微專題01 平面向量-2025年新高考數(shù)學二輪復習微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題01平面向量【秒殺總結】結論1：極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：證明：不妨設，，則，（1）（2）（1）（2）兩式相加得：2、極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式（1）平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．（2）三角形模式：（M為BD的中點）結論2：矩形大法：矩形所在平面內任一點到其對角線端點距離的平方和相等．已知點O是矩形ABCD與所在平面內任一點，證明：．【證明】（坐標法）設，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標系xoy，則，設，則結論3：三點共線的充要條件設、、是三個不共線向量，則A、B、P共線存在使．特別地，當P為線段AB的中點時，．結論4：等和線【基本定理】（一）平面向量共線定理已知，若，則三點共線；反之亦然．（二）等和線平面內一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線．（1）當?shù)群途€恰為直線時，；（2）當?shù)群途€在點和直線之間時，；（3）當直線在點和等和線之間時，；（4）當?shù)群途€過點時，；（5）若兩等和線關于點對稱，則定值互為相反數(shù)；結論5：奔馳定理【奔馳定理】若O為內任一點，且，則【典型例題】例1．在中，是的中點，，則____．【答案】-16【解析】因為是的中點，由極化恒等式得：．例2．（2024·江西新余·高三統(tǒng)考期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則【答案】ABC【解析】A選項，因為，所以，取的中點，則，所以，故三點共線，且，同理，取中點，中點，可得三點共線，三點共線，所以M為的重心，A正確；B選項，若M為的內心，可設內切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點，又，，即，，即，，即，設，，，則，，，因為，，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項，若，，M為的外心，則，設的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯誤.故選：ABC例3．正三角形內接于半徑為2的圓O，點P是圓O上的一個動點，則的取值范圍是．【答案】【解析】取AB的中點D，連結CD，因為三角形ABC為正三角形，所以O為三角形ABC的重心，O在CD上，且，所以，（也可用正弦定理求AB）又由極化恒等式得：因為P在圓O上，所以當P在點C處時，當P在CO的延長線與圓O的交點處時，所以例4．已知圓與，定點，A、B分別在圓和圓上，滿足，則線段AB的取值范圍是．【答案】【解析】以為鄰邊作矩形，則由得，即，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，，．例5．給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，點在以為圓心的圓弧上變動．若，其中，則的最大值是__________．【答案】2【解析】（秒殺）作平行于AB的直線l，當且僅當l與圓相切時，的取最大值2．令，則由得．由三點共線可得【過關測試】一、單選題1．（2024·山東·高三山東省實驗中學校聯(lián)考開學考試）已知向量滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以可以構造如圖正：使得：，，延長到，使得，以為圓心，為半徑作圓，因為，所以的終點在這個圓上.所以所以，而，.所以.故選：C2．（2024·北京西城·高三北京師大附中?？奸_學考試）如圖，圓為的外接圓，，為邊的中點，則（

）

A．10 B．13 C．18 D．26【答案】B【解析】是邊的中點，可得，是的外接圓的圓心，，同理可得，．故選：B．3．（2024·云南保山·高三統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形的邊長為4，若動點在以為直徑的半圓上（正方形內部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接，如圖所示，所以的取值范圍是，即，又由，所以.故選：B.4．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）在等腰中，角A，B，C所對應的邊為a，b，c，，，P是外接圓上一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意等腰中，，，故，設外接圓半徑為R，則；以的外接圓圓心為原點，以的垂直平分線為y軸，過點O作的平行線為x軸，建立平面直角坐標系，則，設，，則，，則，，故，因為，故，即的取值范圍是，故選：C5．（2024·北京通州·高三統(tǒng)考期末）在菱形中，是的中點，是上一點（不與，重合），與交于，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：當點與點重合時，此時最長，易知，且相似比為，，在中，由余弦定理得：，所以，此時滿足，所以，所以，此時，由圖可知，，則.故選：B.6．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，已知，，動點P滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．P的軌跡為圓 B．P到原點最短距離為1C．P點軌跡是一個菱形 D．點P的軌跡所圍成的圖形面積為4【答案】C【解析】設P點坐標為，則由已知條件可得，整理得．又因為，所以P點坐標對應軌跡方程為．，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為．P點對應的軌跡如圖所示：，且，所以P點的軌跡為菱形．A錯誤，C正確；原點到：的距離為B錯誤；軌跡圖形是平行四邊形，面積為，D錯誤．故選：C．7．（2024·全國·統(tǒng)考模擬預測）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構，在有機化學中極其重要．有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結構簡式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取線段的中點，則，，由圖可知，當點與點重合時，取最小值，且，由圖形可知，當取最大值時，點在折線段上，連接，則，同理，由正六邊形的幾何性質可知，，所以，，則、、三點共線，則，即，當點在線段上從點運動到點的過程中，在逐漸增大，同理可知，，當點在線段上由點到的過程中，在逐漸增大，所以，當取最大值時，點在折線段上運動，以線段的中點為坐標原點，所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、、、、、，設點，（1）當點在線段上運動時，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，則；（2）當點在線段上運動時，，，則，所以，；（3）當點在線段上運動時，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，所以，，因為函數(shù)在上單調遞增，故.綜上所述，的最大值為，故，故的取值范圍是.故選：B.8．（2024·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）在中，，D為AB的中點，，P為CD上一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為D為AB的中點，則，可得，即，解得，又因為P為CD上一點，設，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.9．設，根據(jù)平面向量基本定理求得；10．以為基底表示，進而運算求解.二、多選題11．（2024·湖北襄陽·高三棗陽一中校聯(lián)考期末）已知直線，圓，且圓過點，直線與圓交于兩點，下列結論中正確的是（

）A．圓的半徑為2B．直線過定點C．的最小值是D．的最大值是0【答案】ABD【解析】由圓過點，得，圓的圓心，半徑，A正確；直線，由，得，即直線過定點，B正確；顯然點在圓內，，當時，，C錯誤；當弦長最小時，圓心角最小，此時，則，因此，當且僅當時取等號，D正確.故選：ABD12．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預測）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（

）A．若，且，則為直角三角形B．若，，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個，則C．若平面內有一點滿足：，且，則為等邊三角形D．若，則為鈍角三角形【答案】BC【解析】對于選項A，因為，，分別為單位向量，所以的角平分線與BC垂直，所以，所以.又因為，即，因為，所以，所以，所以為等邊三角形，故選項A錯誤；對于選項B，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個，則，因為，，所以，即，所以，故選項B正確；對于C，因為，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，結合，故，可得，故為等邊三角形，C正確；對于D.，而，所以A，B，C都為銳角，D錯誤；故選：BC.13．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，邊長為2的正六邊形，點是內部（包括邊界）的動點，，，.（

）

A． B．存在點，使C．若，則點的軌跡長度為2 D．的最小值為【答案】AD【解析】設為正六邊形的中心，根據(jù)正六邊形的性質可得且四邊形均為菱形，，故A正確，假設存在存在點，使，則,其中點為以為鄰邊作平行四邊形的頂點，所以在直線上，這與點是內部（包括邊界）的動點矛盾，故B錯誤，當時，，取,則,所以點的軌跡為線段,其中分別為過點作與的交點，由于為的中點，所以,故點的軌跡長度為1，C錯誤，由于,,過作于，則,所以此時，由于分別為上的分量，且點點是內部（包括邊界）的動點，所以當位于時，此時同時最小，故的最小值為故選：AD14．（2024·黑龍江·高三校聯(lián)考期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論.奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián).它的具體內容是：已知是內一點，的面積分別為，且.以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABD【解析】對于A，取的中點D，連接，由，則，所以，所以A，M，D三點共線，且，設E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對于B，由為的內心，則可設內切圓半徑為，則有，所以，即，故B正確；對于C，由為的外心，則可設的外接圓半徑為，又，則有，所以，，，所以，故C錯誤；對于D，如圖，延長交于點D，延長交于點F，延長交于點E，由為的垂心，，則，又，則，，設，則，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ABD．15．（2024·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）如圖，順次連接正五邊形的不相鄰的頂點，得到五角星形狀，則以下說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由正五邊形的對稱性可得，每個正五邊形的內角為，對于A，在中，，則，進而，所以，同理可得，故四邊形是平行四邊形，所以，故A正確；對于B，由對稱性可得，且，所以，故B正確；對于C，假設，因為，所以，由對稱性可得，所以，得是等邊三角形，則，所以，故C不正確.對于D，要證，即證四邊形是平行四邊形，因為五邊形為正五邊形，所以，因為在中，，所以，，進而，所以，同理可得，故四邊形是平行四邊形，故D正確.故選：ABD.16．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知平面向量滿足，，且對任意的實數(shù)，都有恒成立，則下列結論正確的是（

）A．與垂直 B．C．的最小值為 D．的最大值為【答案】AC【解析】由恒成立得，即恒成立，因為，，設夾角為，則恒成立，所以，即，所以，則，所以，所以，所以與垂直，A正確；，B不正確；設，，則，所以，其幾何意義是與和連線的距離之和的2倍，當三點共線時取得最小值，最小值為，C正確；，，所以其幾何意義是與和連線的距離之差的2倍，當三點共線時最得最大值，最大值為，D不正確，故選：AC.三、填空題17．（2024·天津紅橋·統(tǒng)考一模）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則，若，，則的最小值為.【答案】【解析】在中，，，則，故，故；又，而，，所以，則，又三點共線，所以，結合已知可知，故，當且僅當，結合，即時，取等號；即的最小值為，故答案為：；18．（2024·天津·高三校聯(lián)考期末）在梯形中，分別為線段和線段上的動點，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】以點為坐標原點，直線為軸，過點且垂直于直線的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、、，則，由題意可得，解得，，所以，，由對勾函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，且，，則.因此，的取值范圍是.故答案為：.19．（2024·全國·校聯(lián)考一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一．在2022年虎年新春來臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_到裝點環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如左圖）．已知正方形的邊長為，中心為，四個半圓的圓心均在正方形各邊的中點（如右圖）．若點在四個半圓的圓弧上運動，則的取值范圍是.【答案】【解析】以原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示.因為正方形的邊長為，所以，則、，則，設的中點為，則，，所以，，因為是半圓上的動點，設點，則，其中，則，所以，，由對稱性可知，當點在第三象限的半圓弧上運動時（包含點、），，當點在第一象限的半圓弧上運動時（包含點、），的中點為，半圓的半徑為，可設點，其中，則，，則，同理可知，當點在第四象限內的半圓弧上