2025年中考數(shù)學分類復(fù)習：解直角三角形（58題）（解析版）

專題28解直角三角形（58題）

一、單選題

1.（2024?吉林長春?中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在

黃海海域成功發(fā)射.當火箭上升到點A時,位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為。千米，仰角

為，，則此時火箭距海平面的高度AL為（）

C.次os。千米D.T千米

cos6*

【答案】A

【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵，根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可

求解

【詳解】解：由題意得：5缶。=不=——

ARa

AL=asin〃千米

故選：A

2.（2024?天津?中考真題）os45。-1的值等于（）

A.0B.1C.亞一1D.V2-1

2

【答案】A

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；根據(jù)cos45。=正代入即

2

可求解.

【詳解】V2cos450-l=>/2x—-1=0,

2

故選：A.

4

3.（2024.甘肅臨夏.中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC=5fsinB=-,則3C的長是（）

A

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理.正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.過點A作

AD13C于點D由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出2。=CD=23C.根據(jù)sinB=當=。，可求出AD=4,

2AB5

最后根據(jù)勾股定理可求出BD=3,即得出BC=2BD=6.

【詳解】解：如圖，過點A作AD13C于點D

BD=CD=-BC.

2

An4

在RtAABD中，sinB=——=-,

AB5

44

AD=-AB=-x5=4

55f

；?BD=y/AB2-AD2=J52-42=3，

BC=2.BD=6.

故選B.

4.（2024.四川自貢.中考真題）如圖，等邊AASC鋼架的立柱CDLAB于點D,A3長12m.現(xiàn)將鋼架立柱

縮短成OE,NBED=60。.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12港）mB.（24-8/）mC.（24-6百）mD.（24-4宕）m

2

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用.利用三角函數(shù)的定義分別求得DE=2一,

BE=4s/3=AE,CD=6^3,利用新鋼架減少用鋼=47+8。+8-鉆一助—￡）￡,代入數(shù)據(jù)計算即可求

解.

【詳解】解：：等邊AABC,CDJ_A3于點，48長12m,

?*.AD=BD=—AB=6m,

2

'：ZBED=60°,

tan60°==A/3,

DE

?*.DE=2A/3,

BE=^DE2+BDr=4-73=AE，

"30=60°,

/.CD=BD-tanZCBD=y/3BD=6V3m,8C=AC=AB=12m,

新鋼架減少用

=24+6君-8石-2-=（24-4@111,

故選：D.

5.（2024.四川德陽?中考真題）某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物CD的高度，在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房AB，小李同學在小樓房樓底3處測得C處的仰角為60。,在小樓房樓頂A處測得C處

的仰角為30。.CAB.CD在同一平面內(nèi)，AD在同一水平面上），則建筑物8的高為（）米

A.20B.15C.12D.10+55/3

【答案】B

【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，如圖，過A作AELCD于E,則四邊形ARDE為矩形,

設(shè)CE=x,而NC4￡=30。，可得AE=-^J=?c=BD,CD=x+10,結(jié)合1皿60。=1|=^^=百，

tan30°BD，3x

再解方程即可.

【詳解】解：如圖，過A作AE_LCD于E,

依題意，AB1BD,CD1BD

二四邊形A&DE為矩形，

AAB=DE=10,AE=BD,

設(shè)CE=x,而/G4E=3O°,

AE=CE=B=BD,

tan30°

"?CD=x+W,

CD%+10/r

...tan60=----=—T=—=<3,

BD瓜

解得：x=5,

經(jīng)檢驗尤=5是原方程的解，且符合題意;

CD=x+10=15(m),

故選B

6.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高L8m的測量儀所測得的仰角為

45。，小軍在小明的前面5m處用高L5m的測量儀CD測得的仰角為53。，則電子廠的高度為（）（參

434

考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos53。e],tan53°?-)

3

A

E二r.M

c「N

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【分析】本題考查了與仰角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形EfDG、跖BA/、

表示EM=(x+5)m,然后在RtAAEM,tan/AEM=電1以及

CD3N是矩形，再設(shè)GM=mi,

EM

4

RtAACN,tan/ACN=4^，運用線段和差關(guān)系，MN=AN-AM=-x-(x+5]=0.3,再求出x=15.9m,

CN3

即可作答.

【詳解】解:如圖：延長。C交于一點G,

E二宓__s-.M

『I里

FDB

?.?ZMEF=ZEFB=ZCDF=90°

???四邊形EFDG是矩形

ZMEF=ZEFB=ZB=90°

???四邊形是矩形

同理得四邊形CDBN是矩形

依題意，得EF=Affi=L8m,CD=1.5m,ZAEM=45°,ZACN=53°

：.CG=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

：.CG=MN=03m

???設(shè)GM=xm,則EM=(x+5)m

在Rt△A￡M,tanZAEM=州,

EM

???EMxl=AM

即AM=(x+5)m

AN

在Rt^ACN,tanZACN=—,

CN

4

???CNtan530=—%=AN

3

4

即AN=—xm

4

:?MN=AN-AM=jX-(x+5)=0.3

x=15.9m

=15.9+5=20.9(m)

Z.AB^AM+EF^AM+MB^20.9+1.8=22,1(m)

故選：A

7.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，瓦廠是邊2C上兩點，且BE=EF=FC,連接

尸,OE與.相交于點G,連接3G.若AB=4,BC=6,貝Usin/GB尸的值為（）

101033

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過點G作GHL5C,證明

FGFF1

△AGD^FGE,得至IJ端=,=再證明△GHFsj?/,分別求出的長，進而求出5H的長,

AGAD3

勾股定理求出3G的長，再利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：??,矩形ABC。，BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

：.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2f

：.AAGD^"GE,BF=4,

.FGEF_1

**AG-AD-3?

?FG-1

**AF-4

.FHGHFG_1

**BF-AB-AF-4?

AFH=-BF=1,GH=-AB=lf

44

:?BH=BF—FH=3,

3G=jF+32;回,

6

.?.sin/G*%=3=回；

BGVw10

故選A.

8.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）如圖，菱形ABCD中，點。是50的中點，AMLBC,垂足為M,

AM交BD于點、N,OM=2,BD=8,則MN的長為（）

「3A/5D

5-f

【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

先由菱形性質(zhì)可得對角線AC與交于點。，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得

OA=OC=OM=2,進而由菱形對角線求出邊長，由sin/MAC=sin解三角形即可求出

5

4J53J5

MC=ACsinZMAC=,MN=BMtanZOBC=

55

??,菱形A3CD中，AC與50互相垂直平分,

又???點。是的中點,

???A、0、。三點在同一直線上,

：.OA=OC,

VOM=2,AMA.BC,

：.OA=OC=OM=2f

;BD=8,

OB=OD=-BD=4,

2

______________0(221

,BCNOB?+OC?=%+2?=2石，tanZOBC=—=-=-

,/ZACM+ZMAC=90°,ZACM+ZOBC=90°,

???ZMAC=ZOBC

sinNMAC=sinZOBC=—=3=—，

BC5

4J5

???MC=ACsinZMAC=,

5

/.BM=BC-MC=2^--=—,

55

/.MN=BMtanZOBC=-x-=—

525

故選：C.

9.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,鈣=1,點P是BC邊上一個動點，

在3C延長線上找一點。，使得點尸和點Q關(guān)于點C對稱，連接。尸、42交于點M.當點尸從3點運動到

C點時，點M的運動路徑長為（）

【答案】B

【分析】該題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解

題的關(guān)鍵是掌握以上點M的運動路徑.

過點C作交AD于點“，根據(jù)NABC=60。，四邊形ABCD是菱形，AB=1,算出?！?1,得出

AH=DH,CH垂直平分AO,再證明VPCAf也VQCM,得出證明CM垂直平分尸。，點M

在CH上運動，根據(jù)解直角三角形CM'=BC-tan30°=^.即可求解.

3

【詳解】解：過點C作CHLAD交AD于點H,

'：ZABC=60°,四邊形ABCO是菱形，AB=1,

ZADC=60°,CD=BC=AB=1,

：.ZDCH=30°,

：.DH^-CD=1,

2

/.AH=AD-DH=A,

：.AH=DH,

：.CH垂直平分AD,

8

:點P和點。關(guān)于點C對稱，

PC=QC,

,/ZPCM=ZQCM=90°,CM=CM,

：.^PCM^QCM（SAS）,

：.PM=MQ,

：.CM垂直平分PQ,

.,.點M在CH上運動，

當點P與點8重合時，點M位于點AT,

此時，；NABC=60。，四邊形ABCD是菱形，AB=l,

：.ZM'BC=-ZABC=30°,BC=1

2

/.CM'=BCtan30°=—.

3

故點M的運動路徑長為CM'=^~.

3

故選：B.

10.（2024.山東泰安?中考真題）如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,點E是A3邊上的點，AE=4,BE=8,

點尸是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，/EFG為30。角的直角三角形，連結(jié)AG.當點F在

直線8c上運動時，線段AG的最小值是（）

A.2B.4A/3-2C.2A/3D.4

【答案】C

【分析】如圖：過E作EM,8c于點作MHLAB于點H,作A7_LGM于點/,則點&M、F、G四

點共圓，從而得到4=因為AGAGb,所以求出的值即可解答.

【詳解】解：如圖，過E作EN_LBC于點跖作于點作于點/,

AD

?「NEMF+NEG尸=180。，

???點E、M、F、G四點共圓，

：.ZEMG=ZEFG=30°f

???/二60。，

ZBEM=300=ZEMG,

:.MG〃AB,

???四邊形MH"是矩形，

：.MH=AI,

VBE=8,

EM=B￡COS30°=4A/3,

MH=-EM=273=AI,

2

???AGNAI=26,

**?AG最小值是2g.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短、圓內(nèi)接四邊形對角互補等知識點，熟

練掌握相關(guān)知識點和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵.

11.（2024?四川瀘州?中考真題）寬與長的比是趙人的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱

2

的美感.如圖，把黃金矩形ABC。沿對角線AC翻折，點3落在點?處，AB，交CD于點E,貝Ijsin/DAE的

值為（）

10

【答案】A

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識點,

利用黃金比例表示各線段的長是解題的關(guān)鍵.

設(shè)寬，根據(jù)比例表示長，證明AWE/在中，利用勾股定理即可求得結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)寬為x,

???寬與長的比是史二1,

2

x>/5+1

..?長為：-^=~X,

2

由折疊的性質(zhì)可知，AD=BC=B'C=x,

在VADE和ACB'E中，

ZAED=ZAEB'

<ZD=ZB',

AD=B'C

：.AADE絲ACBE(AAS),

AE=CE,

：.AE+DE=DC=^^x,

2

設(shè)=

在中,

變形得：2=

x2

AO=2y,AE=Jy。+(2y)~=>/5y,

sinNDAE=.y=舊

AE好y5

故選A.

12.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）如圖，在正方形A3CD中，點”在AD邊上（不與點A、。重合），

ZBHF=90°,“F交正方形外角的平分線。尸于點E連接AC交3”于點M,連接所交AC于點G,交

CD干點N,連接8D.則下列結(jié)論：①NHBF=45。；②點G是的中點；③若點H是AQ的中點，則

sinZ.NBC=;@BN=J2BM;⑤若A"=，則黑M。=?S△謝，其中正確的結(jié)論是（）

1022

AHD

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

【答案】A

【分析】連接。G,可得絲=血，AC垂直平分先證明點8、H、。、尸四點共圓，即可判斷①；

根據(jù)AC垂直平分8。，結(jié)合互余可證明OG=AG,即有OG=PG=3G,則可判斷②正確；證明

△ABMSADBN,即有黑=當=0,可判斷④；根據(jù)相似有黑也=（理］=L，根據(jù)可得

BMABS?BNVBD）22

SHM1

3AH=AD,再證明△s?CBM,可得節(jié)A典HM=五彳=￡,即可判斷⑤;根據(jù)點〃是AD的中點，設(shè)">=2,

^^ABM8M3

即求出34=JAH2+AB2=岔,同理可證明AA/TMSACBM,=jBH=175,即可得

BN=42BM=^s/10,進而可判斷③.

【詳解】連接DG,如圖，

P

:四邊形ABCD是正方形，

ZBDC=ABAC=ZADB=45°,—=41,ZBAD=ZADC=90°,AC垂直平分8D,

AB

：./COP=90。，

,/DF平分NCDP,

：.ZCDF=-NCDP=45°=NCDB,

2

NBDF=ZCDF+Z.CDB=90°,

,/ZBHF=90°=ZBDF,

；.點B、H、D、/四點共圓，

ZHFB=ZHDB=45°,ZDHF=NDBF,

ZHBF=1SO°-ZHFB-ZFHB=45°,故①正確，

12

???AC垂直平分BQ,

:.BG=DG,

:./BDG=/DBG,

?.?NBDF=90。,

???ZBDG+ZGDF=90°=NDBG+NDFG,

:.ZGDF=ZDFG,

：.DG=FG,

：,DG=FG=BG,

???點G是防的中點，故②正確，

?.*ZBHF=90°=ZBAH,

ZAHB+NDHF=90°=ZAHB+ZABH,

：?ZDHF=ZABH,

ZDHF=ZDBF,

:.ZABH=/DBF,

又ABAC=NDBC=45°,

:?AABMSQBN,

:，吧=6,

BMAB

：?BN=6BM,故④正確，

.S叩町2j

.?S.DBN〔而2，

iii

若AH.HD,則=

/.3AH=AD,

.AH1用AHAH1

??=—,Bp==一,

AD3BCAD3

AD〃BC,

：,AAHMSQM,

.HM_AH_1

**BA7-BC"3?

.s4AHM=HM=1

??S^ABM~BM~3

?Q—QQ

??ABM~）乙4"”，

qi

.."AABM—

*v-2，

□ADBN4

**,S^BND=2s4ABM-65^^,故⑤錯誤,

如圖，③若點X是AD的中點，設(shè)AT>=2,即AB=3C=AD=2,

,,BH=AH2+AB2=y[5,

同理可證明△AHMs4CBM,

.HMAH_1

**-BC-2?

.HM+BM3BH

??BM--2-BM，

22/-

BM=—BH=—也，

33

*.*BN=CBM，

BN=42BM=-y/io,

3

BC=2,

_________Q

在RSNC中，NC=yJBN2-BC2=j,

smANBC=—^—,故③正確，

BN10

則正確的有：①②③④，

故選：A.

【點睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦，圓周角定

理以及勾股定理等知識，證明點B、H、D、F四點共圓，AABMSADBN,是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.（2024.黑龍江綏化?中考真題）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓

頂部點C的仰角為60。，測得底部點8的俯角為45。，點A與樓3C的水平距離AT>=50m,則這棟樓的高度

為m（結(jié)果保留根號）.

14

c

B

【答案】（50+50V3）/（50A/3+50）

【分析】本題考查解直角三角形一仰角俯角問題.注意準確構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)題意

得/&W=45。，NC4D=60。，AD=50m,然后利用三角函數(shù)求解即可.

【詳解】解：依題意，NBAD=45。,ZCAD=60°,AD=50m.

在RtAAB。中，=ADtan45°=50xl=50m,

在Rt^ACD中，CD=AD-tan6（）o=50x百=50gm,

3c=BO+CD=（50+50@m.

故答案為：（50+504）.

14.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹的高度.如圖，點C處

與古樹底部A處在同一水平面上，且AC=10米，無人機從C處豎直上升到達。處，測得古樹頂部8的俯

角為45。，古樹底部A的俯角為65。，則古樹A8的高度約為米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：

sin65°?0.906,cos65°?0.423,tan65°它2.145）.

缽一

I\\

:\\

;\\、

:\邛

I\

I\

C'----------U

【答案】11.5

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.過點。作DM2由題意知河=AC=10米，ZBDM=45。，

ZADM=65°,推出ABDM是等腰直角三角形，在中，利用正切函數(shù)求出AM的值，根據(jù)

AB=AM-BM計算求解可得AB的值.

【詳解】解：如圖，過點。作交48的延長線于點

.,?四邊形ACDM是矩形，

：.DM=AC=W^i,

VZBDAf=45°,ZADM=65°,NA/=90°,

???ABDM是等腰直角三角形，

BM=DM=10米，

在中，AM=DM-tanZADM=10-tan65°?10x2_145?21.45（米），

46=^-5^=21.45-10=11.45?11.5（米），

古樹A3的高度約為11.5米.

故答案為：11.5.

15.（2024?湖北武漢?中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽.在一次

綜合實踐活動中，某數(shù)學小組用無人機測量黃鶴樓AB的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升

至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45。，底端B的俯角為63。，則測得黃鶴樓的高度

是m.（參考數(shù)據(jù)：tan63°?2）

【答案】51

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵.延長及1交距水平地面

102m的水平線于點。，根據(jù)匕1163。22,求出。C=ADQ51m,即可求解.

【詳解】解：延長網(wǎng)交距水平地面102m的水平線于點如圖，

16

由題可知，BD=102m,

設(shè)AD—x,

???ZDG4=45°

OC=AD=x

DC=AD?51m

：.=AD=102—51。51m

故答案為：51.

16.（2024.四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,點E在。C上，將矩形ABC。沿

AE折疊，點3恰好落在3C邊上的點尸處，那么tan/EFC=.

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得BC=AD=5,CD=AS=3,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=5,EF=DE,

在RJA防中，利用勾股定理計算出3尸=4,則C/=3。一3/=1,設(shè)CE=x,則DE=防=3-x,然后

在口以后（安中根據(jù)勾股定理得到尤2+12=（3-尤）2,解方程即可得到無，進一步得到所的長，再根據(jù)正切數(shù)

的定義即可求解.

【詳解】解：：四邊形A3CD為矩形，

BC=AD—5,CD—AB-3,ZB=Z.C=90°,

???矩形ABQ）沿直線AE折疊，頂點。恰好落在BC邊上的尸處，

AAF=AD=5,EF=DE,

.,.在RtAABb中，BF=VAF2-AB2=4>

CF=BC-BF=5-4=l,

設(shè)CE=x,貝|防=￡>E=C￡>_CE=3T

在Rt^ECF中，CE2+FC2=EF2,

4

.?.尤2+F=（3-尤）02,解得x

CF4

tanZEFC=——=-

FC3

4

故答案為：—

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，正切的定義.

17.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面30m的

點尸處，測得教學樓底端點A的俯角為37。，再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6m至點。處，測得教

學樓頂端點8的俯角為45。，則教學樓48的高度約為m.（精確到1m,參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75）

PQ

;、、、、

?、、\

''、、''、B

【答案】17

【分析】本題主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用，延長A8交直線尸。于點H,先用三角函數(shù)解求

出PH,進而求出?！?，再證=最后根據(jù)AB=AH-皿即可求解.

【詳解】解：如圖，延長交直線尸。于點“，則/尸〃4=90。，

由題意知AH=30m,

在RtzXPHA中，tanZPHA=---,即tan37。=----六0.75,

PHPH

解得PH=40m,

/.QH=PH-PQ=40-26.6=13.4（m）,

18

ZPHA=90°,NQHB=45°,

NQBH=ZQHB=45°,

.-.QH=BH=13Am,

AB=AH-BH=30-13.4=16.6?17（m）,

故答案為：17.

18.（2024?北京?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E在A3上，AFLDE于點尸，。6，。后于點6.若

A￡>=5,CG=4,則△AEF的面積為.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，^AD=5=DC,CD//AB,得至ljNCDG=ZA￡F,結(jié)合CG=4,得到

,_________CG4CG4.,一

DG=7DC2-CG2=3,sin^CDG=sinZAEF=——=-,tanZCDG=tanZAEF=,^c^AE,AF,EF的長,

CD5DG3

解答即可.

本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:根據(jù)正方形的性質(zhì)，得AD=5=DC,CD//AB,

：.ZCDG=ZAEF,

,/CG=4,

DG=VDC2-CG2=3,

sinZCDG=sinZAEF=-=—=

AECD5

CGAD4

tanZCDG=tanZAEF=——=——=-,

DGAE3

：.AE=—,

4

.__415__

54

：.EF=~9,

4

197

AAEF的面積為看EF.A尸=—；

2o

27

故答案為：—.

o

19.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABCD,為折痕，以點。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,尸兩點，則廝的長度為（結(jié)果保留兀）.

【分析】本題主要考查了弧長的計算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問題），解直角三角形，熟知正方

形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵.

由對折可知，ZEOM=AFOM,過點E作。W的垂線，進而可求出NEOM的度數(shù)，則可得出NEO歹的度

數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題.

【詳解】解：：折疊，且四邊形A3CD是正方形

四邊形AOMD是矩形，AEOM=ZFOM,

貝1JOM=AD=2,DM=-CD=l.

2

過點E作于P,

貝UEP=￡>M=Jc￡>=l,

?;OE=OM=AD=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在PX^EOP中，sin/EOP=——=—,

OE2

.\ZEOP=30°,

貝IJNEO產(chǎn)=30。><2=60。，

60?22萬

：,EF的長度為:

180T

20

故答案為：行--

20.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，數(shù)學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花

朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形02C置于平面直角坐標系中，點。的坐標為(0,0),點B的坐標為(1,0),

點C在第一象限，ZOBC=120°.將△O8C沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與無軸重合，第

一次滾動后，點。的對應(yīng)點為點c的對應(yīng)點為C"OC與O'C'的交點為A，稱點A為第一個“花朵”

的花心，點A為第二個“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，△O8C滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花

【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點的坐標規(guī)律探索.連接48,求得AB=岑,

OD瀉,OC=0分別得到4,日1,百,“5+2"#],L,推導(dǎo)得到

41+(〃-1乂2+⑹，ZXOBC滾動一次得到A，△O3C滾動四次得到&,△OBC滾動七次得到&，

由此得到△03C滾動2024次后停止?jié)L動，貝ij〃=(2024+1)+3=675,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：連接

AB±OC,

AAB=OBtan30°=—,BD=\oB=\,OD=y]OB2-BD2=—,

3222

/.OC=C'E=y/3

A

△03C滾動一次得到A,△03C滾動四次得到4,△03C滾動七次得到人，

...△08C滾動2024次后停止?jié)L動，貝^”=（2024+1）+3=675時，%1349+6744,

故答案為：1349+67473,^.

21.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）矩形ABCO中，AB=3,BC=4,將43沿過點A的一條直線折

疊，折痕交直線于點尸（點P不與點2重合），點B的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則尸C長

為.

【答案】|5?或7;或10

【分析】本題考查了矩形與折疊問題，解直角三角形，先根據(jù)點8的對稱點落在矩形對角線所在的直線上

的不同位置分三種情況，畫出對應(yīng)的圖形，再根據(jù)矩形性質(zhì)，利用解直角三角形求出PC即可.

【詳解】解：①點B的對稱點落在矩形對角線8。上，如圖I,

圖1

;在矩形ABC。中，AB=CD=3,BC=AD=4,

由折疊性質(zhì)可知：BB'YAP,

NBAP+ZBPA=ZBPA+ZCBD

：.ZBAP=ZCBD

CD3

tanZBAP=tanZCBD=—=一，

BC4

9

3

BP=ABtanNBAP=6x-2-

4

22

97

，PC=BC-BP=8——=-

22

②點5的對稱點夕落在矩形對角線AC上，如圖2,

圖2

,在矩形ABCD中，AB=CD=3,BC=AD=4,IB90?,

；?AC=yjAB2+BC2=A/32+42=5，

BC4

cosZACB=——=一，

AC5

由折疊性質(zhì)可知：ZABP=ZABfP=90o,AB=AB=3^

：.BfC=AC-ABf=5-3=2

.?.PChBJ2,3

cosZACB52

③點8的對稱點3'落在矩形對角線C4延長線上，如圖3,

圖3

,在矩形A5CD中，AB=CD=3,BC=AD=4,IB90?,

；?AC=y/AB2+BC2=A/32+42=5,

BC4

cosZACB=——=一，

AC5

由折疊性質(zhì)可知：ZABP=ZABfP=90°,AB=AB=3^

：.?C=AC+AB'=5+3=8

B'C4

???PC=------------=8—=10；

cosZACB5

57

綜上所述：則PC長為|■或;或10.

22

57

故答案為：;或一或10.

22

22.（2024.山東泰安.中考真題）在綜合實踐課上，數(shù)學興趣小組用所學數(shù)學知識測量大汶河某河段的寬度,

他們在河岸一側(cè)的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點P處測得瞭望臺

正對岸A處的俯角為50。，測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6。，已知瞭望臺3C高12米（圖中點A,B,

39

C,P在同一平面內(nèi)），那么大汶河此河段的寬A3為米.（參考數(shù)據(jù)：sin40。2不，sin63.6°?—,

tan50°a：,tan63.6。a2）

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用一仰角、俯角問題等知識點，熟練掌握解直角三角形是解題關(guān)

鍵.

根據(jù)題意可得NNPC=NP=63.6。，ZMPA=ZBAP=50°,BC=EF=12m,PE=60m,貝Ij

PF=PE-EF=48m,再通過解直角三角形求得AE和盛，最后根據(jù)線段的和差即可解答.

【詳解】解：由題知NNPC=NPC尸=63.6。，ZMPA=ZBAP=50°,BC=EF=12m,PE=60m,

.??PF=PE-EF=48m,

PF

在Rt△尸/C,tan63.6°=—=2,

CF

：.CF=24m,

***BE=24m,

PE6

在Rt/kAP尸中，tan50°=----=—,

AE5

AE=50m,

：.AB=AE^-BE=14m.

故答案為：74.

23.（2024?四川達州?中考真題）如圖，在區(qū)心筋。中，NC=90。.點。在線段BC上，NR4D=45。.若AC=4,

【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理.過。作。石于￡,設(shè)=則。5=尤+1,利用

24

ArDF

sin?BIT而列出等式即可.

【詳解】解：過。作。石工鉆于￡,

A

AC=4,CD=1,

\AD="2+/=后

?.?Zfl4Z>=45°

.?.VAOE是等腰直角三角形

\DE=—AD=典

22

設(shè)DB=x,貝l|CB=x+1

\AB=M+(x+I)?

.fACDE

sin?B----=-----

ABDB

\:4」

M+(X+1)2X

1717

解得(舍去)或X

經(jīng)檢驗％=與是原分式方程的解，

\SAyUjC=lBBAC=1?(1y)?4

故答案為：號40.

24.(2024?貴州?中考真題)如圖，在菱形ABCQ中，點尸分別是3C,8的中點，連接AE,AF.若

4

sinZEAF=-,AE=5,則A5的長為.

【答案】2屈/馬叵

33

【分析】延長BC,AF交于點M,根據(jù)菱形的性質(zhì)和中點性質(zhì)證明AABE義44D尸，AADF，MCF,過E

點作ENLAR交N點，根據(jù)三角函數(shù)求出EN,AN,NF,MN,在中利用勾股定理求出EM,

根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】延長3C,AF交于點

在菱形ABCD中，點區(qū)尸分別是3C,8的中點，

：.AB=BC=CD=AD,BE=EC=CF=DF,AD\\BC,ZD=AFCM,ZB=ZD

在△ABE1和△的)尸中

AB=AD

<NB=ND,

BE=DF

△ABE^AADF(SAS),

AE=AF,

在△AD廠和AMCF中

ND=ZFCM

<DF=CF,

ZAFD=/MFC

△AZ)F^AMCF(ASA),

??.CM=AD,AF=MF,

\-AE=5,

,\AE=AF=MF=5,

過E點作ENLA尸于N點，

/.ZANE=90°

4

vsinZEAF=-fAE=5f

:.EN=4,AN=3,

ANF=AF-AN=2,

.?.A/7V=5+2=7,

在Rt△硒M中

EM虱EN'MN?="2+72=底,

26

EM=EC+CM=^BC+BC=>/65,

-,AB=BC=CD=AD,

AB=BC=-y[65,

3

故答案為：—^65.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，運用三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理等,

正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

25.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在AASC中，AB=BC,tanN8=』，。為上一點，且滿足些=§,

12CD5

CE

過。作OE1AD交AC延長線于點E,則大=.

【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理,平行線分線段成比例，先設(shè)AB=3C=13x,根據(jù)tan1,

AH±CB,得出AH=5x,3〃=12x,再分別用勾股定理求出"L,AC=y/26x,故

cosZADC=—=^,再運用解直角三角形得出。M