廣東省陽江市高新區(qū)2024-2025學年高二上學期1月期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省陽江市高新區(qū)2024-2025學年高二上學期1月期末數(shù)學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.在復平面內，復數(shù)對應點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】復數(shù)，其對應的點在第二象限，則，解得．故選：A3.在梯形中，滿足，則（）A.4 B.6 C.10 D.12【答案】C【解析】∵，∴，，故選：C．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，則，即，即，即，所以.故選：C.5.圓臺的高為2，體積為，兩底面圓的半徑比為，則母線和軸的夾角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設圓臺上底半徑為，則下底半徑為，由題意：.所以圓臺母線和軸的夾角的正切值為：.故選：B6.已知球的半徑為,是球表面上的定點,是球表面上的動點,且滿足，則線段軌跡的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以球的球心為坐標原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，因為球的半徑為，則，設，則，，所以，又，，則，得到，如圖，在線段取點，使，所以線段軌跡為圓錐的側面，又，則，所以圓錐的側面積為，所以線段軌跡的面積為，故選：C.7.在平面直角坐標系中，，點在直線上，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，設點，則，則在上的投影向量為.故選：C8.已知兩個不同的圓，均過定點，且圓，均與軸、軸相切，則圓與圓的半徑之積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當點在第一象限時，圓，的方程為的形式，代入點的坐標，可得關于的方程，圓，的半徑，是該方程的兩個不同實根，所以，同理，當點在第二、三、四象限時也可得．當點在軸上時，，此時圓，的圓心分別位于第一、二象限（或第三、四象限），兩圓在點處相切，且，滿足．同理，當點在軸上時，，同樣滿足．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法不正確的是（）A.至少有一個實數(shù)x，使B.若定義域為，則的定義域是C.命題p：，，則，D.“集合中只有一個元素”是“”的必要不充分條件【答案】ABC【解析】對于A，在實數(shù)范圍內，，則，故A不正確；對于B，因為的定義域為，所以，即，所以對于，，解得，所以的定義域是，故B不正確；對于C，命題p：，，則，，故C不正確；對于D，若集合中只有一個元素，當時，，符合題意；當時，由題意可得，即，綜上或，所以必要性成立，故D正確；故選：ABC10.投擲一枚質地均勻的硬幣三次，設隨機變量．記A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，則（）A.和互為對立事件 B.事件和不互斥C.事件和相互獨立 D.事件和相互獨立【答案】BC【解析】根據(jù)題意，表示事件“”，即前兩次拋擲中，一次正面，一次反面，則，表示事件“”，即第二次拋擲中，正面向上，則，表示事件“”，即前三次拋擲中，一次正面，兩次反面，，依次分析選項：對于A，事件、可能同時發(fā)生，則事件、不是對立事件，A錯誤；對于B，事件、可能同時發(fā)生，則事件和不互斥，B正確；對于C，事件，即前兩次拋擲中，第一次反面，第二次正面，，由于，則事件和相互獨立，C正確；對于D，事件，即三次拋擲中，第一次和第三次反面，第二次正面，，，事件、不是相互獨立事件，D錯誤．故選：BC．11.已知兩定點，，動點M滿足條件，其軌跡是曲線C，過B作直線l交曲線C于P，Q兩點，則下列結論正確的是（）A.取值范圍是B.當點A，B，P，Q不共線時，面積的最大值為6C.當直線l斜率時，AB平分D.最大值為【答案】ACD【解析】設Mx,y因為，即，整理可得，可知曲線C是以為圓心，半徑的圓.對于選項A：因為，可知點B在曲線C內，且直線l與曲線C必相交，且，則的最大值為，最小值為，所以取值范圍是，故A正確；設，聯(lián)立方程，消去x可得，則.對于選項B：可得，令，則，可得，因為在內單調遞增，則的最小值為，即，則，可得的面積，所以面積的最大值為，故B錯誤；對于選項C：因為，又因為，則，即，可知，所以AB平分，故C正確；對于選項D：因為AB平分，則，可知當與曲線C相切時，取到最大值，此時，且為銳角，則，即的最大值為，則的最大值為，所以最大值為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設，若，則的值為__________．【答案】【解析】，若，，，，，．故答案為：.13.已知三棱臺上、下底面均為正三角形，且平面平面，，為的中點，則直線與夾角的余弦值為______．【答案】【解析】如圖所示，因為，所以直線與的夾角即為直線與的夾角，取的中點為，由題知和為等邊三角形，則，又，則也是等邊三角形，故，設為在平面上的投影，則平面，因為平面平面，交線為，因為為的中點，所以又平面，所以平面，則，且，故四邊形為矩形，故，且，則，又，所以，則，又，所以，又，則，所以在中，由余弦定理得，所以直線與夾角的余弦值為．故答案為：．14.點為圓上一點，過作圓的切線，且直線與直線平行，則與之間的距離是________.【答案】【解析】由題意可得圓的圓心，半徑為，則，所以過的切線斜率為，所以直線的方程為，即，又直線與直線平行，所以，則與之間的距離是.故答案為：.15.在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，求.解：（1）因為，所以由正弦定理得，因為，所以，所以，則，因為，所以，又因為，所以；（2），由余弦定理可得，，又，，，，即，.16.已知圓過，兩點，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線過點且被圓截得的線段長為，求的方程．解：（1）設圓的一般方程為，圓心，根據(jù)題意有，解得，故所求圓的一般方程為，（2）如圖所示，，設是線段的中點，則，，又，∴在中，得，當直線的斜率不存在時，滿足題意，此時方程為．當直線的斜率存在時，設所求直線的斜率為，則直線的方程為，即，由點到直線的距離公式，得，此時直線的方程為．綜上，所求直線的方程為或．17.課外閱讀對于培養(yǎng)學生的閱讀興趣、拓寬知識視野、提高閱讀能力具有重要作用．某市為了解中學生的課外閱讀情況，從該市全體中學生中隨機抽取了500名學生，調查他們在寒假期間每天課外閱讀平均時長（單位：分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調查的學生中寒假期間每天課外閱讀平均時長均不超過100分鐘．時長學生人數(shù)5010020012525（1）估計這500名學生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）若按照分層抽樣的方法從本次調查中寒假期間每天課外閱讀平均時長在和的兩組中共抽取6人進行問卷調查，并從6人中隨機選取2人進行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時長在的概率．解：（1）依題意，樣本中500名學生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)，所以估計這500名學生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)為49．（2）抽取的6人中寒假期間每天課外閱讀平均時長在內有：人，在內有4人，記內的2人為A，B，記內的4人為，從這6人中隨機選2人基本事件有：，共15種，其中至少有一人每天課外閱讀平均時長在的基本事件有，共9種，設“選取的2人中至少有一人每天課外閱讀平均時長在”，則．18.如圖，三棱錐中，平面，，為中點，為中點，為中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）連，由為中點，為中點，得，又平面，平面，所以平面.（2）設，由平面，平面，得，則，取中點，則，又平面，則平面，又平面，于是平面平面，又平面面，過點在平面內作于，于是平面，連，則為直線與平面所成的角，在中，，，，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值.19.已知為圓上