湖北省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

湖北省部分學(xué)校學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題.1.若（i（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)模長公式即可求解.【詳解】由可得，故，故選：C2.已知直線的方向向量的方向向量且的值是（）A.B.或C.D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量模長運算可求得，根據(jù)向量垂直關(guān)系可求得，進而得到結(jié)果.【詳解】，或，當(dāng)時，，，解得：，；當(dāng)時，，，解得：，；綜上所述：的值為或.故選：D.3.“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件第1頁/共21頁C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先代入?yún)?shù)值判斷直線平行證明充分性，利用直線平行求解參數(shù)值證明必要性即可.【詳解】對于充分性：當(dāng)時，直線為，直線為，此時和顯然斜率相同，截距不同，則此時與平行，故充分性成立，對于必要性：若和平行，則有且，解得，故必要性成立，綜上，是直線與直線平行的充要條件，故C正確.故選：C4.已知，且，則下列等式正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)的運算性質(zhì)即可判斷AC，根據(jù)組合數(shù)的運算性質(zhì)即可判斷BD.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，所以，C正確；對于D，，D錯誤.故選：C第2頁/共21頁5.已知直線為圓是（）A.的最大值為5B.的最小值為C.直線與圓相切時，D.圓心到直線的距離最大為4【答案】C【解析】ABC，根據(jù)點到直線的距離得公式即可求出值；對D，根據(jù)點到直線的距離再對分類討論即可.【詳解】對A，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，是圓上的點，所以的最大值為，A選項錯誤.對B，如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，此時，且，根據(jù)對稱性知的最小值為，B選項不正確；對C，直線，即，過定點，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，解得，所以C選項正確；對D，圓心到直線的距離，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以D選項錯誤.第3頁/共21頁故選：C6.的大小為AB分別在半平面，內(nèi)，于點C，于點D，，．則（）A.B.6C.D.【答案】C【解析】【分析】解法一：作輔助線構(gòu)造三角形，根據(jù)余弦定理以及勾股定理可求得結(jié)果；解法二：根據(jù)向量的線性運算以及數(shù)量積的運算可求得結(jié)果.【詳解】解法一：在內(nèi)過點C作，且，連接，，所以為二面角的平面角.易知平面，而四邊形矩形，所以，故平面，因而，，；解法二：由，，第4頁/共21頁得，，．因為，所以，則，解得，．故選：C.7.若數(shù)列滿足，且，則（）A.B.CD.【答案】A【解析】可得可得數(shù)列是首項和公比為數(shù)列的前項和求解即可.【詳解】令，，令，則，所以，所以數(shù)列是首項和公比為的等比數(shù)列，所以.故選：A.8.若圓與圓有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第5頁/共21頁【分析】根據(jù)題意得到兩圓位置關(guān)系，從而得到不等式，解出即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.因為兩圓有公共點，所以兩圓相切或相交，則有，即，解得，又，所以.故選：C.二、多選題9.已知正態(tài)分布的正態(tài)密度曲線如圖所示，，則下列選項中，能表示圖中陰影部分面積的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由正態(tài)密度曲線的對稱性逐一分析四個選項即可得答案.【詳解】解：由正態(tài)分布的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱，對A：由對稱性可得圖中陰影部分可表示為，故選項A符合題意；對B：由對稱性可得，所以圖中陰影部分可表示為，故選項B符合題意；對C：由對稱性可得，選項C不符合題意；第6頁/共21頁對D：由對稱性可得，所以圖中陰影部分可表示為，故選項D符合題意.故選：ABD.10.已知數(shù)列滿足，，，則（）A.121是數(shù)列中的項B.C.是等比數(shù)列D.存在，【答案】ABC【解析】【分析】由遞推關(guān)系式可知，通過構(gòu)造等比數(shù)列可求得數(shù)列的通項公式為，即可計算并判斷出ABC正確；再利用不等式進行放縮可得出對于任意的，，可得D錯誤.【詳解】由可得，，又，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列，即C正確；所以，由等比數(shù)列通項公式可得，即；當(dāng)時，，所以121是數(shù)列中的第五項，即A正確；由可得，；即B正確；易知，當(dāng)時，，第7頁/共21頁所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即對于任意的，，所以不存在，，即D錯誤.故選：ABC如圖，在棱長為2的正方體中，點O為BD的中點，且點P滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，則點P的軌跡長度為C.若，，則D.若，，直線OP與平面所成的角為，則【答案】ACD【解析】【分析】建系，對于A，由向量的數(shù)量積為0即可判斷，對于B，由，及即可判斷，對于CP到平面D，通過換元，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解；第8頁/共21頁【詳解】解析：連接，，DP，BP，，以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，，，，，則，故，對于A，，，若，則，所以，故A正確；對于B，若，，則，因為，所以，所以點P的軌跡長度為1，故B不正確；對于C，若，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以點P到平面的距離，在中，，則，所以，故C正確；對于D，若，時，，，則第9頁/共21頁，設(shè)，，則，，，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以，所以，，，，，所以，所以，所以，故D正確．故選：ACD第10頁/共21頁【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項，通過換元得到.第卷（非選擇題）三、填空題12.已知為坐標原點，若雙曲線的右支上存在兩點，，使得，則的離心率的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】由題意得出，其中，結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，即，所以，離心率.故答案為：.13.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則的通項公式為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，結(jié)合題意解得，即可得通項公式.第11頁/共21頁【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，可得.因為數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則，解得，所以.故答案為：.14.設(shè)點在曲線上，點在曲線上，若的最小值為，則__________.【答案】1【解析】【分析】考慮到兩曲線關(guān)于直線對稱，的最小值可轉(zhuǎn)化為點到直線的最小距離的兩倍，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線對應(yīng)的切點坐標，代到點到直線的距離公式中，可求得，再分類討論出符合題意的即可.【詳解】因為與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，又點在曲線上，點在曲線上，的最小值為，所以曲線上的點到直線的最小距離為，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切線的切點，，解得，所以，得到切點，點到直線即的距離，解得或3.當(dāng)時，過點和，過點和，又，，所以與相交，不符合題意；當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，第12頁/共21頁當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即恒成立，所以與不相交，符合題意.綜上，.故答案為：1.【點睛】關(guān)鍵點點睛：與關(guān)于直線PQ在和上的對應(yīng)點關(guān)于直線對稱且切線與平行時，最小.四、解答題15.某城市地鐵將于2024年5月開始運營，為此召開了一個價格聽證會，擬定價格后又進行了一次調(diào)查，隨機抽查了50人，他們的收入與態(tài)度統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月收入（單位：百元）贊成定價者人數(shù)224534認為價格偏高者489621人數(shù)（1）若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，分別求出參與調(diào)查的人員中“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入；（2）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可否認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”？人均月收入對地鐵定價的態(tài)度合計不低于55百元的人數(shù)低于55百元的人數(shù)認為價格偏高者第13頁/共21頁贊成定價者合計附：，其中．參考數(shù)據(jù)0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1百元.（2）列聯(lián)表見解析；不能認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.【解析】1）先分別求出贊成定價者總?cè)藬?shù)和認為價格偏高者總?cè)藬?shù)，再依據(jù)平均數(shù)定義直接計算即可得解.（2）根據(jù)題目表格所給數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表；根據(jù)獨立性檢驗的思想方法計算，再與臨界值比較即可得解.【小問1詳解】由題意可知贊成定價者總?cè)藬?shù)為人，認為價格偏高者總?cè)藬?shù)為人，所以“贊成定價者”的月平均收入為“認為價格偏高者”的月平均收入為（百元）.【小問2詳解】由題補全列聯(lián)表如下：人均月收入對地鐵定價的態(tài)度合計不低于55百元的人數(shù)低于55百元的人數(shù)認為價格偏高者32730第14頁/共21頁贊成定價者71320合計104050設(shè)零假設(shè)：月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度無差異，由列聯(lián)表表格數(shù)據(jù)得，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗推斷成立，即認為月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度無差異，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗不能認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.16.已知函數(shù)，且.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）（2）極小值為，極大值為【解析】1）首先根據(jù)求，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值.【小問1詳解】由題設(shè)，則；，則，所以點處的切線方程為，即；【小問2詳解】由（1），由，有或，由，有，第15頁/共21頁故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，極大值為.17.設(shè)某廠有甲，乙，丙三個車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.（1）求取到次品的概率；（2）若取到的是次品，則此次品由三個車間生產(chǎn)的概率分別是多少？【答案】（1）（2）甲車間生產(chǎn)的概率為：，由乙車間生產(chǎn)的概率為：，由丙車間生產(chǎn)的概率為：【解析】1）根據(jù)全概率計算公式，計算出所求概率.（2）根據(jù)貝葉斯公式，計算出所求概率.【小問1詳解】記事件表示車間生產(chǎn)產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示抽取到次品，則,，取到次品的概率為【小問2詳解】若取到的是次品，此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：第16頁/共21頁此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為：18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）、（3）【解析】1）當(dāng)時，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程；（2）當(dāng)時，求出，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）令，分析可知，函數(shù)在上有且只有一個異號零點，對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，則，所以，，，故當(dāng)時，曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】解：當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，第17頁/共21頁，由，即，解得或，因此，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、.【小問3詳解】解：因為，則，令，因為函數(shù)在上有且只有一個極值點，則函數(shù)在上有一個異號零點，當(dāng)時，對任意的，，不合乎題意；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，只需，合乎題意；當(dāng)時，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，因為，只需，不合乎題意，舍去.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）若對任意，都成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若有兩個極值點，，且，求證：．【答案】（1）的極小值為（2）的取值范圍為,（3）證明見解析【解析】第18頁/共21頁1）求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)極值的概念求解極值即可；（2）將原不等式進行參變分離轉(zhuǎn)換為對任意，恒成立，從而求解函數(shù)的最大值，對函數(shù)求導(dǎo)確定單調(diào)性求最值即可得實數(shù)m的取值范圍；（3）根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，，數(shù)形結(jié)合確定實數(shù)m的取值范圍，再根據(jù)m與，行求導(dǎo)單調(diào)性判斷，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)從而證明結(jié)論.小問1詳解】當(dāng)時，代入得；，令，解得，則：當(dāng)時，；當(dāng)時，．即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在時取極小值．故的