2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：全等三角形模型之奔馳模型解讀與提分訓(xùn)練（原卷版）

專題17全等三角形模型之奔馳模型

對于奔馳模型我們主要是可以通過一些幾何變化，把其中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，以達(dá)到聚合條件，推出我

們想要的結(jié)論的目的。對于幾何變化，目前學(xué)過的主要有：軸對稱，平移，旋轉(zhuǎn)，位似等。對于“奔馳模型”

我們主要采用旋轉(zhuǎn)的方法進(jìn)行變換。對于旋轉(zhuǎn)處理，我們主要分為：旋轉(zhuǎn)全等，旋轉(zhuǎn)相似。今天的這主要

講“奔馳模型”之旋轉(zhuǎn)全等類型。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

...........................................................................................................................................2

模型1.奔馳模型1（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)）...............................................2

模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)）..........................................4

模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外-雞爪模型）..........................................6

習(xí)題練模型

...........................................................................................................................................9

例題講模型］

模型1.奔馳模型1（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)）

此模型通常會和旋轉(zhuǎn)一起來考查，還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因?yàn)樾D(zhuǎn)的特

征是:共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形，三邊相等，每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都有兩個(gè)相等線段，都符合共頂點(diǎn)等線段。

等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心（如上圖的旋轉(zhuǎn)）。

條件：如圖，已知正三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,^^PA2+PB2=PC2（?？紨?shù)據(jù)：BP=3,AP=4,CP=5）,

結(jié)論：ZAPB=150°.（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

AA

模型證明

證明：以/尸為邊向左側(cè)作等邊三角形/PP',連接P'C。

:三角形/8C和三角形/P尸'都為等邊三角形；：.AB=AC,AP=AP=PP',/BAC=/PAP'=NPP'A=60°；

：.ZBAC-ZPAC=ZPAP'-ZPAC,：.ZBAP=ZP,AC,：.^ABP=^ACP'(SAS)，、BP=CP',/APB=NAP'C；

'：PA2+PB2=PC2,PP2+PC2=PC2,：.NPP'C=90。,

ZAP'C=APP'C+ZPP=150°；ZAPB=l50°o

模型運(yùn)用

注意：多線段共端點(diǎn)?？夹D(zhuǎn)。

例1.（23-24八年級下?廣東深圳?期中）如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形4BC內(nèi)的一點(diǎn)，且尸/=2,尸3=1.5,尸C=2.5,

則NAPB的度數(shù)為

A

例2.（2022?湖南?中考真題）如圖，點(diǎn)。是等邊三角形4BC內(nèi)一點(diǎn)，04=2,OB=1,OC=JL貝UA/108

與A50C的面積之和為（）

a-fb-fc-￥…

例3.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）如圖，NABC,ACDE都是等邊三角形，將ACDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)

A,D,￡在同一直線上，連接BE.若BE=2,AE=1,則CD的長是.

例4.（2024?安徽?一模）如圖，尸是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且尸/=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在AABC

外作△BQC0△8P4,連接PQ,則以下結(jié)論中不正確的是（）

Q

A.NPBQ=60°B./-PQC=90°C.UPC=120°D.乙4PB=150°

例5.（24-25九年級上?廣東廣州?開學(xué)考試）如圖，。是正V4BC內(nèi)一點(diǎn)，04=3,08=4,OC=5,將線

段3。以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段8。'，下列結(jié)論，①△80%可以由力OC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。得到；②點(diǎn)。與。'的距離為5；③4402=150。；④四邊形NOBO湎積=6+4行；⑤

S^OC+S3B=6+]J3,其中正確的結(jié)論是（）

A

BC

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)）

條件：如圖，已知等腰直角三角形/8C內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足2^+（行尸/4^=PC2>

結(jié)論：ZCP5=135°o（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

AA

爻

BCBc

證明：以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形/尸尸‘，連接P'C。

?.?三角形ABC和三角形/尸尸，都為等腰直角三角形；

：.AB=AC,AP=AP',ZBAC=ZPAP=90°,PP=41PA,/AP'P=45°

：.ZBAC-ZPAC=ZPAP,-ZPAC,：.NPAB=NP'AC,：."BP=^ACPQSAS>：?BP=CP',NAPB=/APC；

PB2+（y[2PA^=PC2>AP'C2+PP2=PC2,：.ZPP'C=90°,

/4P'C=/PP'C+NPP'4=135°；：.ZAPB=U5°o

模型運(yùn)用

例1.（23-24九年級上?湖北孝感?階段練習(xí)）如圖，等腰直角△NC8,NC=8C,點(diǎn)尸在△NC2內(nèi)，PC=2,

)

C.572D.5

例2.（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測）如圖，在正方形/BCD外取一點(diǎn)￡,連接。E,AE,CE,過點(diǎn)。作OE

的垂線交NE于點(diǎn)尸，若DE=DP=6，PC=2若則下列結(jié)論：?/\APD^^CED-,②4ELCE；③點(diǎn)。

到直線的距離為2百；④S正方“a,=26其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例3.（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，Rtz\/3C中，ZACB=90°,AC=4s/3,BC=6.點(diǎn)、P為一BC

內(nèi)一點(diǎn)，且滿足尸片+尸＜:2=*2.當(dāng)P8的長度最小時(shí)，則尸的面積是

例4.（2024?河北??？家荒＃┤鐖D1,在正方形N2C。內(nèi)有一點(diǎn)P,PA=45,PB=6,PC=\,求N2尸C

的度數(shù).

【分析問題】根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn)，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是

將ABPC繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到了ABPN（如圖2）,然后連結(jié)PP’.

【解決問題】請你通過計(jì)算求出圖2中/5PC的度數(shù)；

【比類問題】如圖3,若在正六邊形Z8CDM內(nèi)有一點(diǎn)尸，且尸/=2而，PB=4,PC=2.

（1）/8PC的度數(shù)為；（2）直接寫出正六邊形/3CDE尸的邊長為

圖1圖2圖3

模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外-雞爪模型）

模型1）條件：如圖1,點(diǎn)P在等邊三角形48c外，若CP?+AP2=BP：結(jié)論：ZCPA=30°o

模型2）條件：如圖2,點(diǎn)P在等腰直角三角形4BC外，若CP?+（后=2尸2,結(jié)論：ZAPC=45°.

（注意：上述兩個(gè)模型結(jié)論和條件互換也成立）

雞爪就是模型本質(zhì)就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”，構(gòu)造出全等三角形，實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，結(jié)合勾股定理，非常有

意思。連完輔助線往往會產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。

模型1)證明：以/P為邊向右側(cè)作等邊三角形4DP,連接DC。

?.?三角形/8C和三角形/D尸都為等邊三角形；：.AB=AC,AP=AD=DP,ZBAC=ZPAD=ZAPD=60°；

/.ZBAC+ZPAC=ZPAD+ZPAC,：.ZBAP=ZCAD,；.ABAP裝CAD(SAS)':,BP=CD；

"：CP2+AP2=BP2,：.PC2+DP2=CD2,NDPC=90°,：.ZCPA=ZDPC-ZAPD=3000

模型2)證明：以/P為邊向上方作等腰直角三角形4PP,且/為。=90。，連接—C。

?.?三角形/8C和三角形/尸口都為等腰直角三角形；

：.AB=AC,AP=AD,ZBAC=ZPAD=90°,DP=41PA,/APD=45°；

：.ZBAC+ZPAC=ZPAD+ZPAC,:.NPAB=NDAC,：.^ABP=^ACD(SAS)'：.BP=CD；

'：CP2+(=BP2，/.CP2+DP2=CD2，ZDPC=90°，ZAPC=ZDPC-ZAPD=45°=

模型運(yùn)用

例1.（2024九年級上?重慶?專題練習(xí)）如圖，P是等邊三角形/3C外一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5,^ZBPA

的度數(shù).

例2.（2023?廣西賀州?二模）如圖，點(diǎn)尸為等邊三角形48c外一點(diǎn)，連接尸/,PC,若PA=7,PB=9,

ZAPB=30°,則PC的長是.

例3.（23-24八年級上?江蘇無錫?期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5,CD=3,NABC=/ACB=/ADC=45。,

則BD的長為（）

A.V34B.V41C.V43D.V59

例4.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）【問題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個(gè)問題：“如圖1,

在四邊形48CD中，AB=AC,ZABC=60°,ZADC=30°,AD=4,BD=5,求CD的長.”經(jīng)過小組合作

交流，找到了解決方法：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等.將△2。繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AB/E,連接DE.則ABOE是

等邊三角形，所以DE=BD=5,導(dǎo)角可得ND/E=90。，所以CO=/E=JDE。-AD?=3.

（1）請補(bǔ)全圖形；

【探究應(yīng)用】（2）如圖2,在VN2C中，AB=AC,ABAC=12.0°.〃為V4BC外一點(diǎn)，且N/D5=50。，更=B,

BD3

求//OC的度數(shù)；

【拓展延伸】（3）如圖3,在V4BC中，AB=AC,ZBAC=nO°,18c于D,M為4。上一點(diǎn)，連接BM,

N為BM上一點(diǎn)，若AN=6,BN=y[3,NBAN-/CBN=30。,連接CN,請直接寫出線段CN的長.

習(xí)題練模型

1.（2024九年級?重慶?期中）如圖，在等邊。8C內(nèi)有一點(diǎn)P,^ZAPC:ZAPB:ABPC=7:8:9,那么

以/尸，BP,CP的長度為邊長的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為

2.（23-24九年級下?吉林?階段練習(xí)）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件

相對集中，以達(dá)到解決問題的目的.

【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，在等邊三角形A8C內(nèi)部有一點(diǎn)尸，PA=2,PB=Q,PC=\,求/5PC的度數(shù).

解：如圖①，將線段8P繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP,連接/尸'，PP'.

■：BP=BP',NP'BP=60°,；MPBP是等邊三角形，ZBP'P=60°,PP=PB=C,

???"2C是等邊三角形，AABC=60°,BC=BA,

ZABC-ZABP=ZP'BP-ZABP,BPZPBC=ZP'BA.請你補(bǔ)充完整解答過程.

【應(yīng)用問題】如圖②，在正方形48。內(nèi)有一點(diǎn)尸，若PA=W，PB=4,PC=3,則/BPC=_°.

【拓展問題】如圖③，在正方形中，對角線/C,AD相交于點(diǎn)O,在直線4D上方（包括直線4D）

有一點(diǎn)尸,PA=4,PD=2,連接尸。，則線段尸。的最大值為_.

3.(23-24九年級上?山西呂梁?期末)閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在正三角形/2C

內(nèi)有一點(diǎn)P且尸/=3,PB=4,PC=5,求//P8的度數(shù).

張明同學(xué)是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造連接PP,得到兩個(gè)特殊的三角形,

從而將問題解決.

(1)請你計(jì)算圖1中ZAPB的度數(shù);(2)參考張明同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,在正方形/BCD

內(nèi)有一點(diǎn)P,且尸4=2及，PB=l,=求/NP3的度數(shù).

4.(23-24九年級上?重慶沙坪壩?期末)(1)己知如圖1,在VN8C中，AB=BC,ZABC=90°,點(diǎn)D在VABC

內(nèi)部，點(diǎn)E在V48C外部，滿足BDLBE,S.BD=BE.求證：AABD為CBE.

(2)已知如圖2,在等邊VN8C內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足尸/=5,PB=4,PC=3,求N8PC的度數(shù).

5.（2023?四川綿陽?一模）如圖，四邊形48。是正方形，點(diǎn)尸為平面內(nèi)一點(diǎn),

（1）若點(diǎn)P在正方形內(nèi)，如圖1，PA=1,PB=^2,PD=2,求/4P2的度數(shù);

（2）若點(diǎn)P在正方形外，如果以=。,尸5=方，如圖2,且乙4尸3=45°,求PD的長.（用表示）

6.（23-24九年級上?浙江紹興?階段練習(xí)）閱讀材料題：浙教版九上作業(yè)本①第18頁有這樣一個(gè)題目：已知，

如圖一，P是正方形NADC內(nèi)一點(diǎn)，連接以、PB、PC,若PC=2,PA=4,ZAPC=135°,求網(wǎng)的長.

小明看到題目后，思考了許久，仍沒有思路，就去問數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是：將△必C繞點(diǎn)/順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。得到瓦再利用勾股定理即可求解本題.請根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中線段總的長

為

【方法遷移】：已知：如圖二，A/BC為正三角形，尸為ZUBC內(nèi)部一點(diǎn)，若尸C=l,PA=2,PB=6，求NAPB

的大小.

【能力拓展】：己知：如圖三，等腰三角形/3C中//C8=120。，D、￡是底邊Z8上兩點(diǎn)且NDC￡=60。，若

4D=2,BE=3,求DE1的長.

7.（2024?河南?校考一模）（1）閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法.如圖，點(diǎn)尸是等邊

三角形4BC內(nèi)一點(diǎn)，PA=1,PB=5PC=2,求/APC的度數(shù).為利用已知條件，不妨把ASPC繞點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得AAP'C,連接尸P,則PP的長為；在AP/P中，易證NP/P=90°,且NPPN的度

數(shù)為,綜上可得/3PC的度數(shù)為__；（2）類比遷移:如圖，點(diǎn)尸是等腰放A43C內(nèi)的一點(diǎn)，

NACB=90°,P4=2,PB=垃,PC=1.求4PC的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用:如圖，在四邊形48co中，

BC=3,CD=5,AB=AC=-AD,ABAC=2ZADC,請直接寫出的長.

2

6.（23-24九年級上?山東德州?期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時(shí)，我們可以把圖形的一部分繞著公共端

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來，從而達(dá)到解決問題的目的.

A.__D

（1）如圖1,等腰直角三角形/2C內(nèi)有一點(diǎn)P,連接4P,BP,CP,ZAPB=135°,為探究/P,BP,CP

三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將A/AP,繞點(diǎn)“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A/CP,連接尸P,則尸P=AP,

△CPP是三角形，AP,BP,CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,等邊三角形48c內(nèi)有一點(diǎn)尸，連接4P、BP、CP,ZAPB^150°,請借助第一問的方法探究

AP,BP、C尸三條線段間的數(shù)量關(guān)系.

（3）如圖3,在四邊形4BCD中，4D〃BC,點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且尸。=PC,ZCPD=90°,ZAPB=

135°,40=4,BC=5,請直接寫出48的長.

7.（2023?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）（問題提出）如圖1,在等邊V/8C內(nèi)部有一點(diǎn)尸，PA=3,PB=4,PC=5,

求N/P8的度數(shù).

（數(shù)學(xué)思考）當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來解決問題.

［嘗試解決】將AAPC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△4P8,連接PP',則^APP為等邊三角

形.:.PP'=PA=3,又?.?PB=4,PC=5,PP'2+PB2=PC2,.1V8P尸為一三角形，N4PB的度數(shù)為

【類比探究】如圖2,在VN3C中，ABAC=90°,AB=AC,其內(nèi)部有一點(diǎn)尸，若P4=2,PB=\,PC=3,

求//尸8的度數(shù).

【聯(lián)想拓展】如圖3,在V48c中，/A4c=90。，4a=30。，其內(nèi)部有一點(diǎn)尸，若尸4=3,尸8=2,尸C=,

求/4P8的度數(shù).

圖1圖2圖3

8.（23-24九年級上?云南曲靖?階段練習(xí)）如圖，在等邊“BC內(nèi)有一點(diǎn)P,且尸N=2,PB=6,PC=\,

若把8尸繞著點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到8P,連接尸P,AP.

（1）求N3PC的度數(shù)；（2）求尸P的長.（3）求點(diǎn)尸劃過的路徑長；

（4）當(dāng)8C=g時(shí)，如果ABP/是由△8PC旋轉(zhuǎn)所得，求PC掃過的區(qū)域的面積.

R

9.（23-24九年級上?湖北武漢?期中）如圖，在等腰RfA4BC中，44cB=90。，點(diǎn)P是A43c內(nèi)一點(diǎn)，連接

PA,PB,PC,且PA=OPC，設(shè)==

（1）如圖1,若NNCP=45。，將AP3C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AZMC,連結(jié)。P,易證AD4尸為等邊三角

形，則&=,/3=；（2）如圖2,若PB=6PA，則夕=，P=;

（3）如圖3,試猜想c和乃之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

10.（23-24九年級上?廣東深圳?期中）【問題背景上如圖1,在等邊AABC中，點(diǎn)D是等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，

連結(jié)/D,BD,將繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A4CE,連結(jié)觀察發(fā)現(xiàn)：與DE的數(shù)量關(guān)系

為一，ZADE=_度;

【嘗試應(yīng)用工如圖2,在等腰RM/BC中，AB=AC,/A4c=90。，點(diǎn)。是R/A/BC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)ND,

BD,CD,AD=242,BD=5,CD=3,求△BCD面積.

AD

【拓展創(chuàng)新】:如圖3,在等腰“BC中，NB=NC,/A4c=120。，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且N/DB=60。，而

1

則卷AC的值為一

圖1圖2圖3

11.（23-24九年級?遼寧鞍山?期中）問題情境，利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索：每位同學(xué)在紙上畫好RtZi4BC,AB=CB,

ZABC=90°,要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線段，探究圖形中的結(jié)論.

問題發(fā)現(xiàn)，某小組將線段N3繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段N。，旋轉(zhuǎn)角設(shè)為連接C。、BD,如圖1所

示.如圖2,小李同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)。落在邊/C上時(shí)，NBAD=2NCBD=a；

如圖3,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a每改變一個(gè)度數(shù)時(shí)，CD的長也隨之改變.....

問題提出與解決，該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1,請你解答.

如圖1,在RQ/8C中，AB=CB,ZABC=90°,將線段A3繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,設(shè)轉(zhuǎn)角設(shè)

為我,連接C。、BD.（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在邊ZC上時(shí)，求證：2NCBD=NBAD=a；⑵如圖3,當(dāng)

a=30。時(shí)，若AB=a+也,求CD的長.（3）拓展延伸，小張同學(xué)受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的

頂角改為100°,嘗試畫圖，并提出問題請你解答.如圖4,AABC中，AB=CB,ZABC=100°,將線段

繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段旋轉(zhuǎn)角a=20。，連接CD、BD,求//CD的度數(shù).

圖4

12.（2024?吉林長春?一模）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中，

以達(dá)到解決問題的目的.

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形43C內(nèi)部有一點(diǎn)尸，PA=2,PB=6PC=\,求N8PC的度

數(shù).愛動(dòng)腦筋的小明發(fā)現(xiàn):將線段AP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP',連接AP'、PP'，則△BPC咨ABPA,

然后利用尸和A/PP'形狀的特殊性求出ZBP'A的度數(shù)，就可以解決這道問題.

下面是小明的部分解答過程：

解：將線段5P繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段.BP,,連接4P'、PP',

VBP=BP,NP'BP=60。，是等邊三角形，ZBP'P=60°,PP'=PB=43.

：“BC是等邊三角形，AZABC=60°,BC=BA,

：.NABC-NABP=NFBP-NABP,即NPBC=ZP'BA.

請你補(bǔ)全余下的解答過程.(2)【類比遷移】如圖②，在正方形N3C。內(nèi)有一點(diǎn)尸，且尸/=后，PB=2亞,

PC=I,則/BPC=度.(3)【拓展延伸】如圖③，在正方形/BCD中，對角線ZC、BD交于點(diǎn)O,

在直線4D上方有一點(diǎn)尸，尸4=4,PD=2,連接P。，則線段尸。的最大值為

圖②圖③

13.(23-24九年級上?吉林長春?階段練習(xí))【幾何感知】如圖(1),在“BC中，點(diǎn)。為5。邊上一點(diǎn)，連

接4D,點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)，連接網(wǎng)、PC得到有公共邊的兩個(gè)"AP和△"(7,求證：

S^ABP:SAACP=BD：DC.

【類比遷移】如圖(2),在RtZ\4BC中，點(diǎn)。、E、歹分別為線段BC、AC,N3上的點(diǎn)，線段BE、

CF交于點(diǎn)、P,若BD:DC=1:2,AE\EC則/尸：3尸=

【拓展遷移】如圖(3),在Rt^ABC中，ZABC=90°,48=3,3C=4,點(diǎn)P為“8C內(nèi)部一點(diǎn)，且

S△狼：以?:&皿=5：15:12,則線段AP=

14.（23-24九年級上?山東德州?期中）【閱讀材料】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問題：

如圖1,在等邊△4BC中，點(diǎn)尸在內(nèi)部，且E4=3,PC=4,N/PC=150。，求尸2的長.經(jīng)過同學(xué)們的觀察、

分析、思考、交流，對上述問題形成了如下想法：將Zk/PC繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到△/四，連

接尸。尋找B4、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系.即能求依=請參考他們的想法，完成下面問題：

【學(xué)以致用】如圖2,在等腰直角A/BC中，/4CB=9Q。,P為A4BC內(nèi)一點(diǎn),24=5,尸C=2夜，ZBPC

=135。，求P8的長；

【能力拓展】如圖3,等腰三角形N3C中，ZACB=12O°,D、￡是底邊Z8上的兩點(diǎn)且NDCE=60。，若

AD=2,BE=3,求OE的長.

15.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）問題探究：（1）如圖①，己知在A/BC中，BC=4,/B4c=45。,則AB的

最大值是.（2）如圖②，已知在瓦△48C中，/4BC=9G°,4B=BC,D為A4BC內(nèi)一點(diǎn),且40=2將，

BD=2.,CD=6,請求出N4D3的度數(shù).

問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個(gè)新的拓展游戲區(qū)ANBC,且N3=/C.Z

R4c=120。，點(diǎn)/、B、C分別是三個(gè)任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)P是△4BC內(nèi)一個(gè)打卡點(diǎn).按照設(shè)計(jì)要求，CP=30米，打

卡點(diǎn)P對任務(wù)點(diǎn)/、3的張角為120。，即N/P3=120。.為保證游戲效果，需要/、P的距離與3、P的距

離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值.

16.（2024山東?？级＃静僮靼l(fā)現(xiàn)】如圖①，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，^ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上