2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習：一元一次方程（考點清單）原卷版

【考點題型十一二】分數(shù)類形討結(jié)論合思想

t考點題型十】整體思想

【考點題型九】方案決策問題

【考點題型八】分段計費問題

專題05一元一次方程（考點清單，5個考點清單+12種題型解讀）

【【考清點單題01型】六一】元銷一售次問方題程的概念

［【清單02】等式的基本性質(zhì)

ah考點清單’【清單03】一元一次方程的解法

《【清單04】一元一次方程的應(yīng)用

\【清單05】用一元一次方程解決實際問題的常見類型

【考點題型五】工程問題

【考點題型一】一元一次方程及其解

1考點題型二】等式的性質(zhì)

一元一次方程【考點題型三】解一元一次方程

【考點題型四】配套問題

點儕單

1等式的兩邊I加（或減）同f數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等

等式的性質(zhì)2.等式的兩邊乘樂三或除以同Y不為0的數(shù)結(jié)果仍相

等

只含有一個枷數(shù)（無），且含有未知^的式子都是整式，未

知數(shù)的讖都是1的方程

1.去分母:方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)

一元一次方程2去.括號:根據(jù)分配律

元解法3移項移鰻變導(dǎo)

次4合.并同類項:依據(jù)合并同類項法^

方

5.系數(shù)化為1:方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)

程

1.審題2.找相等關(guān)系

直接設(shè)未知數(shù)

3.設(shè)我0數(shù)

間接設(shè)未知數(shù)

一元一次方程的應(yīng)用4列方程5.解方程

（1）是否符合一元一次方程

6.檢驗

（2）是否符合實際

7寫答

【清單01】一元一次方程的概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程.

2.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。

3.一元一次方程定義：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一次方

程。

細節(jié)剖析：

判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：

①只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)為丘_

②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù).

4.一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。

【清單02】等式的基本性質(zhì)

等式的性質(zhì)1等式的兩邊都加上(或都減去)同一個數(shù)或式，所得結(jié)果仍是等式。

字母表達式為：如果那么a±c=6±c.

等式的性質(zhì)2等式的兩邊都乘或都除以同一個數(shù)或式(除數(shù)不能為零)，所得結(jié)果仍是等式。

字母表達式為：如果a=。，那么ac=bc,或g=2(cwO).

CC

細節(jié)剖析：

等式的傳遞性如果a=6、b-c,那么a=c。

【清單03】一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).

(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號,再去中括號,最后去大括號.

(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊.

(4)合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項,把方程化為ax=b(a=0)的形式.

(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解x=±b(aWO).

a

(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解;若方程左右兩邊的值不相等，

則不是方程的解.

【清單04】一元一次方程的應(yīng)用

首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為X,然后用含

尤的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹！J、解、答.

一元一次方程應(yīng)用題解題一般步驟：

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系

②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為X）

③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個相等關(guān)系

④列：根據(jù)這個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值

⑥答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）

【清單05】用一元一次方程解決實際問題的常見類型

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=今照X100%）；

進價

（4）工程問題（①工作量=人均效率X人數(shù)X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作

量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度X時間）；速度義時間=路程；相遇問題：S甲+SjS總；追及問題：S快-S慢

二s相晅；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

題型需單

【考點題型一】一元一次方程及其解

【例1】（2023秋?咸安區(qū)期末）【閱讀材料】規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程依=6的解為x=b+a,則稱

該方程為“和諧方程”.

例如：方程2x=T的解為彳=-2,

而一2=T+2,

所以方程2x=T為“和諧方程”.

請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

（1）下列關(guān)于x的一元一次方程是“和諧方程”的有—；（填寫序號）

①4x=-2；

②-3x」；

4

?-%=--

22

（2）已知關(guān)于x的一元一次方程6x=:%是“和諧方程”，求加的值;

（3）已知關(guān)于x的一元一次方程4大=m+〃是"和諧方程”，并且它的解是x=”，求機，n的值.

【變式1-1］（2023秋?涪城區(qū)期末）下列各式中，屬于方程的是（）

2

A.6+（-2）=4B.-x-2C.7x>5D.2%-1=5

【變式1-2］（2023秋?固始縣期末）若方程2x-辰+l=5x-2的解為-1,則%的值為（）

A.10B.-4C.-6D.-8

【變式1-3］（2023秋?昭通期末）下列方程中，是一元一次方程的是（）

,1

A.x2-4x=3B.2x=0C.x+2y=lD.x-l=—

x

【變式1-4］（2023秋?成安縣期末）已知（加-3）”12=18是關(guān)于元的一元一次方程，貝|（）

A.m—2B.m=—3C.m=±3D.m=l

【變式1-5］（2023秋?西安期末）小芳同學(xué)在解關(guān)于尤的一元一次方程=-1=±口時，誤將x-a抄成

23

x+a,求得方程的解為x=2,請幫小芳求出原方程正確的解.

【變式1-6］（2023秋?東臺市期末）定義：關(guān)于x的方程?=0與方程"-a=0（a、Z?均為不等于。的

常數(shù)）稱互為“伴生方程”，例如：方程2%-1=0與方程％-2=0互為“伴生方程”.

（1）若關(guān)于％的方程2%-3=0與方程3%-c=0互為“伴生方程”，則。=—；

（2）若關(guān)于x的方程4工+3m+1=0與方程5尤-〃+2=0互為“伴生方程”，求機、〃的值;

（3）若關(guān)于x的方程5x-b=0與其“伴生方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)6的值.

【考點題型二】等式的性質(zhì)

7?33

【例2】（2023秋?尋烏縣期末）觀察下列兩個等式：1一女=2xlx±-l,2-3=2x2x±-l給出定義如下:

3355

我們稱使等式a-6=2必-1成立的一對有理數(shù)a,6為“同心有理數(shù)對"，記為（a,6）,如：數(shù)對（1,|）,（2,|）,

都是“同心有理數(shù)對”.

（1）數(shù)對（-2,1）,（3,；）是“同心有理數(shù)對”的是.

（2）若（a,3）是“同心有理數(shù)對"，求。的值；

（3）若⑴,〃）是“同心有理數(shù)對"，貝!］（-〃,-附—“同心有理數(shù)對"（填“是”或“不是”），說明理由.

【變式2-1］（2023秋?懷仁市期末）下列各式進行的變形中，不正確的是（）

A.若3a=2b,貝i」3a+2=2Z?+2B.若3a=2b,貝19a=46

,...Z7b

C.右3a=2/，貝！|3a-5=2/一5D.右3a=2b,則一=—

23

【變式2-2］（2023秋?乳山市期末）等式5-3x=3中，若x是正整數(shù)，則整數(shù)。的取值是—.

【變式2-3］（2023秋?曲陽縣期末）已知8〃2+3〃+2=4帆+7〃，利用等式的性質(zhì)比較機與〃的大小關(guān)系:

mn（填“>”）.

【變式2-4］（2023秋?皇姑區(qū)期末）如圖，標有相同字母的物體的質(zhì)量相同，若A的質(zhì)量為15克，則當3

的質(zhì)量為克時，天平處于平衡狀態(tài).

【變式2-5](2023秋?渝中區(qū)期末)如果。=8,那么-L=—也成立時c應(yīng)滿足的條件是_.

c-1c-1

【考點題型三】解一元一次方程

[例3](2023秋?雨湖區(qū)期末)七3班數(shù)學(xué)老師在批改小紅的作業(yè)時發(fā)現(xiàn)，小紅在解方程四-1=。+三

24

時，把“2-x”抄成了解得x=8,而且處的數(shù)字也模糊不清了.

(1)請你幫小紅求出處的數(shù)字.

(2)請你正確地解出原方程.

【變式3-1](2023秋?關(guān)嶺縣期末)解方程：

(1)3x+7=-l-2x；(2)2+^-=-.

35

【變式3-2](2023秋?成安縣期末)解下列方程：

3-5龍3x-5

(1)4(2%-1)-3(5x+2)=3(2-x)；(2)1—=-二衛(wèi)_上

32

【變式3-3](2023秋?泗洪縣期末)--—=3.

0.20.5

【變式3-4](2023秋?通州區(qū)期末)已知代數(shù)式8》-7的值與代數(shù)式6-2x的值互為相反數(shù)，求x的值.

若式子主二Z的值比包里的值小2,求尤的值.

【變式3-5](2023秋?沂南縣期末)

23

【變式3-6］（2023秋?明水縣期末）關(guān)于x的方程x-2根=-3x+4與2=x的解互為相反數(shù).

（1）求機的值；

（2）求這兩個方程的解.

【變式3-7］（2023秋?潮南區(qū)期末）閱讀理解題：

你知道為什么任何無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分數(shù)形式嗎？下面的解答過程會告訴你原因和方法.

閱讀下列材料：

問題：利用一元一次方程將0.7化成分數(shù).

設(shè)0.7=元，

由0.1=0.777...,可知10x0）=7.777...=7+0.7,

即7+x=10x.（請你體會將方程兩邊都乘以10起到的作用）

可解得/，即0"=?.

99

（1）填空：將0.4直接寫成分數(shù)形式為—.

（2）請仿照上述方法把小數(shù)0.力化成分數(shù)，要求寫出利用一元一次方程進行解答的過程.

【變式3-8］（2023秋?桂平市期末）本學(xué)期學(xué)習了一元一次方程的解法，下面是小蒙同學(xué)的解題過程:

解方程：￡±1_^±Z=3

24

解：方程兩邊同時乘以4,得：±±1x4-至二x4=3x4…①

24

去分母，得：2（x+l）-3x+2=12...@

去括號，得：2x+2-3x+2=12…③

移項，得：2x-3x=12-2-2...@

合并同類項，得：-x=10…⑤

系數(shù)化1,得：x=10...@

（1）以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是.

（2）上述小蒙的解題過程從第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是

（3）請幫小蒙改正錯誤，寫出完整的解題過程.

【考點題型四】配套問題

【例4】（2023秋?東港區(qū)期末）2023年8月8日，是全國第15個全民健身日，近年來，日照始終秉持“以

人民為中心”的展思想，不斷擴大城市體育服務(wù)供給量，打造“體育生活圈”，某工廠現(xiàn)需生產(chǎn)一批太空漫

步器（如圖），每套設(shè)備各由一個架子和兩套腳踏板組裝而成；工廠現(xiàn)共有45名工人，每人每天平均生產(chǎn)支

架60個或腳踏板96套，應(yīng)如何分配工人才能使每天的生產(chǎn)的架子和腳踏板配套？每天生產(chǎn)多少套太空漫

步器？

【變式4-11（2023秋?黔南州期末）如圖是學(xué)校手工藝社團編織的手工花朵，一朵花由1個花心和8個花瓣

構(gòu)成，已知手工藝社團有30人，據(jù)統(tǒng)計，每個學(xué)生一節(jié)課可以編織5個花心或20個花瓣.安排多少人編織

花心，多少人編織花瓣，才能使一節(jié)課編織出來的花心和花瓣剛好配套？

學(xué)生手工藝花朵

【變式4-2］（2023秋?九龍坡區(qū)期末）某車間有80名工人，負責加工某轎車甲、乙兩種零件的生產(chǎn)任務(wù).每

個工人每天能加工20個甲種零件或加工15個乙種零件，每輛轎車需要4個甲種零件和3個乙種零件.該

車間每天生產(chǎn)的零件正好滿足轎車的配套需求.

（1）每天應(yīng)安排多少工人加工甲種零件？

（2）每天生產(chǎn)該轎車總加工費為15200元.已知加工一件甲種零件的費用比加工一件乙種零件的費用少2

元，求加工一件乙種零件的費用為多少元？

【變式4-3］（2023秋?榆陽區(qū)期末）在社會與實踐的課堂上，劉老師組織七（1）班的全體學(xué)生用硬紙板制

作圓柱體（圖1）.七（1）班共有學(xué)生50人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人，并且每名學(xué)生每小時剪20

個圓柱側(cè)面（圖2）或剪10個圓柱底面（圖3）.

（2）原計劃男生負責剪圓柱側(cè)面，女生負責剪圓柱底面，要求一個圓柱側(cè)面配兩個圓柱底面，那么每小時

剪出的筒身與筒底能配套嗎？如果不配套，那么男生應(yīng)向女生支援多少人時，才能使每小時內(nèi)剪出的側(cè)面與

底面配套.

【變式4-4］（2023秋?信州區(qū)期末）某工廠現(xiàn)有15/木料，準備制作各種尺寸的圓桌和方桌，如果用部分

木料制作桌面，其余木料制作桌腿.

（1）已知一張圓桌由一個桌面和一條桌腿組成，如果1加木料可制作40個桌面，或制作20條桌腿.要使

制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接寫出制作桌面的木料為多少相I

（2）已知一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成.根據(jù)所給條件，解答下列問題：

①如果1加3木料可制作50個桌面，或制作300條桌腿，應(yīng)怎樣計劃用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？

②如果3行木料可制作20個桌面，或制作320條桌腿，應(yīng)怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子？

【考點題型五】工程問題

【例5】(2023秋?清原縣期末)某市今年進行煤氣工程改造，甲乙兩個工程隊共同承包這個工程.這個工程

若甲隊單獨做需要10天完成；若乙隊單獨做需要15天完成.若甲乙兩隊同時施工4天，余下的工程由乙

隊完成，問乙隊還需要幾天能夠完成任務(wù)？

【變式5-1](2023秋?高陽縣期末)某物業(yè)計劃修整小區(qū)綠化帶，現(xiàn)有甲乙兩個工程隊均有意愿承接此項工

程.已知甲隊計劃每天修整32平方米，乙隊計劃每天修整48平方米，若單獨完成這項工作，甲隊比乙隊要

多用10天，修整期間，甲乙兩隊的人工費用分別為800元1天和1200元1天.

(1)求這項工程共需修整綠化帶多少平方米？

(2)此項工程先由甲，乙兩隊按原計劃修整速度合作一段時間后，甲隊因事停工，乙隊立刻將自己每天的

修整速度提高25%.且工資隨之上漲了200元1天，獨立完成剩下工作，已知乙隊的全部工作時間是甲隊

工作時間的2倍還多2天，求乙隊共修整多少天？

【變式5-2](2023秋?桂林期末)某水利工程，甲工程隊單獨施工需要40天可以完成，乙工程隊單獨施工

需要60天可以完成.

(1)現(xiàn)在乙工程隊施工10天后，為了加快進度，甲工程隊加入，兩隊合作完成余下的工程，問完成此項水

利工程一共用了多少天？

(2)完成此項水利工程，甲、乙二隊共得到施工費68萬元，如果按每隊完成的工作量計算施工費，那么甲

工程隊可以得到多少萬元？

【變式5-3](2023秋?長清區(qū)期末)列方程解應(yīng)用題:

某縣在創(chuàng)建省級衛(wèi)生文明城市中，對縣城內(nèi)的河道進行整治.現(xiàn)有一段長為260米的河道整治任務(wù)，由甲、

乙兩個工程隊先后接力完成.甲工程隊每天整治8米，乙工程隊每天整治12米，共用時25天.

（1）求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少天？

（2）雇傭甲工程隊需要800元/天，雇傭乙工程隊需要1000元/天，則共需支付兩個工程隊多少錢？

【變式5-4］（2023秋?鐵東區(qū)期末）某學(xué)校校辦工廠需制作一塊廣告牌，請來師徒二人，已知師傅單獨完成

需4天，徒弟單獨完成需6天，現(xiàn)由徒弟先做一天，再兩人合作完成這塊廣告牌的制作.

（1）為完成這塊廣告牌的制作，師徒二人共合作了多少天？

（2）若完成后共得到報酬900元，如果按各人完成的工作量計算報酬，那么該如何分配這900元的報酬？

【考點題型六】銷售問題

【例6】（2023秋?哈爾濱期末）杭州亞運會的吉祥物“瓊琮”、“蓮蓮”、“痕底”分別代表了良渚古城遺址、

西湖、世界遺產(chǎn)京杭大運河，以它們的形象制作的紀念品種類很多.麗才紀念品店恰好用3850元購進甲、

乙兩種帶有這三個吉祥物圖案的掛件，其中甲種掛件30個，乙種掛件20個，甲種掛件每個進價比乙種掛

件每個進價少5元，且兩種掛件每個售價均為120元.

（1）求購進甲、乙兩種掛件每個進價分別是多少元？

（2）由于這兩種掛件十分暢銷，麗才紀念品店按原進價再次購進甲、乙兩種掛件，其中甲種掛件的個數(shù)是

乙種掛件個數(shù)的2倍.若兩次購進的掛件全部售出共獲利4750元，求麗才紀念品店第二次購進甲種掛件多

少個？

【變式6-1］（2023秋?南沼區(qū)期末）南得區(qū)某學(xué)校舉行迎新活動，需要購買燈籠進行裝飾.某商家有A、B、

C三種型號的燈籠，已知A種燈籠的單價比3種燈籠的單價多9元，C種燈籠單價20元/盞.

（1）學(xué)校決定購買A種燈籠30盞，3種燈籠40盞，且購買A、8兩種燈籠的費用相同，請問A、5兩種

燈籠的單價分別是多少？

（2）商家節(jié)日期間為了促銷，A種燈籠每盞降價6元，3種燈籠每盞降價2元.購買三種燈籠的顧客，所

有商品價格一律九折.根據(jù)燈籠價格變化，學(xué)校發(fā)現(xiàn)在A、3燈籠數(shù)量和總經(jīng)費不變的情況下，可以增加購

買C種燈籠.問C種燈籠可以購買多少盞？

【變式6-2］（2023秋?漢川市期末）新時代超市經(jīng)銷甲、乙兩種商品，兩種商品相關(guān)信息如表:

商品進價（元/件）售價（元/件）利潤率

甲種4060n

乙種50m50%

（1）以上表格中加，”的值分別為

（2）若該超市同時購進甲種商品數(shù)量是乙種商品數(shù)量的2倍少10件，且在正常銷售情況下售完這兩種商

品共獲利3050元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？

（3）春節(jié)臨近，該超市決定對甲、乙兩種商品進行如下的優(yōu)惠活動：

顧客一次性購商品數(shù)量優(yōu)惠措施

甲種不超過15件不優(yōu)惠

超過15件全部按售價8.5折

乙種不超過15不優(yōu)惠

超過15件但不超過25件全部按售價8.8折

超過25件全部按售價8折

小華的爸爸一次性購買包含甲、乙兩種商品共4()件，按上述條件優(yōu)惠后實付款恰好為2280元；求出小華

的爸爸購買方案.

【變式6-3](2023秋?潛山市期末)潛山市某商場經(jīng)銷的A、3兩種商品，A種商品每件售價為60元，利

潤率為50%；B種商品每件進價為50元，售價為80元.

(1)A種商品每件進價為一元，每件3種商品利潤率為—.

(2)若該商場同時購進A、3兩種商品共70件，售完之后恰好總利潤為1580元，求購進A種商品多少件？

(3)在“春節(jié)”期間，該商場只對A、3兩種商品進行如下的優(yōu)惠促銷活動：

打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施

少于等于400元不優(yōu)惠

超過400元，但不超過600元按總售價打九折

超過600元其中600元部分打八折優(yōu)惠，超過

600元的部分打七五折優(yōu)惠

按上述優(yōu)惠條件，若小明一次性購買商品A、臺優(yōu)惠后付款總額為531元，若沒有優(yōu)惠促銷，小明在該商

場購買同樣商品要付多少元？

【變式6-4］（2023秋?和平區(qū)校級期末）某直播間購進甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的

1少100件，甲、乙兩種商品的進價和售價如表;

3

甲乙

進價（元/件）2030

售價（元/件）2540

（1）該直播間將購進的甲、乙兩種商品全部賣完，交易額為19000元，則該直播間本次獲利多少元？（注:

每件商品獲利=售價-進價）.若要解決上述問題，我們可以設(shè)甲商品的進貨量為x件，請完成下面的表格

并作答:

單件售價（元）進貨量（件）交易額

甲①_____X②—

乙40③—④—

（2）經(jīng)過一段時間后發(fā)現(xiàn)乙商品銷量很好，現(xiàn)直播間將乙商品加價10元后再打九折售賣，若要獲得9000

元的利潤，需購進乙商品多少件？

【考點題型七】積分問題

【例7】（2023秋?平江縣期末）為有效開展陽光體育活動，云洱中學(xué)利用課外活動時間進行班級籃球比賽，

每場比賽都要決出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分.已知九年級一班在8場比賽中得到13分，問

九年級一班勝、負場數(shù)分別是多少？

【變式7-1］（2023秋?云夢縣期末）12月4日是全國法制宣傳日，為增強學(xué)生的法律意識與法制觀念，崇

德中學(xué)組織了法律知識競賽，共設(shè)有20道選擇題，各題分值相同，每題必答.如表記錄了5位參賽學(xué)生的

得分情況，根據(jù)表中信息回答下列問題：

參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

（1）這次競賽中答對一題得一分，答錯一題得—分;

（2）參賽學(xué)生/得分為70分，求他答錯了幾道題？

（3）參賽學(xué)生G說他的得分為60分，你認為可能嗎？請說明理由.

【變式7-212023秋?東西湖區(qū)期末）用一元一次方程解決實際問題，第2小問和第3小問用算式解決不得

分.習近平總書記說“綠水青山就是金山銀山”，為了增強中學(xué)生環(huán)保意識，某學(xué)校組織全體中學(xué)生進行

環(huán)保知識競賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，每題必答，如表記錄了5個參賽者的得分情況.

參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

（1）填空：每答對一道題得一分，每答錯一道題扣一分.

（2）參賽者尸得76分，他答對了幾道題？

（3）參賽者G說他得83分，你認為可能嗎？請通過計算說明.

【變式7-3].（2023秋?閩侯縣期末）某電視臺組織知識競賽，共設(shè)20道題選擇題，各題分值相同，每題必

答，如表記錄了5個參賽者的得分情況.

參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

根據(jù)以上信息，請你算出：

（1）填空：答對一題得—分，答錯一題扣一分；

（2）參賽者F得76分，他答對了幾題？

（3）參賽者G說他得了36分，你認為可能嗎？試說明理由.

【考點題型八】分段計費問題

【例8】（2023秋?余姚市期末）某市電力部門對居民生活用電實行“峰谷電價”和“非峰谷電價”，可由每

戶居民預(yù)先自主選擇.具體電價如下：

電價分類時段電價（元/千瓦時）

非峰谷電價全天24小時0.538

峰谷電價高峰時段上午8:00~晚上22:000.568

低谷時段晚上22:00~次日晨8:000.288

現(xiàn)某居民戶10月份用電100千瓦時.

（1）若該居民戶選擇“峰谷電價”，其中低谷時段用電X千瓦時，請用含X的代數(shù)式表示該居民戶這個月應(yīng)

繳納的電費.

（2）若該居民戶選擇“峰谷電價”比“非峰谷電價”少繳電費13.8元，問該居民戶高峰時段用電多少千瓦

時？

【變式8-1]（2023秋?云夢縣期末）有下列兩種移動電話計費方法:

月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/血加）被叫

A套餐381000.2免費

3套餐683000.25免費

（月使用費固定收，主叫不超過限定時間不再收費，主叫超過部分加收超時費，被叫免費）

（1）若張老師選用A套餐，9月份主叫時間150分鐘，則他9月份的通話費用為48元.

（2）若王老師選擇A套餐，李老師選擇B套餐，10月份兩位老師的主叫時間與通話費用恰好都相同，求兩

位老師10月份的主叫時間.

（3）設(shè)主叫時間為f分鐘，直接寫出f滿足什么條件時，選擇3套餐省錢.

【變式8-2].（2023秋?海門區(qū)期末）某公園門票價格規(guī)定如下表:

購票張數(shù)1~5。張51~100張100張以上

每張票的價格13元11元9元

某校七年級（1）（2）兩個班共104人去游園，其中（1）班有40多人，不足50人.經(jīng)估算，如果兩個班都

以班級為單位購票，則一共應(yīng)付1240元.

（1）求兩個班各有多少學(xué)生；

（2）如果兩個班聯(lián)合起來，作為一個團體購票，可節(jié)省多少錢？

（3）若七年級（1）班單獨組織去游園，請問600元能否滿足全班同學(xué)的購票需求？請說明理由.

【變式8-3］（2023秋?臨江市期末）甲、乙兩所幼兒園計劃在“元旦”一起舉辦文藝匯演活動.已知甲、乙

兩所幼兒園一共96人（其中甲幼兒園人數(shù)多于乙幼兒園人數(shù)，且甲幼兒園人數(shù)不足90人）.現(xiàn)準備給每位

小朋友都購買一套演出服裝，服裝廠給出如下價目表：

購買服裝的套數(shù)48套以下48套至90套91套及以上

每套服裝的價格65元55元45元

如果兩所幼兒園分別單獨購買服裝，一共應(yīng)付5680元.

（1）如果甲、乙兩所幼兒園聯(lián)合起來購買服裝，那么比各自購買服裝共可以節(jié)省多少錢？

（2）甲、乙兩所幼兒園各有多少名小朋友準備參加演出？

（3）如果甲幼兒園有10名小朋友因為校外活動不能參加演出，那么你有幾種購買方案？通過比較，你認為

如何購買服裝才能最省錢？

【變式8-4］（2023秋?惠城區(qū)期末）2023年12月28日晚，惠州一中南湖校區(qū)“悠悠南湖情，拳拳家國心”

元旦文藝晚會在南湖畔上演.一中師生用歌聲舞姿表達熱愛寄托情懷，回首2023,逐夢2024.若1班和2

班共有94名學(xué)生（其中1班人數(shù)多于2班人數(shù)，且1班人數(shù)不夠90名），統(tǒng)一購買服裝參加演出，下面是

某服裝廠給出的服裝價格表：

購買服裝的套數(shù)1套一46套47套一90套91套及以上

每套服裝的價格60元50元40元

如果兩個班分別單獨購買服裝，一共應(yīng)付5120元.

（1）若兩班聯(lián)合起來購買服裝，則比各自購買服裝共可以節(jié)省多少元?

（2）兩個班各有多少名學(xué)生準備參加元旦演出？

（3）如果1班有10名學(xué)生被調(diào)去參加合唱團的節(jié)目，不能參加班級演出，請你為這兩個班設(shè)計一種最省

錢的購買服裝的方案.

【考點題型九】方案決策問題

【例9】（2023秋?陜州區(qū)期末）某種海產(chǎn)品，若直接銷售，每噸可獲利潤1200元；若粗加工后銷售，每噸

可獲利潤5000元；若精加工后銷售，每噸可獲利潤7500元.某公司現(xiàn)有這種海產(chǎn)品140噸，該公司的生產(chǎn)

能力是：如果進行粗加工，每天可加工16噸；如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同

時進行，受各種條件限制，公司必須在15天內(nèi)將這批海產(chǎn)品全部銷售或加工完畢，為此該公司設(shè)計了三種

方案：

方案一：全部進行粗加工；

方案二：盡可能多地進行精加工，沒有來得及進行精加工的直接銷售；

方案三：將一部分進行精加工，其余的進行粗加工，并恰好15天完成.

你認為選擇哪種方案可獲利潤最多，為什么？最多可獲利潤多少元？

【變式9-1］（2023秋?環(huán)江縣期末）環(huán)江牛角寨瀑布群景區(qū)和環(huán)江木論喀斯特生態(tài)旅游景區(qū)是國家4A級旅

游景區(qū)，寒假期間擬定門票價格每張30元，團隊票可選擇兩種購票優(yōu)惠方案.

方案一：全體人員打8折；

方案二：有5人可以免票，剩下的人員打9折.

（1）若某團隊有100人，為節(jié)省購票費用，求該團隊應(yīng)該選擇哪種購票方案？

（2）若某團隊無論選擇哪種方案購票，費用恰好一樣，求該團隊共有多少人？

【變式9-2］（2023秋?武功縣期末）某服裝廠生產(chǎn)夾克和T恤，夾克每件定價100元，T恤每件定價50元.廠

方在開展促銷活動期間，向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：（客戶只能選擇其中一種方案）

方案一：買一件夾克送一件T恤；

方案二：夾克和T恤都按定價的80%付款.

現(xiàn)某客戶要到該服裝廠購買夾克30件，T恤尤件（x>30）.

（1）分別用含x的代數(shù)式表示該客戶按方案一、方案二購買所需要的費用；

（2）求該客戶購買多少件T恤，按方案一和方案二購買所需要的費用相同？

【變式9-3].（2023秋?曲陽縣期末）甲、乙兩城相距800千米,一輛客車從甲城開往乙城,車速為G（0<?<100）

千米/小時，同時一輛出租車從乙城開往甲城，車速為90千米/小時，設(shè)客車行駛時間為f（小時）

（1）當f=5時，客車與乙城的距離為千米（用含。的代數(shù)式表示）

（2）已知a=70,丙城在甲、乙兩城之間，且與甲城相距260千米

①求客車與出租車相距100千米時客車的行駛時間；（列方程解答）

②已知客車和出租車在甲、乙之間的服務(wù)站〃處相遇時，出租車乘客小王突然接到開會通知，需要立即返

回，此時小王有兩種返回乙城的方案：

方案一：繼續(xù)乘坐出租車到丙城，加油后立刻返回乙城，出租車加油時間忽略不計；

方案二：在加處換乘客車返回乙城.

試通過計算，分析小王選擇哪種方案能更快到達乙城？

【變式9-4]（2023秋?興賓區(qū)期末）某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為0.1萬元;

經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達0.5萬元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至0.8萬元.當?shù)匾患沂卟斯臼?/p>

購這種蔬菜120噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工14噸：如果進行精

加工，每天可加工5噸，但兩種加工方式不能在同一天同時進行，受季節(jié)條件限制，公司必須在15天內(nèi)將

這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此，公司研制了三種可行方案：

方案一；將蔬菜全部進行粗加工.

方案二：盡可能多的對蔬菜進行精加工，沒來得及進行加工的蔬菜在市場上直接銷售.

方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成.

你認為哪種方案利潤最大，為什么？

【變式9-5]（2023秋?青山區(qū)期末）某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000

元，經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當?shù)匾患夜臼召?/p>

這種蔬菜140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，

每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季節(jié)等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷

售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：

方案一：將蔬菜全部進行粗加工.

方案二：盡可能多地對蔬菜進行精加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售.

方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成.

你認為哪種方案獲利最多？為什么？

【考點題型十】整體思想

【例10】（2024七年級上?全國?專題練習）若x=2是關(guān)于x的一元一次方程6+6=4的解，則代數(shù)式

（2G+bY+3（2。+6）-1的值是.

【變式10-11（24-25七年級上?全國?單元測試）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法.例如“已知

2a-b=3,求代數(shù)式6a-36-1的值.”可以這樣解：6。-36-1=3（2。-6）—1=3x3—1=8.根據(jù)閱讀材

料，解決問題：若x=3是關(guān)于x的一元一次方程〃zx+〃=2的解，則代數(shù)式9"z+3〃+l的值是

【變式10-2]（2024七年級上?全國?專題練習）用整體思想解方程⑶-2A6T=2-⑴；）十2.

i4

【變式10-3］（23-24七年級上.山東濰坊.期末）數(shù)學(xué)李老師讓同學(xué)們解方程”0-2司=6-§（210）.小

亮認為“方程兩邊有分母，應(yīng)該先去分母”，小穎認為“方程中有10-2%及2尤-10,且互為相反數(shù)，應(yīng)該用

整體思想求解”.請你分別用小亮、小穎的方法求解該方程.

【考點題型十一】分類討論思想

【例1。（21-22七年級上?安徽宣城.期末）已知方程（。+2）/一+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則6的值

為（）

A.2B.-2C.-2或2D.0

【變式11-1］（23-24七年級上.山東臨沂?期末）已知（。-1）鏟2+2*+1=0一元一次方程，則”的值為

（）

A.1B.3C.1或3D.0或一3

【變式11-2］（23-24七年級上.全國?單元測試）若關(guān)于x的方程〃/1+（〃7-1卜-2=0是一元一次方程，

則m的值為_.

【變式11-3］（2024七年級上?北京?專題練習）已知。是非零整數(shù)，關(guān)于x的方程加嘰bx2+x-2=0是一

元一次方程，求a+b的值.

【考點題型十二】數(shù)形結(jié)合思想

【例12】（2023秋?沙市區(qū)期末）數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的數(shù)學(xué)

思想方法.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，