)所在直線經(jīng)過點(diǎn)8時(shí)，AD1.BE,根據(jù)勾股定理可

得加=AW_5=26,根據(jù)（1）可得見=也,即可求解；

CE2

【詳解】（1）解：猜想CE=^8。，證明如下：

,在AABC中，?B90?,AB=BC=4,AB,AC的中點(diǎn)分別為。，E,

ADAE1.ADAB

：.AD=-AB,AE=-AC,布=就=5'則n罰=就

22

Aft'—AC=,

v?B90?,AB=BC=4,ABAC=45°,cosZBAC=—

AC2

將VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接8。，CE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZBAD^ZCAE,

ADAE1CE

:.AABDs/\ACE,g=0,CE=s/2BD：

~AB~~AC~2BD

(2)解：???AS=3C=4,分別取A3,AC的中點(diǎn)。，E,

DE//BC,AD=^AB=2,^ABC^Z\ADE,：.ZADE=ZABC=90°,

.??當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)8時(shí)，ADLBE,：.ZADB=90°,

在RJADB中，根據(jù)勾股定理可得：BDAAB'—AD。=26，由可得：—.

CE2

，:巫=在，解得：CE=2娓;

CE2

例3.（2024.四川成都.中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)

頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片ABC和必?中，

AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90°.

【初步感知】（1）如圖1,連接BD,CE,在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究”的值.

CE

【深入探究】（2）如圖2,在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)。恰好落在AABC的中線弧的延長線上時(shí)，

延長瓦＞交AC于點(diǎn)尸，求CF的長.

【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C,D,E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角二角形.若能，直

接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE^90°.證明AADEZAABC,

AC=AE=VAB2+BC2=y/AD2+DE2=5>繼而得到NZME=/BAC，NZME—NZMC=NBAC—"AC即

NCAE=NBAD,再證明AC4ES的D,得到些=—=3.

CEAC5

(2)連接CE,延長8M交CE于點(diǎn)。，根據(jù)⑴得△C4EsAfi4￡),得到乙鋁。=/4良，根據(jù)中線AW得到

BM=AM=CM=^AC=^,繼而得到/MBC=NMCB,結(jié)合NASD+/MBC=90。，得至l」NACE+NMCB=90。

即NBCE=90。，得至IJA8||CQ,再證明AABM0ACQM,得證矩形48CQ,再利用勾股定理，三角形相似

的判定和性質(zhì)計(jì)算即可.(3)運(yùn)用分類思想解答即可.

【詳解】(1)；AB=AT>=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90°.：.AADE^AABC(SAS),

,AC=AE=」AB?+BC27Abi+DE，=5,^DAE=ZBAC,

：.ZDAE-ZDAC=ZBAC-ZDAC^ZCAE=ZBAD,—=—=l：.^CAE^ABAD,.

ADAE;CE=AC5

(2)連接CE,延長8M交CE于點(diǎn)Q,根據(jù)⑴得AOIES處!。，；.么應(yīng))=40￡,

8M是中線；.BM=AM=CM=^AC=^,；.ZMBC=ZMCB,

ZABD+ZMBC=90°,ZACE+ZMCB=90°即NBCE=90°,

AB\\CQ,：.ZBAM=ZQCM,ZABM=ZCQM,

ZBAM=ZQCM

?：<ZABM=ZCQM,：.ABAM^QCM(AAS),：.BM=QM,四邊形ABCQ是平行四邊形,

AM=CM

???ZABC=90°四邊形ABCQ矩形，：.AB=CQ=3,BC=AQ=4,ZAQC=90°,

i-------------EPEQ3,1

；?PQ||CN,世==3,???麗=區(qū)=§=1—'P。=尸，

"NEPQ=ZAPD

設(shè)尸Q=x,CN=2x,則AP=4—x,VZEQP=ZADP=90°,?.^EQP^^ADP(AAS),：.AP=EP=4-x,

EQ=AD=3

7257

EP2=PQ2+EQ2,（4—x）2=x2+32,解得x=—；AP=4—x=—,CN=2x=—,

''884

ApAT7

?：PQ\\CN,AC=5,:.MFs/NF,???言=癢,

257

.AP+CNAF+CF42解得

…CN―CF

4

(3)如圖，當(dāng)AD與AC重合時(shí)，此時(shí)OE1AC,此時(shí)ACDE是直角三角形,

故SQE=gcDDE=gx（AC-Ar））xOE=gx2x4=4：

如圖，當(dāng)AD在C4的延長線上時(shí)，止匕時(shí)DE/AC,此時(shí)ACDE是直角三角形,

故S?3=：8OE=gX（AC+AD）XDE=gX8X4=16；

如圖，當(dāng)￡>EJ_EC時(shí)，此時(shí)ACDE是直角三角形，過點(diǎn)A作A。，EC于點(diǎn)°,

；AE=AC=5,:.EQ=QC=；EC,,：AQLEC,DELEC,DEJ.AD,

二四邊形AOEQ是矩形，；?AO=EQ=QC=gEC=3,/.EC=6,故5/班=；EC?DE=gx6x4=12；

如圖，當(dāng)DCLEC時(shí)，此時(shí)ACDE是直角三角形，過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q,交DE于點(diǎn)、N,

：.EQ=QC=-EC=x,NQ//CD,，黑=黑=1,DN=EN=-DE=2,QN=-DC,

2DN2。22

?/ZAND=ZENQ,ZADN=ZEQN=90°,:./DAN=/QEN,：.tanADAN=tanZQEN,

QNDN224

???瓦=而=…3=廣"C丁CE=2x,

,/ED2=DC2+EC2,42=（2x）2+f—,：.x2,解得了=M1；

V7I3J1313

,_1???_l.4_4_436_48

±pxSQ——EC?DnC=—x2xx—x=—x2=—x—=—.

皿rnP223331313

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的判定和應(yīng)用，三角形全

等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，矩

形的判定和性質(zhì)，中位線定理是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知

識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在和△&￡/中，AB^AC,AE=AF,ABACZEAF=30°,連接BE,CF,

延長BE交CF于點(diǎn)D.則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：,ZBDC=°；

（2）類比探究：如圖2,在和△AEF中，AB=AC,AE=AF,ABAC=ZEAF=120°,連接BE,CF,

延長BE,FC交于點(diǎn)。.請猜想座與CF的數(shù)量關(guān)系及N3DC的度數(shù)，并說明理由；

⑶拓展延伸：如圖3,AABC和△AEF均為等腰直角三角形，/B4C=/E4F=90。，連接M,CF,且點(diǎn)8,

E,P在一條直線上，過點(diǎn)A作AMLM,垂足為點(diǎn)則2尸，CF,4〃之間的數(shù)量關(guān)系：；

（4）實(shí)踐應(yīng)用：正方形ABCD中，AB=2,若平面內(nèi)存在點(diǎn)P滿足ZBPD=9O。，PD=1,貝IS>=______.

【答案】（1）3E=CF,30（2）5E=CF,ZBDC=60°,證明見解析（3）筋=叱+240（4）乙史或二班

44

【分析】（1）根據(jù)己知得出N"4E=/C4F,即可證明ABAE絲AGLF,得出_BE=CF,ZABE=ZACF,進(jìn)

而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明

△R4E/△C4F