安徽省馬鞍山中加雙語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

第1頁(yè)/共1頁(yè)馬鞍山中加雙語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試題總分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填圖在答題卡相應(yīng)位置上）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用傾斜角和斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】易知的斜率為，顯然傾斜角為.故選：C2.已知，，若，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可得，據(jù)此可得答案.【詳解】由題可得.注意到，則.故選：A3.為空間任意一點(diǎn)，若，若，，，四點(diǎn)共面，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將化簡(jiǎn)為：，利用四點(diǎn)共面定理可得，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，可化?jiǎn)為：，即，由于，，，四點(diǎn)共面，則，解得：；故選：C4.我們打印用的A4紙的長(zhǎng)與寬的比約為，之所以是這個(gè)比值，是因?yàn)榘鸭垙垖?duì)折，得到的新紙的長(zhǎng)與寬之比仍約為，紙張的形狀不變．已知圓柱的母線長(zhǎng)小于底面圓的直徑長(zhǎng)（如圖所示），它的軸截面ABCD為一張A4紙，若點(diǎn)E為上底面圓上弧AB的中點(diǎn)，則異面直線DE與AB所成的角約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)CD的中點(diǎn)為O，過E作EF⊥底面⊙O，連接OE，OF，證明OD⊥OE，計(jì)算tan∠EDO即可得出答案．【詳解】∵AB//CD，∴∠EDC（或補(bǔ)角）為異面直線DE與AB所成的角，設(shè)CD的中點(diǎn)為O，過E作EF⊥底面⊙O，連接OE，OF，∵E是的中點(diǎn)，∴F是的中點(diǎn)，∴CD⊥OF，又EF⊥平面⊙O，∴EF⊥CD，∴CD⊥平面OEF，∴OD⊥OE．設(shè)AD＝1，則CD，故OF，EF＝1，于是OE，∴tan∠EDO，∴∠EDO．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成的角，解題的關(guān)鍵是找出與異面直線所成角相等的相交直線所成的角，此題要求有一定的計(jì)算能力，屬于中檔題.5.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)到平面距離的向量求法逐項(xiàng)檢驗(yàn)可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，，，所以，即，令，則，則點(diǎn)到平面的距離為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，，，所以，即，令，則，則點(diǎn)到平面的距離為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，，，所以，即，令，則，則點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，，，所以，即，令，則，則點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：D.6.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故D項(xiàng)正確.故選：D7.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)，可得動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，∴動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為.故選：D.8.如圖，在體積為5的多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，，，M為BC的中點(diǎn)，，，．則平面PCD與平面QAB夾角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先證明，結(jié)合棱柱與棱錐的體積關(guān)系，利用等體積法可得，即可建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用法向量求解.【詳解】由題意得，，，，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以．又因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．由于，所以四邊形為平行四邊形，所以．又，所以，所以．因?yàn)?，所以，又，，平面，所以平面，則面．取中點(diǎn)，連接，由面，面，則面面，面面，由得多面體為三棱柱，設(shè)，多面體的體積為，由題意得，四邊形為平行四邊形，故，，則，解得．由得.以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．則平面的一個(gè)法向量，且，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即?。O(shè)平面PCD與平面QAB的夾角為，則，所以，即平面與平面夾角的正弦值為．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是通過線線、線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化證明平面且面，利用等體積法求出的長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系求解即可得到結(jié)果.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選的得部分分，不選或有選錯(cuò)選的得0分．）9.下列說法是錯(cuò)誤的為（）A.直線的傾斜角越大，其斜率就越大B.直線的斜率為tanα，則其傾斜角為αC.斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等D.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合直線傾斜角的性質(zhì)、直線兩點(diǎn)式方程逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)直線的傾斜角為直角時(shí)，該直線不存在斜率，故選項(xiàng)A不正確；當(dāng)直線的斜率為，傾斜角為，故選項(xiàng)B不正確；當(dāng)兩條直線的斜率相等，顯然這兩條直線的傾斜角相等，故選項(xiàng)選項(xiàng)C不正確；根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可知選項(xiàng)D正確，故選：ABC10.在《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐被稱為“鱉臑”.在鱉臑中，底面，則（）A.可能成立 B.可能成立C.一定成立 D.可能成立【答案】BCD【解析】【分析】利用線面垂直的判定與性質(zhì)判斷出線線是否垂直，即可判斷對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積是否為0．【詳解】因?yàn)榈酌妫?，所以一定成立；故C正確．若，如圖所示：則△為直角三角形，所以.因?yàn)榈酌?，所?所以△,△均為直角三角形.所以,.在△中，由，，可知，三邊不滿足勾股定理，所以△不是直角三角形，三棱錐不是“鱉臑”.故A錯(cuò)誤．由三棱錐是“鱉臑”可知：△為直角三角形.由上面的推理可知：不成立，則，或.當(dāng)時(shí)，.又，，且面，面，所以面，所以，則，三棱錐是“鱉臑”；故B正確．同理可證：若，則，三棱錐是“鱉臑”；故D正確．故選：BCD11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體，若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)到直線CQ的距離是 B.C.平面ECG與平面的夾角正弦值為 D.異面直線CQ與BD所成角的正切值為【答案】BD【解析】【分析】通過空間向量的線性運(yùn)算可得選項(xiàng)B正確，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得選項(xiàng)A、C、D的正誤.【詳解】依題意，所以選項(xiàng)B正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，對(duì)于A：，，設(shè)，則點(diǎn)到直線CQ距離，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，設(shè)平面的法向量的一個(gè)法向量為，則，令得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，所以，即平面與平面的夾角余弦值為，所以平面ECG與平面的夾角正弦值為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，，所以，即異面直線與所成角的正切值為，所以D正確．故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決角度和距離問題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分，請(qǐng)把案填寫在題卡相應(yīng)位置上）12.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合投影向量公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得，,∴向量在向量上的投影向量為．故答案為：.13.已知直線在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是___________．【答案】或.【解析】【分析】先求出直線l所過的定點(diǎn)，再根據(jù)條件求解.【詳解】由直線得：，令，解得，所以直線l過點(diǎn)，由題知，在x軸上的截距取值范圍是，如圖：所以端點(diǎn)處直線的斜率分別為，所以或；故答案為：或.14.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)閱讀材料可得平面的一個(gè)法向量，再在兩平面的交線上取兩個(gè)點(diǎn)，從而得交線的方向向量，由此利用向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解．【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的一個(gè)法向量，又直線：上有兩個(gè)點(diǎn)，，所以直線的方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：．四、本大題共5小題，共計(jì)77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線的方程為．（1）求直線過的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）直線與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將直線的方程變形，列出方程組即可求解；（2）利用直線的截距式方程設(shè)出直線的方程，根據(jù)（1）的結(jié)論及基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【小問1詳解】由題意，直線的方程可化為，聯(lián)立方程組解得，所以直線過的定點(diǎn)．【小問2詳解】設(shè)直線，則，由（1）知，直線過的定點(diǎn)，可得，因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線方程為，即．16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一點(diǎn)滿足平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質(zhì)及面面垂直的判定推理即得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.小問1詳解】在四棱錐中，底面為矩形，則，由平面，平面，得，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】依題意，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，令，則有，即，，，由平面，得存在實(shí)數(shù)使，即，解得，，，設(shè)平面的法向量，則，令，，設(shè)平面的法向量，則，令，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.在直三棱柱中，與交于點(diǎn)是的重心，點(diǎn)在線段（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）上.（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若直線與平面所成角正弦值為，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，證明出，，從而得到平面平面，證明出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【小問1詳解】連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹比庵云矫嫫矫?，又分別為的中點(diǎn)，所以，故四邊形為平行四邊形，故，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，同理可得平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，又平面，所以平?【小問2詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z由得，，取，則，因?yàn)橹本€與平面所成的角正弦值為，所以，整理得，，解得或（不合題意舍），所以.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，設(shè)點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）若．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．（3）設(shè)CG與平面AEF所成角為，求的范圍.【答案】（1）證明見解析（2）直線在平面內(nèi)，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）由⊥平面可得，結(jié)合利用線面垂直判定定理可證；（2）由代入坐標(biāo)建立方程組，由方程組有解可得直線在平面內(nèi)；（3）由點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．設(shè)，進(jìn)而得坐標(biāo)，求平面的一個(gè)法向量，由向量方法表示出，再利用換元法求函數(shù)值域可得.【小問1詳解】因?yàn)椤推矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平?【小問2詳解】在底面中，過作，交于，由題意可知，又平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，、、、.，，，若平面，則且，使得，則有，解得，故.所以直線平面.【小問3詳解】由（2）可知，.設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，故.故，令，則，而，，故.19.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：，，分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)