2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷8（浙江專用）含答案及解析VIP

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷(浙江專用)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求

的。

1.已知集合A={x||x|<4},B={x|x2-5x-6>0},貝。()

A.(4,6)B.(-4,2)C.(-4,-1)D.(-1,4)

2.已知1=1一ni,其中m,n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m+ni=()

1+1

A.l+2zB.l-2iC.2+iD.2-i

3.函數(shù)尸聶g+sirA,xdR的值域是()

Ar133\_V2^172八「以1瓶I1

A?[-2，-]B.[—2?]]C.[r一區(qū)+^，丁+引D.[一二一]，~2~~2)

4.“40,Q0”是“abV(竽產(chǎn)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.某市高三年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(171,16),現(xiàn)在該市隨機(jī)選擇一名高三

男生，則他的身高位于[171,179)內(nèi)的概率(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)是()

參考數(shù)據(jù)：P(|i-o<X<pi+o)=0.683,P(|i-2o<X<|i+2o)=0.954,P(pi-3o<X<pi+3o)=0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

6.若多項式f+xl°=ao+ai(x+1)+...+a<)(x+1)9+aio(x+1)10,則。9=()

A.9B.10C.-9D.-10

7.如圖，設(shè)拋物線『=4x的焦點(diǎn)為尸，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋

S2

物線上，點(diǎn)C在X軸上，記ABCF的面積為S1，AACF的面積為S2，則能等于是()

$2

|BF|-1|BF|2-1|BF|+1\BF\2+1

\AF\-1'\AF\2-1'\AF\+1'\AF\2+1

8.存在函數(shù)/(x)滿足，對任意xGR都有()

A.f（cos2x）=sinxB.f（x2-2x）=|x-H

C.f（J^+D=|x+l|D.f（cos2x）=x1+x

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.某地區(qū)5家超市銷售額y（單位：萬元）與廣告支出x（單位：萬元）有如下一組數(shù)據(jù):

超市ABCDE

廣告支出（萬元）1461014

銷售額（萬元）620364048

下列說法正確的是（）

幺二.々一君（無一歷;力仁小看一行（無一①--

參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)r==，b=——------------n——,a=y—bx

3（X/-X）

A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到尤與y之間的經(jīng)驗回歸方程為y=bx+8.3,貝帕=3.1

B.x與〉之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=3.1

C.若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好

D.若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬元，則該超市的銷售額一定是17.6萬元

（多選）10.已知函數(shù)/（x）=?-ax-bix,下列命題正確的是（）

A.若尤=1是函數(shù)/（X）的極值點(diǎn)，則a=lB.若/（x）在（1,+co）上單調(diào)遞增，則aNl

7

C.若/（I）=2,則恒成立D.若（尤-1）lnx>f（x）在xd[l,2]上恒成立，則位2-/〃2

（多選）11.棱長為1的正方體，￡是CCi的中點(diǎn)，尸是平面ADD14上的動點(diǎn)，平面尸2￡與平面ABCZ）

的交線為/，則（）

A.￡尸的最小值為1B.EP+2P的最小值為一

2

_1

C.存在一點(diǎn)尸，使得EPLCDD.二面角E-7-C最小時，平面角的正切值為刁

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種.小張用10元錢買雜志（每種至多買一本,

10元錢剛好用完），則不同買法的種數(shù)是（用數(shù)字作答）.

13.已知等差數(shù)列｛斯｝中,首項為6（m#））,公差為d,前〃項和為且滿足aiS5+15=0,則實數(shù)d的

取值范圍是.

1

14.中，ZC=90°,M是BC的中點(diǎn)，^sin^BAM=j,則sin/BAC=.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（本題13分）如圖，矩形ABCD和梯形MFC所在平面互相垂直，ZBCF=ZCEF=90°,AD=W，EF=

2.（I）求證：AE〃平面DCF；（II）當(dāng)48的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60。？

16.（本題15分）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和三等品.已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一等品、二等品、

三等品的概率分別為尸1、P2、尸3,Pi+P2+P3=l.從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取力件，設(shè)其中一等品的

數(shù)量為X,二等品的數(shù)量為K

（1）若”=10,已知X的數(shù)列期望E（X）=4,X的方差。（X）=2.4,求尸1的值.

（2）若〃=20,且y服從二項分布8（20,p2）.己P（r=6）=p（y=8）,求P2的值.

（3）已知尸1=0.4,22=0.3,在抽取的“件商品中，一等品和二等品的數(shù)量之和為求當(dāng)〃為何值時,

M的數(shù)學(xué)期望取得最大值？

17.（本題15分）已知函數(shù)/（無）=e（-ax1,aGR.

（1）若函數(shù)/（x）無極值，求a的取值范圍；（2）當(dāng)證明/（無）＞1+xlnx.

18.（本題17分）已知數(shù)列｛斯｝和｛氏｝滿足…斯=（V2）6n（”GN*）.若｛斯｝為等比數(shù)列，且ai=2,

63=6+歷.

（I）求斯和加

（II）設(shè)Cn=W（?EN*）.記數(shù)列｛Cn｝的前〃項和為

（z）求S；5）求正整數(shù)上使得對任意“CN*均有S亡

7n2%2

19.（本題17分）已知相＞1,直線/：x-⑺一吟=0,橢圓C：—+y2=l,FB/2分別為橢圓C的左、

,mz

右焦點(diǎn).

（I）當(dāng)直線/過右焦點(diǎn)廠2時，求直線/的方程；

(II)設(shè)直線/與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，△4F1F2，△8小92的重心分別為G、H.若原點(diǎn)。在以線段G”

為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（浙江專用）

參考答案

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求

的。

12345678

CCCDADAB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分

91011

ACADABD

第H卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.【答案】26613.【答案】（-8,-V3]U[V3,+°°）.14.【答案】：y.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）【答案】見試題解答內(nèi)容

【解】（I）證明：過點(diǎn)E作EG_LCF并CF于G,連接OG,可得四邊形BCGE為矩形.2分

又ABC。為矩形，所以/W_L〃EG,從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE〃DG.…?2分

因為AEC平面。CF,OGu平面。CF,所以AE〃平面OCF.…?1分

（II）解：過點(diǎn)B作B”J_EF交FE的延長線于“，連接…分

由平面ABCO_L平面BEFG,AB±BC,得AB_L平面BEFC,從而…?3分

所以為二面角A-EF-C的平面角.…分

在RtAEFG中，因為EG=AD=W，EF=2,所以乙CFE=60。，F(xiàn)G=1.????1分

又因為CE_LEF,所以CF=4,從而BE=CG=3.于是BH=BE?sin/BE〃=孥?2分

Q

因為AB=B”?tan/AHB,所以當(dāng)AB=2時，二面角A-EF-G的大小為60。.1分

D

v

16.(15分)【答案】(1)0.4；(2)P2=；(3)n取工廠的總產(chǎn)量時，E(M)取最大值.

【解】：⑴由題意知X?B(10,Pi),則［HU警“解得Pi=0.4;…?3分

(〃(X)=10匕(1—匕)=2.4

(2)由y?B(20,P2),則P(y=k)=C%P?(1-22)2。-氣k=0,L2,20),….2分

由p(y=6)=p(r=8)得，。品?尸外(1一22)14=。品他”(1一「2產(chǎn)一一2分

化簡可得粵=———,即"-=———解得P2=馬等於；…?3分

2

%(1一「2)213(1-P2)

(3)由題意知，M~B(n,P1+P2),又Pi=0.4,02=0.3,…?2分

所以M?B(0,0.7),則E(M)=0.7",…?2分

當(dāng)"增大時，E(M)也增大，所以，當(dāng)"f+8,E(M)f+8,故M的數(shù)學(xué)期望沒有最大值.

但在實際情境中，n的取值是有限的，比如取工廠的總產(chǎn)量時，E(M)取最大值.…分

17.(15分)【答案】⑴ae[0,|]；(2)見解析.

【解】:(1)因為/(x)=ex-ax2,求導(dǎo)得f'(x)=e，-2ax，?…1分

x

令f(x)=0f即—=2a,????1分

x

亦為等式兩邊函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，設(shè)g(x)=g,…?1分

則g'(x)=?(\O'????1分

x乙

當(dāng)x〈0以及OVxVl時，g'(x)<0；當(dāng)x>l時，g'(x)>0,

則函數(shù)g(x)在(-8,o)和(o,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，…?1分

大致圖象如圖所示：二?函數(shù)/(x)=眇-ox?沒有極值點(diǎn)，.,.0W2oWe,???OWa4*…?1分

11_y

(2)設(shè)m(x)=lnx-x+1(x>0),則m'(x)=--1=-^-,????1^

當(dāng)0<xVl時，m'(x)>0；當(dāng)x>l時，m'(x)<0,

所以m(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，…?1分

所以m(X)max=m(1)=0,所以/ex-X+1W0,所以/"xWx-l,

要證明ax2-xlnx-1>0,

先把不等式左邊看成關(guān)于o的一次函數(shù)人(。)，顯然力(。)單調(diào)遞減，h(a)min=h(1),1分

即證那-X2-x/cx-l>0.再消去對數(shù)，由不等式/"Wx-1,X>0,........1分

2%—%+1

則只需證臥-X2-x(x-1)-1>0(x>0),等價于證明---------K0,.........1分

ex

2

A/、2%—%+1-

令C()，

X=-----e-x7-------1

求導(dǎo)n'(x)=(A2)*_2%),……1分

11

此時xE(0,-),n1(x)<0,n(x)單調(diào)遞減；xe(-,2),n'(x)>0,n(x)單調(diào)遞增；xG(2,

22

+8),n'(x)<0,n(x)單調(diào)遞減.....2分

7

而n(0)=0,n(2)=——1V0,1分

18.【解】：(I)V010203,，?C7n=(夜盧(nGN*)①,

a

當(dāng)心2,"EN*時，a1a2^3...n-i=(/盧②，.........1分

由①②知：61n=(魚)如一如T,令〃=3,則有的=(夜)%一也....2分

??"3=6+①，???03=8.為等比數(shù)列，且01=2,???{0〃}的公比為q,貝叼2=*=4,.........2分

Ui

n

由題意知所>0,.*.q>0,.\q=2.Aan=2(nGN*)..........1分

又由。1。2。3=(V2)dn(nGN*)得：21X22X23…X2n=(V2)dn,

2九(%1)=(魚盧,jebn=n(n+1)(nGN*)..........2分

u、/?、??_11_11141、。八

U）（0?5=需一吼=環(huán)一：^15=呼一（百一巾）?……2分

??Sn-Ci+C2+C3+-+Cn

1Z1k.1/1、1.141、11..1-1、

=2_(1_力+/_(2_引+,“+尹一(加_由)=]+/+,“+尹一(1_由)

1..111r八

=41-環(huán)-1+市=E-/;……2分

(//)因為ci=O,C2>0,C3>0,C4>0；當(dāng)“25時，”=["K"-I]，.........2分

/(1/ll-J-J/,

n(n+l)(n+l)(n+2)(n+l)(n-2)n(n+l)5-(5+l)

而2n——聲i-22侍方--<L2分

所以，當(dāng)“25時，cn<0,綜上，對任意〃6N*恒有S42S〃，故k=4.........1分

2______

19.【解】：(I)解：因為直線/：x-my-^-=0,經(jīng)過F2(Vm2-1,0),

所以Sn2-1=今得n?2=2,........1分

又因為m>l,所以m=&,

故直線/的方程為x—魚y-1=0.?…?2分

(II)解：設(shè)Z(xi，yi),B(X2，V2).

X=my+-5-

22，消去x得

(■^2+y2=1

2

2y2+my+——1=0.......2分

4

貝I」由A=m2-8(-----1)=-m2+8>0,矢口/T?2<8,.........2分

4

且有yi+yi=一竽，yiy2=專--1......1分

由于Fi(-c,0),F2(c,0),故。為F1F2的中點(diǎn),

TT—T%1VlV

由AG=2G。，BH=2H0,可知G(一，),H(一，一7)1分

3,333

22

師|2=魚科+蛆科..…1分

設(shè)/W是G”的中點(diǎn)，則M(:"+'2,>1+3~),…1分

66

由題意可知2\MO\<\GH\…”1分

22

即4[(如左)2+(上及)2]<四科+嗚*即用2+"2<?！?分

66VV

「:771.2TTl^TTL^11

而xiX2+yiy2=(myi+—)(my2+—)+yiy2—(m,+l)--)........2分

772.2i

所以(--——)VO,即團(tuán)2<4,又因為且A>0,所以l〈mV2.........1分

82

所以m的取值范圍是（1,2）.

y

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷(浙江專用)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求

的。

1.已知集合4=團(tuán)仇|<4},B={x\x2-5x-6>Q],貝()

A.(4,6)B.(-4,2)C.(-4,-1)D.(-1,4)

【答案】C

【解】：集合A={x||x|<4}=(-4,4),B={x|x2-5x-6>0}=(-co,-1)U(6,+oo),

則ACB=(-4,-1).故選：C.

2.已知E;=1-ni,其中m,n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m+ni=()

l+i

A.l+2zB.1-2zC.2+zD.2-i

【答案】C

m

【解】：=1-ni=>m=(1+n)+(1-n)i,由于m、n是實數(shù)，

得。-'L=>m+ni=2+i,故選：C.

ll+ri=TH=2

3.函數(shù)y=^sinZx+sin2^,x￡R的值域是()

c.[-f+1,f+i]D.[-f-l，f-i]

【答案】c

【解】:ysin2x+sin2x=sin2x—cos2x+=sin（2x~故選：C.

4.%>0,b>0”是“溫〈（竽產(chǎn)的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解】：“。>0,Q0”時，>Vab<當(dāng)時，“a6V(竽)2”不成立，

故"a>0,6>0”是“ab〈(竽的不充分條件，

“abV(竽產(chǎn)，時，a,萬可以異號，故"a>0,6>0”不一定成立，

故"a>0,b>0”是“abV(粵的既不充分也不必要條件，故選：D.

5.某市高三年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(171,16),現(xiàn)在該市隨機(jī)選擇一名高三

男生，則他的身高位于[171,179)內(nèi)的概率(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)是()

參考數(shù)據(jù)：P(|i-a<X<|i+o)=0.683,P(|i-2o<X<|i+2a)=0.954,P([i-3o<X<g+3o)=0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

【答案】A

【解工由題意可知，o=4,

所以P(171<X<179)=P(|i<X<|i+2cy)=0.954+2=0.477.故選：A.

6.若多項式d+xiOuQo+ai(x+1)+…+〃9(x+1)9+^io(x+1)10,貝U“9=()

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

【解】：x3+x10=x3+[(x+1)-I]10,

題中49(x+1)9只是[(x+1)-l]10展開式中(x+1)9的系數(shù)，故〃9=C1()1(-1)1=-10故選：D.

7.如圖，設(shè)拋物線y=4%的焦點(diǎn)為R不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個不同的點(diǎn)A,B,a其中點(diǎn)A,3在拋

物線上，點(diǎn)C在X軸上，記ABCF的面積為S1，AACF的面積為S2，則T等于是(

|BF|-1\BF\2-1\BF\+1\BF\2+1

1^1-1\AF\2-I\AF\+1'\AF\2+1

【答案】A

【解】：由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.設(shè)A（XI，yi）,B（X2,>2）

由拋物線的定義知X2=|BF|-1，x\=\AF\-1,則冬=^7='」二1'故選：A.

s：yi2久1\AF\-I

8.存在函數(shù)/(無)滿足，對任意XGR都有()

A.f(cos2x)=sinxB./(/-2x)=\x-11

C.f(J?+I)=|x+l|D.f(cos2x)=x2+x

【答案】B

【解】：對于A,令k與得/（0）=冬令x=-3導(dǎo)/（0）=-芋，錯誤；

對于3,令％2-2x=f（侖-1）,則x=l±“+t.

故/G）=Vl+tCt>-1）.

所以/（x）=Vl+x（x>-1）符合題意，故正確；

對于C,令x=l,得/（2）=2；令x=-1,得/（2）=0,錯誤；

對于，令x=今，得/（0）=jg+,；令x=—%得/（0）=%—左，錯誤.故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.某地區(qū)5家超市銷售額y（單位：萬元）與廣告支出x（單位：萬元）有如下一組數(shù)據(jù):

超市ABCDE

廣告支出（萬元）1461014

銷售額（萬元）620364048

下列說法正確的是（）

iM__iTl__

>..(Xj-^Cy-y)'Z,一(項一幻⑶「歷

參考公式:樣本相關(guān)系數(shù)r=a=y—bx

2

尾13一幻2.卜之］(%一歹)2'￡占1(Xi-x)

A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到x與y之間的經(jīng)驗回歸方程為丫=人工+8.3,貝肥=3.1

B.x與〉之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=3.1

C.若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好

D.若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬元，則該超市的銷售額一定是17.6萬元

【答案】AC

大日而誓p夕日—1+4+6+10+14—6+20+36+40+48

【解】：由題思可7r得％=------g------=7,y=--------g-------=30,

.??樣本中心點(diǎn)為（7,30）,將其代入y=b%+8.3中，可得b=3.1,故A正確;

2

:2：=式勾-功（％-歹）=324,］空=1（%-為2=V104=2V26,J^f=1（y；-y）=4V71,

55_

Wt=i（凡一無）?！笟v

324

“0.943,故B錯誤;

用i=（%一元產(chǎn)小巳（y「刃22V26X4V71

由殘差的計算可知，若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好，故C正確;

若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬元,

則該超市的銷售額估計值為y=3.1%+8.3=3,1X3+8.3=17.6（萬元），

但不一定是17.6萬元，故。錯誤.故選：AC.

（多選）10.已知函數(shù)/（X）=j?-ax-Inx,下列命題正確的是（）

A.若x=l是函數(shù)/（X）的極值點(diǎn)，貝。a=lB.若/（尤）在（1,+oo）上單調(diào)遞增，則壯1

C.若/（I）=2,則/（%）2：恒成立D.若（X-1）lnx>f（x）在2]上恒成立，則位2-勿2

【答案】AD

【解】：函數(shù)/（無）=/-ox-歷x的定義域為（0,+co）,

1

對于A,/z（x）=2x-a--,由x=l是函數(shù)/（%）的極值點(diǎn)，得/（1）=1-〃=0,解得a=l,

此時（（X）=2x-1-1=色吐乎二口，顯然X=1是7（x）在（0,+00）上的變號零點(diǎn)，因此4=1,

A正確；

對于8,f（x）在（1,+oo）上單調(diào)遞增，貝f（x）>0a<2%-p

而函數(shù)y=2x—]在（1,+oo）上單調(diào)遞增，2久一1>1恒成立，因此。勺，B錯誤;

對于C,由/（I）=2,得a=T,/（無）=j?+x-Inx,f'{x）—~2%J

當(dāng)時，f（x）<0,f（x）遞減，當(dāng)x*時，f（x）>0,f（x）遞增，

因此/（x）2/（}=,+m2,而|+伍2<：,C錯誤；

對于D,[1,2],（x-1）lnx>f（x）<^xlnx>j?-ax<^a>x-Inx,

1

令g(x)=x-live,[1,2],求導(dǎo)得g'(x)=1—亍20,當(dāng)且僅當(dāng)x=l取等號，

因此函數(shù)g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，g(x).=g(2)=2-M2,所以定2-加2,。正確.

故選：AD.

(多選)11.棱長為1的正方體，E是CCi的中點(diǎn)，P是平面AD5Al上的動點(diǎn)，平面PBE與平面ABC。

V21

B."+BP的最小值為一

2

1

C.存在一點(diǎn)尸，使得EPLCDD.二面角E-/-C最小時，平面角的正切值為萬

【答案】ABD

【解1根據(jù)題意，建系如圖:

1,0),Bi(1,1,1),Ci(0,1,1),Di(0,

1

0,1),E(0,1,辦

—1\EP\=lx2+(z-^)2+1,當(dāng)％=0,z=2時,

對于A,設(shè)尸(x,0,z),故EP=(x,—1,z—

E尸的最小值為1,故A正確；

對于B,作點(diǎn)8關(guān)于平面如z的對稱點(diǎn)以，

則EP+BP的最小值為利用勾股定理計算可得EB'=4+(導(dǎo)+22=浮,故B正確;

—>—>—>

對于C,因為DC=（O,1,0）,EP-DC=-1^0,所以不存在一點(diǎn)尸，使得EPLCZ）,故C錯誤;

—>T1T1

對于D,設(shè)平面P2E的法向量為幾=(a,b,c),EP=[x,-1,z-金，BE=(-1,0,分

CLX_b+c(z-5)=0-

1乙，取幾=(L%+2z-L2),

{—ct+2c=0

又平面ABC。的一個法向量為而1=(0,0,1),

2—>T

所以IcosOi,DDr>\=,當(dāng)x+2z-1=0時,|cos<n,DD]>|取得最大值一

——R->—>1

此時二面角￡1-/-C最小，此時|s譏⑴，DDr)\=-g-,|tan<n,

1

即平面角的正切值為3,故D正確.故選：ABD.

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種.小張用10元錢買雜志（每種至多買一本,

10元錢剛好用完），則不同買法的種數(shù)是—（用數(shù)字作答）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解】：根據(jù)題意，可有以下兩種情況：

①用10元錢買2元1本的雜志，共有C/=56

42

②用10元錢買2元1本的雜志4本和1元1本的雜志2本共有C8?C3=70X3=210,

故不同買法的種數(shù)是210+56=266,故答案為266.

13.已知等差數(shù)列｛斯｝中，首項為ai（m￥0）,公差為d,前〃項和為S”且滿足。~5+15=0,則實數(shù)d的

取值范圍是

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解】：,.,等差數(shù)列｛斯｝中，首項為ai（。1彳0）,公差為d,前“項和為S”且滿足。~5+15=0,

1x4

CL^H—2~d)+15=0,5al2+10々山+15=0,（也可以判別式法）

1

-2，

:.d=2al-2^1

當(dāng)。1>0時，d=——義〃仁-2I(―9~)(—

乙乙Al/CL]乙

當(dāng)41Vo時，d=—----義〃122I(―oT-)(-5

乙CI]乙Y/Ct]乙

，實數(shù)d的取值范圍是（-8,-V3]U[V3,+oo）.

故答案為：(-8,--\/3]U[V3,+oo).

V6

14."BC中,ZC=90°,M是BC的中點(diǎn)，若Sin/BAM=叁則sin/BAC=

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解】：如圖，設(shè)AC=8,AB=c,CM=MB^ZMAC=^,

a

在中，由正弦定理可得2

sinZ-BAMsinZ-AMB'

a

代入數(shù)據(jù)可得苧=.C…，解得sinZAMB=雜,

-stnZ-AMB3a

3

,,712c

故cosp=cos(——ZAMC)=sinAAMC—sin(K-ZAMB)=sinNAA/3=茄,

ACb

而在中，cos歸就

J(妒+/

jj2,c

故可得一/==，化簡可得/-4〃2■+4》4=(/_2廿)2=0,

腎+抉3a

解之可得a=>[2b,再由勾股定理可得。2+廿=°2,聯(lián)立可得。=日人

故在RT4ABC中，sinN2AC=吃=色=增■=4,

ABCV3b3

另解：設(shè)N84M為a,NM4C為0,正弦定理得3M：sina=AM：sinZB,BM：sinP=AM

又有sinB=cosNAMC=cos(a+ZB),聯(lián)立消去AAf得sinN3cos(a+ZB)=sina,

tanB

拆開，將1化成sidN^+cosZ/B,構(gòu)造二次齊次式，同除cos?/—可得tana=

l+2tan25,

^sinZ-BAM=貝UcosN3AM=tan/3AM=中，解得tanN8=挈，cosB=除

□D4Z3

易得sinZBAC=稱.

另解：作M￡)_LA2交于。，設(shè)MZ>=1,AM=3,A￡>=2&,DB=x,BM=CM=Vx2+1,

用△OMB和ACAB相似解得x=&,則cosB=裳，易得sin/BAC=萼.故答案為：—

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.如圖，矩形A3CD和梯形BEPC所在平面互相垂直，ZBCF=ZCEF=90°,AD=W,EF=2.

(I)求證：AE〃平面。CP；(II)當(dāng)AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60。？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解】(I)證明：過點(diǎn)E作EGLCF并b于G,連接DG,可得四邊形BCGE為矩形.又ABCD為

矩形，所以從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE〃/5G.

因為AEC平面OCROGu平面。C凡所以AE〃平面OCF.

(II)解：過點(diǎn)3作BHLEP交尸E的延長線于連接

由平面ABCQ_L平面BEFG,AB1BC,得AB_L平面BEFC,從而A”_LEF,

所以NAHB為二面角A-EF-C的平面角.

在RSEFG中，因為EG=A￡>=V^,EF=2,所以乙CFE=60°,FG=1.

又因為CE_LER所以C尸=4,從而BK=CG=3.于是BH=BE,sinNBEH=孚.

Q

因為AB=BH<anZAHB,所以當(dāng)AB=即寸，二面角A-EF-G的大小為60°.

16.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和三等品.已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品為一等品、二等品、三等品的概

率分別為尸1、尸2、尸3,Pl+P2+P3=l.從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取〃件，設(shè)其中一等品的數(shù)量為X,

二等品的數(shù)量為Y.

(1)若"=10,已知X的數(shù)列期望E(X)=4,X的方差。(X)=2.4,求尸1的值.

(2)若”=20,且y服從二項分布8(20,p2).已尸(y=6)=P(y=8),求2的值.

(3)已知尸1=0.4,P2=0.3,在抽取的〃件商品中，一等品和二等品的數(shù)量之和為M.求當(dāng)力為何值

時，M的數(shù)學(xué)期望取得最大值？

【答案】(1)0.4；(2)P,=2客-4；(3)”取工廠的總產(chǎn)量時，E(M)取最大值.

【解】：(!)由題意知X?2(1。,B),則牖晨款/匕)=2.4,解得尸產(chǎn)04

(2)由y?2(20,尸2),則P(y=k)=C%P九1—P2)2°T(k=o，1，2,…，20),

1412

由p(y=6)=p(y=8)得，c%?p%QL-p2)=c品-pf-(1-p2),

化簡可得粵=———，即&=———,解得P2=*i

2

Cf0(1-P2)213(1-P2)

(3)由題意知，M?B(w,P1+P2)，又尸1=0.4,22=0.3,

所以M?B(九，0.7),則E(M)=O.7n,

當(dāng)〃增大時，E(M)也增大，所以，當(dāng)"T+OO,E(M)一+8,故M的數(shù)學(xué)期望沒有最大值.

但在實際情境中，w的取值是有限的，比如取工廠的總產(chǎn)量時，E(M)取最大值.

17.已知函數(shù)/(x)aGR.