14.4 全等三角形的判定的綜合（第4課時(shí)）（教學(xué)課件）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步課堂（滬教版）

14.4全等三角形的判定的綜合（1）2023-2024學(xué)年滬教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課件主講典例解題方法：模型介紹：夾角模型模型介紹：一線三等角模型介紹：添加輔助線法模型介紹：截長(zhǎng)補(bǔ)短法①分析已有條件,準(zhǔn)備所缺條件：

證全等時(shí)要用的間接條件要先證好；②三角形全等書寫三步驟：寫出在哪兩個(gè)三角形中擺出三個(gè)條件用大括號(hào)括起來寫出全等結(jié)論全等三角形證明的基本步驟：例題1

如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，請(qǐng)說明△DAB與△EAC全等的理由解：因?yàn)椤螧AC=∠DAE(已知)，所以∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE(等式性質(zhì))即∠EAC=∠DAB在△DAB與△EAC中AB=AC(已知)，∠DAB=∠EAC.AD=AE(已知)所以△DAB≌△EAC(S.A.S)EDACB模型介紹：夾角模型加減夾在中間的角，創(chuàng)造新的角相等.例題2

如圖，在△ABC中，已知∠BAC=90°AB=AC,點(diǎn)A在DE上，∠D=90°,∠E=90°.（1）說明∠BAD與∠ACE相等的理由（2）說明△BAD與△ACE全等的理由解(1)因?yàn)辄c(diǎn)A在DE上(已知)，所以∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°(平角的意義)又因?yàn)椤螧AC=90°(已知)，所以∠CAE+∠BAD=90°(等式性質(zhì))因?yàn)椤螦CE+∠CAE+∠E=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°),∠E=90°(已知)，所以∠ACE+∠CAE=90°(等式性質(zhì))因此∠BAD=∠ACE(同角的余角相等)ABCDE模型介紹：一線三等角例題2

如圖，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC,點(diǎn)A在DE上，∠D=90°,∠E=90°.（1）說明∠BAD與∠ACE相等的理由（2）說明△BAD與△ACE全等的理由ABCDE（2)因?yàn)椤螪=90°，∠E=90°(已知)所以∠D=∠E(等量代換)在△BDA與△AEC中∠D=∠E,∠BAD=∠ACE，AB=AC(已知)所以△BDA≌△AEC(A.A.S)線DE上有三個(gè)相等的角（直角）.例題3

如圖，AB=AC，BD=CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：(1)∠DBE=∠DCF；(2)BE=CF．證明：(1)連接AD，在△ABD和△ACD中，

模型介紹：添加輔助線法ABCDEF

∴△ABD≌△ACD(SSS)，例題3

如圖，AB=AC，BD=CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：(1)∠DBE=∠DCF；(2)BE=CF．模型介紹：添加輔助線法ABCDEF∴∠B=∠C，∵點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上，∴∠DBE=∠DCF．例題3

如圖，AB=AC，BD=CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：(2)BE=CF．模型介紹：添加輔助線法ABCDEF(2)∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(AAS)∴BE=CF．如果原圖沒有明顯的全等三角形模型，我們可以考慮“添加輔助線”的方法創(chuàng)造三角形全等.智慧錦囊例題4△ABC與△ADE都是以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，(1)求證：AE⊥EC；(2)探究線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(1)證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵△ABC與△ADE都是以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，模型介紹：截長(zhǎng)補(bǔ)短法ABCDEF例題4△ABC與△ADE都是以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，(1)求證：AE⊥EC；(2)探究線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．模型介紹：截長(zhǎng)補(bǔ)短法ABCDEF在△BAD和△CAE中AB=AC

∠BAD=∠CAEAD=AE

∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠AEC=∠ADB，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠AEC=90°，∴AE⊥CE；例題4△ABC與△ADE都是以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，(1)求證：AE⊥EC；(2)探究線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．模型介紹：截長(zhǎng)補(bǔ)短法ABCDEF(2)解：截取CN=CF，N∵FC=NC，∴∠CFN=∠CNF，∴∠ENC=∠BFD，∵△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC=90°,∴∠AED+∠DEC=90°，∠BDF+∠ADE=180°－∠BDA=90°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠BDF=∠NEC，例題4△ABC與△ADE都是以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，(1)求證：AE⊥EC；(2)探究線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．模型介紹：截長(zhǎng)補(bǔ)短法ABCDEFN在△BDF和△CEN中，∠BFD＝∠CNE∠BDF

＝∠CENBD

＝CE∴△BDF≌△CEN(AAS)，∴BF=CN=CF，即BF=CF．截長(zhǎng)補(bǔ)短法其核心思想是通過截取或延長(zhǎng)某些線段，使得原本復(fù)雜或難以直接處理的問題變得簡(jiǎn)單明了。在應(yīng)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法時(shí)，要特別注意細(xì)節(jié)。比如，截取或延長(zhǎng)的線段長(zhǎng)度要合適，不能隨意選擇。同時(shí)，要確保截取或延長(zhǎng)后的圖形與原圖形有相同的性質(zhì)。智慧錦囊1.下列所敘述的圖形中，全等的兩個(gè)三角形是(____)A.含有45°角的兩個(gè)直角三角形B.腰相等的兩個(gè)等腰三角形C.邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形D.一個(gè)鈍角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形【解析】解：A、含有45°角的兩個(gè)直角三角形，沒有指明邊相等，所以不一定全等，選項(xiàng)不符合題意；B、腰相等的兩個(gè)等腰三角形，沒有指明角相等，所以不一定全等，選項(xiàng)不符合題意；C、邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形，利用SSS可得一定全等，C選項(xiàng)符合題意；D、一個(gè)鈍角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形，沒有指明邊相等，所以不一定全等，選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2.如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，從①AB=AE，②BC=ED，③∠B=∠E，④∠C=∠D．這四個(gè)條件中再選一個(gè)使△ABC≌△AED，符合條件的有(____)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；CABCDE12加④∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具備SSA，不能判定三角形全等，其中能使△ABC≌△AED的條件有：①③④．故選：C．3.如圖，已知AC、BD相交于點(diǎn)O，AO=CO，BO=DO，則圖中能判定全等的三角形有(____)A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)解：∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，且AB∥CD，AD∥BC，∠ABC=∠CDA，∠BAD=∠DCB，DABCDO

故選：D．4.已知，如圖：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說明△ABC≌△DEF，若以“ASA”為依據(jù)，還要添加的條件為________．解：添加∠ACB=∠F或AC∥DF后可根據(jù)ASA判定△ABC≌△DEF．故填∠A=∠D．∠A=∠DABCDEF5.如圖，點(diǎn)D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，從下列條件①∠B=∠C，②BE=CD，③AB=AC，④∠ADC=∠AEB中選擇一個(gè)使得△ABE≌△ACD．(1)你選擇的一個(gè)條件是__________(填寫序號(hào))．(2)根據(jù)你的選擇，請(qǐng)寫出證明過程．解：(1)∵AE=AD，∠A=∠A，可以利用SAS，AAS，ASA三種方法證明△ABE≌△ACD；故可以選擇的條件可以是：①或③或④；(2)選擇①：①或③或④ABCDE

6.如圖，已知AB⊥BC，DC⊥BC，DE⊥AC于點(diǎn)M，AB=CE，說明△ABC≌△ECD的理由．解：因?yàn)镈E⊥AC(已知)，所以∠CME=____°(_____________)．又因?yàn)椤螩ME+∠CED+∠MCE=180°(____________________)，所以∠CED+∠MCE=90°．又因?yàn)锳B⊥BC(已知)，所以∠B=90°(_____________)，又因?yàn)椤螧+∠A+∠ACB=180°(____________________)，90垂直的定義三角形內(nèi)角和定理垂直的定義三角形內(nèi)角和定理所以∠A+∠ACB=90°，所以∠A=______(__________________)．又因?yàn)镈C⊥BC，所以∠DCE=90°，所以∠B=∠DCE．在△ABC和△ECD中，____=______，____=____(_____)，∠A=______，所以△ABC≌△ECD(_____)．∠CED同角的余角相等∠B∠DCEABCE已知∠CEDASA【解析】解：因?yàn)镈E⊥AC(已知)，所以∠CME=90°(垂直的定義)，又因?yàn)椤螩ME+∠CED+∠MCE=180°(三角形內(nèi)角和定理)，所以∠CED+∠MCE=90°．又因?yàn)锳B⊥BC(已知)，所以∠B=90°(垂直的定義)，又因?yàn)椤螧+∠A+∠ACB=180°(三角形內(nèi)角和定理)，所以∠A+∠ACB=90°，所以∠A=∠CED(同角的余角相等)，又因?yàn)镈C⊥BC，所以∠DCE=90°，所以∠B=∠DCE．在△ABC和△ECD中，∠B=∠DCE，AB=CE(已知)，∠A=∠CED，所以△ABC≌△ECD(ASA)，故答案為：90；垂直的定義；三角形內(nèi)角和定理；垂直的定義；三角形內(nèi)角和定理；∠CED；同角的余角相等；∠B；∠