2025年高考一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)：多面體與求內(nèi)切外接問(wèn)題（八大題型）（原卷版）

特訓(xùn)09多面體與求內(nèi)切外接問(wèn)題（八大題型）

方法歸納4

一、外接球問(wèn)題

若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球?yàn)榇硕嗝骟w的外接球。簡(jiǎn)單多面體的外接球問(wèn)

題是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)，此類(lèi)問(wèn)題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心位置問(wèn)題，其中球心位置的確定

是關(guān)鍵，下面介紹幾種常見(jiàn)的球心位置的確定方法。

如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡(jiǎn)單多面體的外接球

的球心。由此，可以得到確定簡(jiǎn)單多面體外接球的球心位置有如下結(jié)論：

結(jié)論1：正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)。

結(jié)論2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)。

結(jié)論3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點(diǎn)。

結(jié)論4：正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過(guò)構(gòu)造直角三角形計(jì)算得到。

結(jié)論5：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。

二、內(nèi)切球問(wèn)題

若一個(gè)多面體的各個(gè)面都與一個(gè)球的球面相切，則稱(chēng)這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這

個(gè)多面體的內(nèi)切球。因此，多面體內(nèi)切球球心到該多面體各個(gè)面的距離相等。并非所有多面體都有內(nèi)切球,

下面介紹幾種常見(jiàn)多面體內(nèi)切球問(wèn)題：

1.正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離。

2.正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不一定重合。

題型歸納

目錄：

?題型01:三棱柱

?題型02:四棱錐

?題型03:棱臺(tái)

?題型04:側(cè)棱垂直于底面

?題型05:正方體、長(zhǎng)方體

?題型06:其他多面體

?題型07:三棱錐

?題型08:折疊問(wèn)題

?題型01:三棱柱

1.在一個(gè)封閉的直三棱柱ABC-A4cl內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB工3C,AB=6,AC=10,朋=5,

則球的體積的最大值為（）

A.三n32

B.——71C.27KD.36TI

63

2.在正三棱柱ABC-A與G中，AB=AA,=4,E為線段CG上動(dòng)點(diǎn)，。為BC邊中點(diǎn)，則三棱錐A-BDE外

接球表面積的最小值為.

3.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為4—,高為6,經(jīng)過(guò)上底面棱的中點(diǎn)與下底面的頂點(diǎn)截去該三棱柱的三個(gè)角,

如圖1,得到一個(gè)幾何體，如圖2所示，若所得幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的體積為（）

圖1圖2

AR475-80^/5n160正

A.O（J7ID.-------71C.--------71L）.---------兀

333

4.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,ACJ.BC,AC=3C=1,點(diǎn)。在上底面（包含

邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐o-ABC外接球半徑的取值范圍為（）

?題型02:四棱錐

5.四棱錐P—ABCD中，平面平面ABCD,底面ABCD為矩形，PA=PD,AB=2,BC=2。若

四棱錐P-ABCD的外接球表面積為20兀，則四棱錐P-ASCD的體積為（）

A.4石B.12A/3C.生叵或4石D,4石或12百

3

6.已知正四棱錐尸-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為如，且二面角P-AB-C的正切值為2應(yīng)，則它的外接球表面積

為（）

4025

A.12兀B.—7iC.87rD.—兀

32

?題型03:棱臺(tái)

7.已知正四棱臺(tái)ABC。-=半球的球心。在底面AAGA的中心，且半球與該棱臺(tái)的各棱

均相切，則半球的表面積為（）

A.9兀B.1871C.27KD.367r

8.在正三棱臺(tái)ABC-A2G中，44=26,AB=4有，二面角片-BC-A的正弦值為半，則ABC-A⑻G

的外接球體積為（）

A80?？?60扃n65^6571

C.40扃LJ,----------------

336

?題型04:側(cè)棱垂直于底面

9.如圖，四棱錐P-ABCD中，尸面A8CD,四邊形ABCD為正方形，B4=4,PC與平面ABC。所成

C.34兀D.1471

10.如圖，在四面體ABCQ中，與△5CD均是邊長(zhǎng)為2指的等邊三角形，二面角A-BD-C的大小

為90。，則四面體ABC。的外接球表面積為

?題型05:正方體、長(zhǎng)方體

11.已知正方體ABC。-的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)￡是棱8的中點(diǎn)，尸為四邊形8RG內(nèi)（包括邊界）的一

動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足男尸〃平面3AE，男尸的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（）

A.8c兀B.24兀C.18幾D.3缶

12.已知一個(gè)長(zhǎng)方體的封閉盒子，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為3,4,5,盒內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球,

若將盒子隨意翻動(dòng)，則小球達(dá)不到的空間的體積是（）

2022

A.36——71B.32——71

33

,40

C.60—12TID.60-----兀

3

?題型06:其他多面體

13.如圖1,一圓形紙片的圓心為。，半徑為4g,以。為中心作正六邊形ABCD￡F,以正六邊形的各邊

為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點(diǎn)恰好落在圓。上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖

形如圖2所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺(tái).若該

正六棱臺(tái)的高為卡，則其外接球的表面積為（）

357r

D.

—

14.六氟化硫，化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在

電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作

是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體E-AfiCD-尸的棱長(zhǎng)為

。，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）

E

①異面直線AE與BF所成的角為45。；

②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為36;

③若點(diǎn)P為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+CP的最小值為2島；

④若點(diǎn)。為四邊形ABC。的中心，點(diǎn)。為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為空即.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

?題型07:三棱錐

15.若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球。的球面上，S3為球。的直徑，且AC=20,則該三

棱錐的最大體積為（）

A.-B.-C.3D.—

333

16.在正三棱錐A-BCD中，分別為AC、3c的中點(diǎn)，P為棱CD上的一點(diǎn)，且尸C=2PD,MNIMP,

若BD=R，則此正三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（）

A.3nB.6兀C.8兀D.9兀

17（多選）.已知三棱錐P-ABC的底面A3C是直角三角形，PAL平面ABC,PA=AB=AC=2,則（）

A.三棱錐尸-45c外接球的表面積為12兀

B.三棱錐尸-ABC外接球的表面積為487r

C.三棱錐尸一ABC內(nèi)切球的半徑為三也

3

D.三棱錐尸—ASC內(nèi)切球的半徑為主詆

9

18（多選）.如圖，在正三棱錐P—中，PB=&C=2娓,2E分別是棱AC,尸2的中點(diǎn)，M是棱尸C

上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

p

B

A.PB1AC

B.異面直線DE與AB所成角的余弦值為:

C.AAf+MB的最小值為用’

D.三棱錐P-A5c內(nèi)切球的半徑是@

10

19.如圖，正三棱錐尸-ABC的側(cè)面和底面ABC所成角為a,正三棱錐Q-ABC的側(cè)面和底面ABC所成角

為由A8=2g，尸和。位于平面ABC的異側(cè)，且兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則

NPBQ=,tan(a+0的最大值為.

?題型08:折疊問(wèn)題

20.在41BC中，AB=AC=2,ABAC=120°,過(guò)點(diǎn)A作垂足為點(diǎn)M,將_ABC沿直線AM翻折,

使點(diǎn)8與點(diǎn)C間的距離為3,此時(shí)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.5M兀B.IOTTC.身晝D.13n

36

21.如圖1,在矩形A3CZ）中，AB=1,BC=2,M是邊BC上的一點(diǎn)，將ABM沿著AM折起，使點(diǎn)8到

達(dá)點(diǎn)P的位置.

圖1圖2圖3

（1）如圖2,若M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，求證：CN〃平面E4M；

（2）如圖3,若點(diǎn)P在平面AMCD內(nèi)的射影”落在線段AD上.

①求證：CD_L平面E4D；

②求點(diǎn)M的位置，使三棱錐尸-法加的外接球的體積最大，并求出最大值.

模擬精練

一、單選題

1.（2024?新疆?三模）設(shè)四棱臺(tái)的上、下底面積分別為岳，S2,側(cè)面積為S,若一個(gè)小球

與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（）

2

A.S=S,S2B.S=S]+邑

C.S=2y[S^D.A=&+厄

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球

的表面積為（）

A.13兀B.—兀C.KD.—7i

81505

JT

3.（2024陜西安康.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐S-ABC中，AB=3C=SC=2,ZCAB=~,。為3C的

7T

中點(diǎn)、，SDLBC,SA與平面ABC所成的角為“則三棱錐S-鉆C外接球的表面積為（

20兀-22兀

A.B.C.D.——

33"T3

4.（2024?廣東.模擬預(yù)測(cè)）建盞是福建省南平市建陽(yáng)區(qū)的特產(chǎn)，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底

小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建

盞的上半部分抽象成圓臺(tái)QQ,已知該圓臺(tái)的上、下底面積分別為16兀cn?和971cm2,高超過(guò)1cm,該圓臺(tái)上

、下底面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球。的表面上，且球。的表面積為lOOnnf,則該圓臺(tái)的體積為（）

5.（2024?江西鷹潭?三模）在菱形ABCD中，AB=2,AC=273,將ABC沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)8到

達(dá)k的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐2'-4co的外接球的表面積為（）

A.5兀B.1671C.20TID.100兀

6.（2024?湖北荊州?模擬預(yù)測(cè)）三棱錐尸-A5c的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，AB=6,BC=8,AC=10,

頂點(diǎn)尸到一的三邊距離均等于4,且頂點(diǎn)P在底面的射影在一ABC的內(nèi)部，則球。的表面積等于（）

7.（2024河北滄州?三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書(shū)，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立

方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體尸-ABC的棱長(zhǎng)為2后，

M為棱上4上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐ABC的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐"-ABC的體積為（）

A.孚B.4點(diǎn)C.46D.

8.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,直角梯形A3CD中，AB//DC,XDCB^90,DC=BC=AB^2,^AB

中點(diǎn)E,將3CE沿EC翻折（如圖2）,記四面體ECZ）的外接球?yàn)榍?。（。為球心?尸是球。上一動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)直線AO與直線AP所成角最大時(shí)，四面體尸-AEC體積的最大值為（）

A*B.逑「4加4A/10

15515

二、多選題

9.（2024?山西晉中.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-44GA中，G為8片的中點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的有（）

A.CG與aa所成角的余弦值為萼

B.與平面ABG的交點(diǎn)》是ABG的重心

C.三棱錐已-84G的外接球的體積為4居

D.8月與平面A2G所成角的正弦值為"

3

10.（2024?浙江紹興?三模）平行四邊形ABC。中A5=2AD=2,且/BAZ）=60。，AB、C￡）的中點(diǎn)分別為E、

F,將VADE沿。E向上翻折得到△;＞叫,使尸在面BCDE上的投影在四邊形BC￡）E內(nèi)，且尸到面BCZ5E的

距離為亞，連接PC、PF、EF、PB,下列結(jié)論正確的是（）

3

A.PD=PF

B.PD±BC

C.三棱錐P-DEF的外接球表面積為3萬(wàn)

D.點(diǎn)。在線段PE上運(yùn)動(dòng)，則1221+1Q81的最小值為也+石

11.（2024.山東濟(jì)寧.三模）如圖，在直三棱柱A