2024年中考數(shù)學(xué)圓復(fù)習(xí)講義：隱圓

【原題呈現(xiàn)】

如圖1所示，在RtAABC中,/ABC=9(F,BA=BC^aABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角a(0°<a<90。)”得到△ADE.

連接BD并延長交CE于點(diǎn)F.

(1)如圖2所示，當(dāng)a=45。時,求證:CF=EF.

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中：

①問題⑴中的結(jié)論是否仍然成立?證明你的結(jié)論

②連接CD,當(dāng)小CDF為等腰直角三角形時，求汝若的值.

【研題策略】

1.RtAADE是由.RtAABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，屬于共頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中始終保持有△EAC

DAB的特性，模型上屬手拉手，旋轉(zhuǎn)相似形，如圖3所示.

2.如圖4所示因△EACSAZMS得^ACE=UBD,,力口之乙FGC=NBG4“圓”形畢露，來路活水清晰，得

A,B,C,F四點(diǎn)共圓.

AB

圖3

3.為了更好地闡明“四點(diǎn)共圓”的來路，摸清如何才能讓四點(diǎn)“圓”形畢露，我們現(xiàn)做如下的知識鋪墊.

四點(diǎn)共圓常見的判定方法(或適用背景)有如下三種：

(1)已知四邊形ABCD若Z5+ZD=180。,廁A,B,C,D四點(diǎn)共圓，如圖5所示.

簡述：若四邊形對角互補(bǔ)，則四點(diǎn)共圓.

圖5

若四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角也屬此情形，如圖6所示.

若對角分別是90。,，屬此情況的特例，如圖7所示.

在實(shí)際應(yīng)用中，若乙ABC=90°,,A,C,B三點(diǎn)可看成在以AC為直徑的圓中，如圖8所示.

圖8圖9

⑵如圖9所示若（OA=OB=OC=OD,,由圓的基本定義，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓在實(shí)際應(yīng)用中，若有（

OB=OC=則B,C,D三點(diǎn)在以O(shè)為圓心QB為半徑的圓上.

⑶AC.BD相交于點(diǎn)E,若Z.B=則A,B,C,D四點(diǎn)共圓，如圖10所示.

有了以上的點(diǎn)共圓知識儲備，讓我們重新回歸試題，縱觀全題，RtAADE在整個旋轉(zhuǎn)過程中，△EAC-AD

AB始終保持，也就是說始終有NACE=乙1BD,符合點(diǎn)共圓中的第③種情況，A,B,C,F四點(diǎn)共圓，這種特性在

本題的兩問中都可延續(xù)使用.

4.換一個角度，RtAADE在旋轉(zhuǎn)中始終保持等腰直角三角形的情況，也可以采用化斜為直，運(yùn)用一線三直角

模型處理.

思路

1.如圖11所示.由A,B,C,F四點(diǎn)共圓，乙4BC=90?？芍狝C為圓的直徑，因此可得乙4FC=90。..在旋轉(zhuǎn)過程中

AE=AC不變，由三線合一可得（CF=EF.^FAC=*因A,B,C,F共圓，導(dǎo)角可得"BC=乙FAC=泉tan期勺值可轉(zhuǎn)

化成求tcm/FBC的值

2.如圖12所示，⑵中第①問可從/EDF=/FBC出發(fā)，構(gòu)造EG||BC,證明△GEF=△BCF.

3如圖13所示，(2)中第①問也可從斜直角出發(fā)，構(gòu)造一線三直角模型，證明AAPB=ABNC,AEDM^ADA

P,AEFM之△CFN.

解

(1)解法一如圖14所示，連接AF.

ADAC

???—=—^BAC=乙EAC=45°,

ADAEf

：.△ABDACE.

???NABD=NACE.

所以A,B,C,F四點(diǎn)共圓.

因?yàn)?ABC=90。，

所以AC為直徑.

/AFC=90°.又AE=AC,ACF=EF.

解法二當(dāng)a=45。時，如圖15所示，有AADE=^ABC=90°,AEAD=^CAB=45°,AE=AC,AD=AB.

在4CAE中,/ACE=NAEC=67.5。.

在仆DAB中,/ABD=NADB=67.5。.

ZFDC=ZADB=67.5°.

ZFDC=ZDCF.

圖15

CF=DF.

在RtAEDC中,/CED=/EDF=22.5°.

???EF=DF..??EF=CF.

(2)①成立.

證法一如圖16所示，連接AF.

E

ABACAr\「AC

—=—/BAD=Z.EAC,

ADAE

：.△ABDsaACE.

/.ZABD=ZACE.

所以A,B,C,F四點(diǎn)共圓.

因?yàn)镹ABC=90。,所以AC為直徑.

ZAFC=90°.

又AE=AC,；.CF=EF.

證法二如圖17所示，過點(diǎn)E作EG〃CB交BF的延長線于點(diǎn)G.

VAD=AB,/.ZADB=ZABD.

,/ZEDG+ZADB=ZCBF+ZABD=90°,

ZEDG=ZCBF.

EG〃CB,；.NG=NCBF.

ZEDG=ZG.

EG=ED.

VED=BC,.".EG=BC.

ZEFG=ZCFB,.\AFEG^AFCB(AAS).

/.EF=CF.

證法三如圖18所示，分別過點(diǎn)A,C,E,作2P1BF,,垂足為P,(CN18凡垂足為N,EM±BF交BF的延長

線于點(diǎn)M.

易證△EMD04DPA,得EM=PD.

易證△APB名BNC彳導(dǎo)CN=BP.

在等腰三角形ABD中,APLBD,得PD=PB.

故EM=BP=CN.

故4EMF0ZkCNF,因止匕EF=CF.

圖18

證法四如圖19所示，過點(diǎn)C作CP〃DF交ED的延長線于點(diǎn)P,EP交BC于點(diǎn)Q.

由/EDF=/BDQ,/EDF=/DBC,得/BDQ=NDBQ.

/.DQ=BQ.

又CP〃BD得NQCP=/QBD,NQPC=/QDB,貝！|/QCP=/QPC,可彳導(dǎo)CQ=PQ.

故CQ+QB=PQ+DQ,PD=BC=DE.

因此喋=*=1,即EF=CF.

②情況一，當(dāng)/FDC=90。時:

解法一如圖20所示由⑵中第1問知A,B,C,F四點(diǎn)共圓,NF4C=乙FBC=/當(dāng)DF=DC,/CDF=90。時,△ABD-

△ACE.

BD_AD_1

''CE-AE~\f2

魚廠口i

設(shè)BO=a,EC=/a廁在RtACDF中，CF=|CE=ja,CD=——CF——a.

22

tan-=tanZ.CBF=—hi.

2BDa=2

圖20

解法二如圖21所示，當(dāng).DF=DC/CDF=90。時,C,D,B在以CB的中點(diǎn)O為圓心的圓上，連接ODQA,則OD

=OB.

因?yàn)锳D=AB,

所以O(shè)A是BD的中垂線，即AG垂直平分BD.

a八*「OB1

???tan-=tanZ-OAB=—

2AB2

情況二，當(dāng)/DCF=90。時:

圖21

解法一如圖22所示油⑵中第1問知A,B,C,F四點(diǎn)共圓,Z.FAC=乙FBC=今

當(dāng)CF=CD,NDCF=90°時,

,/AABD^AACE,

BD_AD_1

CE~AE~y[2

設(shè)BD=a,EC=V2a,CF=|C￡=yd.

在RtACDF中,.FD=V2CF=a.

作CH_LBF,垂足為H,:DH=^FD=CH-^^a.

又一i

tan-=tanZ.CBF=—,1-

2BHa+-a3

解法二如圖23所示，當(dāng)CF=CD,NDCF=90。時,NCDB=135tCB為定長，設(shè)△CDB外接圓圓心為O,且NCOB=9

0°.過點(diǎn)O作OH_LCB,垂足為H,作OM_LAB,垂足為M廁四邊形OHBM是正方形反

CL

明二％。

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