2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：四邊形綜合

四邊形綜合

知識梳理理

1.多邊形

邊數(shù)為n的多邊形叫作n邊形(n為大于或等于3的正整數(shù)，一般三邊形稱作三角形).

多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(5-2)?180°(n>3).

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°.

n邊形的對角線條數(shù)為/或

2.平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)如表19-1所示.

表19-1

AD

U四邊形ABCD為平行四邊形nAB〃C

平行四邊形的對邊平行且相等

D,AD〃BC

BC

AD

u四邊形ABCD為平行四邊形=NA=Z

平行四邊形的對角相等

C,ZB=ZD

BC

AD

四邊形ACBD為平行四邊形nOA=O

平行四邊形的對角線互相平分

區(qū)C,OB=OD

BC

平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心

就是兩條對角線的交點;連接四邊上任意一AED

四邊形ABCD為平行四邊形,E,F在A

點和平行四邊形的對稱中心，與另一條邊相

宓D,BC上,且線段EF過點OT3E=OF

交于一點，則這兩個點關(guān)于平行四邊形的對BFC

稱中心對稱

SAAOB=SABOC=SADOC=SADOA

AD

AAOB^ACOD

平行四邊形中的重要結(jié)論區(qū)AAOD^ACOB

BCAABC^ACDA

ABCD^ADAB

3.矩形的性質(zhì)和判定

矩形的性質(zhì)如下：

⑴矩形的四個角都是直角.

⑵矩形的對角線相等.

矩形的判定如下：

(1)有三個角是直角的四邊形是矩形.

⑵對角線相等的平行四邊形是矩形.

4.菱形的性質(zhì)

(1)邊：對邊平行，四邊都相等.

⑵角:對角相等.

(3)對角線：對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角.

5.正方形的性質(zhì)和判定

正方形的性質(zhì)如下：

(1)邊：四條邊都相等，對邊平行，鄰邊垂直.

(2)對角線：對角線相等且互相平分，且每一條對角線平分一組對角，對角線把正方形分成四個全等的等腰直

角三角形.

(3)角：四個角是直角.

⑷既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

(5)正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有特點.

正方形的判定方法：

(1)由定義判定：有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形(平行四邊形+一個直角+一組鄰邊相

等).

(2)矩形+有一組鄰邊相等.

(3)菱形+有一個角是直角.

典型例題

在四邊形ABCD中,對角線AC.BD相交于點0,從(1)AB=CD;(2)AB//CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC±BD;

(6)AC平分/BAD這六個條件中，選取三個推出四邊形ABCD是菱形.如(l)(2)(5)n四邊形ABCD是菱形，再寫出符

合要求的兩個:今四邊形ABCD是菱形;今四邊形ABCD是菱形.

分析菱形的判定主要分為從四邊形出發(fā)和從平行四邊形出發(fā)，在四邊形基礎(chǔ)上要保證四邊都相等，而在平行

四邊形的基礎(chǔ)上要保證鄰邊相等或?qū)蔷€垂直.

解答案不唯一.⑴⑵⑹，⑶⑷(5),⑶⑷⑹等皆可.

例2

如圖19-1所示，正方形ABCD的對角線長8V2?E為AB上一點，若EFXAC于F,EG±BD于G,則.EF+EG

圖19-1

分析涉及垂線的問題往往可以考慮面積法，將4A0B分成△A0E和4B0E兩個三角形，那么EF和EG就是

分別以A0和B0為底邊的三角形的高，根據(jù)面積相等可得，EF+EG即為AC的一半.

解EF+EG=4V2.

例3

如圖19-2所示，在口ABCD中,DB=CD,NC=70。,AE_LBD于點E.試求/DAE的度數(shù).

分析本題主要結(jié)合了平行四邊形、等腰三角形以及直角三角形的一些特點，進(jìn)行了角度的運算.

解因為DB=CD,NC=70。

AD

所以AB=BD,NBAD=70。17\

所以NBDA=70。\\

又/AED=90°\/\

所以如E=20。\/\

例4圖19-2

已知:如圖19-3所示，在△ABC中，中線BE,CD交于點0,F,G分別是0B,0C的中點.求證：四邊形DFGE是平行

四邊形.

分析遇到多個中點問題，往往會考慮中位線，由中位線即可帶來平行以及相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系［從而得到需要的

結(jié)果.A

解因為中線BE,CD交于點O,F,G分別是OB,OC的中點D/_\E

所以DE,FG分別是△ABC和4OBC的中位線//^</\

G

BC

圖19-3

所以DE,FG均平行且等于BC的一半

所以DE〃FG

所以四邊形DFGE是平行四邊形

雙基訓(xùn)練

1.如圖19-4所示,如果口ABCD的對角線AC,BD相交于點0,那么圖中的全等三角形共有（）.

A.1對B.2對

C.3對D.4對

2.平行四邊形的一邊長是10厘米，那么這個平行四邊形的兩條對角線的長可以是（）.

A.4厘米和6厘米B.6厘米和8厘米C.8厘米和10厘米D.10厘米和12厘米

3.在四邊形ABCD中，。是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的條件是（）.

A.AC=BD,AB=CD,AB〃CDB.AD〃BC,NA=NC

C.AO=BO=CO=DO,AC±BDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC

4.如圖19-5所示,過矩形ABCD的四個頂點作對角線AC,BD的平行線，分別相交于E,F,G,H四點，則四邊形EFG

11為（）.

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

5.在四邊形ABCD中,AD〃BC,若ABCD是平行四邊形，則還應(yīng)滿足（）.

A.ZA+ZC=180°B.ZB+ZD=180°

圖19-5

C.ZA+ZB=180°D.ZA+ZD=180°

6.一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和，那么這個多邊形是（）.

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

7.如圖19-6所示,大正方形中有2個小正方形，如果它們的面積分別是Si&，那么Si段的大小關(guān)系是（）.

A.S1>S2B.S1=S2

c.Si<S2D.Si,S2的大小關(guān)系不確定

8.矩形的一條角平分線分矩形一邊為1厘米和3厘米兩部分，則這個矩形的面積為（）

A.3平方厘米B.4平方厘米

C.12平方厘米D.4平方厘米或12平方厘米

9如圖19-7所示，菱形花壇ABCD的邊長為6米,NB=60。,其中由兩個正六邊形組成的圖形部分種輪,則種花部

分的圖形的周長（粗線部分）為（）.

A12百米B.20米C.22米D.24米

10.如圖19-8所示，將一個邊長分別為4,8的長方形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合,則折痕EF的長是

().

A.V3B.2V3C.V5D.2V5

AGD

圖19-8圖19-9

11.如圖19-9所示是由兩個正方形組成的長方形花壇ABCD，小明從頂點A沿著花壇間小路直到走到長邊中點

O,再從中點O走到正方形OCDF的中心Oi,再從中心Oi走到正方形01GFH的中心O?,又從中心O2走到

正方形02IHJ的中心03,再從中心03走到正方形03KJP的中心O,，一共走了31魚米，則長方形花壇ABCD

的周長是（）.

A.36米B.48米C.96米D.60米

12.矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,NAOB=2/BOC,若AC=16厘米則AD=____厘米.

13.如圖19-10所示，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形ABCD的形狀,并使其面積為矩形面積

的一半，則這個平行四邊形的一個最小內(nèi)角的值等于—.

14.如圖19-11所示，過矩形ABCD的對角線BD上一點K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ,那么圖中矩形

AMKP的面積Si與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是SxS2（填或

15.如圖19-12所示,四邊形ABCD是正方形,P在CD上,△ADP旋轉(zhuǎn)后能夠與△重合，若AB=3,DP=1,則.P

P'=

16.已知菱形有一個銳角為60。，一條對角線長為6厘米，則其面積為一平方厘米

17.在一次數(shù)學(xué)實踐探究活動中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個部分，使含有一組對頂角的

兩個圖形全等.

⑴根據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有一組.

⑵請在圖19-13所示的三個平行四邊形中畫出滿足小強(qiáng)分割方法的直線.

⑶由上述實驗操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？

18.如圖19-14所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形,/BCD的平分線CF交邊AB于F,ZADC的平分線DG

交邊AB于G.

(1)線段AF與GB相等嗎？

(2)請你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個條件，使得△EFG為等腰直角三角形，并說明理由.

圖19-14

19.如圖19-15所示,已知口ABCD中,E為AD的中點,CE的延長線交BA的延長線于點F.

(1)試說明線段CD與FA相等的理由.

(2)若使/F=/BCF,口ABCD的邊長之間還需再添加一個什么條件？請你補上這個條件，并說明你的理由(不要

再添加輔助線).

圖19-15

20.如圖19-16所示，已知平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,E是BD延長線上的點，且.AACE是等

邊三角形.

(1)求證:四邊形ABCD是菱形.

(2)若^AED=2NE2D,求證：四邊形ABCD是正方形.

能力提升

21.如圖19-17所示,在梯形ABCD中，已知4旬|他,點E為BC的中點設(shè)△DE4的面積為S1梯形ABCD的面

積為.52,則S1與S2的關(guān)系為—.

22如圖19-18所示四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD互相垂直，四邊形.4出心。1是四邊形ABCD的中點四

邊形如果AC=8,BD=10,,那么四邊形Ai/CiDi的面積為

23.如圖19-19所示llogranMBCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△48E向上翻折，點A正好落在CD上

的點F,若△FDE的周長為8,AFC8的周長為22廁FC的長為

24.將一張長方形的紙對折，如圖19-20所示，可得到一條折痕（圖中虛線），繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次

的折痕保持平行，連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，那么對折四次可以得到一條折痕；如果對折n次，可

以得到一條折痕.

第一次對折第二次對折第三次對折

圖19-20

25.已知:如圖19-21所示.四邊形ABCD是菱形舊是BD延長線上一點,F是DB的延長線上的一點，且DE=

BF..請你以F為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線

段相等（只須證明一組線段相等即可）.

⑴連接一

⑵猜想:

（3）證明:

26.已知:如圖19-22所示，在邊長為a的菱形ABCD中,=60°?E是異于A,D兩點的動點，F(xiàn)是CD上的

動點.請你判斷：無論E,F怎樣移動，當(dāng)滿足：AE+CF^a時,△BEF是什么三角形?并說明你的結(jié)論.

圖19-22

27.已知:如圖19-23所示,E,F分別是WogramABCDmAD.BCAE=CF.

(1)求證:AABE=ACDF.

(2)若M,N分別是BE,DF的中點，連接MF,EN,試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.

圖19-23

28.已知:如圖19-24所示,△4BC中,CE,CF分另是N力C8和它的令B補角.乙4C。的角平分線,AE，CE于E,AF±CF

于F,直線EF分別交AB.AC于M,N.

求證:⑴四邊形AECF是矩形.

(2)MN與BC的位置有何關(guān)系，證明你的結(jié)論.

圖19-24

29.如圖19-25所示，已知梯形ABCD中,AD\\BC,AB=DC,,對角線AC和BD相交于O,E是BC邊上一個動點

(點E不與B,C兩點重合),EF〃BD交AC于點F,EG||4C交BD于點G.

(1)求證:四邊形EFOG的周長等于2OB.

⑵請你將上述題目的條件“梯形ABCD中,AD〃:BC,AB=DC”改為另一種四邊形.其他條件不變，使得結(jié)論“四邊

形EFOG的周長等于20B”的結(jié)論仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證，不必證明.

圖19-25

拓展資源

30.如圖19-26所示,正方形ABCD的邊長為4厘米,兩動點P,Q分別同時從D,A出發(fā)，以1厘米/秒的速度各自

沿著DA,AB邊向A,B運動.試解答下列各題：

(1)當(dāng)P,Q出發(fā)后多少秒時,四邊形APOQ為正方形？

(2)當(dāng)P,Q出發(fā)后多少秒時,SpQ)=卷S正方形ABCD.

圖19-26

31.在邊長為6的麥形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿A—>B—>C向終點C15動，連接DM父AC于點N.

⑴如圖19-27所示，當(dāng)點M在AB邊上時，連接BN.

①求證：AABN=AADN;

②若^ABC=60°,AM=4,,求點M到AD的距離.

⑵如圖19-28所示，若Z.ABC=90°,,記點M運動所經(jīng)過的路程為x(6<x<12).

試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形.

圖19-27圖19-28

32.在正方形ABCD中,M是邊BC中點,E是邊AB上的一個動點,MF1ME,,MF交射線CD于點F,AB=4,BE=

x,CF=y.

⑴求y關(guān)于x的解析式，并寫出x的取值范圍.

(2)當(dāng)點F在邊CD上時，四邊形AEFD的周長是否隨點E的運動而發(fā)生變化?請說明理由.

(3)當(dāng)DF=1時，求點A到直線EF的距離.

33.如圖19-29所示,四邊形ABCD是正方形,△4BE是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點)上任意一點，將

BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)(60。。得到BN,連接EN,AM,CM.

(1)求證:△AMB=AENB;

⑵①當(dāng)點M在何處時,AM+CM的值最??；

②當(dāng)點M在何處時,AM+BM+CM的值最小,并說明理由；

⑶當(dāng)AM+BM+CM的最小值為百+1時，求正方形的邊長.

34.已知矩形ABCD中,AB=4厘米BC=8厘米,AC的垂直平分線EF分別交AD,BC于點E,F,垂足為0.

⑴如圖19-30所示，連接AF,CE.求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長.

⑵如圖19-31所示動點P,Q分別從A,C兩點同時出發(fā)，沿△4FB和△CDE各邊勻速運動一周.即點P自A-F-

B—A停止.點Q自C—D—E—C停止.

①已知點P的速度為5厘米/秒，點Q的速度為4厘米/秒，運動時間為t秒，當(dāng)以A,C,P,Q四點為頂點

的四邊形是平行四邊形時，求t的值.

②若點P,Q的運動路程分別為a,b（單位：厘米，ab手0）,,已知以A,C,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊

形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.

1.D2.D3.C4.C5.D

6.B7.A8.D9.B10.D

11.C12.813.30°14.=\S.PP'=2乘16.18/或68

17.(1)無數(shù)；

⑵作圖的時候要首先找到對角線的交點，只要過對角線的交點，任畫一條直線即可如答圖19-1、答圖19-2

和答圖19-3所示,AE=BE=DF=CF,AM=CN.

⑶這兩條直線過平行四邊形的對稱中心(或?qū)蔷€的交點).

18.(1)證明:因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以AB//CD,AD//BC,AD=BC.

所以ZAGD=ZCDG,ZDCF=ZBFC.

因為DG,CF分別平分/ADC和/BCD,

所以ZCDG=ZADG,ZDCF=ZBCF.

所以/ADG=/AGD,/BFC=NBCF,所以AD=AG,BF=BC.

所以AG=BF.

所以AF=BG.

(2)因為AD〃BC,

所以ZADC+ZBCD=180°,

因為DG,CF分別平分/ADC和/BCD,

所以NEDC+NECD=90。.

所以NDEC=90。.

所以乙FEG=90°.

因此我們只要保證添加的條件使得EF=EG就可以了.

我們可以添加/GFE=NFGD.四邊形ABCD為矩形,DG=CF等.

19.(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形

所以CD/7BF,^ITUZZCDA=ZDAF

又因為E是AD的中點，所以AE=ED

又因為/CED=NAEF,所以△AEF^ADEC

所以CD=AF

⑵添加條件為BC=2AB.理由如下：

因為AB=CD=FA,BC=2AB,

所以BC=AB+AF=BF,所以/F=/BCF

20。)因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AO=CO,

又因為△ACE是等邊三角形，

所以EO_LAC,即DB_LAC,

所以平行四邊形ABCD是菱形；

(2)因為△ACE是等邊三角形，

所以/AEC=60。，

因為EOXAC,

所以^AEO=|^AEC=30°

因為/AED=2NEAD;

所以/EAD=15。，

所以^ADO=LEAD+AAED=45°

因為四邊形ABCD是菱形，

所以NADC=2/ADO=90。，

所以四邊形ABCD是正方形.

21$=2sl22.2023.724.15;2"-1

25.(1)連接AF;

(2)AF=AE;

⑶證明:四邊形ABCD是菱彩

所以AB=AD,

所以NABD=NADB,

所以/ABF=/ADE,

在仆ABFADE中,AB=AD,/ABF=NADE,BF=DE

所以△ABF0△ADE,

所以AF=AE.

26.如答圖19-4所示，連接BD,

因為四邊形ABCD是菱形，

所以AB=AD,

因為NDAB=60。，

所以△ABD是等邊三角形，

所以AB=DB,

又因為AE+CF=a,

所以AE=DF,

所以△ABE會△DBF,

所以BE=BF,ZABE=ZDBF,

所以ZEBF=ZABD=60°,

所以△BEF是等邊三角形.

27.(1)因為在口ABCD中,AB=CD,/A=/C,

又因為AE=CF,

所以△ABE^ACDF.

⑵四邊形MFNE是平行四邊形.

由(1)知4ABE^ACDF,

所以BE=DF,ZABE=ZCDF,

又因為ME=BM=^BE,NF=DN=^DF

所以ME=NF=BM=DN,

又因為NABC=/CDA,

所以NMBF=/NDE,

又因為AD=BC,

AE=CF,

所以DE=BF.

所以△MBF^ANDE,

所以MF=NE,

所以四邊形MFNE是平行四邊形.

28.(1)證明:因為AE_LCE于E,AF_LCF于F,

所以ZAEC=ZAFC=90°,

又因為CE,CF分別平分/ACB與它的鄰補角/ACD,

所以ZBCE=ZACE,ZACF=ZDCF,

所以/.ACE+/.ACF=|x(乙BCE+^ACE+^ACF+乙DCF)=|X180°=90。，所以三個角為直角的四邊形

AECF為矩形.

-1

(2)MN〃:BC且“N=：BC;

證明：因為四邊形AECF為矩形，

所以NE=NC,

所以/NEC=ZACE=ZBCE,

所以MN〃:BC,

又因為AN=CN,

所以MN是小ABC的中位線，

所以MN=并。

29.(1)證明:如答圖19-5所示.4——

因為四邊形ABCD是梯形,AD〃BC,AB=CD,/\

所以/ABONDCB.77\\

又因為BC=CB,AB=DC,1%^/

所以AABC義ADCB.B七答圖]"50

所以/1=/2.

又因為GE〃AC,

所以N2=/3.

所以/1=N3.

所以EG=BG.

因為EG〃OC,EF〃OB,

所以四邊形EGOF是平行四邊形.

所以EG=OF,EF=OG.

所以四邊形EGOF的周長=2(OG+GE)=2(OG+GB)=2OB

(2)如答圖19-6所示，已知矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E為BC上一個動點，(點E不與B,C兩點重

合)EF〃BD,交AC于點F,EG〃AC交BD于點G,彳。

求證:四邊形EFOG的周長等于2OB.故答案為:矩形ABCD.院7]

30.(1)設(shè)在P,Q出發(fā)x秒后,四邊形APOQ為正方形,4-x=x，解得x=2,

(2)1秒或3秒

BE

答圖19-6

31.(1)①證明:如答圖19-7所示，因為四邊形ABCD是菱形.

所以AB=AD,Z1=Z2.

又因為AN=AN,

所以△ABN^AADN.

②作MHLDA交DA的延長線于點H.

由AD〃BC得/MAH=NABC=60。.

在RtAAMH中,MH=AM-sin60°=4sin600=2V3

所以點M到AD的距離為2V3.

(2)因為NABC=90。，

所以菱形ABCD是正方形.

所以NCAD=45。.

下面分三種情形：

(I)若ND=NA,則NADN=NNAD=45。.

此時，點M恰好與點B重合得x=6;

(II)若DN=DA,則NDNA=NDAN=45。.

此時，點M恰好與點C重合彳導(dǎo)x=12;

(III)如答圖19-8所示，若AN=AD=6,則/1=N2.

因為AD〃BC,

所以/1=/4.又/2=/3,

所以/3=/4.

所以CM=CN.

因為4C=6V2

所以CM=CN=AC-AN=6V2-6

故久=18-6/

綜上所述：當(dāng)x=6或12或18-6/時,△ADN是等腰三角形.

32.(1)因為NBEM+/EMB=/EMB+/FMC=90°

所以/BEM=/FMC

又/B=NC=90。

所以△BEM^ACMF

r-r-|\IBEBM

所以方=項

所以xy=4,x的取值范圍是0<x<4.

⑵不變，理由如下：

因為根據(jù)勾股定理得：EM2=BE2+BM2=Y+22=/+4,刊/=y2+4,

所以EF2=EM2+FM2=x2+4+y2+4=%2+y2+8,

因為xy=4,

所以EF2=(x+y)2,

所以EF=x+y,

所以四邊形AEFD的周長是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=l2.

⑶設(shè)A到直線EF的距離為d,①DF=l=>y=3^>%=1

所以EF=