2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：中點(diǎn)的構(gòu)造

第2講中點(diǎn)的構(gòu)造

前言：中點(diǎn)是幾何綜合題常見條件之一，對(duì)中點(diǎn)的分析思路有三：倍長(zhǎng)中線、直角三角形斜邊中線、中位線.

結(jié)合具體條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，必要時(shí)合理添加輔助線.

知識(shí)導(dǎo)航

倍長(zhǎng)中線

當(dāng)出現(xiàn)中點(diǎn)條件時(shí)，可將中線延長(zhǎng)一倍，即倍長(zhǎng)中線.

作圖分析：

如圖1,在小ABC中，AD是中線.

延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使得DE=AD,

貝必ADC^AEDB.

線段關(guān)系：AC=BE,AC/7BE.

如圖2,在小ABC中，E是AB邊一點(diǎn)，D是BC中點(diǎn)，連接DE.延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F使得DF=DE,

貝必BDE^ACDF.

線段關(guān)系：BE=FC,BE〃FC.

解讀：倍長(zhǎng)中線后可得一組旋轉(zhuǎn)型全等.轉(zhuǎn)化為兩條線段平行且相等.即轉(zhuǎn)移了線段位置，探究幾何圖中線段

間的數(shù)量關(guān)系，一般需先有位置關(guān)系.

引例1：?jiǎn)栴}探究：

小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,△ABC中，AB=6,AC=4,AD是中線，求AD的取值范圍.她的做法是：延長(zhǎng)A

D至I」E,使DE=AD,連接BE,證明△BEDgACAD,經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決.

(1)小紅證明ABED烏ZM2AD的判定定理是：;

(2)AD的取值范圍是;

(3攻口圖2,AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F,連結(jié)BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,使AE=EF.

求證：BF=AC.

A

解析:(1)SAS;

(2)1<AD<5;

⑶延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M使得DM=DF,連接CM,

在ABDF和4CDM中，

BD=CD

<ZBDF=/CDM,1.4BDF迫叢CDM(SAS),

DF=DM

ABF=CM,ZBFD=ZM,

VAE=EF,AZEFA=ZEAF,

JZBFD=ZEFA=ZEAF,

AZM=ZEAF,???CM=CA,又CM二BF,

ABF=AC.

2斜邊中線

定理：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

如圖1,點(diǎn)M是RtAABC斜邊AB中點(diǎn)則MC=^AB.

如圖2,點(diǎn)M是AB中點(diǎn)則MA=MB=MC=MD,A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

3中位線

(1)中位線定理：三角形中位線平行且等于第三邊的一半.

如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC邊中點(diǎn).

貝!IEF||BC,EF=ifiC.

(2)中位線構(gòu)造

如圖，在4ABC中，點(diǎn)E是AB邊中點(diǎn).

構(gòu)造:取AC中點(diǎn)F,連接EF.則EF〃:BC,EF=|BC.

如圖.在^ABC中，點(diǎn)B是AE中點(diǎn)點(diǎn)C是AF中點(diǎn)

構(gòu)造：連接EF.貝UBC||EF,BC=

如圖，在4ABC中，點(diǎn)B是AE中點(diǎn)

構(gòu)造延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F使得CF=AC,連接EF.

貝！IBC〃EF,BC=|EF.

EZ------------1尸

弓例2:如圖，在四邊形ABCD中,NABC=90。，AB=BC=2V2E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)，連接BE、BF、E

F.若四邊形ABCD的面積為6貝以BEF的面積為()

解析：連接AC,則ACM,分別過B、D作AC的垂線，垂足分別為M、N，則BM=2,SABCD=SABC+SACD=6

其中，BABC=；x2應(yīng)x2《=4,，S“8=2,：.DN=1,

在4BEF中，EF==2,EF邊上的高為

15155

BM+-DN=l，.-.SBEF^-x^-,

...選C.

中點(diǎn)四邊形

已知：如圖.E、F、G、H分別是四邊形ABCD中AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn).

結(jié)論：四邊形EFGH是平行四邊形，且^EFGH=5S4BO

特別地，

若AC=BD,則平行四邊形EFGH是菱形；

若AC±BD,則平行四邊形EFGH是矩形.

引例3:如圖，任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，對(duì)于四邊形EFGH的形

狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，通過動(dòng)手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)E、F、G、H是各邊中點(diǎn)，且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形

B.當(dāng)E、F、G、H是各邊中點(diǎn)，目ACLBD時(shí)，四邊形EFGH為矩形

C.當(dāng)E、F、G、H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH可以為平行四邊形

D.當(dāng)E、F、G、H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH不可能為菱形

解析：選D.

真題演練

L如圖.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn),CE=5,F為DE的中點(diǎn).若△CEF的周

長(zhǎng)為18,則OF的長(zhǎng)為.

2.如圖，在四邊形ABCD中,AB=CD,AC、BD是對(duì)角線，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，連接E

F、FG、GH、HE,則四邊形EFGH的形狀是（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

3.在4ABC中,AB=6,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE〃BC,交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)M在DE上，且ME=：

DM,當(dāng)AM±BM時(shí),則BC的長(zhǎng)為.

4.如圖，已知點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG,連接DF,

M、N分別是DC、DF的中點(diǎn)，連接MN.若AB=7,BE=5,則MN=.

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=8.E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)且/BFC=9

0°.連接AF并延氏交CD于點(diǎn)G.若EF〃AB,則DG的長(zhǎng)為（）

53

A.-B.-C.3D.2

22

6.如圖，矩開鄉(xiāng)紙片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,E為邊CD上一點(diǎn).將△BCE沿BE所在的直線折疊，點(diǎn)C

恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FMXBE,垂足為點(diǎn)M,取AF的中點(diǎn)N,連接MN,則MN=

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x與雙曲線y=竣于A、B兩點(diǎn)P是以點(diǎn)C(2,2)為圓心，半徑長(zhǎng)1的

圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,Q為AP的中點(diǎn).若線段0Q長(zhǎng)度的最大值為2,則k的值為()

8.如圖，已知二次數(shù)y=—4的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OC的半徑為由，P為。

C上一動(dòng)點(diǎn).

(1)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為B()、C();

(2)連接PB,若E為PB的中點(diǎn)，連接0E,則0E的最大值是.

9.如圖，在小ABC中，ZACB=60°,AC=l,D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn).若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則

DE的長(zhǎng)是________.

10.三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心.如圖G是^ABC的重心.

求證：AD=3GD.

11.(1)閱讀理解：

如圖1,在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)18

0。得至必EBD),把AB、AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.

中線AD的取值范圍是一

(2)問題解決：

圖2,在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn),DELDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF.

求證：BE+CF>EF;

(3)問題拓展：

如圖3,在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70。角，角的兩邊分別

交AB,AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

12.我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

⑴如圖1,四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：中點(diǎn)四邊形EF

GH是平行四邊形；

(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB,PC=PD,/APB=/CPD,點(diǎn)E、F、G、H分另為邊AB、

BC、CD、DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；

(3)若改變⑵中的條件，使/APB=NCPD=90。，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀(不必證明)

13.在4ABM中，ZABM=45°,AMLBM,垂足為M,點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC.

(1)如圖L若AB=3V2,SC=5,求AC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn)MD=MC,點(diǎn)E是△4BC外一點(diǎn)，EC=AC,連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,

且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：ZBDF=ZCEF.

14.若△ABCffiAAED均為等腰三角形，且/BAC=NEAD=90。.

⑴如圖1,點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；

⑵如圖2,若點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，連接GB并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF=CD.

求證：①EB=DC,

?ZEBG=ZBFC.

15.在小ABC中，P為邊AB上一點(diǎn).

⑴如圖1,若/ACP=/B,求證：AC2=AP-AB-,

⑵若M為CP的中點(diǎn)AC=2.

①如圖2,若4PBM=^ACP,AB=3,求BP的長(zhǎng)；

②如圖3,^ZABC=45°,ZA=ZBMP=60°,直接寫出BP的長(zhǎng).

圖3

第2講中點(diǎn)的構(gòu)造

解析：；F點(diǎn)是DE中點(diǎn)，.?.￡1?=，￡)￡1=DF,；Z\CEF的周長(zhǎng)為18,CE=5,；.CF+EF=13,即DE=13,.\CD=12,

BC=12,.*.BE=7,OF=1,gpOF的長(zhǎng)為!

2.C.

3.8.

解析：由題意得：DM=|AB=3,ME=1,DE=4,BC=8.

13

44.—

12

解析：連接CF,則MN為4CDF中CF邊所對(duì)的中位線，

解析：如圖,延長(zhǎng)BF與CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,易證△AFBgAGFM,；.GM=AB=5,BF=MF,又/BFC=90。,

；.MC=BC=8,；.CG=3,DG=2,故選D.

6.解析：取BF中點(diǎn)P,連接PM、PN,貝!JPM=PB=4cm,.,./PMB=NPBM=/CBM,.^.PM〃BC,：點(diǎn)N是AF中

點(diǎn),ABF中AB邊中位線，PN||AB,PN=^AB=3cm,，PM_LPN,MN=V32+42=5cm,?(MN=5cm.

解析：連接PC、CB、PB,???OQ最大值為2,

；.PB最大值為4,；.PC+CB=4,又PC=1,；.CB=3,設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(m,-m)(m>0),兩點(diǎn)間距離公式可得:

(2-m)2+(2+m)2=9'

解得：山=:，點(diǎn)8坐標(biāo)為(亭―丹…丹故選A.

8.解析:⑴點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-4);

⑵連接AP,則OE=豺P,當(dāng)AP過點(diǎn)C時(shí)，AP取到最大值5+V5,OE的最大值為竽.

9.”

2

解析：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F使得CF=CA,DE平分△ABC的周長(zhǎng),，點(diǎn)E是BF中點(diǎn)又點(diǎn)D是AB中點(diǎn),DE=

AF,ZACB=60°,AZACF=120°,又AC=1,；.AF=A/3:.DE

10.解析:取AD中點(diǎn)F,連接EE則EF〃BC,EF=：BD,又.BD=CD,，EF=第D「.?EF〃BC,???Z^EGFsZ\CGD,???

FGPP-1-1O-1

-=-,.：DG^-.-.AD=-AD^AD=3GD.

DG

H.解析：⑴2<AD<8;

⑵延長(zhǎng)FD至點(diǎn)G使得DG=DF,連接EG、BG,VDE垂直平分FG,/.EF=EG,在4CDF和4BDG中.

；.CF=BG,：BE+BG>EG,，BE+CF>EF.

(3)BE+DF=EF.延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M使得BM=DF,；NABC+ND=180。,；.CDF和ACBM中,(L

ORN,ZCHM,ACDR^AGBM(SAS)0

ZDCF=ZBCM,VZBCD=140°,ZECF=70°,

/.ZDCF+ZBCE=70°,BPZECM=70°,^ACEFCEM中，

CE=CE

?ZECF=ZECM,:△CEFWACEM(SAS),

CF=CM

12.解析：⑴連接AC,F分別是BA、BC的中點(diǎn),；.EF是△ABC中AC邊的中位線，EFB&EF=

同理可證HG〃AC,HG=JAC,AEF^HG,EF=HG,.?.中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

⑵菱形.

連接AC、BD,VZAPB=ZCPD,.\ZAPB+ZAPD=ZCPD+ZAPD,即NAPC=NBPD,在△APC和△BPD中,

LACCOZBPD,.,.△APC^ABPD,.\ACBBD,

???EF=\AC,EH=}B。,...平行四邊形EFGH是菱形.

(3)正方形.

13.解析：(1)由題意得△ABM是等腰直角三角形,：AB=3V2,.\MA=MB=3,又BC=5,；.MC=2,二"=

732+22=g,即AC的長(zhǎng)為V13.

(2)延長(zhǎng)EF至點(diǎn)G使得FG=FE,連接86.在4CFE和4BFG中，

CF=BF

ZCFE=ZBFG,:ACFE必BFG(.SAS'),

FE=FG

/.CE=BG,ZCEF=ZBGF.

/.ABMD^AAANC(SAS).

；.BD=AC,

又：CE=AC,，BG=BD,.*./BDG=/BGD,，NBDF=/CEF.

14.解析：⑴平行四邊形.

丁點(diǎn)B是DE中點(diǎn),；.AB=1DE=BEZBAE=ZE=45°,ZABE=90°,/.ZBAE=ZABC,；.AE〃BC,ZBAC

=90o,；