滬科版九年級數(shù)學重難點專項突破：相似三角形中的“一線三等角”模型（解析版）

重難點專項突破08相似三角形中的“一線三等角”模型

D【知識梳理】

一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，

也可以是銳角或鈍角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看著是“一線三等角”中當角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形

形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：

當題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往

是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉(zhuǎn)化。

一般類型：

同側(cè)“一線三等角”異側(cè)”一線三等角”

、一【考點剖析】

ADRFQ

例1.如圖，直角梯形A8CD中，AB//CD,NASC=90。，點E在邊BC上，且——=—=-,AD=10,

ECCD4

求AA￡E＞的面積.

【答案】24.

【解析】ZABC=90,AB//CD,

NDCB=ZABC=9O'.

又..空二匡=工，:.AABEsgCD.

ECCD4

ZAEB=AEDC....絲=絲=3.

EDEC4

ZEDC+ZDEC=90,

ZAEB+ZDEC=90.ZAED=90.

在RAAED中，VAD=10,:.AE=6,ED=8.=24.

【總結(jié)】本題考查一線三等角模型的相似問題，還有外角知識、平行的判定等.

例2.已知：如圖，是等邊三角形，點小￡分別在邊6C、47上，//配'=60°.

(1)求證：叢ABDs叢DCE；

(2)如果力6=3,EC=Z求2c的長.

3

A

BDC

【分析】(1)AA3c是等邊三角形，得到/6=/C=60°,AB=AC,推出/的。=/切￡,得到△/初s4

DCE-,

(2)由△/初s△比瓦得到理=絲，然后代入數(shù)值求得結(jié)果.

ABDC

【解答】(1)證明：:△/勿是等邊三角形，

：.ZB=ZC=60°,AB=AC,

VAB+ZBAD=ZADE+ZCDE,/B=NADE=60°,

J.ZBAD^ACDE

:.叢ABMXDCE；

(2)解：由(1)證得即s^OCE,

.BD=CE

ABDC"

設(shè)CD=x,則BD=3-x,

2_

??3?~x-_--3，

3x

x=1或x=2,

；.%=1或%=2.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應用.

例3.已知，在等腰AABC中，AB=AC=10,以8C的中點。為頂點作NEDF=N3,分別交AB、AC于點

E、F,AE=6,AF=4,求底邊BC的長.

【答案】4A/6.

［解析］ZEDC=ZB+ZBED,

而ZEDC=ZEDF+ZFDC,

ZB+ZBED=ZEDF+ZFDC.

又ZEDF=ZB,：.ABED=ZFDC.

AB=AC,:.NB=/C.

RFRD

：.NEDBS^DCF.「.——=—.

DCCF

10-6_BD

:.DGBD=24.

DC-10-4

5L-：CD^DB^-BC,:.BC=4s/6.

2

【總結(jié)】本題是對“一線三等角”模型的考查.

【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共3小題）

1.（2020?安徽?校聯(lián)考三模）如圖，。為AABC的邊AC上一點，AB=BC=CD=4,ZDBC=2ZA,則

3D的長為（）

A.-2+2百B.-2-2A/5C.2+2有D.75-1

【答案】A

【分析】根據(jù)已知證明回ADB回回ABC,禾!］用登=當代值求解即可.

ACBC

【詳角軍】團AB=BC=CD=4,

回團A二團C,團DBC二團BDC,

釀DBC=2回A,

團團BDC二回A+R1ABD=2回A,

團團ABD二團A二團C,

團團ADB團團ABC,AD=BD

ABBD

團---=---,

ACBC

4x

設(shè)BD=AD=x,則一=:，即Y+4尤-16=0,

x4

解得：%=—2+2石，w=—2—26（不符題意，舍去），

EIBD=-2+2A/5,

故選：A.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，熟練掌握相似

三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

2.（2017?利辛縣一模）如圖，D、E、產(chǎn)分別是等腰三角形ABC邊BC、CA、AB上的點，如果A8=AC,

BD=2,CD=3,CE=4,/FDE=NB,那么AF的長為（）

2

【分析】注意到△雙加與△CEO相似，禾IJ用相似比求出所，然后得出AF的長度.

【解答】解：??.AB=AC,

:.NB=NC,

；/FDE=NB,

：.ZBDF+ZBFD=ZBDF+ZEDC,

:./BFD=NCDE,

:.ABDFs叢CED,

?.?-B-F--B-D,

CDCE

?.?-B-F-21,

34

：.BF^1.5,

：.AF=AB-BF=AC-BF=AE+CE-BF=4.

故選：B.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.識別出圖形中的

“一線三等角”模型從而得出三角形相似是解本題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?瑤海區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，/54C=90°,AB=AC=4,點。是邊BC上一動點（不

與B,C重合），NAOE=45°,OE交AC于點E,下列結(jié)論：①△ADE與△ACD一定相似；②AABD

與△￡）可一定相似；③當AO=3時，CE=L④0CCEW2.其中正確的結(jié)論有幾個？（）

4

A

BDC

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】利用有兩個角對應相等的兩個三角形相似可以判定①②正確；根據(jù)相似三角形對應邊成比例，

利用得出比例式求得AE的長，進而得出③正確；利用判定③正確的結(jié)論，通過分析

的取值范圍即可得出④正確.

【解答】解：,.?/BACugO。，AB=AC=4,

.\ZB=ZC=45°

,5C=^AB2+AC2=4./^.

VZA￡)E=45°,

AZADE=ZC=45°.

'：ZDAE=ZCAD,

：.AADE^/\ACD.

.?.①正確；

VZAZ)￡=45°,

/.ZADB+Z￡DC=18O°-45°=135°.

"8=45°,

/.ZADB+ZBAD=1SO°45°=135°.

/BAD=ZEDC.

'：ZB=ZC,

：.AABD^^DCE.

.??②正確；

由①知：AADE^AACD,

.ADAC

AE"AD'

:.AD2=AE-AC.

：.AE=^~.

4

J.EC^AC-AE=4-且=

44

.?.③正確；

:點。是邊BC上一動點(不與B,C重合)，

：.0<AD<4.

垂線段最短,

.?.當A。，8c時，4。取得最小值=2BC=2J5.

2.

.?.2A/2<AD<4.

\'AD2=AE*AC,

.A￡=ADi=Api.

AC4

-E<4.

'：EC^AC-AE=4-AD1,

4

：.0<CE^2.

...④正確.

綜上，正確的結(jié)論有：①②③④.

故選：A.

【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，利

用有兩個角對應相等的兩個三角形相似進行相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共2題）

4.（2022?安徽?九年級專題練習）如圖，矩形A8C。中，AB=8,AD=4,E為邊上一個動點，連接BE,

取BE的中點G,點G繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點尸，連接CR在點E從A到。的運動過程中，點G的

運動路徑=,ACEF面積的最小值是.

【分析】連接20,取2。的中點M,A2的中點N,連接MN,因為GN為0ABE的中位線，故G的運動路

徑為線段MN；過點尸作的垂線交AD的延長線于點”，貝幗EEH0SEBA,設(shè)AE=x,可得出回C￡R面積

與無的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值.

【詳解】解：連接B。，取的中點M,的中點N,連接MN,

aE為邊4。上一個動點，點E從A到。的運動，G是8E的中點

回當E在A點時，8E與A8重合，G與的中點N重合，

當E運動到。點時，BE與BD重合,G與的中點M重合，

回￡在從A到。的運動過程中，為0ABE的中位線，

回例V=L〃=2.

2

故G的運動路徑=2,

過點F作AD的垂線交AD的延長線于點H,

00A=0H=9O°,0F￡B=9O",

SEFEH=90°-S\BEA=SEBA,

00FE/J30EBA,

HFHEEF

團---------=----

AEABBE'

???G為班的中點,

:.FE=GE=^BE,

HFHEEF1

團----=---------=—

AEABBE2'

設(shè)AE=x,^\AB=8,AD=4,

^\HF=-x,EH=4,

DH=AE=x,

■■S^CEF=SDHFC+S&CED-^EHF

=—x(~^+8)+—x8(4-x)-—x4?—x

2

1

=—%9+4x-16-4x-x

4

——%2—X+16,

4

Y=_____=21

團當c1時，回CEP面積的最小值=—x4-2+16=15.

2x—4

4

故答案為：2,15.

【點睛】本題通過構(gòu)造K形圖，考查了三角形的中位線和相似三角形的判定與性質(zhì)，建立團CEP面積與AE

長度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?安徽淮北?九年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形A8CD中，&4=回。=120。，AB=6、AO=4,點

E、廠分別在線段A。、DC1.（點E與點A、。不重合），若SBEF=120。，AE=x、DF=y,則y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式為

【答案】）=-！「+'1工

o3

【分析】根據(jù)題意證明△ABEs△DEF,列出比例式即可求得y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式

【詳解】解：:媯二回。=120°,[?]BEF=120o,

*.ZAEB+/DEF=NDEF+NDFE=60°

.\ZAEB=ZDFE

「/\ABE^/\DEF

AEDF

,AB-DE

AB=6、AD=4,AE=x>DF=y,

.九=y

64-x

1、

y4-Z4x）

i9

即y二一x2+-x（0<x<4）

63

故答案為：尸f+裊

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)

鍵.

三.解答題（共5小題）

6.（2021秋?大觀區(qū)校級期中）己知矩形ABC。的一條邊4。=8,將矩形ABC。折疊，使得頂點B落在C。

邊上的尸點處.如圖，已知折痕與邊BC交于點。，連接AP、OP、OA.

OCOP

(1)求證:=

PDAP

(2)若OP與B4的比為1：2,求邊A8的長.

【分析】(1)利用“一線三直角”證明△0CPs/\PD4,繼而得出匹=2E

PDAP

(2)利用相似三角形的性質(zhì)求出PC的長，設(shè)則。C=無，AP=x,DP=x-4,利用勾股定理列

出方程，解方程即可求得A3的長度.

【解答】(1)證明：由折疊的性質(zhì)可知，ZAPO=ZB=90°,

：.ZAPD+ZOPC^90°,

?..四邊形ABCD為矩形，

：.ZD=ZC=9Q°,

/.ZPOC+ZOPC^90°,

：./APD=NPOC,

：./\OCP^/\PDA,

.0C=OP.

"'PDAP'

(2)解：,:△OCPS^PDA,

?.?-P-C=-O-P-,

ADPA

：OP與必的比為1：2,AD=8,

.PC1

??----=---，

82

：.PC=4,

設(shè)貝|￡)C=x,AP=x,DP=x-4,

在RtZkAP。中，AP2=AD1+PD2,

.*.X2=82+(x-4)2,

解得：x=10,

：.AB=10.

【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊是一種軸對稱，

折疊前后的圖形對應角相等、對應邊相等，靈活運用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?揚山縣模擬）如圖1,在四邊形ABCD中，AC是對角線，且A8=AC.尸是邊上一動點，連

接ARDF,。尸交AC于點E,其中ND4尸=90°,ZAFD=ZB.

(1)求證：AC-EC=BF?CF；

(2)若AB=AC=10,BC=16.

①如圖2,DF//AB,求空的值;

AB

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出ZFCE,再根據(jù)NAFC=ZAFE+ZEFC=ZABF+ZFAB

得出證△ABf's△廠"，根據(jù)線段比例關(guān)系即可得出結(jié)論；

（2）①證得BF=^=^=竽，再根據(jù)CF=BC-BF4，最后利用平行線分線段成

比例得出里0得出結(jié)論即可；

ABBC

②過點A,。分別作AMLBC,DNA.FC,垂足分別為M,N,過點A作AGLON于點G,根據(jù)三角函數(shù)

得出tan/AFDM=tanB=與，證△人以口根據(jù)線段比例關(guān)系分別求出CT和ON的值即可求

AF4

出△OCF的面積.

【解答】（1）證明：：AB=AC,

，ZABF=ZFCE,

'：ZAFD=ZB,ZAFC=ZAFE+ZEFC=ZB+ZFAB,

:./EFC=/FAB,

.?.△FABsAEFC,

?.?-A-B--B-F-,

FCCE

即AB-EC=BF?CF；

(2)解：@"：DF//AB,

：.ZBAF=NAFE,

：.ZBAF=ZACB,

又：/ABF=/CBA,

：./\FAB^>/\ACB,

?.?-A-B--B-F-,

BCAB

?kAB210025

BC164

90

???CF=BC-BF*，

4

\'DF//AB,

39

?EF=CF=39.

''AB"BC=16=64,

②如圖，過點A,。分別作AMLBC,DNLFC,垂足分別為M,N,過點A作于點G,

在△ABC中，AB^AC,AM±BC,

...BM=CM=8,則AM=7AB2-BM2=6,

.DAM3

BM4

?：/AFD=/B,ZDAF=90°,

.AD3

tan/AFD=T^T=tanB二丁

AF4

VZAMN=ZGNM=ZAGN=90°,

???四邊形MNGA是矩形，

:?GN=AM=6,ZMAG=90°,

又???/剛。=90°,則NE4M+NMG=ND4G+NE4G=90°,

：.ZFAM=ZDAG.

又???NAME=NAGO=90°,

MFAMsADAG,

?.?-A-G--A-D---3-,

AMAF4

則AG”那

42

g

???MN=AG=］，

q7

貝必二選雁8號至，

?：DF=CD,

：.CF=2CN=7,

：.FM=CM-CF=T,

由△NWS/\D4G,

寸方一市一了

；.DG=^,

4

：.DN=DG+GN=2+6="

44

；?SADCF=IcF。DN=工x7義紅=^^.

2248

【點評】本題主要考查相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例等知識

是解題的關(guān)鍵.

8.(2017秋?固鎮(zhèn)縣月考)已知：如圖.△ABC是等邊三角形，點。、￡分別在邊BC、AC±,ZADE=60°

(1)求證：AABDSADCE；

(2)如果，AB=3,EC=2,求。C的長.

3

【分析】(1)ZXABC是等邊三角形，得到NB=/C=60°,AB=AC,推出N8A￡>=NCDE,得到△ABO

s&DCE；

(2)由得到里=S且，然后代入數(shù)值求得結(jié)果.

ABDC

【解答】解：（1）「△ABC是等邊三角形，

：.ZB=ZC=60°,AB=AC,

"：ZB+ZBAD=ZADE+ZCDE,ZB=ZADE=60°,

：.ZBAD=ZCDE

：.AABD^/\DCE；

（2）由（1）證得

.BD=CE

"ABDC，

設(shè)CD=x,則BD=3-x,

2

?3-x3

3x

；.x=l或尤=2,

經(jīng)檢驗，x=l或x=2是原分式方程的解，

或。C=2.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應用.

9.（2022秋?安徽滁州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在AABC中，CD,至于。，8ELAC于E,試說明：

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（1）AABE?AACD

（2）AD-BC^DE-AC

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定證明即可；

AJ7AR

（2）首先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出—=進而證明△AD￡I30ACB,最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

ADAC

可證明.

【詳解】解：（1）EICZM4B于D,8EHAC于E,

a3AEB=EIAOC=90°,

在AABE和△AC￡）中

ZADC=ZAEB=90°

ZA=ZA

配L43￡fflACD；

（2）回石