2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：圖形的相似與解直角三角形

中考專題復(fù)習(xí)之圖形的相似與解直角三角形

知識梳理

1.圖形的相似

⑴比例線段.

ab

cd

(比例基本定理)合比性質(zhì)：誓=岑

ba

?=5=...=翌。+(^+-一+幾片0)今等比性質(zhì)：鬻y=?

bdnb+d+--'+nb

(2)相似三角形.

①相似三角形定義和表示：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫作相似三角形.用符號“S”表示，讀作

“相似于”.

②相似三角形的對應(yīng)邊的比叫作相似比.

③相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所截成的三角形與

原三角形相似.

④相似三角形的判定：

三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：

類型斜三角形直角三角形

全等三角形的

SASSSSAAS(ASA)HL

判定

相似三角形的兩邊對應(yīng)成三邊對應(yīng)成比一條直角邊與斜

兩角對應(yīng)相等

判定比例，夾角相等例邊對應(yīng)成比例

2.解直角三角形

(1)銳角三角函數(shù)的定義.

在直角三角形ABC中,NC=90。,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,NA的四個三角函數(shù)如下：

(a)正弦定義：在直角三角形ABC中，銳角A的對邊與斜邊的比叫作角A的正弦，記作sinA，即sinX=

c

(b)余弦的定義：在直角三角形ABC,銳角A的鄰邊與斜邊的比叫作角A的余弦，記作cosA，即cosA=%

(c)正切的定義：在直角三角形ABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫作角A的正切，記作tanA,即tan4=*

這種對銳角三角函數(shù)的定義方法，有兩個前提條件：

①銳角NA必須在直角三角形中，目.NC=90。.

②在直角三角形ABC中，每條邊均用所對角的相應(yīng)的小寫字母表示.否則，上述關(guān)系不成立.

(2)坡角和坡度.坡面與水平面的夾角稱為坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度的比為坡度(或坡比),即坡度等于

坡角的正切.

2

⑶銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系為平方關(guān)系：s譏2人+COs/l=1.

(4)互為余角的兩個三角函數(shù)之間的關(guān)系.

若/A+/B=90°,則sinA=cosB,cosA=sinB.

(5)特殊角的三角函數(shù)如下表所示.

0°30°45°60°

sina

cosa

tana

(6)勾股定理.

①勾股定理的概念：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

②勾股定理的數(shù)學(xué)表達：若△ABC為直角三角形，乙4,AB,NC的對邊分別為a,b,c,且々=90。,則a2+b2c2

；反之，已知a,b,c為A4BC的邊，若a?+/=?2,則AABC為直角三角形.

典型例題

例1

已知線段AB,其中C點為AB黃金分割點，設(shè)以AC為邊的正方形的面積是Si,以CB,AB的長為邊的矩形的

面積是S2,則Si與S2的大小關(guān)系為.

2

解析由題意得：Si=CA,S2=CB-AB

因為C點為AB黃金分割點，

所以存在以下兩種情況：

2

(1)CA>CB時，即有.=符則CA=CB.4B,因此=S2;

22

(2)CA<CB時，即有(CA<CB<CB■力B,因此<S2;

綜上所述，Sx<S2.

例2

如圖所示，在RtAABC中,NC=90。,BC=8cm,5AC-3AB=0.若點P從點B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點

Q從點C出發(fā)，沿CA方向以Icm/s的速度移動.若P,Q同時分別從B,C出發(fā)，經(jīng)過多長時間4CPQ與ACAB相似？

解析設(shè)經(jīng)過ts時公CPQ與小CAB相似.A

因為NC=90。，

所以AC2+BC2=AB2.；

又因為BC=8cm,5AC-3AB=0,X-_J,

所以AC=6cm,AB=10cm.?,_

例2圖

因為點P從點B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動.所以0<t<4.

因為點Q從點C出發(fā)，沿CA方向以lcm/s的速度移動，所以0<t<6,

所以0<t<4.

設(shè)經(jīng)過ts(0<t<4)時,△CPQ-^ACAB相似，此時BP=2t,CQ=t,CP=8-2t,存在如下兩種情況:

(1)當(dāng)小CPQ-ACAB時，即有=等，則？=*解得

LACDoo11

(2)當(dāng)4CPQ-ACBA時，即有篇=號則合券=士解得t=芳.所以經(jīng)過興或普s時,△CPQ與公CAB相似.

CDCAo65115

例3

2

已知(VltanA-3)+|2cosB-V3|=0,試判斷△ABC的形狀.

解析因為((V5tanA—3)+12cos8—V3|=0,

因為(EtanA-3)20,且12cosB-皆|20,

所以(V^tanA-3)=0,|2cosB-V3|=0,

所以tanX=y,cosB=y,

所以ZX=30。,NB=60°,

所以NC=90。.

所以△ABC為直角三角形.

例4

如圖⑴所示，在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC內(nèi)兩點,AD平分NB4C,NEBC=/E=60。,若BE=6cm,DE=

2cm，則BC—cm.

例4圖

解析如圖⑵所示，過E作EMLBC,分別延長AD,ED交BC于點F,H.由題意得DF〃EM,AEBH為等邊三角形,

因此BE=BH=EH=6cm,HM=3cm,且—=妲廁有HF=2cm,MF=lcm,所以BF=4cm,所以BC=8cm.

雙基訓(xùn)練

1.若四三=工廁竺=

n2n

2.若2=g=(,a+b+c=24,貝!]3a+4b+6c=().

A.90B.100C.110D.120

3.已知a,b,c,d是比例線段，其中a=3cm,b=4cm,c=12cm,則線段d的長度為().

A.2cmB.16cmC.9cmD.32cm

4.如圖所示，已知△ABCs/^BDA,且NABC=NADB=90o,AC=10,BC=8,AD=().

2418

A.—B.—C.6D.8

55

第4題圖第5題圖

5.如圖所示，在等邊三角形ABC中，且BD=\BC,CE=：AC,則下列說法中正確的個數(shù)有（）.

Z4

（1）AABD^ADCE;（2）ADCEs/\ADE;⑶NADE=60°;（4）NDEC=90°.

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖所示,P為線段AB上一點,AD與BC交于E,ZCPD=ZA=ZB,BC交PD于F,AD交PC于G,則圖中相似

三角形有（）.

A.1對B.2對C.3對D.4對

第6題圖第7題圖

7.如圖所示，小正方形的邊長均為1,則下列選項中的三角形（陰影部分）與小ABC相似的是（）.

8.如圖所示,M為RtAABC的斜邊BC上異于B,C的一個定點，過M點作直線截△ABC，使截得的三角形與△

ABC相似，這樣的直線共有（）.

A.1條B.2條

C.3條D.4條

9.若已知兩個三角形為相似三角形，兩個三角形的周長比為4：3,則其面積比為（）.

A.16:9B.9:16

C.3:4D.4:3

10.如果兩個相似三角形的面積之比為1：9,那么它們對應(yīng)的高的比是（）.

第8題圖

A.l:9B.1:3C.2:lD.l:2

C

第11題圖

12.現(xiàn)有一張紙，如果對折后的半張紙與整張紙相似，則整張報紙的長和寬的比是（）.

A.4:lB.1.5:1C.2:lO.V2:1

13.如圖所示，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B,C在同一水平線上），為了測量B,C兩地

之間的距離，某工程師乘熱氣球從C地出發(fā)，垂直上升100m到達A處，在A處觀察B地的俯角為30。，則B,C

兩地之間的距離為（）.

A.100-\/3mB.SQyJZm

100V3

C.50V3mDn.-------m

14在RtAABC中.各邊的長都擴大了4倍.那么銳角A的余弦值（）.

A.擴大了4倍B.縮小了4倍

C.沒有變化D.不能確定

15.在RtAABC中,NC=90o,AB=2BC,則sinB的值為().

1V2V3ci

AA.-nB.—nC.—D.l

222

16.在RtAABC中,/B=30o,NC=9(r,AD平分/BAC交BC于點D,則DB:CD等于().

A.l:25.1：V3

C.2:l￡>.V3：V2

17.已知在等邊三角形ABC中，如圖所示,DE〃BC,且BC=4cm,AE:AC=1:3,那么△ADE的周長等于.

18.已知△ABCs^EBD,且相似比為5:2,△ABC與^EBD的面積和為（812c/,則^ABC的面積為cm2.

19以點O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形已知OA=10cm,OA，=20cm,則五邊形

ABCDE的周長與五邊形4BO9的周長的比值是.

...........C

第19題圖

20.計算:sin30°cos45°+cos60°tan60°.

能力提升

21.將三角形紙片UABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上,記為點B1,折線為EF.已知AB=AC

=6,BC=8,若以點B1,F,C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是—.

22如圖所示，在△ABC的外接圓。O中,D是弧BC的中點AD交BC于點E,連接BD.則圖中相似的三角形有一

第21題圖第22題圖第23題圖

23.如圖所示,在矩形ABCD中,對角線交點為0,P為AD的中點,PELAC于點E,PF±BD于點F,AB=3,BC=4,則

PE+PF=____.

24.如圖所示,在等腰三角形ABC中,/C=9(T,D為AC上任意一點,若已知AC=3,tanzDBX=g則AD=

第24題圖第25題圖

25.如圖所示.在四邊形ABCD,CDEF,EFGH都是正方形，則/1+/2=.

26.已知a=3,且(4tan450-b)2+j+/—c=0,以a,b,c為邊組成的三角形是__.

27.如圖所示，在RSABC中，作第一個正方形的邊長為12,第二個正方形的邊長為9,求第三個正方形的周

長.

第27題圖

28.如圖所示，在△ABC中,/BAC=9(T,AD_LBC于點D,點E為AC的中點,ED的延長線交AB的延長線于點F.

第28題圖

29.為了測量某個小教堂的高度，測量人員選擇了離這個小教堂近的一個建筑物并在兩者之間立了一個旗桿，

高為88米,如圖所示(右邊為小教堂)，從建筑物的頂點A正好可以看到小教堂的底部C點，且俯角a為(60。,，

又從A點測得D點的俯角p為：30。,，若旗桿的底點為G,且CG=|BC,問小教堂的高為多少米?

第29題圖

30.如圖所示，某個器件的截面為梯形ABCD,且有=4m,,器件的高為6m,AD的坡度為1:3,BC

的坡度為1：L求該器件的截面積.

DC

第30題圖

拓展資源

31.如圖所示，矩形DEGF內(nèi)接于銳角.△ABC,,其中D,E兩點分別在邊AB,AC±,F,G兩點在BC邊上,AN為△

4BC的高,AN交DE于M,交BC于N.其中BC=12cm,高AN=8cm.矩形DEGF是否存在面積最大的情況？最大面積

為多少？

32.如圖所示，在。O中直徑AB1CD,,垂足為E,點M在OC上,AM的延長線交0O于點G,交過點C的直線

于點F,zl=N2,,連接CB與DG交于點N.

(1)求證:CF是。。的切線.

(2)求證:△ACMO△DCN.

(3)若點M是CO的中點,OO的半徑為4,cosNBOC=1，求BN的長.

33.新星小學(xué)門口有一直線馬路，為方便學(xué)生過馬路，交警在門口設(shè)有一定寬度的斑馬線，斑馬線的寬度為4

米，為安全起見，規(guī)定車頭距斑馬線后端的水平距離不得小于2米，現(xiàn)有一旅游車在路口遇紅燈剎車停下，汽車

里司機與斑馬線前后兩端的視角分別為/-FAE=15。和乙FAD=30。.司機距車頭的水平距離為0.8米，試問該旅游

車停車是否符合上述安全標準?（E,D,C,B四點在平行于斑馬線的同一條直線上）

（參考數(shù)據(jù)：tan150=2-V3,sinl5°=正返，cosl5°=恒a，8=1.732,〃=1.414）

44

L4米---勺0.8米廣

第33題圖

1-5ACBAD6-10CACAB11-16BDACCC

17.4cm18.70019.-20.

24

21.4或爭2ABDE^AACE,ADBE^ADAB,AABD^AAEC

23.苫24.V2/225.45。26直角三角形

27.27

28.因為/BAC=9(F,AD_LBC,/B=NB

所以△ABD^ACBA

所二UI以'IA就B=而BD

因為點E為AC的中點,ADJ_BC

所以DE=)C=EC

所以/EDC=/C

因為NFDA=/FDB+/BDA,/FBD=/BAC+/C

又因為/BDF=NC

所以/C=/BDF

所以/FDA=/FBD

在4BDF和4DAF中,/FDA=/FBD,/B=NB

所以△BDF^ADAF

所r-r-p以IB詬D=而DF

又因為泮黑

所以冷竿

29.8百米30.96爪2

31.因為四邊形DEGF為矩形

所以DE〃BC

所以△ADE^AABC

二

所UI以”Z嬴M=而DE

設(shè)AM=x(0<x<8)

“AM-BC12x3x

DE=---------=——=——

AN8