黑龍江省大慶市2023-2024學(xué)年高一年級上冊1月期末考試 數(shù)學(xué)試卷

高一數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.

全卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.考生作答時(shí)將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試

題卷上答題無效.

4.作圖題可先使用2B鉛筆填涂，然后用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

第I卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知集合"R,――則（）

A{0,1,2}B.{-2,-1}C.{1,2}D.0

2.命題“玉>0,%2+2%_520”的否定是（）

A.Vx>0,X2+2X-5>0B.VX>0,X2+2X-5<0

C.3%>0,x2+2x-5<0D.3%<0,x2+2x-5<0

57T

3.若角三的終邊上有一點(diǎn)（—3,a）,則實(shí)數(shù)a的值為（）

R6「V3

A.-A/3L.-----D.

33

|x-l|-2,x<0

4.函數(shù)=?的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

2

log5x+3x-x,x>0

A.1B.2C.3D.4

X

5.已知lga+lgb=0,則(a>0，且awl)與=,且6a1）的圖象可能為

()

6.設(shè)機(jī)=-^—,n=—不上，命題p:a>b,命題q:ab<m〃,則P是q的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.2023年10月26日11時(shí)14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號F遙十七運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射

中心點(diǎn)火發(fā)射，成功入軌.這次任務(wù)是我國載人航天工程進(jìn)入空間站應(yīng)用與發(fā)展階段的第2次載人飛行任務(wù),

是工程立項(xiàng)實(shí)施以來的第30次發(fā)射任務(wù)，也是長征系列運(yùn)載火箭的第493次飛行.設(shè)火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與

燃料質(zhì)量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)

之差成正比?已知某火箭的箭體質(zhì)量為mkg,當(dāng)燃料質(zhì)量為mkg時(shí)，該火箭的最大速度為31n2km/s；當(dāng)

燃料質(zhì)量為祖（e-1）kg時(shí)，該火箭的最大速度為3km/s；當(dāng)燃料質(zhì)量為m（e4-l）kg時(shí)，則火箭的最大速

度為（）

A.10km/sB.llkm/sC.12km/sD.13km/s

8.已知函數(shù)/（x）=x+生，玉1c[2,a],3x2e[a,9]（2<a<9）,使/（%）/（々）2300成立,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是（）

A.（2,3]B.（2,4]C.（4,6]D,（4,9）

二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對得2分.

9.已知下列等式左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（）

,cosx1-sin%cl+sin2xl+2tan2x

A.----=------B.-......=---------

1+;sinxcosxsinxcosxtanx

C.sin（53°-光）=8$（37。+%）D.sin（60。=cos（48（T+x）

10.已知0<a<l<),則下列說法正確的是()

A.log/>log/B.ahba<aabh

Clog/+log/<-2D.coscosZ7+—>0

I2

11.已知函數(shù)〃x)=logi：t2,則下列說法正確的是(

§2一九

A,函數(shù)值域?yàn)镽

B.函數(shù)7(%)是增函數(shù)

C.不等式/(3x—1)+/(3力<0的解集為

?d+7］總+…+/㈢+/（T）+"0）+/⑴+/出+…+"擊］=0

12.定義在(0,+8)上的函數(shù)“X),對Vx,y>0,均有/(盯)=4(丁)+才⑴，當(dāng)％>1時(shí)，/(x)<0,

令g(x)=/@，則下列說法正確的是()

A.g(l)=0B.g(x)gQj>0

C.Va>0,g(a)<g(a+1)D,V?>0,neN*,g[an^=ng(?)

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案寫在答題卡相應(yīng)題的橫線上.

13.函數(shù)〃x)=4優(yōu)-3+5.>0),且awl)的圖象恒過定點(diǎn)p,點(diǎn)P又在累函數(shù)g(x)的圖象上，貝U

g(-2)=----------

14.若扇形的周長為10cm,面積為6cm2，圓心角為a[0<a<萬J,則夕=.

15.若關(guān)于x的不等式21og。%>(x-Ip恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

16.用“(%)表示/(x),g(x)中較大者，記為/(x)=max{/(￡),g(x)}.已知函數(shù)

M(x)=max{e|x+21+2-e,-x2-4x-1},若關(guān)于x的方程"2(可+力0(司+6=0有8個(gè)相異實(shí)根，則

實(shí)數(shù)人的取值范圍是.

四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明.解答過程或演算步驟.

17.已知角a滿足cosa-sin。.

sin(6/-7i)cos(7i+(7)cosa--

⑴求------------------r~3n----『

的值;

tan(5兀-a)sin1—---fzI

(2)若ae(0,兀)，求sincr+coscr的值.

18.已知集合A={x|3a+l<x<2},B=|x|X+^<oj.

(1)當(dāng)a=-2時(shí)，求

(2)若4口3=4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3

19.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=a—gip(aeR).

(1)判斷了(九)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明;

(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)/(%)為奇函數(shù)？若存在，求出。的值，若不存在，請說明理由.

20.果園A占地約3000畝，擬選用果樹3進(jìn)行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多可種植36棵，種

植成本y(萬元)與果樹數(shù)量了(百棵)之間的關(guān)系如下表所示：

X14916

y14.27.410.6

(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：y=ax+b與y=c?+d哪一個(gè)更適合作為>與x的函數(shù)模型;

(2)已知該果園的年利潤Z(萬元)與X,y的關(guān)系為z=2y-0.1x,則果樹數(shù)量X為多少時(shí)年利潤最大?

21.已知函數(shù)了⑺是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=e、.

(1)求函數(shù)y(x),g(x)的解析式；

’271『x11

(2)解關(guān)于x的不等式glogjX-logj—<flog/4og3二+-.

I9x)I927Je

22.已知函數(shù)/(%)=(尤2+x)e'+lnx—Lg(x)=xeX,(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))

(1)判斷函數(shù)g(x)在(0,+。)上的單調(diào)性(不必證明)；

⑵求證：函數(shù)了(%)在，內(nèi)存在零點(diǎn)%,且g(%o+l)=gIn：；

(3)在(2)的條件下，求使不等式2%0出一不如%)+(1—左)%—1之0成立的整數(shù)上的最大值?

(參考數(shù)據(jù):ln2?0.693,A/3?1.732)

高一數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.

全卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.考生作答時(shí)將答案答在答題卡上，在本試卷

上答題無效.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條

形碼區(qū)域內(nèi).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆

書寫，字體工整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；

在草稿紙、試題卷上答題無效.

4.作圖題可先使用2B鉛筆填涂，然后用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

第I卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合。=R,A=-}，吟則（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1}C.{1,2}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】由4={引x<0}得e4=何x?0}；

又5={-2,—

所以（七人）門5={0,1,2}.

故選：A.

2.命題“土>0,%2+2%-520”的否定是（）

A.Vx>0,X2+2X-5>0B.Vx>0,X2+2X-5<0

C.3x>0,x2+2x-5<0D.3%<0,x2+2x-5<0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的關(guān)系直接寫出原命題的否定.

【解析】原命題的否定是：Vx>0,x-+2x-5<0.

故選：B

57r

3.若角三的終邊上有一點(diǎn)（—3,。），則實(shí)數(shù)。的值為（）

6

A.—有B.一"C.且D.73

33

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函數(shù)定義列方程即可得解.

【解析】由題意結(jié)合三角函數(shù)定義得tan2=-3=g，解得a=石.

63-3

故選：D.

z、lx—11—2,x0

4.函數(shù)/（%）=1；2c的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

log5x+3x-x,%>0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】xWO時(shí)，可以直接求出零點(diǎn)，x>0時(shí)，通過圖象即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)

果.

【解析】當(dāng)尤V0時(shí)，

令卜-1|-2=0,解得*=一1或3（舍）,

所以xWO時(shí)，/（%）有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)%>0時(shí),令/(X)=0,得logs為=爐-31,

作y=log5X和y=f—3x圖象如下,

所以x>0時(shí)，/（%）有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，八工）共有3個(gè)零點(diǎn).

故選：C

5.已知lga+lgb=O,則（a>0，且awl）與g（x）=log/（b>0,且8力1）

的圖象可能為（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用對數(shù)運(yùn)算得到6=—,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng).

a

【解析】因?yàn)閘ga+lgb=O,

所以一lga=lgb,b=-,

a

若0<6<1,則0<工<1,排除C,

a

若萬〉1,則,〉1,排除AB.

a

故選：D

。IQIt<）7.0

6.設(shè)根-,n=-12,命題p:a>〃，命題4：。/?<機(jī)〃，則。是4的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由題意通過作差法得出命題q：。6<根〃的充要條件為出b,結(jié)合充分不必要條

件的定義即可得解.

r加七、4日甬止,,2a+362b+3a6a2+6b~+13ab

【解析】由題扇<mnoab<-----------------------

5525

o6a2+6b2+13ab>25abo(a—>0=aHZ?,

即命題4：必<"2〃的充要條件為標(biāo)b,

所以命題p：a>b是命題q:ab<mn的充分不必要條件.

故選：A.

7.2023年10月26日11時(shí)14分，搭載神舟十七號載人飛船的長征二號F遙十七運(yùn)載火箭在

酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功入軌.這次任務(wù)是我國載人航天工程進(jìn)入空間站應(yīng)用與發(fā)

展階段的第2次載人飛行任務(wù)，是工程立項(xiàng)實(shí)施以來的第30次發(fā)射任務(wù)，也是長征系列運(yùn)

載火箭的第493次飛行.設(shè)火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與燃料質(zhì)量的和，在不考慮空氣阻力的條件

下，燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比.已知某火箭的

箭體質(zhì)量為mkg,當(dāng)燃料質(zhì)量為mkg時(shí)，該火箭的最大速度為31112km/s；當(dāng)燃料質(zhì)量為

機(jī)(e-l)kg時(shí)，該火箭的最大速度為3km/s；當(dāng)燃料質(zhì)量為加(e4-l)kg時(shí)，則火箭的最

大速度為()

A10km/sB.11km/sC.12km/sD.

13km/s

【答案】C

【解析】

【分析】燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比，可設(shè)出函

數(shù)模型，代入可得函數(shù)解析式，進(jìn)而得解.

【解析】設(shè)當(dāng)燃料質(zhì)量為xkg時(shí)，火箭的最大速度為ykm/s,

則y-yQ=^[ln（x+m）-ln（x0+m）],

又當(dāng)燃料質(zhì)量為mkg時(shí)，該火箭的最大速度為31n2km/s；當(dāng)燃料質(zhì)量為，〃（e-l）kg時(shí)，

該火箭的最大速度為3km/s；

所以3-31n2=k[ln（?7e—m+7n）—ln（m+根）],

解得左=3,

所以y-31n2=3[ln（x+m）-ln（2m）],

令x=/"（e，—1）,貝！|y-31n2=3[in（me，-m+/n）-ln（2m）J,

y=3[4-ln2]+31n2=12,

故選：C.

8.已知函數(shù)〃x）=x+—,羽e[2,a],切e[a,9]（2<a<9）,使〃菁）/（々）2300

X

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,3]B.（2,4]C.（4,6]D,（4,9）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)/（x）=x+史在[2,9]內(nèi)的單調(diào)性與最值情況，所以

X

/（^）max=/（2）=30,"9）=13,根據(jù)不等式能成立，可得，3x2e[a,9],所以

/（9）=15,可得4=3,進(jìn)而可得參數(shù)范圍.

【解析】由已知當(dāng)x?2,9]時(shí)，/（%）=%+—>2^6=12,當(dāng)且僅當(dāng)*=羽，即x=6

時(shí)等號成立，

且〃x）=X+生在（2,6）上單調(diào)遞減,在（6,9）上單調(diào)遞增，

又f（2）=2+m=20,/（9）=9+^=13</（2）,

所以〃x）=x+史在[2,可上的最大值為"2）=20,

又叫e[2,a],居e[a,9],使/（%）/（々）2300成立,

即/?。?〃切2300,

所以±24a,9］,使/（%）=15,即〃%）在［。,9］上的最大值/（。）215,

即。H215,角軍得Q?3或QN12,

a

又2<〃<9,

所以aw（2,3],

故選：A.

二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分.

9.已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（）

cosx1-sinxl+sin2xl+2tan2x

A.--------二-------B.-----=------

1+sinxcosxsinxcosxtanx

C.sin（53。-%）=8$（37。+%）D.sin（60。-x）=cos（48（T+x）

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A、B,由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡證明即可，對于C、D,由誘導(dǎo)

公式進(jìn)行化簡證明即可.

【解析】對于A,

cosxcosx（l-sinx）cosx（l-sinx）cosx（l-sinx）1-sinx

1+sinx（l+sinx）（l-sinx）l-sin2xcos2xcosx

對于B,1+sin-_（si^x+cos?X+sii?%_cos?x+Zsii?%_l+Ztan?%.故B正確；

sinxcosxsinxcosxsinxcosxtanx

對于C,sin（53°—x）=sin[90°—（37°+x）]=cos（37°+x）,故C正確；

對于D,cos（480°+x）=cos（120°+x）=cos[180°—（60°-x）]=—cos（60°-x）,故D錯

誤.

故選：ABC.

10.已知0<。<1<〃，則下列說法正確的是（）

haab

A.log/>log/B.ab<ab

C.log/+log/<-2D.cos^cos/j+-1j>0

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,C,利用特殊值。=4力=2進(jìn)行判斷；對于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2

進(jìn)行判斷；對于D,根據(jù)cos6+^|的范圍判斷cos[os6+￡]的符號.

【解析】對于A,C,由0<。<1<〃，令。=5力=2,則log2=log/=-1,

log步+log/=-2,故A,C錯誤；

對于B,由0<。<1<〃，0<ab<aa>0<ba<bb<所以故B正確；

〃[a3兀

對于D,由0VQV1<Z?,得0<—<—，—1VcosZ?<1,—l<cosbn—<—<—，所以

22222

cos"osZ?+〉0,故D正確.

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(x)=logi/二，則下列說法正確的是()

32—X

A.函數(shù)/(%)值域?yàn)镽

B.函數(shù)“X)是增函數(shù)

C.不等式"3》—1)+〃3力<0的解集為

D.

小盛]+/[圭>…+/㈢+"T+/⑼+/⑴+/出+…+”屈=o

【答案】ACD

【解析】

2+x

【分析】對于A,令/=三三川€(—2,2),利用換元法和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得；對于

2+尤

B,令。=一二，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可；對于C,利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

2-x

進(jìn)行解不等式；對于D,由〃-力+/(力=0即可求解.

【解析】對于A,令"巖,2,2),又因?yàn)?§三=-1-士在(—2,2)上遞增，

所以/e(O,+8),由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，>=1°8,的值域?yàn)榭?，故A正確；

對于B,因?yàn)?=言=-1-4在(-2,2)上遞增，>=腕/在(0,+8)上遞減，由復(fù)合

函數(shù)的單調(diào)性可知，/(》)=1。81蘭2為減函數(shù)，故B錯誤；

T2-x

對于C,因?yàn)椤▁）=log1T-的定義域?yàn)椋ā?,2）,且/（一￡）=1081；^—,

Zl—XZ+X

2|_-JQ

f（x）+f（-x）=logl--+log,-_-=logj=0,所以“力為奇函數(shù)，且〃%）在

3%33

（-2,2）上為減函數(shù)，

不等式/（3x—1）+/（3力<0等價(jià)于/（3%—1）<—/（3x）即/（3%—1）</（―3司，

3x—1>—3x

1?

等價(jià)于〈―2<3x—1<2,解得—<九<—,故c正確；

63

—2<3x<2

對于D,因?yàn)椤ā?/（力=。且"0）=0,所以

小盛"［圭卜…+/㈢+"T+/⑼+/⑴+/出+…+”屈=o

,故D正確.

故選：ACD.

12.定義在（0,+8）上的函數(shù)了（%）,對Vx,y>0,均有/（盯）=4（y）+W（x），當(dāng)％〉1

時(shí)，/（%）<0,令g（x）=/H,則下列說法正確的是（）

X

A.g（l）=0B.g（x）gR卜0

C.Va>0,g（a）<g（a+l）D.X/Q>0,〃￡N,g⑷

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)對Vx,y>0,均有/(盯)=獷(丁)+討(力，且g(x)=/^,令x=y=l,

JC

即可得g(l)的值，從而判斷A；令y」得了,，［=獷1口+，/("=0,則

XkXJ\XJJC

/(-|=-4/(x)-于是可化簡且⑴81］的式子，從而可判斷B；令x=a+l,y=L

結(jié)合當(dāng)x〉l時(shí)，/(x)<0,可得qf(a+l)—(a+l)/(a)<0，則可得g(a),g(a+l)的

大小關(guān)系，從而可判斷C；利用歸納法推出/(a")=w"T/g),從而可判斷D.

【解析】對Vx,y>0,均有/(盯)=4(y)+W(x),令x=y=l可得

/(1)=/(1)+/(1),所以/(1)=0,則g(i)=平=0,故A正確；

Vx,y>0,可令y=」得/(%一］=?(—］+—/(x)=0,所以/(一］=—^/(工)，

XkXJ\XJX\XJX

小〕

則8(/￡1=#,卡=〃"/〔￡1=〃“)］一口(”?一口2(”。，

X

故B不正確；

令％=〃+l,y=L可得

a

S+1)。+—/(tz+l)=(Q+1)I0二"+1)—(。+1)”〃)

aa2

因?yàn)楫?dāng)％>1時(shí)，/(x)<0,

又Va>0,^^=l+，>l,所以

aa\a)

故歹(a+l)—y+l)〃a)<0,所以4(a+l)—(a+l)/(a)<0,

a

所以Va>O,g(a+l)-g(a)=\-+=/(%)〃。,則

g("+l)Vg(Q),故C不正確;

令％=y=a,得/(々2)=4(々)+4(々)=24(々)，貝！J

/(4)二療(〃2)+//(〃)=3〃2/(々)，/(々4)=12/(〃2)+42/([2)=4〃3/(a),

以此類推可得：=

r*/八f(a)na〃。)也4=飴(。)，故D正確.

所6以rIX/〃>O,〃eN,g(〃)=--~-=------

')an

故選：AD.

【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：本題的關(guān)鍵是利用合理賦值、作差法并結(jié)合其所給性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案寫在答題卡相

應(yīng)題的橫線上.

13.函數(shù)/(%)=4優(yōu)-3+5(。＞。)，且a/l)的圖象恒過定點(diǎn)p,點(diǎn)尸又在幕函數(shù)g(x)的

圖象上，則g(-2)=.

【答案】4

【解析】

【分析】由己知求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出g(x),從而可得結(jié)果.

【解析】由x—3=0,得x=3,所以定點(diǎn)尸(3,9),

設(shè)g(x)=x",又g(3)=3"=9,得a=2,所以g(x)=f,

所以g(—2)=(—2)2=4,

故答案為：4.

14.若扇形的周長為10cm,面積為6cm之，圓心角為&］。＜&＜,則夕=.

4

【答案】一

3

【解析】

【分析】由扇形的周長和面積公式進(jìn)行求解即可.

【解析】設(shè)扇形的半徑為，

1,

因?yàn)樯刃蔚闹荛L為ar+2r=10,扇形的面積為一1廣=6,

2

ar+2r=Wr=3

r=2TV4

由<12A得一a=3或4，又因?yàn)?＜。＜一,所以&=一.

—ar=o?=-23

I23

4

故答案為：一.

3

15.若關(guān)于x的不等式21ogflx>(X-1)?恰有1個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】［73,4)

【解析】

【分析】分。<。<1和a>1兩種情況作出圖象，根據(jù)不等式的解集即可求解.

【解析】當(dāng)。<°<1時(shí)，作出y=21og“x和y=(x—I?的圖象，

由圖像可知210gM>(x-Ip沒有整數(shù)解，不符合題意;

當(dāng)時(shí)，作出y=21og.x和y=(x—l)2的圖象,

因?yàn)?10gM〉(％-1)?恰有1個(gè)整數(shù)解，

所以x=2是不等式的整數(shù)解,

2

21oga2＞（2-l）

所以《解得上<a<4，

2

21ogfl3＜（3-l）

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是［6,4b

故答案為：［6,4)

16.用/(%)表示/(x),g(x)中的較大者，記為"(%)=111作{/(%)送(左)}.已知函數(shù)

M(x)=max^e'A+2l+2-e,-x2-4x-1j,若關(guān)于x的方程加2(力+旬0(力+6=0有8

個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)h的取值范圍是.

【答案】(-5,-276)

【解析】

【分析】由題意設(shè)/(x)=J+N+2—e,g(x)=—/—4x—l=—(x+2)2+3,根據(jù)對稱軸、

單調(diào)性等知識畫出圖象，由題意當(dāng)且僅當(dāng)M(X)=%,M(X)=/2是關(guān)于M(x)的方程

知2(月+初0(司+6=0的兩個(gè)根，2</"2<3,/尸小進(jìn)一步換元分離參數(shù)，并結(jié)合對

勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【解析】由題意設(shè)/(x)=eHl+2—e,g(x)=—/—4x—i=—(x+2)2+3,

由此可知f(x),g(x)的對稱軸均為x=-2,

且當(dāng)尤<—2時(shí)，/(九)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>-2時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，

且/(-3)=g(-3)=/(-l)=g(-l)=2,由此可以畫出這兩函數(shù)的大致圖像如圖所示：

eM+2-e,x<-3

所以M(x)=max+2-e,-4%-=<-%2-4x-l,-3<x<-l,

/+2+2—e,x>一1

所以直線y=與函數(shù)y=V(x)至多有4個(gè)不同交點(diǎn)，

關(guān)于“(九)的方程"2(%)+初0(力+6=0至多有2個(gè)不同的根，

由題意若關(guān)于X的方程“2(X)+旬0(力+6=0有8個(gè)相異實(shí)根，

則當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)關(guān)于x的方程M(x)=4，M(x)=/2共有8個(gè)不同的根，

其中3)=g(—3)=/(—l)=g(—l)=2<./2<g(—2)=3/戶小

2

=(x)=t2是關(guān)于M(x)的方程M(X)+/JM(X)+6=0的兩個(gè)根，

令/=Af(x),則關(guān)于『的方程/+4+6=0有兩個(gè)不同的根2<%/<3,%wJ，

即6=有兩個(gè)不同的根2〈九弓<3,4/J，

設(shè)力(‘)=—'+：]，由對勾函數(shù)性質(zhì)得，

當(dāng)2</<幾時(shí)，丸(。=—[+■1]單調(diào)遞增，當(dāng)?</<3時(shí)，/?(/)=—[+：]單調(diào)遞減,

所以//("max=丸(布)=一2斯，/l(2)=/l(3)=-5,

所以6=-。+]]有兩個(gè)不同的根2<t[,t]<3,：wt2,

當(dāng)且僅當(dāng)“(2)=/z(3)=-5</?<W)max=k(巫)=-2底,

綜上所述：實(shí)數(shù)b的取值范圍是”,-2").

故答案為：卜5,-2").

【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：關(guān)鍵是分析出直線y=，/eR與函數(shù)y=M(x)至多有4個(gè)不同的交

點(diǎn)，

關(guān)于“(九)的方程"2(%)+初0(力+6=0至多有2個(gè)不同的根，

由此可將題目等價(jià)轉(zhuǎn)換為6=一有兩個(gè)不同的根2<aJ2<3,4w凸，從而即可順利

得解.

四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.

17.已知角。滿足cosa-sina=—.

sin(。一兀)cos(兀+a)cosa--

(1)求------------------(37tl的值;

tan(5兀一a)sin[----orI

（2）若二￡（0,兀），求sino+cosa的值.

【答案】（1）--

【解析】

【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡，再由

（cosa-sina）2=l-2sinacosa即可得到結(jié)果.

(2)由(cosa+sina)2=l-2sinacosa及sinacos。>0,ae(0,7i)即可得到結(jié)果.

【小問1解析】

一sina(-cosa^sina

原式二

一tanacos。

Sin26ZCOS6Z

—：---------=-sincrcoscr.

sin。

-------coscr

cosa

1

,/cos。-sina=—

5

/.(cosa-sin"=1-2sinacose=sinocosa=-

2525

原式=.

25

【小問2解析】

1249

(sin。+coscif)2=1+2sinocosor=l+2x—=—

/\12

?「ae(0,7i)且sinacoscif=—>0,

GI0,-1-1,/.sina+cosa>0,

,sin…a=、僧」

V255

18.已知集合4={乂3。+1<%<2},3=1%|^~|40

（1）當(dāng)。=—2時(shí)，求Au8;

（2）若=求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）AoB={^|-5<x<3}

⑵[-1,+?)

【解析】

【分析】（1）化簡集合，利用并集運(yùn)算求解即可;

（2）由=4可得然后利用A=0與A/0兩種情況討論即可.

【小問1解析】

x+2,八

-------<0,

x-3

(%+2)(%—3)<0且1w3,

—2<jvv3,

B={x|-2<x<3},

當(dāng)〃二一2時(shí)，A={x|—5<x<2},

AoB={x|-5<x<3}.

【小問2解析】

?：Ar\B=A.:.A(^B.

由(1)知5={犬|一2<%<3},XA={x\3a+1<%<2}.

則當(dāng)3a+l<2即時(shí)，A/0,

3

3a+12—2

要使AoB,則1^-l<a<~.

〃<一3

I3

當(dāng)3。+122即1時(shí)，A=0,滿足AuB.

3.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為[-1,”)

3

19.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)=a—右ip(aeR)-

(1)判斷了(%)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；

(2)是否存在實(shí)數(shù)。使函數(shù)7(%)為奇函數(shù)？若存在，求出。的值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)/(%)是R上的增函數(shù)，證明見解析

3

(2)存在實(shí)數(shù)。=不

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)單調(diào)性的定義直接證明即可；

(2)法一：利用奇函數(shù)的定義可得參數(shù)值；法二：利用特值法，令/(0)=0可得解.

【小問1解析】

由/'(x)=a—下工可知，"％)是R上的增函數(shù).

證明：設(shè)VXp/eR,且看<々，

則上)—小)="上田―

八"J(3^+lJ[3^+1)付+1)(3*+1)

^.^y=3x在R上單調(diào)遞增，且石<々，

...3%<3也，即3.一3*<0，

又?.3'+1>0，3*+1>0，

，/(%)一/(%2)<。，即/(%)</(々)，

???當(dāng)。為任意實(shí)數(shù)時(shí)，“X)是R上的增函數(shù).

【小問2解析】

法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)。使〃可為奇函數(shù).

3<3

對VxeR,由=得=

3-3x3

Cl—=—dH-----

3X+13V+1

3-3x333+33

即2a=-----------1-----------Cl——,

3、+l3l+l3X+12

3

存在實(shí)數(shù)。,使/（%）為奇函數(shù).

法二：假設(shè)存在實(shí)數(shù)。使〃可為奇函數(shù).

???〃龍）的定義域?yàn)镽,

/（0）=a—T--=0,:.a=—,

''3°+12

當(dāng)"5時(shí)‘?。?5一門’

則人—工=￡3小3>3

1723-x+l23X+121+3，

=--3+^-=--+^—=-/（x）,

23X+123V+1'）

3

存在實(shí)數(shù)a=5使/（%）為奇函數(shù).

20.果園A占地約3000畝，擬選用果樹B進(jìn)行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多

可種植36棵，種植成本y（萬元）與果樹數(shù)量x（百棵）之間的關(guān)系如下表所示：

X14916

y14.27.410.6

（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：y=ax+人與y=c?+d哪一個(gè)更適合作為y與x的函

數(shù)模型；

（2）已知該果園的年利潤Z（萬元）與X,y的關(guān)系為z=2y—0.5,則果樹數(shù)量X為多

少時(shí)年利潤最大？

【答案】（1）y=cgd比y=ax+b更適合作為y與x的函數(shù)模型.

（2）1024百棵

【解析】

【分析】（1）分別代入數(shù)據(jù)，確定對應(yīng)回歸方程，進(jìn)而確定模型;

（2）根據(jù)確定的函數(shù)模型，進(jìn)而可得z=-64?+44）,再利用換元法，結(jié)合二次

函數(shù)性質(zhì)可得最值情況.

【小問1解析】

①若選擇y=ox+人作為y與x的函數(shù)模型：

16

CL---

1=a+b"，所以

將點(diǎn)（1,1）,（4,4.2）的坐標(biāo)分別帶入y=+得＜c,解得,

4.2=4〃+/?

b=---

15

161

y=—x----

1515

143

此時(shí)當(dāng)x=9時(shí)，y=—^9.53,當(dāng)x=16時(shí)，y=17,所得數(shù)據(jù)分別與表格中的7.4和

10.6相差較大.

②若選擇y=c4+d作為＞與x的函數(shù)模型:

16

c=一

1=c+d5

將（1,1）,（4,4.2）的坐標(biāo)分別帶入＞=°?+1，得＜,ccJ解得＜

4.2=2c+d,11

a二--------

5

16廠11

y——Vx----,

55

3753

此時(shí)當(dāng)x=9時(shí)，丁=彳=7.4,當(dāng)x=16時(shí)，y=《=10.6,所得數(shù)據(jù)分別與表格中的7.4

和10.6相符合.

綜上所述，y=cgd比y=ox+人更適合作為，與x的函數(shù)模型.

【小問2解析】

由題意，該果園最多可種3000x36=108000棵該品種果樹，故xe[0,1080],

由（1）知，需選用的y與X的模型為y=—與，

z=2y-0.1x=]?-g一±*=一*卜一64。+44）,

令/=[0,1080],6回]

64/+44)=」”32)2+98,回0,6炳］.

10V)10V)

當(dāng)/=32,即尤=1024時(shí)，zmax=98(萬元).

又?.?102400+3000a34,

???當(dāng)果樹數(shù)量為1024百棵(每畝約34棵)時(shí)，年利潤最大.

21.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且

/(x)+g(x)=ev.

(1)求函數(shù)/(%),g(x)解析式；

’27、(x)1

(2)解關(guān)于x的不等式glog/」og3——<flog^-logj—+-.

I9x)I9271e

【答案】(1)

e'+e^

g(x)=

2

(2)(3,9).

【解析】

【分析Ml)由題意，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，可得/(—x)+g(-x)=-/(x)+g(x)=eT,

結(jié)合已知解方程組可解;

(2)由題意得,glOg/」Og3——-fTog/?log3一<-,令

I9XI9X)e

t=\og1X-\og3一—,解得看<一1,再解log]%」og3—<—1即可.

§%e9x

【小問1解析】

是奇函數(shù),g(%)是