高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)的圖象 講義

2-8函數(shù)的圖象講義

【高考要求】L能夠判斷指定函數(shù)的圖象，也能根據(jù)圖象判斷適合的函數(shù)解析式；

2.會運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.

3.熟悉函數(shù)圖象變換，能根據(jù)圖象變換分析函數(shù)性質(zhì)；

【知識總結(jié)】

函數(shù)圖象變換

(一).平移變換

1.把函數(shù)y=K尤)的圖像沿x軸向左平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=/(x+a)(a>0)的圖像；

2.把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸向右平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=/(尤-a)(a>0)的圖像；

3.把函數(shù)>=加)的圖像沿y軸向上平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=/(x)+a(a>0)的圖像；

4.把函數(shù)尤)的圖像沿y軸向下平移a個(gè)單位得到函數(shù)y=/(尤)-a(a>0)的圖像；

(二).對稱變換

1.函數(shù)自身的對稱

(1)函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=a對稱=/(a+x)=/(a—x)=y(x)=/(2a—x)=/(2a+x)；

(2)若函數(shù)“x)的定義域?yàn)镽,且有<a+x)=/(i>—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=62對稱.

(3)函數(shù)(尤)的圖象關(guān)于(a,0)對稱尤)=C)e/(x)M2a—尤)=0=/(—x)92a+x)=0；

(4)函數(shù)大尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,6)成中心對稱+x)/a—尤)=2b^fi2a-x)+fix)=2b

2.兩個(gè)函數(shù)之間的對稱

(1)函數(shù)y=A尤)與函數(shù)g(x)=f(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱；

(2)函數(shù)y=/(元)與函數(shù)g(x)=-f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱；

(3)函數(shù)y=/(a+x)與g(x)=f(b-x)的圖象關(guān)于直線x=呼對稱；

(4)函數(shù)y=/(x)與g(x)=f(2b-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

(5)函數(shù)八彳)與函數(shù)g(x)=—f(—x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)對稱；

(6)函數(shù)y=/(元)與g(x)=2b-f(-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,b)對稱；

(7)函數(shù)y=/(x)與g(x)=2b—f(2匚-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱.

(三).翻折變換

(1)y=|/(x)|的圖像是將函數(shù)/(%)的圖像保留x軸上方的部分不變，將x軸下方的部分關(guān)于x軸對稱翻折上來

得到的(如圖(a)和圖(b))所示

(2)y=/(兇)的圖像是將函數(shù)/(x)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于y軸對稱得到函數(shù)

y=/(N)左邊的圖像即函數(shù)y=/(W)是一個(gè)偶函數(shù)(如圖(C)所示).

1.將y=/a)上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍得到y(tǒng)=A/U)(A>0).

2.將y=/U)上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(0<co<1)或縮短(3>1)到原來的工倍得y=f(cox)(o)>0).

Ci)

【常用結(jié)論】

【課前自測】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“義”)

⑴函數(shù)>=")|為偶函數(shù).(X)

(2)函數(shù)x)的圖象，可由y=/(—x)的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到.(X)

(3)當(dāng)xd(0,+8)時(shí)，函數(shù)y=|/(x)|與>=川功的圖象相同.(X)

(4)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱即函數(shù)y=/(x)與y=/(—x)的圖象關(guān)于y軸對稱.(X)

2.函數(shù)>=%)與>=k的圖象關(guān)于y軸對稱，再把y=/(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后得到函數(shù);y=g(x)的圖

象，貝!]g(x)=.

答案：e-x+i；解析：由題意可知元)=葭。

把y=/U)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后得到g(x)=e—(廠1)=屋，+1的圖象.

【考點(diǎn)題型】

考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象

【方法總結(jié)】函數(shù)圖象的作法

(1)直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是基本函數(shù)或函數(shù)圖象是解析幾何中熟悉的曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的一部

分)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象.

(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱變換得到，可利用圖象變換作出，

但要注意變換順序.對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析

式的影響.

2尤一1］

［例1］作出下列函數(shù)的圖象:⑴產(chǎn)=丁；(2)〉=/—2|x|T；(3)y=(w)w；(4)j=|log2(x+1)|.

象，即得函數(shù)2|x|—1的圖象，如圖.

⑶作出y=(1■廠的圖象，保留y=(；『圖象中x>0的部分，加上>=(；)，的圖象中尤>0部分關(guān)于y軸的對稱部

(4)將函數(shù)y=log加的圖象向左平移1個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得至I函數(shù)y=|log2(x+

1)|的圖象，如圖中實(shí)線部分.

考點(diǎn)二函數(shù)圖象的識別

【方法總結(jié)】識別函數(shù)圖象的方法

(1)直接根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，或者是根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象.

(2)間接法篩選錯誤與正確的選項(xiàng)可從如下幾個(gè)方面入手：

①從函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置，從函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置；

②從函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的上升、下降趨勢；

③從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性；

④從函數(shù)的周期性判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；

⑤從特殊點(diǎn)出發(fā)排除不符合要求的選項(xiàng).

⑶求解因動點(diǎn)變化而形成的函數(shù)圖象問題，既可以根據(jù)題意求出函數(shù)解析式后判斷圖象，也可以將動點(diǎn)處于某

特殊位置時(shí)考查圖象的變化特征后作出選擇.

注意：應(yīng)用極限思想來處理，達(dá)到巧解妙算的效果，使解題過程費(fèi)時(shí)少，準(zhǔn)確率高.

［例2］⑴(2024?全國甲卷理?真題T7)函數(shù)+(e"efsiru在區(qū)間［-2.828］的大致圖像為()

答案B解析/(-x)=-^2+(e--et)sin(-^)=-x2+(el-e-')sinA-=/(x),故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

又/⑴=-l+(eTsinl>T+(eTsi*故可排除D;故選：B.

(2)(2018?全國^)函數(shù)/U)=e9的圖象大致為()

答案B解析e"是奇函數(shù)，y=N是偶函數(shù)，.\/(x)=—不一是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A

選項(xiàng)；當(dāng)x=l時(shí)，/(l)=e—：>0，排除D選項(xiàng)；又e>2,.*.e—->1,排除C選項(xiàng).故選B.

(3)(2018?浙江)函數(shù)y=2%in2x的圖象可能是()

答案D角翠析由y=2%in2x知函數(shù)的定義域?yàn)镽,令/(x)=2%in2］,貝］/(—x)=2L*in(—2x)=-2Wsin2x,丁

y(x)=-/i-x),.?.凡r)為奇函數(shù)..\/(無)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A、B.4>?=2wsin2x=o,解得x=?■(左e

7T

Z),.?.當(dāng)A=1時(shí)，x=5，故排除C,選D.

(4)己知函數(shù)/U)的圖象如圖所示，則人元)的解析式可以是()

inivie"11

A.B.fix)=~C.>)=7-1D.f{x)=x~~

人，人人人

iy

——7oV7x

答案A解析由圖象知"x)為奇函數(shù)，排除B、C.若方則無一+s時(shí)，危)T+OO,排除D.

(5)(多選).已知定義在［-3,3］上的函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示.下述四個(gè)結(jié)論：()

A.函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)椋郇D2,2］B.函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［—1,1］

C.函數(shù)y=f(x)僅有兩個(gè)零點(diǎn)D.存在實(shí)數(shù)。滿足f(a)+f(-a)=O

由圖，y=f(x)的最大值大于2,最小值小于2,故值域不為[-2,2],故錯誤;

對B,函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[―1,1],故正確;對C,函數(shù)y=f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，故錯誤;

對D,f(0)+f(—0)=0成立，故正確；故選：BD

一2x32(—x)32X3.

答案：B；解析：:丁=加)=2%+2一中6,6],A-1)-2r+2.——2X+2X—―,汽彳)

2x4^128

是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C.當(dāng)x=4時(shí)，＞=虧戶=-----^G(7,8),排除選項(xiàng)A、D.故選B.

::16+記

2.(2018?全國III)函數(shù)y=—f+r+2的圖象大致為()

答案：D；

所以排除C項(xiàng).故選D.

Y2

3.函數(shù)＞=至一ln|x|的圖象大致為(

答案：D；解析：令兀v)=y=R—ln|x|,則八一x)=/(無)，故函數(shù)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B;當(dāng)無＞0且x-0

時(shí)，y—十(?,排除選項(xiàng)A;當(dāng)x=2/時(shí)，j=l-ln(2V2)＜l-lne=0,排除選項(xiàng)C.故選D.

4(多選).已知二次函數(shù)+c的圖象如下圖所示，則下列說法正確的是()

A.〃>4acB.ac>0C.人<。D.ci-b+c<G

答案：AD；解析：由圖可得“<0,f(0)=c>0,4>0，A=Z>2-4ac>0,f(.-l)=a-b+c<0

所以b>0,ac<0,故選：AD

x2,x>0

5.已知函數(shù)1,g（x）=—fi—x）,則函數(shù)g（x）的圖象是（）

x<0

答案：D；解析：法一:

題圖選項(xiàng)D中圖象.故選D.

法二：先畫出函數(shù)人））的圖象，如圖1所示，再根據(jù)函數(shù)尤）與一八一x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，即可畫出函數(shù)

一/（一尤），即g（x）的圖象，如圖2所示.故選D.

8.若函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示,則函數(shù)>=—y（x+l）的圖象大致為（)

答案：C；解析：要想由y=/（x）的圖象得到y(tǒng)=-/（x+l）的圖象，需要先將y=/a）的圖象關(guān)于x軸對稱

得到y(tǒng)=-/（x）的圖象，然后向左平移1個(gè)單位長度得到y(tǒng)=-A無+1）的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確.

考點(diǎn)三利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

【方法總結(jié)】利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)問題的思路

對于已知或解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)常借助圖象研究:

［例3］（1）已知函數(shù)"x）=M尤|一2無，則下列結(jié)論正確的是（）

A.八x）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0,+8）B.人尤）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（一8,1）

C.兀0是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（一1,1）D./U）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（一8,0）

［了2—2%,x>0,

答案C解析將函數(shù)於)=小|—2x去掉絕對值得'畫出函數(shù)危)的圖象，如圖,

［—x~2x,x<0,

觀察圖象可知，函數(shù)兀0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)兀X)為奇函數(shù)，且在(一1,1)上單調(diào)遞減.

2^—1

(2)設(shè)函數(shù)y==p關(guān)于該函數(shù)圖象的命題如下:

①一定存在兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線平行于x軸；②任意兩點(diǎn)的連線都不平行于y軸；③關(guān)于直線y=x對稱；④關(guān)

于原點(diǎn)中心對稱.其中正確的是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

2r—12)+34

答案B解析y=一丁=」2(一Y—~一=2+T，圖象如圖所示，可知②③正確.

%—2x~2x~2

⑶大幻=1042在區(qū)間［徵，4］上的值域?yàn)椋邸?,2］,則實(shí)數(shù)小的取值范圍為_________.

——%，+-%+-,%>—1

333

答案［—8,-1］解析作出於)的圖象，當(dāng)爛一1時(shí)，段)=/0出(一》單調(diào)遞減，且最小值為八-1)=一1,則

令，。。2(-：)=2,解得％=—8;當(dāng)x>一1時(shí)，函數(shù)於)=—￥+++,在(一1,2)上單調(diào)遞增，在［2,+oo)上遞減，

2

則最大值為月2)=2,又/(4)=w<2,/(-1)=-1,故所求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為［-8,-1］.

考點(diǎn)四利用函數(shù)圖象解決方程根的問題

【方法總結(jié)】利用函數(shù)的圖象解決方程根問題的思路

當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程40=0的根就是函數(shù)式幻圖象與X軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)，方程次x)=g(x)的根就是函數(shù)人x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

［例4］(1)已知函數(shù)y(x)=21nx,g(x)=，一4x+5,則方程八%)=且0)的根的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案C解析由已知以%)=。-2產(chǎn)+1,得其頂點(diǎn)為(2,1),又12)=21n2￡(l,2),可知點(diǎn)(2,1)位于函數(shù)

J(x)=21nx圖象的下方，故函數(shù)危)=21nx的圖象與函數(shù)以防二一一4x+5的圖象有2個(gè)交點(diǎn).

(2)函數(shù)/C%)=ln(x+1)的圖象與函數(shù)g(%)=f—4x+4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案：C；解析：由于函數(shù)4x)=ln(x+l)的圖象是由函數(shù)y=lnx的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到的,

函數(shù)g(%)=——4%+4=(x—2)2,故函數(shù)g(x)圖象的對稱軸為x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),開口向上，所以作出1工),

g(%)的圖象如圖所示，故函數(shù)1%)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

(3)已知函數(shù)滿足：①定義域?yàn)镽；②Vx￡R,都有危+2)=危);③當(dāng)1,1］時(shí)，兀x)=一國+l.則

方程/(%)=/og2國在區(qū)間［-3，5］內(nèi)解的個(gè)數(shù)是()

A.5B.6C.7D.8

答案A解析依題意畫出y=?x)與y=glog2|x|的圖象如圖所示，由圖可知，解的個(gè)數(shù)為5.

(4)(多選).函數(shù)f(x)=(x-2)(x-5)-1有兩個(gè)零點(diǎn)久1，尤2，且/<&下列結(jié)論錯誤的是()

A.f(2)>0B.函數(shù)f(x)在［2,5］上有最小值

C.函數(shù)丫=代*+3)+1的零點(diǎn)為5,8D.久i<2且冷>5

答案:AC；解析:令g(x)=(x-2)(x-5),則f(x)=g(x)-1,

所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)g(x)=(x-2)(x-5)與y=1的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)與y=1的圖象，兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.的,％2

A：/⑵=°T=T<°,故A錯誤；

B：因?yàn)間⑶在［2同上有最小值，所以“X)在RS］上也有最小值，故B正確;

C：函數(shù)y=〃尤+3)+1=(尤+1)(了一2),則零點(diǎn)為-1,2,故C錯誤；

D：由圖可知不<2且%>5,故D正確.故選：AC

考點(diǎn)五利用函數(shù)圖象解不等式

【方法總結(jié)】利用函數(shù)圖象求解不等式的思路

當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從

而利用數(shù)形結(jié)合求解.

[例5](1)設(shè)奇函數(shù)五功在(0,+8)上為增函數(shù)，且八1)=0,則不等式?子也<0的解集為()

A.(-1,0)U(l,+oo)B.(-oo,-l)U(0,1)C.(-oo,-1)U(1,+oo)D.(—1,0)U(0,1)

答案D解析因?yàn)槲鍃)為奇函數(shù)，所以不等式K—一，二制<0可化為與<0,即狀尤)<0,黃尤)的大致圖象如圖所

示.所以對(無)<0的解集為(-1,0)U(0,1).

(2)如圖，函數(shù)危)的圖象為折線AC8,則不等式7(x)Kog2(x+l)的解集為.

2C/\y=logz(%+l)

-10|2~X

...一y=2,

答案[x\—1<X<1｝解析令y=log2(x+1),作出函數(shù)y=log2(x+1)圖象如圖所示.由彳得

-ly=log2(x+l)

w=l,

結(jié)合圖象知不等式加巨log2(尤+1)的解集為｛X|-1K1｝.

[y=l.-

(3)若犬尤)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)xG[0,2]時(shí)，兀c)=x—1,則不等式對(尤)>0在(-1,3)上的解集為()

A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,O)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)

答案C解析作出函數(shù)?x)的圖象如圖所示.當(dāng)xG(—l,0)時(shí)，由狀x)>0得xG(—l,0);當(dāng)xe(0,1)時(shí)，

由狀x)>0得尤G0；當(dāng)尤e(l,3)時(shí)，由燈⑴>0得xe(l,3).故xe(—l,O)U(1,3).

(4)若不等式(x—l)2<logax(a>0,且存1)在尤以1,2)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(1,2]B.(y,l)C.(1,柩D.(y[2,2)

答案A解析要使當(dāng)xG(l,2)時(shí)，不等式(無一l)2<logd恒成立，只需函數(shù)>=(無一1)2在(1,2)上的圖象在y

=loga尤的圖象的下方即可.當(dāng)0<°<1時(shí)，顯然不成立；當(dāng)。>1時(shí)，如圖，要使xG(