2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：兩條直線的位置關(guān)系與距離公式

第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系與距離公式

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.近三年高考考查了點(diǎn)到直線的距離公式，以與

2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐圓錐曲線交匯融合的形式出現(xiàn)在多選題和填

標(biāo).空題中，兩條直線的位置關(guān)系也是常考內(nèi)容之

3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線一，難度不大.預(yù)計(jì)2025年高考會繼續(xù)以多

的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.選題或填空題的形式與其他知識交匯考查.

必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識梳理

I.兩條直線的位置關(guān)系

直線/i：y=kix+b\,I2：^=左加+歷的位置關(guān)系如下表:

位置關(guān)系h，/2方程系數(shù)滿足的條件

平行ki=/且b#b?

垂直同女的二-1

相交園如

直線，3：4ix+5i_y+Ci=0,/4：4M+&V+C2=0（/3的法向量、=怛由（4,Ci）,〃的法向量也

=血（加，9））的位置關(guān)系如下表:

位置關(guān)系法向量滿足的條件h，/4方程系數(shù)滿足的條件

辰］/力2—也81=0且2c2—（或4c2一

平行也〃V2

垂直GLI/2+3I82=0

國——AB#。

相交VI與V2不共線

2.兩條直線的交點(diǎn)

直線Z1和12的交點(diǎn)坐標(biāo)即為兩條直線的方程組成的方程組（優(yōu)+與'+°—°，的解.

42^+&歹+。2=0

相交Q方程組有幽唯一解;

平行Q方程組訕無解;

重合Q方程組有同無數(shù)個(gè)解.

注意：雖然利用方程組解的情況可以判斷兩條直線的位置關(guān)系，但是由于運(yùn)算量較大，一般

較少使用.

3.三種距離公式

⑴兩點(diǎn)間的距離公式

①條件：點(diǎn)條(ri,yi),尸2(x2,歹2).

②結(jié)論：1Plp2|=一(12一陽)2+(H-XI)2.

③特例：點(diǎn)尸(X,回到原點(diǎn)。(0,0)的距離。尸|=出書2.

(2)點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)尸(xo,/)到直線/：/x+W+C=0的距離4=如0邙yo+q

ylA2+B2

(3)兩條平行直線間的距離

兩條平行直線小Nx+2y+Ci=0與句及+為+。2=0之間的距離

常用

I.直線系方程

(1)與直線4x+5y+C=0平行的直線系方程是4x+8y+加=0(7W￡R且m^C).

(2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx~Ay+n=0(n^R).

(3)過直線/1：/ix+5iy+G=0與，2：/2x+&y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為Zix+Sy+G

+A(^2x+52y+C2)=0(2ER),但不包括A

2.五種常用對稱關(guān)系

(1)點(diǎn)(%,內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對稱點(diǎn)為(一x,一刃.

(2)點(diǎn)(%,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(%,—y),關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(一%,y).

(3)點(diǎn)(%,y)關(guān)于直線＞=%的對稱點(diǎn)為(y,x),關(guān)于直線〉=一x的對稱點(diǎn)為(一y,-x).

(4)點(diǎn)(%,y)關(guān)于直線x=q的對稱點(diǎn)為(2。-x,y),關(guān)于直線＞=6的對稱點(diǎn)為(x,2b-y).

(5)點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(〃，b)的對稱點(diǎn)為(2Q—x,2b-y).

診斷自測

i.概念辨析(正確的打y”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)當(dāng)直線/1和/2的斜率都存在時(shí)，一定有質(zhì)=后2=/1〃/2.()

(2)點(diǎn)尸(xo,yo)到直線y=foc+6的距離為號)

(3)直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.()

答案(l)x(2)x(3)4

2.小題熱身

(1)(人教A選擇性必修第一冊習(xí)題2.3T6改編)點(diǎn)/(2,5)到直線/：彳―27+3=0的距離為

答案七

|2-10+3]

解析點(diǎn)/(2,5)到直線/：x—2y+3=0的距離為4=

V1+4

(2)(人教A選擇性必修第一冊習(xí)題2.3T7改編)兩條平行線/i：3x+4y—6=0,氏9x+12y—

10=0間的距離為.

答案：

解析依題意，將直線/i：3x+4y—6=0化為/i：9x+12y—18=0,又心：9x+12y—10=0,

所以兩平行線間的距離為

492+12215

(3)(人教A選擇性必修第一冊習(xí)題2.3T1改編)兩條直線/i：x=2和京3x+2y—12=0的交

點(diǎn)坐標(biāo)是.

答案(2,3)

x~~2,,x'='2,

解析聯(lián)立?得,所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).

3x+2y—12=0,y=3,

⑷直線/1：川+3夕+1=0與直線%6x—2夕一5=0垂直，則p的值為.

答案1

解析由題意，得6p+3x(—2)=0,解得p=l.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系(多考向探究)

考向1判斷兩條直線的位置關(guān)系

例1(1)直線2x+y+l=0和直線x+2y+l=0的位置關(guān)系是()

A.平行B.相交但不垂直

C.垂直D.重合

答案B

解析方程2x+y+l=0可化為y=-2x—l,因此該直線的斜率肥=-2.方程x+2y+l=0

可化為y=-k—1,因此該直線的斜率左2=—1，因?yàn)橛砂?，h左2=1，一1,所以這兩條直線

222

相交但不垂直.故選B.

(2)(2024?四川宜賓敘州區(qū)第一中學(xué)期中)直線A：2x—叼+8=0和直線/2：加x+2y—4=0(〃?

GR)的位置關(guān)系是()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.重合

答案B

解析因?yàn)?%+(—%)2=0,所以直線/i與直線/2相互垂直.故選B.

【通性通法】

判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)

(1)斜率不存在的特殊情況.

(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.

【鞏固遷移】

1.(多選)(2024?湖南郴州模擬)若A與b為兩條不重合的直線,它們的傾斜角分別為內(nèi)，ct2,

斜率分別為k\,左2,則下列命題正確的是()

A.若斜率左尸左2,貝U/l〃/2

B.若后次2=—1,則/山2

C.若傾斜角內(nèi)=6X2,則/1〃/2

D.若內(nèi)+<72=兀，則/1±/2

答案ABC

解析對于A,若兩直線的斜率左1=上2,則它們的傾斜角ai=a2,則A正確；對于B,

由兩直線垂直的條件可知，若左心2=—1,則B正確；對于C,由兩直線平行的條件

可知，若傾斜角ai=a2,貝UC正確；對于D,若ai+a2=JT,不妨取內(nèi)=匹，a2=互，則

33

k\=tan<xi1左2=tana2=-4^,k\k#—1,li,，2不垂直，D錯(cuò)誤.故選ABC.

考向2由兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù)

例2⑴(2023?遼寧丹東二模)直線/i：x+即-3=0與直線兄(a+l)x+2y—6=0平行，則.

=()

A.-2B.1

C.-2或1D.—1或2

答案A

解析由題意，直線/i：x+砂一3=0與直線&：(。+l)x+2y—6=0平行，由1*2=°(°+1),

得.=—2或a=l.當(dāng)°=—2時(shí)，Zi：x—2y—3=0,%：—x+2y—6—0,1\//h;當(dāng)a=1時(shí)，

h：x+y—3=0,li：x+y—3=0,/i與心重合.故選A.

(2)(2024?江蘇徐州模擬)若直線Zi：(a+2)x+(l-a)y-3=0與直線h：(a~l)x+(2a+3)y+2

=0互相垂直，則a=.

答案±1

解析因?yàn)橹本€/i：(a+2)x+(l—a)y—3=0與心：(。一l)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，所以

(a+2)(a—1)+(1—a)(2a+3)=0,得層=1,解得0=±].

【通性通法】

解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想”

【鞏固遷移】

2.（2023?陜西安康統(tǒng)考二模）已知直線/i：（a~2）x+ay+l=Q,直線?。?。一2）x+y+2=0,

則，％=1”是，“〃/2”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)〃=1時(shí)，/i：—1=0,，2：—x+y+2=0,所以充分性成立；當(dāng)/i〃

a（a-2）=a-2,

，2時(shí)，，解得4=1或Q=2,必要性不成立.故選A.

2分1,

3.（2023?吉林統(tǒng)考二模）已知Q>0,b>0,若直線/i：QX+勿-2=0與直線，2：2x+（l-d）y-\-1

=0垂直，則。+2b的最小值為.

答案9

71

解析由兩直線垂直，得20+6（1—a）=0,即2a+6=06,整理可得-~I■-=1,所以a+2b=（a

ba

十26）1）+』=%+1+4+獨(dú)，5+2、當(dāng)且僅當(dāng)a=6=3時(shí)，等號成立，因此a十

ba\lba

2b的最小值為9.

考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)、距離公式（多考向探究）

考向1兩條直線的交點(diǎn)

例3過直線小x—3y+4=0和b：2x+y+5=0的交點(diǎn)，且過原點(diǎn)的直線的方程為（）

A.19x—9y=0B.9x+19y=0

C.19x-3y=0D.3x+19y=0

答案D

x-3y+4-0,可得直線人和,2的交點(diǎn)坐標(biāo)為卜7］又所求直

解析解法一：解方程組

2工+歹+5=0,

線過原點(diǎn)，所以所求直線的方程為y=—臺，即3x+19y=0.故選D.

解法二：根據(jù)題意，可設(shè)所求的直線方程為x—3y+4+"2x+y+5)=0,因?yàn)榇酥本€過原點(diǎn)，

所以4+54=0,解得力=一：，所以所求直線的方程為x—3y+4—：(2x+y+5)=0,即3x+19y

=0.故選D.

【通性通法】

求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的方法

(1)直接法：先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.

(2)共點(diǎn)直線系法：分離參數(shù)，假設(shè)直線方程中含有的參數(shù)為九則將直線方程化為人x,y)+

f(x,y)=0>

旭(x,y)=0的形式，解方程組/即可得定點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到所求的直線方程.

g(x,y)=0

【鞏固遷移】

4.(2024?山西呂梁模擬)過直線x+y+l=0和x—2y+4=0的交點(diǎn)，且與直線工+2》-3=0

垂直的直線方程是.

答案2x—y+5=0

解析解法一：聯(lián)立方程，‘解得,’所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1).直線x+2y

工一2y+4=0,y=1,

i]

—3=0的斜率為一；所以所求直線方程的斜率為一0=2,由點(diǎn)斜式方程得，所求直線方

2

程為y—1—2(x+2),即2x—y+5=0.

解法二：設(shè)所求直線方程為x+y+l+“x—2y+4)=0,即(1+%)x+(l—2i?+1+42=0.因?yàn)?/p>

所求直線與直線x+2y—3=0垂直，所以所求直線方程的斜率為2,易知及L則1拄=2,

22%-1

得力=1,則所求直線方程為2x—y+5=0.

考向2與距離有關(guān)的問題

例4(1)(2023?陜西咸陽模擬)已知直線小2x~y+l=0,Z2：x+卬-1=0,且/I_L/2，則點(diǎn)

尸(1,2)到直線，2的距禺”=()

55

答案D

解析由/」/2,可得2x1—lxa=0,解得°=2,故d=與冬口=色鳥故選D.

力+225

(2)(2024?福建廈門階段考試)若平面內(nèi)兩條平行線/i：x+(6z—1?+2=0,氏QX+2》+1=0間

的距離為“，則實(shí)數(shù)a=

5------------

答案T

I2--I廠

解析,.71/7/,.*.?(?—1)=2,解得Q=2或。=一1.當(dāng)Q=2時(shí)，d=---『--=---，不滿足

2也4

題意；當(dāng)。=—1時(shí)，滿足題意.故。=—1.

弋55

【通性通法】

求解距離問題的思路

(1)點(diǎn)到直線的距離的求法：可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必

須為一般式.

(2)兩條平行直線間的距離的求法：①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線

上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；②利用兩條平行直線間的距離公式.

注意：(1)點(diǎn)尸(xo,/)到直線x=a的距離d=|xo一回，到直線y=6的距離1=伙)一6|.

(2)兩條平行直線間的距離公式要求兩條直線方程中x,y的系數(shù)分別相等.

【鞏固遷移】

5.(多選)已知直線/過點(diǎn)尸(-1,2),且點(diǎn)/(2,3),8(—4,5)到直線/的距離相等，則直線

I的方程為()

A.3x+y+5=0B.x+3y—5=0

C.x=1D.y=2

答案BC

解析解法一：當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y—2=6x+l),即fee—4+2

=0.由題意，知睇一0+2]=|―4后^￡^十二即|3左一”=|—3左一3],解得左=—1,所以直

#2+13

線/的方程為y—2=—；(x+l),即x+3y—5=0；當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為

x=-1,符合題意.故所求直線/的方程為x+3y—5=0或x=—1.

解法二：當(dāng)/8〃/時(shí)，直線/的斜率后=自8=一%則直線/的方程為y—2=—$+1),即X

+3y—5=0；當(dāng)直線/過A8的中點(diǎn)(一1,4)時(shí)，直線/的方程為x=一l.故所求直線/的方程

為x+3y~5=0或x=—1.

6.(多選X2023?山東濟(jì)南調(diào)研)已知直線小2x+3y—l=0和直線如4x+6y-9=0,若直線

/到直線Zi的距離與到直線h的距離之比為1：2,則直線I的方程為()

A.2x+3y—8=0B.4x+6j+5=0

C.6x+9y-10=0D.12x+18y—13=0

答案BD

解析設(shè)直線/的方程為4x+6y+冽=0,冽2且冽9,直線/到直線/i和心的距離分別

山77L日有*2.7一\m+2\\m+9\皿山力_1；2|m+2|_\m+9\口口

為小，辦，由趙思，知d尸忑霹短,辦="5?因?yàn)檗k=2'所以即

1a

2辟+2|=|加+9],解得根=5或〃?=―—,即直線/的方程為4x+6y+5=0或12x+18y—13

=0.

考點(diǎn)三對稱問題(多考向探究)

考向1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、直線關(guān)于點(diǎn)對稱

例5(1)過點(diǎn)尸(0,1)作直線/,使它被直線/i：2x+y—8=0和'x—3y+10=0截得的線段

恰好被點(diǎn)P平分，則直線/的方程為()

A.%—4j+4=0B.4x-y—4=0

C.4x+y+4=0D.x+4y~4=0

答案D

解析設(shè)/i與/的交點(diǎn)為/(a,8-2a).由題意知，點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)尸的對稱點(diǎn)2(一°,2a—6)在

/2上，把點(diǎn)2的坐標(biāo)代入/2的方程得一。一3(2a—6)+10=0,解得a=4.因?yàn)辄c(diǎn)/(4,0),尸(0,

1)在直線/上，所以直線/的方程為x+4y—4=0.故選D.

(2)(2023?江蘇鎮(zhèn)江期中)直線/：y=2x+3關(guān)于點(diǎn)尸(2,3)對稱的直線/，的方程是()

A.2x—y—5=0B.2x-\-y—5=0

C.2x—j+5=0D.2x+y+5=0

答案A

解析因?yàn)?和/關(guān)于點(diǎn)P對稱，則兩直線平行，可設(shè)廠的方程為2x—y+6=0(屏3),點(diǎn)P到

兩直線的距離相等，則戶2—3+3|=12x2—3+”=,解得人=—5或6=3(舍去)，所以直

'岳+(-1)2也2+(-1)2

線/'的方程是2x—y—5=0.故選A.

【通性通法】

兩類中心對稱問題

x，—'2Q—x

(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：點(diǎn)尸(X,y)關(guān)于M(a,6)的對稱點(diǎn)P(T,")滿足?’

y'^2b~y.

(2)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的兩種方法

【鞏固遷移】

7.直線3x—2y=0關(guān)于點(diǎn)°]

對稱的直線方程為()

A.2x—3y=0B.3x—2y—2=0

C.x—y=0D.2x—3y—2=0

答案B

解析設(shè)所求直線上任一點(diǎn)為(x,y),則其關(guān)于點(diǎn)(？°)對稱的點(diǎn)為【3一一],因?yàn)辄c(diǎn)

[j—x,一@在直線——2了=0上，所以slj―0—2(—y)=0,化簡得3x—2y—2=0,所以所

求直線方程為3x—2y—2=0.故選B.

8.(2024?河北張家口質(zhì)檢)光線從點(diǎn)/(—3,5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點(diǎn)8(2,10),則光

線從4到3經(jīng)過的路程為()

A.5也B.2芯

C.5v10D.10卡

答案C

解析點(diǎn)，(一3,5)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C(—3,-5),則光線從/到8經(jīng)過的路程為C8的

長度，SP|CS|=(-3-2)2+(-5-10)2=5/To.故選C.

考向2點(diǎn)關(guān)于直線的對稱

例6(2024?河北張家口階段考試)點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線/：X—>+3=0的對稱點(diǎn)0的坐標(biāo)為

)

A.(-3,5)B.(-1,-4)

C.(4,1)D.(2,3)

答案A

f1=-1,

a—2

解析設(shè)點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線Z：x-y+3=0的對稱點(diǎn)。的坐標(biāo)為(a,b),則

上—%=0,

22

a=-3,

解得?所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-3,5）.故選A.

b=5,

【通性通法】

若兩點(diǎn)P1（X1,勿）與尸2（X2,＞2）關(guān)于直線/：Nx+Sy+C=0（/2+52#））對稱，則由方程組

f卜1+x]01+/]

卜〔2J+從2J+C=o,可得到點(diǎn)尸I關(guān)于/對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo).

Is（%2—xi）—A（y2-yi）=0,

【鞏固遷移】

9.（2023?廣東深圳模擬）已知點(diǎn)4a+2,6+2）和3（6一0,一6）關(guān)于直線4x+3y=11對稱，則

a,b的值為（）

A.a=1,6=2B.a=4,b=2

C.a=2,6=4D.a=4,6=2

答案D

解析點(diǎn)/,2關(guān)于直線4x+3y=ll對稱，則自B=3,即"2——=3①，且的

4。+2—（6—。）4

他+21—/

中點(diǎn)〔2J在已知直線上，代入得2（6+2）+3=11②,聯(lián)立①②組成方程組，解得i_2

故選D.

考向3直線關(guān)于直線的對稱

例7（2024?河南南陽模擬）直線x—2y—1=0關(guān)于直線y—x=0對稱的直線方程是（）

A.2x—y+l=0B.2x+y—1=0

C.2x+y+l=0D.x+2y+l=0

答案A

解析在直線x-2y—1=0上任取一點(diǎn)尸（a,b）,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線＞一工=0的對稱點(diǎn)為。（x,

曰=—1,

.x-ad_v,

y）＜則v+6x+a解得，即尸（y，x）,因?yàn)辄c(diǎn)P（y,x）在直線x—2y—1=0上，所以y

-——=---,旭=方

22

—2x—1=0,即2x—y+l=0,所以所求直線方程是2x—y+l=0.故選A.

【通性通法】

求直線Zi關(guān)于直線/對稱的直線h的兩種方法

（1）在直線/1上取兩點(diǎn)（一般取特殊點(diǎn)），利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直

線/的對稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線/2的方程.

（2）設(shè)點(diǎn)尸。，內(nèi)是直線，2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為尸1（X1，H）（P1在直線/1上），

根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱建立方程組，用x,y表示出XI,力，再代入直線/1的方程，即得直線/2

的方程.

特別地，若直線/1與直線/平行，則在直線/1上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)，由

點(diǎn)斜式可得直線/2的方程.

【鞏固遷移】

10.已知直線/1：x—y+3=o與直線/：x-y-l=0,若直線/i關(guān)于直線/的對稱直線為b,

則直線h的方程為.

答案x-y—5=0

解析解法一：由題意，知設(shè)直線心：X—y+w=0(〃#3,1),在直線/i上取點(diǎn)

b一311

----xl=—I,

,a[=4,

M(0,3),設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為MQ,b),則〃+。b+3解得?即

....------1=0,心=-1,

22

M(4,-1),將M(4,—1)代入/2的方程，得4+1+加=0,解得加=-5.所以直線/2的方程

為5=0.

解法二：易知/i〃/,所以，2〃/,設(shè)直線心：x—y-\-m=0(m^3,m豐—1).因?yàn)橹本€4，，2關(guān)于

直線/對稱，所以/l與/,/2與/間的距離相等.由兩平行直線間的距離公式得.一([1)1=

伽一(「)I解得機(jī)=-5或機(jī)=3(舍去).所以直線/2的方程為x—V—5=0.

課時(shí)作業(yè)

A級基礎(chǔ)鞏固練

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2024?甘肅天水模擬)直線東ax+y+l=0與自工+利-1=0平行，則實(shí)數(shù)a=()

A.1B.-1

C.I或一1D.0

答案A

解析因?yàn)橹本€/i：ax+y+l=0與心：x-Vay—1=0平行，所以4—1=0且一a—1聲0,解得

4=1.故選A.

2.過點(diǎn)4(2,3)且垂直于直線2x+y—5=0的直線方程為()

A.x—2y+4=0B.2x~\~y—7=0

C.x—2y+3=0D.x—2j+5=0

答案A

解析由題意，可設(shè)所求直線方程為2)+加=0,將4(2,3)代入上式，得2—2x3+冽=0,

即冽=4,所以所求直線方程為x—2》+4=0.故選A.

3.已知直線/i：x+2y—5=0和直線氏3%—^-1=0的交點(diǎn)為4,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)力到

原點(diǎn)的距離|/。|為()

A.1B.2

C.\[5D.3

答案C

解析解方程組?一‘得?一‘即直線/1與直線/2的交點(diǎn)4(1，2),又。為坐標(biāo)原

3x—y—l=0,y=2,

點(diǎn)，則I/O尸爐工22=3，所以點(diǎn)/到原點(diǎn)的距離為45.故選C.

4.(2024?遼寧撫順模擬)直線/i：2x+y—l=0與直線氏4x+2y+3+a(2x+y-l)=0(實(shí)數(shù)a

為參數(shù))的位置關(guān)系是()

A./1與為相交

B./1與/2平行

C./1與/2重合

D.71與/2的位置關(guān)系與。的取值有關(guān)

答案B

解析由'4x+2y+3+a(2x+y—1)=0,可得(4+2a)x+(2+a)y+3—a=0,因?yàn)?x(2+a)

—1X(4+2Q)=0且1x(3—〃)力一1X(2+Q),所以/i與，2平行.故選B.

5.(2023?湖北武漢模擬)已知定點(diǎn)P(—2,0)和直線/：(l+3A)x+(l+2A)y=2+5A(AFR),則

點(diǎn)P到直線I的距離的最大值為()

A.23B.V10

C.V14D.2v15

答案B

解析將(1+34)/+(1+2為y=2+54變形得(x+y—2)+2(3x+2y—5)=0,所以/是經(jīng)過兩直線

k+y—2=0,

x+y—2=0和3x+2y—5=0的交點(diǎn)的直線系.設(shè)兩直線的交點(diǎn)為。，由?「

3x+2j—5=0,

得交點(diǎn)。(1,1),所以直線/恒過定點(diǎn)。(1,1),于是點(diǎn)夕到直線/的距離d〈|PQ|=

(-2-1)2+(0-1)2=V10,即點(diǎn)P到直線I的距離的最大值為舊.故選B.

6.(2023?山西陽泉模擬)設(shè)直線/i：x—2》-2=0與/2關(guān)于直線/：2了一了一4=0對稱，則直線

h的方程是()

A.1卜+2/-22=0B.llx+y+22=0

C.5x+廠11=0D.10x+y—22=0

答案A

x—2y—2=0,x=2,」，(,

解析聯(lián)立得，取直線/i：x—2y—2=0_E一點(diǎn)(0,—1)，設(shè)點(diǎn)(0，—1)

2x—y—4=0,卜=0，

b+1-1_12

——，a=—,

a25

關(guān)于直線/：2x—>—4=0的對稱點(diǎn)為(a,b),則b~l解得11直線/2

4=0,b=",

25

的斜率左=一T，所以直線，2的方程為y=-T(x—2),整理得llx+2y—22=0.故選A.

7.(2024?山東濟(jì)南質(zhì)檢)已知a>0,b>0,直線(0-l)x+2y+3=0與直線x+力一1=0垂直,

則的最小值是()

ab

A.2+也B.4

C.3+2/D.6

答案C

解析因?yàn)橹本€(a—l)x+2y+3=0與直線x+6y—l=0垂直，所以(a—1>1+26=0,即。+

j(a+2Z?)=3+油+日》3+21/^^=3+2仍(當(dāng)且僅當(dāng)。=也一1,b

26=1,所以

abab\lab

匕區(qū)時(shí)，等號成立).故選c.

8.(2023?海南三亞二模)AABC的頂點(diǎn)N(4,3),NC邊上的中線所在直線的方程為4x+13y一

10=0,/48C的平分線所在直線的方程為x+2y—5=0,則NC邊所在直線的方程為()

A.2x—3y+1=0B.x—8y+20=0

C.3x—5y+3=0D.x—y+l=0

答案B

x~\-2y—5=0,x=9,

解析由得所以點(diǎn)2的坐標(biāo)為(9,-2),設(shè)點(diǎn)/(4,3)關(guān)于直線

4x+13y—10=0,y=-2

,4—xo._xo=2f

的對稱點(diǎn)為解得“所以

x+2y—5=04(xo,y0),則4±XO3+4(2,

+2X2O5=())加=一1,

22

—2—(—1)

—1),因?yàn)辄c(diǎn)4(2,-1)在直線5C上，所以直線5c的方程為>一(―1)=^-------------------(X—

9-2

11+4.+3]

2),即1+7丁+5=0,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為C(xi,yi),則4C的中點(diǎn)坐標(biāo)為「三,2J,所以

xi+7yi+5=0,

%1——12

2(X1+4)+y(yi+3)-10=0,解得」'所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一12,1),所以總c

月=1,

3—111

-----------='所以4C邊所在直線的方程為歹一3=々x—4),即x—8?+20=0.故選B.

4—(—12)88

二、多項(xiàng)選擇題

9.(2024?湖南長沙模擬)已知兩條直線/i：(a—2)x+3y+2a=0,Z2：x+@+6=0,則下列結(jié)

論正確的是()

A.當(dāng)a=1時(shí)，Zi±Z2

2

B.若l\〃h,則a=—1或a=3

C.當(dāng)a=0時(shí)，/i與/2相交于點(diǎn)(-6,-4)

D.直線心過定點(diǎn)(-6,0)

答案ACD

11Q

解析當(dāng)避=一時(shí),a—2+3〃=—24■—=0,/I_L/2>A正確;若則—2)—3—0,a

222一

=-1或a=3,其中a=—1時(shí)，/i的方程為一3x+3y—2=0,即3x—3歹+2=0,心的方程為

x—y+6=0,兩直線平行，Q=3時(shí)，兩直線方程均為x+3y+6=0,兩直線重合，不平行，B

x=~6,

錯(cuò)誤；當(dāng)。=0時(shí)，由,“得

工+6=0,v=—4,

即兩直線的交點(diǎn)為(一6,—4),C正確；直線，2的方程為、+皎+6=0,恒過點(diǎn)(一6,0),D

正確.故選ACD.

10.(2023?重慶八中質(zhì)檢)下列說法正確的是()

A.動點(diǎn)4,5分別在直線/i：x+y—7=0和/2：x+y—5=0上移動，則線段45的中點(diǎn)M到

原點(diǎn)的距離的最小值為3啦

B.直線3工一y—5=0的傾斜角是直線3%+y—5=0的傾斜角的一半

C.當(dāng)點(diǎn)P(3,2)到直線冽x—y+1—2加=0的距離最大時(shí)，冽的值為1

D.過點(diǎn)(2,1)且與直線3%—2》=0垂直的直線方程為3%+2》-8=0

答案AB

解析對于A,直線/i：x+y—7=0和京x+y—5=0平行，故中點(diǎn)的軌跡方程為x+y—6

=0,原點(diǎn)到直線的距離為4=4=3/，即線段45的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為3啦,

A正確；對于B,設(shè)直線/%—^一5=0的傾斜角為a,otG[0,7i),所以tana=43,?=|,設(shè)

直線市x+y—5=0的傾斜角為.，/￡[0,兀)，所以tan夕=一/，§=三,B正確；對于C,

直線冽x—>+1—2冽=0過定點(diǎn)N(2,1),當(dāng)直線與7W垂直時(shí)距離最大，此時(shí)冽?匕1=-1,

3-2

解得加=-1,C錯(cuò)誤；對于D,直線3L2尸0的斜率左弓，直線3工+2y-8=0的斜率左2

——3,不滿足左1左2=—L兩直線不垂直，D錯(cuò)誤.故選AB.

2

三、填空題

11.(2024?湖北襄陽階段考試)過兩條直線x-2y+4=0和x+y—2=0的交點(diǎn)，且與直線3x

―4了+2=0平行的直線方程為.

答案3x—4y+8=0

x—2y+4=0,(x=0,

解析聯(lián)立,7解得?故交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),設(shè)所求直線方程為3X一知+加

x~\~y2=0,y=2,

=0(冽R2),將(0,2)代入，得-8+冽=0,解得加=8,故所求直線方程為3x—4y+8=0.

12.(2023?重慶育才中學(xué)模擬)設(shè)點(diǎn)4(—2,0),B(0,3),在直線/：x-y+l=0上找一點(diǎn)尸，

使|附+|尸5|取到最小值，則這個(gè)最小值為.

答案V17

解析設(shè)點(diǎn)5關(guān)于直線/：X—>+1=0的對稱點(diǎn)為。(冽，〃)，線段5C的中點(diǎn)12,2J在工

一歹+1=0上，則%一7r±^+1=0,又k/kBc=-l,-—-xl=-1,解得加=2,n=l,即C(2,

22m

1),\R4\+\PB\^\R4\+\PC\^\AC\^\!(2+2)i2+12=<7,即|刃|+|尸2|的最小值為而.

13.(2023?河南新鄉(xiāng)模擬)已知直線/：kx-y+l+2k^Q,若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

則實(shí)數(shù)左的值為________；若直線/不經(jīng)過第三象限，則左的取值范圍是.

1「—1ol

答案一1或一12,」

解析因?yàn)橹本€/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以原0,在1+2左=0中，令x=0,得

)=1+2匕令歹=0,得x=—2―—,依題意可得1+2左=—2—L即2左2+3左+1=0,解得左

kk

ik+2=0,k=-2,

=一工或左=—1.直線/的方程可化為左(x+2)—y+l=0,由?得?

2[—y+l=0,卜=1，

所以直線/過定點(diǎn)M(—2,1),所以以=一料為坐標(biāo)原點(diǎn))，由直線/：kx~y+\+2k=Q,

可得y=Ax+2左+1,若直線/不經(jīng)過第三象限，則一即左的取值范圍是12,J.

14.(2024?北京海淀區(qū)月考)過點(diǎn)尸(3,0)有一條直線/,它夾在兩條直線小2x—y—2=0與

A：x+y+3=0之間的線段恰被點(diǎn)尸平分，則直線/的方程為.

答案8x—y—24=0

解析設(shè)直線I夾在直線[1,/2之間的線段是48(/在/1上，3在/2上),4,3的坐標(biāo)分別是(XI，

yi)，。2,歹2).因?yàn)?5被點(diǎn)尸平分，所以Xl+%2=6,yi+j2=0，于是X2=6—為，y2=—yi.

2xi-yi-2=0,1116日口)協(xié)

由于4在/1上，5在/2上，所以斛骨用=丁，丁1=丁，即4的

.(6—Xi)+(—yi)+3=0,33

坐標(biāo)是G'T.直線PA的方程為了=「，即8x—y—24=0.所以直線I的方程為8x—y

----0----3

33

-24=0.

四、解答題

15.已知直線/i：x+沖+1=0,h：2x—y—4=0,h：3x+y—1=0.

(1)若這三條直線交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的值；

(2)若這三條直線能構(gòu)成三角形，求加滿足的條件.

y-4=0,

解⑴由,'

3x+y-1=0,

x=1,

解得?代入/1的方程，得機(jī)=1.

y——2,

(2)當(dāng)這三條直線相交于一點(diǎn)或其中兩條直線平行時(shí)，這三條直線不能構(gòu)成三角形.

①當(dāng)三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，

由(1)可知，?=1;

②當(dāng)/1：x+w+l=0與'2x—y—4=0平行時(shí)，加=一