浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題卷上．2．選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈．3．非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫在本試題卷上無效．選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線方程，則傾斜角為（）A.45° B.60° C.120° D.135°【答案】D【解析】直線的斜率為-1，設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以.故選：D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由拋物線得：焦點在x軸上，開口向右，p=2，所以其準(zhǔn)線方程為，故選：B3.在空間四邊形ABCD中，點M，G分別是BC和CD的中點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，點G是CD的中點，所以，，所以，.故選：C.4.已知為數(shù)列的前n項和，，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】由題意.故選：C.5.在棱長為1的正方體中，點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)點到平面的距離為，由，因為正方體的棱長為，可得，三棱錐的體積為，所以，解得，所以點到平面的距離為.故選：D.6.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙?；蛐∈觼硌芯繑?shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈^所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如下圖的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，1，4，9，16稱為正方形數(shù)，則下列各數(shù)既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）A.55 B.49 C.36 D.28【答案】C【解析】由題意，三角形數(shù)可看作，，，，則第個三角形數(shù)為；正方形數(shù)可看作，，，，，則第個正方形數(shù)為；對于A，令，其解不正整數(shù)，所以不是正方形數(shù)，故A錯誤；對于B，令，解得，令，其解不是正整數(shù)，所以不是三角形數(shù)，故B錯誤；對于C，令，解得，令，解得，故C正確；對于D，令，顯然其解不正整數(shù)，所以不是正方形數(shù)，故D錯誤.故選：C.7.已知圓錐有一個內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，圓柱與圓錐的高之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為；圓柱的底面半徑為，高為，畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面，如圖則，．圓柱側(cè)面積．當(dāng)時，圓柱側(cè)面積最大，此時圓柱與圓錐的高之比為．故選：B.8.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，點P在橢圓C上，直線與直線交于點Q，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，不妨設(shè)，則，點P在橢圓C上，直線與直線交于點Q，且，所以，又是的中點，所以，所以是正三角形，所以，可得，設(shè)，，所以，即，所以，解得，又，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知圓和圓外離，則整數(shù)m的一個取值可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】CD【解析】因方程可化為，所以圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，因為方程可化為，由已知，且為正整數(shù)，所以圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心距，因為圓和圓外離，所以，所以，故的可能取值有，故選：CD.10.以下選項中的兩個圓錐曲線的離心率相等的是（）A.與 B.與C.與x22+y2【答案】CD【解析】對于A項，雙曲線的離心率為；橢圓的離心率為，故A錯誤；對于B項，雙曲線的離心率為；雙曲線的離心率為，故B錯誤；對于C項，橢圓的離心率為；橢圓x22+y24=1的離心率為對于D項，方程可化為拋物線，方程可化為拋物線，而且拋物線的離心率均為1，故D項正確.故選：CD.11.已知三棱錐如圖所示，G為重心，點M，F(xiàn)為中點，點D，E分別在上，，（），以下說法正確的是（）A.若，則平面∥平面B.C.D.若M，D，E，F(xiàn)四點共面，則【答案】ABC【解析】對于A，若，即分別為的中點，又點為的中點，所以，又DE?面，面，所以面，同理可證面，又面，所以平面∥平面，故A正確；對于BCD，如圖所示：設(shè)中點為，連接，因為點G為重心，所以點在線段上面，所以，故B正確；對于C，，故C正確；因為，所以，若M，D，E，F(xiàn)四點共面，則，解得，故D錯誤.故選：ABC.12.已知數(shù)列的前n項和為，且，a1+a2>0，則下列命題正確的是（A.若為等差數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列B.若為等比數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列C.若為等差數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列D.若為等比數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】ACD【解析】因為，a1+a2>0，所以AC選項，若為等差數(shù)列，則公差，，則，對恒成立，則數(shù)列為遞增數(shù)列，A正確；由于，故，又，故，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；BD選項，若為等比數(shù)列，則公比，不妨設(shè)，，則，故，則數(shù)列不為遞增數(shù)列，B錯誤；由于，故，又，故數(shù)列為遞增數(shù)列，D正確.故選：ACD非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的方程可以是______．（只需填寫滿足條件的一個方程）【答案】（答案不唯一）.【解析】若雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的方程可設(shè)為，在這里不妨取即可滿足題意.故答案為：（答案不唯一）.14.已知正項等比數(shù)列的前n項和為，，且，則______．【答案】1【解析】設(shè)公比為，由題意，所以，又，所以，解得滿足題意，所以.故答案為：1.15.已知點P為圓上一動點，，，則點P到直線AB的距離的取值范圍是______．【答案】【解析】顯然點，在圓的外面，而直線，即，又圓的圓心、半徑分別為，所以圓心到直線的距離為，設(shè)點P到直線AB的距離的為，則，即點P到直線AB的距離的取值范圍是.故答案為：.16.兩個正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直，M和N分別是對角線AC和BF上的動點，則MN的最小值為______．【答案】【解析】因為平面平面，平面平面,，平面,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知CB⊥平面，，從而，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，．=，當(dāng)時，最小，最小值為；故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在平行六面體中，，，，，設(shè)，，．（1）用向量表示；（2）求．解：（1）由題意.（2）由題意，因為，，，，所以，所以.18.已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前10項和．解：（1）由題意，，因為，解得，所以等差數(shù)列的公差，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由題意，所以數(shù)列的前10項和.19.如圖，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，平面ABCD，，M為PB的中點．（1）求證：平面平面PDB；（2）求CP與平面MAC所成角的正弦值．解：（1）因為四邊形為菱形，所以.因為平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）連接，交于，因為四邊形為菱形，所以為的中點，因為M為PB的中點，所以為的中位線，所以，因為平面ABCD，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意有,所以，易知平面的一個法向量為，設(shè)CP與平面MAC所成角為，則，所以CP與平面MAC所成角的正弦值.20.已知圓滿足：①截軸所得弦長為2；②被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1；③圓心到直線：的距離為，求該圓的方程．解：（法一）設(shè)圓P的圓心為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．由題意可知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°圓P截x軸所得的弦長為，2|b|=，得r2=2b2，圓P被y軸所截得的弦長為2，由勾股定理得r2=a2+1，得2b2-a2=1．又因P（a，b）到直線x-2y=0的距離為，得d=，即有綜前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圓的方程是，或（法二）設(shè)圓的方程為，令x=0，得，所以，得再令y=0，可得，所以，得，即，從而有2b2-a2=1．又因為P（a，b）到直線x-2y=0的距離為，得d=，即有綜前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圓的方程是，或21.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列前n項和為，且對任意的恒成立，求k的取值范圍．解：（1）因為，所以，即，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，要使對任意的恒成立，只需要即可，令，則，所以數(shù)列bn所以，即，所以.22.已知點在雙曲線C：上，（1）求C的方程；（2）如圖，若直線l垂直于直線OA，且與C的右支交于P、Q兩點，直線AP、AQ與y軸的交點分別為點M、N，記四邊