2025年新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專練：雙曲線方程及性質(zhì)十三大題型（原卷版）

重難點(diǎn)11雙曲線方程及性質(zhì)十三大題型匯總

題型解讀

1^/滿分技巧/

技巧一.雙曲線定義的應(yīng)用

(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是不是雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程.

⑵在"焦點(diǎn)三角形"中，當(dāng)NFIPF2=90°時(shí)，SAPFiF2=b2,常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PFi|

-|PF2||=2a,運(yùn)用平方的方法,建立|PFi|與|PF2|的關(guān)系.

注意：在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙

曲線的一支，則需確定是哪一支.

技巧二.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法

Q)定義法：根據(jù)雙曲線的定義確定力,加的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出雙曲線方程.

(2)待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在x軸還是p軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定字,岳的值，即"先定型,

再定量"，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為三-擊=X(芯0)或m*-n*=l(m/7>0),

m2ri2

再根據(jù)條件求解.

注意：待定系數(shù)法求雙曲線方程的5種類型

//解/

類型一與雙曲線三--=1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為與-&=4/1/0)

bb解

若已知雙曲線的一條漸近線方程為y=x或p=-x,則可設(shè)雙曲線方程為3-

33cr

類型二

必

類型三與雙曲線W-口=1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為G—7-——7=1(-岳<左<力)

乎a宇-k?+k

A2J/2M〃

過兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為一—一二1(6">0)或者一+一二l(mn

類型四mnmn

<o)

^2^2^2i2.

與橢圓Q2+l(a>b>0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為G-一不=1("

類型五aZx/-X才-"

<A<a2}

技巧三.雙曲線的幾何性質(zhì)

(1)求雙曲線的漸近線或離心率的方法：

①求出a,b,c直接求離心率e,寫漸近線方程.

②列出a,6,c的齊次方程(或不等式),然后解方程或不等式.

(2)雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用要充分注意與平面幾何知識(shí)的聯(lián)系，善于發(fā)現(xiàn)條件中的相等或不等關(guān)系.

技巧四.求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法：

①根據(jù)雙曲線的定義求出||用|-|所||=2a;

②利用余弦定理表示出|所|,|M|,|后￡|之間滿足的關(guān)系式；

11

③利用公式SAPF】B=『|所卜|〃小皿/月所求得面積利用公式SA咫0(方為"點(diǎn)的縱坐標(biāo))

求得面積

b2

@:SRPFFZ=e

tan-

技巧五.和差最值問題：

利用三角形：和最小問題，兩邊之和2第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在中間。

差的絕對(duì)值最大問題，兩邊之差的絕對(duì)值4第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在兩邊。

技巧六.1,求解與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題的方法

(1)幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來(lái)求解，特別是用雙曲線

的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求解.

(2)代數(shù)法：若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，將雙曲線的范圍(或最值)

問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)等函數(shù)的范圍(或最值)問題，然后利用配方法、判別式法、基本不等式法、

函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的有界性等求解.

(3)不等式法：借助題目給出的不等信息列出不等關(guān)系式求解.

2.解決與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題時(shí)的注意點(diǎn)

(1)雙曲線上本身就存在最值問題，如異支雙曲線上兩點(diǎn)間的最短距離為2a(實(shí)軸長(zhǎng)).

(2)雙曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，常用兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的最值問題，有時(shí)也用雙曲線的

參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

(3)雙曲線上的點(diǎn)到定直線的距離的最值解法同(2)所述，或用平行切線法.

(4)點(diǎn)在雙曲線上，求相關(guān)式子(目標(biāo)函數(shù))的取值范圍，常用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，或根據(jù)平

面幾何知識(shí)，或引入一個(gè)參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.

⑸由直線和雙曲線的位置關(guān)系，求直線或雙曲線中某個(gè)參數(shù)的范圍，常把所求參數(shù)作為函數(shù)中的因變量來(lái)

求解.

(6)所構(gòu)建的函數(shù)關(guān)系式中變量的取值范圍往往受到雙曲線自變量范圍的影響.

技巧七.求軌跡方程的常見方法有:

①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)G,y）,根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；

②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；

③參數(shù)法，把久,y分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；

④逆代法，將押2需代入?=0.

技巧八.直線與方程的位置關(guān)系

22

將直線的方程y=kx+爪與雙曲線的方程京-^=l,a>0,b>。聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的

一元二次方程，其判別式為△.

（Z72—a2k2）x2—2a2mkx—a2m2—a2b2=0

若〃—/左2=o,即k=±2,直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；

a

若〃一"左2w0,即左二士2,

a

①A>0o直線和雙曲線相交o直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn);

②A=0o直線和雙曲線相切=直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；

③AvOo直線和雙曲線相離=直線和雙曲線相離，無(wú)公共點(diǎn).

技巧九.雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式：

r2v2h2

設(shè)股（工,%）為雙曲線二-9=1弦A5（AB不平行y軸）的中點(diǎn)，則有的=—

ab"a

i_i，」,

b\=1兩式相減得：丘H-士工=0

證明：設(shè)A（和必），,則有^二三￡

b

再~X2x；礦

[a2b2

整理得：工二4=1，即（X—%）=2,因?yàn)榧樱ㄒ?%）是弦AB的中點(diǎn),

再一％2a（再+%2）（工1一天2）a

所以：后用=&=%=&±21,所以以B.后用=1_

xQ2X0xl+x2a

-3*題型提分練

題型1雙曲線的定義

【例題IX2022上?上海黃浦?高三上海市大同中學(xué)校考階段練習(xí)施平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（2,-1）,

N（-2,1）,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM|2—|PN|2=a（aGR）,記點(diǎn)P的軌跡為曲線C,則下列命題中，可能成立的個(gè)數(shù)

為（）

（I）曲線C上所有的點(diǎn)到點(diǎn)（1,￡）的距離大于2

（II）曲線C上有兩點(diǎn)到點(diǎn)（-b,0）與（逐,0）的距離之和為6

（III）曲線C上有兩點(diǎn)到點(diǎn)（-病,0）與（逐,0）的距離之差為2

（IV）曲線C上有兩點(diǎn)到點(diǎn)（a,0）的距離與到直線x=-a的距離相等

A.ljB.2jC.3jD.4j

【變式1-1]1.（2023下?上海浦東新?高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎▓AM:（%-+必=16,點(diǎn)A

是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若線段24的中垂線交直線PM于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的軌跡

可能是：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線；⑥一個(gè)點(diǎn).其中所有可能的結(jié)果有（）.

A.3B.4C.5D.6

【變式（2023下?江蘇南京?高二南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獔A/+川—4By=

0的圓心為S，過點(diǎn)7（0,-2百）的直線ni交圓S于C、。兩點(diǎn)，過點(diǎn)7作SC的平行線，交直線SD于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的

軌跡為（）

A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.雙曲線一支

【變式1-1]3.（多選）（2023上?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末）已知P是圓心為4,半徑為2的圓上一動(dòng)點(diǎn),

B是圓4所在平面上一定點(diǎn)，設(shè)=t（t>0）.若線段BP的垂直平分線與直線4P交于點(diǎn)M,記動(dòng)點(diǎn)M的

軌跡為E，則（）

A.當(dāng)0<t<2時(shí)，E為橢圓B.當(dāng)t>2時(shí)，E為雙曲線

C.當(dāng)t>2時(shí)，E為雙曲線一支D.當(dāng)t力2且t越大時(shí)，E的離心率越大

2

【變式1-114.（多選）（2023上?河南?高二校聯(lián)考期中）0°<a<180。變化時(shí),方程式+ycosa=1表

示的曲線的形狀可以是（）

A.兩條平行直線B.圓

C.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

【變式1-115.（多選）（2023下?重慶璧山?高二重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校校考期中）以下關(guān)于圓錐曲線的

說(shuō)法，不正確的是（）

A.設(shè)4B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù),\\PA\-[PB\\=k,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

B.過點(diǎn)（0,1）作直線，使它與拋物線f=4x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條

22

C.若曲線C:A+{=1為雙曲線，貝收<1或k>4

4-kk-1

D.過定圓。上一定點(diǎn)4作圓的動(dòng)弦AB,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若而=*工？+而），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓

【變式1-1]6.（多選）（2023下?湖北孝感?高二統(tǒng)考期中）已知圓。的半徑為定長(zhǎng)R,4是圓。所在平面內(nèi)一

個(gè)定點(diǎn)，P是圓。上任意一點(diǎn)，線段4P的垂直平分線/和直線。P相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)于點(diǎn)Q的

軌跡，下列命題正確的是（）

A.若2是圓。內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)（非點(diǎn)。）時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是橢圓

B.若4是圓。外的一個(gè)定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線的一支

C.若4與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是圓

D.若力是圓。上的一個(gè)定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡不存在

題型2雙曲線定義的應(yīng)用

2222

【例題2]（2023上?上海?高二上海師大附中?？计谥校┤魴E圓舄+^=l（m>n>0）和雙曲線?-彳=

l（s,t>0）有相同的焦點(diǎn)6和尸2,而P是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則IP6I?IP&I的值是（）

A.m-sB.j（m—s）C.m2—s2D.Vm—Vs

【變式2-1]1.（2023上?河南南陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：/—y2=1的左，右焦點(diǎn)分別為見尸2,

過&的直線與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)P,則|PFzl=（）

A.-B.-C.-D.-

2222

【變式2-1]2.（2023上?江蘇常州?高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線C的中心為。，離心率為企，焦點(diǎn)為&出，

M為C上一點(diǎn)，=8,則|。陷=（）

A.2&B.3C.4D.8

【變式2-1]3.（2022上?內(nèi)蒙古呼和浩特?高二呼市二中?？计谥校┮阎p曲線《-總=l（a>0,b>0）的

左，右焦點(diǎn)分別為&月，過&的直線與左支相交于4B兩點(diǎn).如果+\BF2\=2|4切,那么|4B|=（）

A.aB.2aC.4aD.8a

【變式2-1]4.（多選）（2023上?遼寧錦州?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：=-1=1,P是該雙曲線上

任意一點(diǎn)，&,&是其左、右焦點(diǎn)，4（6,0）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若IPF2I=8,則IPF"=12B.|P川的最小值為代

C.|P&|的最小值為1D.若小&P4是直角三角形，則滿足條件的P點(diǎn)共4個(gè)

22

【變式2-1]5.（2023下?上海嘉定?高二統(tǒng)考期末）已知圓錐曲線/的方程：8+E=1.當(dāng)"n為正整

y—K4—K

數(shù)，且M<71時(shí)，存在兩條曲線J、Cn,其交點(diǎn)P與點(diǎn)&（-病,0）、尸2（逐,0）滿足「&1PF2，則滿足題意的

有序?qū)崝?shù)對(duì)（成踐）共有對(duì).

22

【變式2-1】6.（2022上?四川達(dá)州?高二統(tǒng)考期末）已知F是雙曲線C曝-色=l（a>0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn),

C的離心率為|,MN是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，-|FN|=6.則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

題型3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

【例題3]（2023湖南校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線C：^-^=l（a>0,b>0）其中一條漸近線的斜率為

2,且點(diǎn)（退2）在C上，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.@—些=1B.次一些=1C.x2-^=1D.—-y2=1

288223/

丫2

【變式（2023?全國(guó)校聯(lián)考三模搭雙曲線G與雙曲線。2：三-f=1有相同的焦距目G過點(diǎn)（3,1）,

則雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2-.22

ry/

A.上一匕=1B.=1

629-V73V73-1

2

C_1=1或$—X=1D.菅一？=1或y2-^-=1

629—V73v73-1

【變式3-1]2.（2022?全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：A=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為0,F2,

點(diǎn)M在雙曲線C的右支上,MFX1MF2，若M0與C的一條漸近線I垂直，垂足為N，且IN&I-|ON|=2,

其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.亡一竺=1B.過一竺=1

2016204

c=1DY-藝=1

416420

【變式3-1]3.（2022上?江蘇南通?高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為a（-逐,0）,F2（V5,0），點(diǎn)P在

雙曲線C上,滿足P&1F#2,PFI=4,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2,22-,22-,2

vB.x2-^A=1C.V上一匕=1D.v上一匕=1

A.2=I43223

【變式3-1]4.（2022?湖南岳陽(yáng)?岳陽(yáng)一中校考一模）如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金

杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主

體部分的軸截面可以近似看作雙曲線c的一部分，若c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在久軸上,離心率e=2,且點(diǎn)

P（V6,3）在雙曲線C上，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

c“22”2

A“2—匕=1B.Lr—匕=1

326

C.--^=1D.--^=1

39412

【變式3-1]5.（2022?江西南昌?統(tǒng)考一模）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線E的離心率為2,右頂點(diǎn)為4,過E的

左焦點(diǎn)F作%軸的垂線且/與E交于M,N兩點(diǎn)，若44MN的面積為9，貝！|E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.x2-^=1B.E—藝=1C.史—藝=1D./_先=i

3264124

22

【變式3-1]6.（2023上?廣東清遠(yuǎn)?高三統(tǒng)考期末）已知P為雙曲線C：^-^=l（a>0,b>0）上異于

頂點(diǎn)力i,4的任意一點(diǎn)，直線P4,P4的斜率分別為七，B,寫出滿足C的焦距小于8且3<krk2<4的

C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：

題型4雙曲線的幾何性質(zhì)

22

【例題4]（2023上?山西晉中?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線口鼻-竟=1（0<b<2）的左、右焦點(diǎn)分別為

&尸2,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為雙曲線上一點(diǎn)，滿足|OP|=\PF2\,\PFr\=V3|PF2|,則該雙曲線的右焦點(diǎn)F2到漸近

線的距離的平方為（）

A.1B.V3C.2D.2V3

【變式4-1]1.（2023下?陜西安康?高二校聯(lián)考期末）如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其外形被稱為單葉雙

曲面，可以看成是雙曲線C:1-2=1的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的

最小直徑為8cm,瓶高等于雙曲線C的虛軸長(zhǎng)，則該花瓶的瓶口直徑為（）

A.I6V2cmB.24cmC.32cmD.8V2cm

2222

【變式4-1J2.（2023下訶北?高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線黃-9=1與雙曲線磊-￡=1（0<k<9）,

則兩雙曲線的（）

A.實(shí)軸長(zhǎng)相等B.虛軸長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等

22

【變式4-1]3.（2023上?北京東城?高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線-"=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)

分別為&,F2,其漸近線方程為y=±2%,「是。上一點(diǎn)，且Pa1PF??若△PF#2的面積為4,貝北的焦距為

（）

A.V3B.2V3C.2V5D.4V5

【變式4-1]4.（2022上?浙江臺(tái)州?高二校聯(lián)考期末）坐標(biāo)系建立的方式不同，會(huì)導(dǎo)致曲線方程形式上的

不同,如初中學(xué)過的反比例函數(shù)y=熱勺圖象也是雙曲線.已知形如y=ax+g（b片0）的函數(shù)圖象均為雙曲

線，則雙曲線y=：久-部勺一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為

【變式4-1]5.（2023下?上海松江?高二上海市松江一中?？计谀┮阎猘>b>0,雙曲線圣-《=1的

22

兩個(gè)焦點(diǎn)為a,F2，若橢圓m+琶=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是線段&尸2的三等分點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為.

2

【變式4-1]6.（2023上?北京懷柔高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線J-y=1的左右焦點(diǎn)分別是&,F2,點(diǎn)P在

雙曲線上，貝比IPaI—=；若N&P出為直角，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的是

題型5雙曲線的離心率

22

【例題5]（2023上?天津北辰?高二?？计谀┤綦p曲線C：京-a=l（a>0,6>0）的一條漸近線被圓/+

（y-2）2=4所截得的弦長(zhǎng)為2百，貝北的離心率為（）

A.2B.2C.—D.，

333

22

【變式5-1J1.（2022上?浙江臺(tái)州?高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C*-a=l（a>0,b>0）的左頂點(diǎn)為4,

過4的直線/與C的右支交于點(diǎn)B,若線段4B的中點(diǎn)在圓。:/+y2=a2±,且QB|=夕|0川，則雙曲線C的

離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.3

【變式5-1]2.（2021上?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:/一3=1。>0）的左、右焦點(diǎn)分別

為乙、，過心的直線分別交雙曲線C的兩條漸近線于點(diǎn)M、N.若點(diǎn)M是線段F?N的中點(diǎn)，且N&1NF2,

則雙曲線C的離心率為（）

A.V3B.2V3C.2D.4

22

【變式5-1]3.（2023下?浙江?高二校聯(lián)考期末）雙曲線京一琶=1,（a>0,b>0）右焦點(diǎn)為F，離心率為e,

PO=kFO,（fc>1）,以P為圓心，|PF|長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則k-8e最小值為（）

A.-9B.-7C.-5D.-3

22

【變式5-1]4.（多選）（2023下?浙江?高二校聯(lián)考期末）已知6（—c,0）,F2（C,0）（00）是橢圓&竟+?=

22

Ka1>瓦>0）與雙曲線=l（a2>0,b2>0）共同的焦點(diǎn)，0,02分別為Q,。2的離心率，點(diǎn)M是

它們的一個(gè)交點(diǎn)，則以下判斷正確的有（）

A.△F1MF2面積為瓦匕2

B.若NF1MF2=9，則e】e（sin1,l）

C.若N&MF2=y,則0送2的取值范圍為J?,+8）

D.若N&MF2=y,則督+瞭勺取值范圍為（2,+8）

【變式5-1]5.（2022上?上海閔行?高二上海市七寶中學(xué)?？计谀┤鐖D,&、尸2是橢圓G與雙曲線Q的

公共焦點(diǎn)，4B分別是G、。2在第二、四象限的交點(diǎn)，若乙4F*=y,則6與C2的離心率之積的最小值

為

22

【變式5-1】6.（2021下?四川成都?高二石室中學(xué)?？计谥校┰O(shè)Fi無(wú)分別為橢圓J京+金=1@＞加＞0）

22

與雙曲線C2:號(hào)-金=13＞近＞0）的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M,ZF1MF2=90°,若橢圓的離心

a2b2一

率ei,則雙曲線C2的離心率e2的取值范圍為

題型6雙曲線的弦長(zhǎng)

【例題6］（多選）（2023上?山西太原?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：/-?=1,6,尸2為雙曲線的左、右

焦點(diǎn)，若直線1過點(diǎn)尸2,且與雙曲線的右支交于MN兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.雙曲線C的離心率為百

B.若珀勺斜率為2,則MN的中點(diǎn)為（8,12）

C.AMN&周長(zhǎng)的最小值為10

D.AMNF］周長(zhǎng)的最小值為16

【變式6-1】1.（多選）（2022上福建南平?高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)

M（-2,0）、N（2,0）連線的斜率之積等于:，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E,直線「y=M久-近）與E交于力，B兩點(diǎn)，

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.E的方程為：?—y2=力±2）B.E的離心率為日

2

C.E的漸近線與圓（%-近）+y2=i相交D.滿足I力B1=4的直線哨3條

【變式6-1】2.（多選）（2022下?江蘇南京?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:2-￡=1的一條漸近線方程

L—/C

為4x-3y=0,過點(diǎn)（5,0）作直線Z交該雙曲線于2和B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.該雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸不能確定

B.該雙曲線的離心率為?

C.若4和B在雙曲線的同一支上，則2苧

D.若4和B分別在雙曲線的兩支上，則[48|28

【變式6-1]3.(2023上?遼寧沈陽(yáng)?高二沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末)已知雙曲線-g=Ka,b>0)經(jīng)過點(diǎn)

M(2,3),它的左焦點(diǎn)為&,且a到其漸近線的距離是次.

⑴求C的方程；

(2)過點(diǎn)M的直線/交C左支于一點(diǎn)N,且/的斜率是J求|MN|長(zhǎng).

【變式6-1】4.(2023上?河北邢臺(tái)高二統(tǒng)考期末)已知為(-1,0)，42(1，0)，動(dòng)點(diǎn)PQ,y)滿足直線P4與P/

的斜率之積為3.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)過原點(diǎn)O作直線I,直線I被曲線C截得的弦長(zhǎng)為|48|,將直線I向左、右分別平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直

線人,,且直線%被曲線截得的弦長(zhǎng)分別為|印，證明：2

124,C|MN|,|EF|+\MN\=\AB\.

【變式6-1]5.(2023上?浙江寧波?高二期末)已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為y=±2x,

(1)求雙曲線C的離心率e

(2)若直線y=x+2與C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,且|4B|=字,求雙曲線C的方程.

題型7雙曲線的中點(diǎn)弦

【例題7](2022上?內(nèi)蒙古包頭?高二統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)A,B在雙曲線/-*=3上，線段AB的中點(diǎn)為

”(1,2),則|力例=()

A.2V5B.4V5C.2V10D.4V10

【變式7-1]1.(2023下?陜西榆林?高二統(tǒng)考期末)已知4B為雙曲線/一9=1上兩點(diǎn)，且線段4B的中

點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4),則直線48的斜率為()

2

【變式7-1]2.（2023?全國(guó)統(tǒng)考高考真題）設(shè)A,B為雙曲線/—白=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線

段AB中點(diǎn)的是（）

A.（1,1）B.（—1,2）C,（1,3）D.（—1,—4）

2

【變式7-1]3.（2023上?山東煙臺(tái)?高二統(tǒng)考期末）已知直線1過雙曲線C:%2-^=1的左焦點(diǎn)F,且與C的

左、右兩支分別交于4B兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為4B的中點(diǎn)，若A。尸P是以FP為底邊的等腰三角形，則

直線珀勺斜率為（）

A_+VwVI3V15

-2—2—3—5

22_

【變式7-1J4.（2023?全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：2-^=l（a>0,b>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為魚，

直線1與C交于4B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1廁|。如的取值范圍為

【變式7-1]5.（2023上?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓?+^=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F,下頂點(diǎn)為

A,若存在直線1與橢圓交于B,C兩點(diǎn)，目448c的重心為F,則直線8c斜率的取值范圍為.

【變式7-1]6.（2023上?內(nèi)蒙古包頭?高二統(tǒng)考期末）如圖1、2,已知圓4方程為（久+2）2+*=12,點(diǎn)

（1）求點(diǎn)N的軌跡方程；

（2）記點(diǎn)N的軌跡為曲線「，過點(diǎn)P（|,|）是否存在一條直線/，使得直線]與曲線「交于兩點(diǎn)C、D，且P是線段CD

中占

I八、、?

丫2

【答案】（l9—y2=i

（2）不存在這樣的直線]

【變式7-1]7.（2022上?福建泉州?高二統(tǒng)考期末）圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角

形叫做阿基米德三角形.在一次以"圓錐曲線的阿基米德三角形"為主題的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，甲同學(xué)以如圖

示的拋物線C：y2=2Px（p>0）的阿基米德三角形P4B為例，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：若AB為過焦點(diǎn)的弦，貝！J：①

點(diǎn)P在定直線上；②PF1AB；③PA1PB.已知WAB為等軸雙曲線「：%2-/=A（2>0）的阿基米德三

（1）試探究甲同學(xué)得出的結(jié)論，類比到此雙曲線情境中，是否仍然成立？（選擇一個(gè)結(jié)論進(jìn)行探究即可）

（2）若4=2,弦AB的中點(diǎn)為Q,\AB\\FP\=3\FQ\,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

27

（注：雙曲線器-琶=1的以。0,%）為切點(diǎn)的切線方程為簧-矍=L）

題型8焦三角問題

【例題8]（2023下?廣東廣州?高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C：/-1=1的左、右焦點(diǎn)分別為國(guó),,設(shè)

點(diǎn)P為C右支上一點(diǎn)，2點(diǎn)到直線x=扣勺距離為d,過Fz的直線1與雙曲線C的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.d+|P&|的最小值為2B,^=V8

C.直線/的斜率的取值范圍是（百,+8）D.APF/2的內(nèi)切圓圓心到y(tǒng)軸的距離為1

22

【變式8-1]1.（2023下?廣西河池?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:標(biāo)-琶=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分

別是&尸2，焦距為2c,以線段為直徑的圓在第一象限交雙曲線C于點(diǎn)4sin4F#2=空，則雙曲線C的

4

漸近線方程為（）

A.y=±xB.y=+V3x

C.y=±2%D.y=±V2x

【變式8-1]2.（2023上?安徽滁州?高二?？计谀┮阎p曲線《-y2=i（a>0）的左、右焦點(diǎn)分別為&,

F2,離心率為子,P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足IPF/2_出尸2『=4V15，則△PF1F2的周長(zhǎng)為.

【變式8-1】3.（2023下?四川遂寧?高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線?=1的左、右焦點(diǎn)分別為B，&,P為

雙曲線右支上一點(diǎn)，且IP&I=3|PF2|,貝LU&PF2的大小為

【變式8-1]4.（2023上?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：白-5=l（a>0,b>0）的左，右焦點(diǎn)

分別為&、F2，過點(diǎn)&作傾斜角為。的直線?交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限者|4B|=

IXFJ,且雙曲線C的離心率為|,貝Ucos。=

【變式8-1]5.（2022上?山西朔州?高二?？计谀┮阎p曲線m-2=l（a>0,b>0）的虛軸長(zhǎng)為2,離

心率為三，&典為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線上有一點(diǎn)P,滿足“止?2=60°J!]A&PF2的面積為.

22

【變式8-1]6.（多選）（2022上?廣東珠海?高二珠海市第一中學(xué)?？计谀┮阎p曲線r曝-竟=l（a>

0,b>0），左焦點(diǎn)為尸，左右頂點(diǎn)分別為&、A2,B（0,6）,P是「右支上一動(dòng)點(diǎn),S.\PF\+|PB|的最小值為（百+

2）a,P關(guān)于%軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,則下列結(jié)論正確的是（）

A.r的離心率為28.PA21ArQ

C.sinNQPA】=sm^QA^D.41PBi>V6\PQ\

2

【變式8-1】7.（多選）（2023下?安徽阜陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：^-y2=l（a>0）的左、右焦點(diǎn)

分別是&尸2，P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，l&Fzl=4,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.雙曲線C的離心率6=警

B.雙曲線C與雙曲線1-久2=1共漸近線

C.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,則直線P6的斜率與直線Pa的斜率之積為|

D.若N&PB=與，則4PF/2的內(nèi)切圓半徑為W

題型9和差最值問題

22

【例題上福建福州高二校聯(lián)考期末)已知，雙曲線彳-^=的左、右焦點(diǎn)分別為,F,

9](2022??4(0,4)45102

點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)，則IP川+仍尸2|的最小值為()

A.5B.7C.9D.11

【變式9-1]1.(2023上?湖北黃岡?高二統(tǒng)考期末)已知P是雙曲線?-g=l(a>0,h>0)右支上一點(diǎn),

記P到雙曲線左焦點(diǎn)&的距離為刈，P到雙曲線一條漸近線的距離為dz,若刈+d2的最小值等于雙曲線的焦

距長(zhǎng)，則雙曲線的漸近線方程為()

A.y=±1xB.y=±^xC.y=±|xD.y=±|x

222

【變式9-1]2.(2022下?安徽滁州?高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線C：京一a=l(a>0,6>0)與雙曲線器-

%2=1有相同的漸近線，過雙曲線C右焦點(diǎn)F的直線1與雙曲線C相交于M,N兩點(diǎn)，弦MN的中點(diǎn)為G(6,6),

點(diǎn)P是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)4是以點(diǎn)尸為圓心，1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是圓/+于一6y+5=0上

的動(dòng)點(diǎn)，貝LIIP川+|PB|的最小值為()

A.5B.4C.3D.2

【變式9-1】3.(2022上?河南洛陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)力(-2,0),B(2,0),C(2,2),

D(3,0),直線AP,BP相交于點(diǎn)P,且它們斜率之積是;?當(dāng)|P4|<|P8|時(shí),\PD\+|PC|的最小值為()

A.V29+4B.V29-4C.V5+4D.V5

【變式9-1]4.(2022上?河南南陽(yáng)?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線方程為5-5=1(爪>0),焦距為

8,左、右焦點(diǎn)分別為&，F(xiàn)2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則|PFil+|P*的最小值

為

22

【變式9-1]5.(2022上?廣東珠海?高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線C-三=1,&,尸2是其左右焦點(diǎn).圓E:

x2+y2-4y+3=0,點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|+|P&|的最小值

是

【變式9-1]6.（多選）（2022上?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P是雙

22

曲線C：篙-套=1左支上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，N是圓D：（久+5）2+*=1的動(dòng)點(diǎn)，直線。P交雙曲線

右支于Q（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）

A.IPF2I28B.過點(diǎn)M作與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有2條

C.|PM|-|PN|的最小值為5-2有D.若^OPF2的內(nèi)切圓E與圓D外切，則圓E的半徑為日

22

【變式9-1】7.（多選）（2022上河北滄州高二任丘市第一中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)P為雙曲線卷-±=1右

??yio

支上一點(diǎn)，4B分別為圓Q：及+5/+必=4、C2：（%-5）2+y2m1上的動(dòng)點(diǎn),則悶|-|PB|的值可能

為（）

A.2B.6C.9D.12

題型10直線與雙曲線位置關(guān)系

【例題10]（2021上?浙江杭州?高二統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)x,y滿足到幻+孥=1，則|百萬(wàn)+y-4|的取值

范圍是（）

A.[4-V6,2）B.[4-V6,4）C.（2-y,2）D.[2-y,4）

22

【變式10-1J1.（2023下河南洛陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線標(biāo)-色=1（a>0力>0）的離心率e=2,

4B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于4B的動(dòng)點(diǎn)，直線P4PB的斜率分別為七，k2,

若1W自W2,則B的取值范圍是（）

A.卜3,_|]B.[I，3]C.[―4,—2]D.[2,4]

【變式10-1】2.（2023上?湖北襄陽(yáng)?高二襄陽(yáng)市第一中學(xué)校考期末）已知a尸2分別為雙曲線C：[-1=1

41Z

的左、右焦點(diǎn)，E為雙曲線C的右頂點(diǎn).過尸2的直線與雙曲線C的右支交于4B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），

設(shè)MN分別為△4尸/2,△BF/2的內(nèi)心，則|ME|+|NE|的取值范圍是（）

A.S-竽）u（竽收）B.（一竽，爭(zhēng)

C14，W）D.（-W，0）U（。爺

【變式10-1】3.（2022上?四川瀘州?高二統(tǒng)考期末）關(guān)于曲線C:久田+y|y|=1有如下四個(gè)命題：

①曲線C經(jīng)過第一、二、四象限；

②曲線C與坐標(biāo)軸圍成的面積為￡；

③直線%+y=ni與曲線C最多有兩個(gè)公共點(diǎn)；

④直線x-y=爪與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

其中所有真命題的序號(hào)是（填上所有正確命題的序號(hào)）.

【變式10-1】4.（多選）（2023下?江蘇南通?高二期末）雙曲線/=1的離心率為e,若過點(diǎn)（2,2）能

作該雙曲線的兩條切線，則e可能取值為（）.

A.—B.V2C.-D.2

42

【變式10-1】5.（多選）（2023上浙江紹興?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線-《=l（a>0,b>0）與橢

圓「+?=1的焦點(diǎn)相同，雙曲線￡的左右焦點(diǎn)分別為尻、尸2，過點(diǎn)尸2的直線與雙曲線E的右支交于P、Q兩點(diǎn)，

P6與y軸相交于點(diǎn)4,AP4F2的內(nèi)切圓與邊如2相切于點(diǎn)8若|A8|=1，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.雙曲線E的漸近線方程為y=±V3x

B.過點(diǎn)（1,1）存在兩條直線與雙曲線E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

C.點(diǎn)P在變化過程中，面積的取值范圍是（譬，4遍）

D.若P01PF2,貝必P4F2的內(nèi)切圓面積為

【變式10-1】6.（2023上河北?高三校聯(lián)考期末）已知雙曲線C