第四章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用

第四章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用

不定積分的運(yùn)算目錄2定積分的概念及性質(zhì)3定積分的計(jì)算41不定積分的概念與性質(zhì)5定積分在幾何上的應(yīng)用不定積分的運(yùn)算2定積分的概念及性質(zhì)3定積分的計(jì)算45定積分在幾何上的應(yīng)用1不定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)

不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)的概念、、第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)

不定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)

不定積分的概念與性質(zhì)二、不定積分的概念第一節(jié)

不定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)

不定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)、、三、不定積分的性質(zhì)求不定積分和求導(dǎo)數(shù)（微分）互為逆運(yùn)算，即當(dāng)微分號(hào)與積分號(hào)放在一起時(shí)會(huì)“抵消”掉，顯然有以下兩條基本性質(zhì)：例如，第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)、、四、不定積分的幾何意義目錄不定積分的概念與性質(zhì)1定積分的概念及性質(zhì)3定積分的計(jì)算45定積分在幾何上的應(yīng)用2不定積分的運(yùn)算第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、一、不定積分的基本公式

積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式“反過(guò)來(lái)”就可以得到基本積分公式。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、二、不定積分的運(yùn)算法則第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、三、不定積分的方法1．直接積分法

直接利用不定積分的運(yùn)算法則和常用基本積分公式求不定積分的方法稱為直接積分法。直接積分法可用于求一些較簡(jiǎn)單的不定積分，在積分過(guò)程中只需對(duì)被積函數(shù)做適當(dāng)?shù)淖冃巍⒔M合等即可求出不定積分。解注意：在分項(xiàng)積分后，每個(gè)不定積分的結(jié)果都應(yīng)含有一個(gè)任意常數(shù)，但由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只寫(xiě)一個(gè)任意常數(shù)即可。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、解第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、MATLAB提供了求符號(hào)函數(shù)不定積分的int函數(shù)，其調(diào)用格式如下：int(expr,var)

%expr表示被積函數(shù)，var表示積分變量。例4的MATLAB求解代碼如下：>>syms

x>>f

=

x^4/(1+x^2);>>int(f,x)注意：利用MATLAB的int函數(shù)求不定積分時(shí)，只是求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，不會(huì)自動(dòng)補(bǔ)充常數(shù)項(xiàng)。。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。解第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。2．換元積分法（1）第一類換元積分法第一類換元積分法也稱湊微分法，是指將不定積分中難以直接得到原函數(shù)的被積函數(shù)，通過(guò)湊微分變成在常用基本積分公式里能夠找到的函數(shù)，進(jìn)而求出原不定積分的方法。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。【例6】求解第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、?！纠?】求解【例8】求解第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。【例9】求解【例10】求解類似可得第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、?！纠?1】求解【例12】求解第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。（2）第二類換元積分法在求不定積分時(shí)，如果被積函數(shù)中沒(méi)有合適的因子可用于湊微分。此時(shí)，可通過(guò)變量代換設(shè)法把被積函數(shù)變成能湊微分或能積分出來(lái)的形式。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、?！纠?3】求解進(jìn)行如下變量代換：令，即第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、?！纠?4】求解進(jìn)行如下變量代換：令，即第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、?！纠?5】求解第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、?！纠?6】

求解

令，則當(dāng)

時(shí)，，于是第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。因?yàn)?/p>

，所以故第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、?！纠?7】

求解

令，則，如圖所示。利用三角公式可得所以第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。因此，其中類似可得第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、、。3．分部積分法直接積分法與換元積分法，雖然能夠用于求解一些不定積分，但對(duì)于某些不定積分，如等，仍然無(wú)法求解。為了解決這類不定積分問(wèn)題，下面將介紹求不定積分的另外的方法—分部積分法。這個(gè)等式就稱為分部積分公式，這種積分方法就是分部積分法。第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、?！纠?8】

求解令，即，由分部積分公式得于是第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、?！纠?9】

求解令，則【例20】

求解移項(xiàng)，化簡(jiǎn)得故第二節(jié)

不定積分的運(yùn)算、?！纠?1】

求解被積函數(shù)含有根號(hào)，因此先利用第二類換元積分法消去根號(hào)，然后利用分部積分公式求積分。令，可得，于是由分部積分公式可得因此目錄不定積分的概念與性質(zhì)1不定積分的運(yùn)算2定積分的計(jì)算45定積分在幾何上的應(yīng)用3定積分的概念及性質(zhì)第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)一、曲邊梯形的面積基本思路是：（1）把曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形（2）用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積（3）求各小矩形的面積之和（4）求各小矩形面積之和的極限。第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)二、定積分的概念第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)【例22】

根據(jù)定義計(jì)算定積分第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)第三步：求和。積分和式為第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)關(guān)于定積分定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)定積分的幾何意義第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)第三節(jié)

定積分的概念及性質(zhì)目錄不定積分的概念與性質(zhì)1不定積分的運(yùn)算2定積分的概念及性質(zhì)35定積分在幾何上的應(yīng)用4定積分的計(jì)算第四節(jié)

定積分的計(jì)算一、變上限定積分第四節(jié)

定積分的計(jì)算【例23】求

的導(dǎo)數(shù)。

解

因?yàn)楸环e函數(shù)

是連續(xù)函數(shù)，所以由定理4.4得第四節(jié)

定積分的計(jì)算【例23】求解

因?yàn)楸环e函數(shù)

是連續(xù)函數(shù)，且該極限的分子、分母都趨向于0，故可用洛必達(dá)法則，即第四節(jié)

定積分的計(jì)算二、牛頓—萊布尼茨公式【例25】

求第四節(jié)

定積分的計(jì)算【例26】

求解的原函數(shù)為第四節(jié)

定積分的計(jì)算三、定積分的換元積分法1．第一類換元積分法（湊微分法）當(dāng)用湊微分法求定積分時(shí)，由于并不是用新的變量替換原變量，因此不需要變換積分的上限、下限?！纠?8】

計(jì)算解【例29】

計(jì)算解第四節(jié)

定積分的計(jì)算2．第二類換元積分法【例30】

求解設(shè)

，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，第四節(jié)

定積分的計(jì)算【例31】

求解設(shè)

，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，第四節(jié)

定積分的計(jì)算四、定積分的分部積分法第四節(jié)

定積分的計(jì)算【例32】

求解【例33】

求解令，則目錄不定積分的概念與性質(zhì)1不定積分的運(yùn)算2定積分的概念及性質(zhì)34定積分的計(jì)算5定積分在幾何上的應(yīng)用第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用一、微元法第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“積零為整,無(wú)限累加”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法稱為微元法(或元素法

)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用二、直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積【例34】

求由

所圍成圖形的面積。第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用第三步：計(jì)算定積分，求圍成圖形的面積，有第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用三、旋轉(zhuǎn)體的體積第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用%繪制圍成的平面圖形>>clc;clear

all>>x

=

0:0.01:1;>>y1

=

sqrt(x);>>plot(x,y1,'k-','linewidth',2)>>hold

on>>plot([1,1],[0,1],'k:','linewidth',2)>>ax

=

0.3;ay

=

0;l

=

0.05;%小矩形的長(zhǎng)和寬>>w

=

sqrt(ax);>>x

=

[ax,ax+l,ax+l,ax,ax];

>>y

=

[ay,ay,ay+w,ay+w,ay];>>fill(x,y,'k