2024年中考數(shù)學(xué) 與對稱有關(guān)的題復(fù)習(xí)講義

與對稱有關(guān)的題復(fù)習(xí)講義

在中考中經(jīng)?？疾榉蹎栴}.翻折問題屬于軸對稱問題，翻折前后的圖形是全等圖形，折痕為對稱軸，這樣就可

以應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)尋找相關(guān)的等量，這是解答翻折問題的關(guān)鍵所在.此外中考中也經(jīng)?？疾檩S對稱的另一類問題，

即求折線和最短問題.

解題策略一

"將軍飲馬”類求折線和最短問題，其核心策略分以下兩步：

1.利用軸對稱作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)；

2.然后把折線和最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問題或點(diǎn)到直線的距離來解答.

"胡不歸"問題(AP+^PB,n<6)類折線和最短問題，其核心策略分以下兩步：

1.以B為頂點(diǎn)、PB為與在點(diǎn)A的異側(cè)構(gòu)造角a,令sina=》

2.然后把折線和(AP+'PB)最短問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的問題來解答.

精選例題

例1.已知AABC是等腰直角三角形/BAC=90°,將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,記旋轉(zhuǎn)角為a,當(dāng)

90°<a<180°時(shí)，作A'D^AC,垂足為點(diǎn)D,A'D與B'C交于點(diǎn)E.

(1)如圖L當(dāng)NCA'D=15。時(shí)，作NA'EC的平分線EF交BC于點(diǎn)F.

①寫出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

②求證:EA'+EC=EF;

(2)如圖2,在⑴的條件下，設(shè)P是直線4力上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PF,若AB=/求線段,PA+PF的最小

值(結(jié)果保留根號).

解析

(1)①a=180°-NA'CD即可；

②發(fā)現(xiàn)FX：,EC,EF是共頂點(diǎn)、不共線的三條線段，可考慮“截長補(bǔ)短"，在EF上截取EM=EC,易證明.△CF

不和ACME是等邊三角形，應(yīng)用"手拉手"全等模型可證明AFCM三△a'CE(SAS),即可解決問題；

⑵點(diǎn)P在定直線A'D上，點(diǎn)F和點(diǎn)A是.4萬同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，求線段PA+PF的最小值，滿足"將軍飲馬”

模型.

解Q)①旋轉(zhuǎn)角為105°.

理由：如答圖1

-.A'D±AC,

.■.zA'DC=90°.

?.zCA'D=15°,

.?.zA'CD=75°.

.?.zACA'=105°.

，旋轉(zhuǎn)角為105°;

②證明如答圖L連接A'F,設(shè)EF交s'于點(diǎn)。.在EF時(shí)截取EM=EC,連接CM.

?.zCED=zA,CE+zCA,E=45o+15o=60°,

.?.zCEA'=120°.

■??FE平分NCEA',

.?.zCEF=zFEA'=60°.

?.zFCO=180o-45o-75o=60°,

.-.zFCO=zA'EO.

?.ZFOC=ZA'OE,.-.AFOC-AA'OE.

OF_PC

,,—?

AO0E

OF_AO

"OC-OE'

?.-zCOE=zFOA',

.".ACOE-AFOA'.

.?.zFA'O=zOEC=60°.

."A'CF是等邊三角形.

???CF=CA=AF.

?.EM=EC,zCEM=60°,

.”CEM是等邊三角形/ECM=60°,CM=CE.

?.zFCA'=zMCE=60°,

.?.zFCM=zA'CE.

."FCM斗A'CE(SAS).

.■.FM=A'E.

.?.CE+A'E=EM+FM=EF;

(2)如答圖2,連接A'F,PB',AB',作B'M±AC交AC的延長線于點(diǎn)M.由②可知,NEA'F='EAB=75°,A'E=A'E,A'

F=A'B'.

??.AAEF=LAEB.

.-.EF=EB'.

二點(diǎn)B',F關(guān)于A'E對稱.

.■.PF=PB'.

.-.PA+PF=PA+PB'>AB'.答圖2

在RfCB'M中，

CB'=BC=&AB=2,NMCB'=3?！?

BM=^CB'=1,CM=V3.

AAB,=JAM2+B'M2=J(V2+V3)2+l2=16+2訪

.,.PA+PF的最小值為76+2V6.

n____1r

例2.如圖，在四邊形ABCD中,NB=NC=90*AB>CD,AD=AB+CD./

⑴利用尺規(guī)作NADC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E,連接AE(保留作圖痕跡，不寫作法);/

(2)在(1)的條件下，/

①證明:AE^DE;/

②若CD=2,AB=4,點(diǎn)M,N分別是AE,AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值./

---------------------'B

■，解析

Q)只要掌握了幾種基本作圖，此問不難解答；

(2)①由于DCllABzADC的平分線DE利用角平分線+平行線一等腰三角形，可以考慮驗(yàn)證DE與AB相交，

延后找到等腰三角形，并結(jié)合等腰三角形"三線合一”的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②仔細(xì)分析可發(fā)現(xiàn)符合"軸對稱相關(guān)的最短路徑問題"模型二，所以只需作點(diǎn)B關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，利用點(diǎn)

到直線的距離最短即可解答.

解(1)如答圖1/ADC的平分線DE;

(2)①如答圖2,延長DE交AB的延長線于點(diǎn)F.

???CDIIAF,

.-.zCDE=zF.

?.zCDE=zADE,

..NADF=NF.

.-.AD=AF.

?.AD=AB+CD=AB+BF,答圖1

.-.CD=BF.

?.NDEC=NBEF,

「.△DEC%FEB.

.-.DE=EF.

■.AD=AF,

.-.AE±DE;答圖2

②如答圖3,作點(diǎn)B關(guān)于AE的對稱點(diǎn)K,連接EK作KH±AB于點(diǎn)H,DG±AB于點(diǎn)G.連接MK.

?.AD=AF,DE=EF,

/.AE平分NDAF,則3EK學(xué)AEB.

...AK=AB=4.

在RhADG中，DG=7AD?-AG2=4企

?/KHllDG,

tKH_AK

"DG-AD'

tAK_4

-4V2-6

KH=—.

3

-,MB=MK,

.-.MB+MN=KM+MN.

，當(dāng)K,M,N三點(diǎn)共線，目與KH重合時(shí),KM+MN的值最小，最小值為KH的氏合冏5

」.BM+MN的最小值為

另解：(1)由于DCllAB,zADC的平分線DE,AD=AB+CD.可以在AD邊上截取DK=DC,然后證明ADEC^DEK(S

SS),貝UNAKE=NC=NB=90°,AK=AB,AE=AE,可得AAEKVAAEB(HL),所以AE平分/BAD,利用平行線中同旁內(nèi)角的

角平分線垂直可得到AE±DE.

由(1)可知點(diǎn)K即為點(diǎn)B關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，下面與上述方法相同.

精選練習(xí)

如圖，在RfABC中/BAC=30°,E為AB邊的中點(diǎn)，以BE為邊作等邊^(qū)BDE,連

接AD,CD.

⑴求證:SDE學(xué)CDB;

(2)若BC=百，在AC邊上找一點(diǎn)H，使得BH+EH最小，并求出這個(gè)最小值.

解題策略二

對于探究兩條線段間的數(shù)量關(guān)系要充分應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理.熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等或相似是解決問題的關(guān)鍵.

對于探究不在同一直線上(尤其是共頂點(diǎn))的三條線段的和差關(guān)系，一般采用“截長補(bǔ)短”法構(gòu)造全等三角形或

者利用三角函數(shù)來解答.

精選例題

例如圖，在正方形ABCD中,E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，連接DE,點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為

F,連接EF并延長交BC于點(diǎn)G連接DG,過點(diǎn)E作EH^DE交DG的延長線于點(diǎn)H,連接BH.

⑴求證:GF=GC;

(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解析

(1)連接DF,根據(jù)對稱的性質(zhì)可知AD=DF=CD,然后證明三角形ADFG和RCG全等即可得到GF=GC;

(2)根據(jù)(1)可求得NEDH=45*ADEH是等腰直角三角形,然后在AB上構(gòu)造"一線三等角"全等模型即可求解.

解(1)證明:如答圖L連接DF.

???四邊形ABCD為正方形，

，DA=DC=AB,

NA=NC=NADC=90°.

又.?點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為F,

.,.△ADE%FDE.

，DA=DF=DC,

NDFE=NA=90°.

.-.zDFG=90o.

在Rt-DFG和RbDCG中，

(DF=DC,

IDG=DG,

.“DFG%DCG(HL).

.-.GF=FC;

(2)解法一:如答圖2,在線段AD上截取AM,使AM=AE.

?.AD=AB,

.-.DM=BE.

由(。得N1=N2/3=N4.

.NADC=90°,

..N1+N2+N3+N4=90°.答圖2

.-.2z2+2z3=90o.

..N2+N3=45。.

..NEDH=45°.

---EH±DE,

，NDEH=90°,ADEH是等月要直角三角形..?.DE=HE.NA=90°.

?.zl+zAED=90°,

又.25+NAED=90°,

.,.zl=z5.

在ADME和AEBH中,

DM=BE,

4=^5,

DE=EH,

."DME當(dāng)EBH(SAS).

.-.ME=BH.

?.zA=90°,AM=AE,

.".ME=V2AE.

，BH=V2AE.

解法二：一線三等角模型.

如答圖3,過點(diǎn)H作AB的垂線交AB延長線于點(diǎn)N.

.-.zENH=90°,

由解法一可知DE=EH/1=N5.

在ADAE和AENH中，

ZA.=NENH,答圖3

為=^5,

DE=EH,

「.△DAE%ENH(AAS).

..AE=NH,AD=EN.

..AD=AB.

.AB=AE+BE,EN=BE+BN,

??.AE=BN二NH.

?.NENH=90°,BN=NH,

，BH=V2BN.

.-.BH=V2AE.

精選練習(xí)

1.在矩形ABCD中，AB=5,BC=8,點(diǎn)E,F分別為AB,CD的中點(diǎn).

(1)求證:四邊形AEFD為矩形；

(2)如圖2,點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn),BP交EF于點(diǎn)。點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)M落在線段EF上時(shí),

則有(OB=0M,請說明理由；

⑶如圖3,若點(diǎn)P是射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M,連接AM,DM,當(dāng)△AMD是等腰三

角形時(shí)，求AP的長.

2.已知在RfABC中/BAC=9(T,CD為NACB的平分線，將NACB沿CD所在的直線對折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B,

處，連接AB',BB',延長CD交BB，于點(diǎn)E,設(shè)/ABC=2a(0°<a<45°).

⑴如圖1,若AB=AC,求證:CD=2BE;

(2)如圖2,若AB/AC,試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示)；

⑶如圖3,將(2)中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(a+45)得到線段FC,連接EF交BC于點(diǎn)。設(shè)《OE的面

積為.S小。。尸的面積為S,求式用含a的式子表示).

解題策略三

翻折就是軸對稱，這是翻折問題的本質(zhì)，可以利用軸對稱的性質(zhì)即全等變換，找出相應(yīng)的相等線段、垂直(對

應(yīng)點(diǎn)連線垂直折痕)、相等的角進(jìn)行解答.

關(guān)于路徑問題，最關(guān)鍵的是確定所求點(diǎn)的軌跡，初中階段點(diǎn)的軌跡一般有兩種：直線型和圓.圓的軌跡的確定一

般有兩種方式，一種是利用圓的定義，另一種是利用定圓定角模型尋找隱藏的定圓.

1.翻折問題中對應(yīng)點(diǎn)與折痕上的連線相等，對應(yīng)點(diǎn)與折痕上的點(diǎn)三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形.

2.在矩形或正方形中有折疊時(shí)，通常有把相等的對應(yīng)線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中應(yīng)用勾股定理進(jìn)行解答.

3.折疊問題中有平行線時(shí)，往往存在等腰三角形，利用等腰三角形和平行線的性質(zhì)可以找到等角，也可以把相

等的線段進(jìn)行遷移到同一個(gè)三角形中.

4.折疊問題中可能存在相似關(guān)系.解答折疊問題時(shí)應(yīng)注意上面關(guān)系的應(yīng)用.

精選例題

例如圖，在矩形紙片ABCD中，已知AB=1,BC=遮，點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)，連接AE,將多邊形ABCD沿直

線AE折疊，得到多邊形AB'C,E,點(diǎn)B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B',C.

(1)當(dāng)BC恰好經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)(如圖1),求線段CE的長；

(2)若BC分別交邊AD,CD于點(diǎn)F,G,且NDAE=22.5。(如圖2),求3FG的面積；

(3)在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，求點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長.

解析

Q)如圖L設(shè)CE=EC'=xJ^DE=l-x,由"一線三等角"模型可證4DB‘DEC；可得喘="冽出方程即可解決問

DEEC

題；

(2)如圖2,通過已知角進(jìn)行推導(dǎo)可得證明AAFB',ADFG都是等腰直角三角形,求出DF即可解決問題；

(3)AC的長度不變，所以點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是以A點(diǎn)為圓心AC長為半徑的弧CC,求出圓心角、半徑即可求點(diǎn)

C'運(yùn)動(dòng)的路徑長.

解⑴如答圖1,設(shè)CE=EC=x，則DE=l-x,

..NADB'+NEDC'=90°,NB'AD+NADB'=90°,

..NB'AD=NEDC'.

?.zB,=zC,=90°,AB,=AB=l,AD=W,

：.DB'=V3^T=V2.

.-.AADB'-ADEC.

,.,AD_—DB.

DEEC'

.V3_V2

,,—?

1-xx

=V6-2.

.'.CE=V6-2;

⑵如答圖2,

?.-zBAD=zB'=zD=90o,zDAE=22.5°,

.".zEAB=zEAB'=67.5°.

,?.zB'AF=zB'FA=45°.

.?.zDFG=zAFB'=zDGF=45°.

.-.DF=DG.

在Rt-AB'F中，AB=FB'=1,

AAF=&AB'=V2.

=愿—五.

DF=DG2

SDFG=|(V3-V2)=I-V6;

⑶如答圖3,點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑的長為弧CC'的長.

在Rt-ADC中，；tan/ZMC=—=—,

.,.NDAC=3(T,AC=2CD=2.

?.zC'AD=zDAC=30°,

..NCAC'=60°.

二弧CC的長=若=手

精選練習(xí)

1.如圖，在AABC中,.AB=4VXNB=45°/C=60°.

(1)求BC邊上的高線長；

⑵點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)點(diǎn)F在邊AC上，連接EF,沿EF將MEF折疊得到SEF.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求NAEP的度數(shù);

②如圖3,連接AP,當(dāng)PFLAC時(shí)，求AP的長.

圖1圖2圖3

2.如圖，在正方形ABCD中,E是DC邊上一點(diǎn)(與點(diǎn)D,C不重合)，連接AE,將^ADE沿AE所在的直線折疊得

至!J&AFE,延長EF交BC于點(diǎn)G,連接AG,作GH^AG,與AE的延長線交于點(diǎn)H,連接CH.顯然AE是/DAF的平分

線，EA是NDEF的平分線.仔細(xì)觀察，請逐一找出圖中其他的角平分線(僅限于小于180。的角平分線)，并說明理由.

3.3與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的題

以旋轉(zhuǎn)為主的幾何變換綜合題，綜合性較強(qiáng)，屬于中考壓軸題型之一，關(guān)鍵是要靈活應(yīng)用所學(xué)的知識，特別是

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行解答，在解答的過程中要充分利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，要學(xué)會、掌握輔助線的添加方法.

解題策略一

利用旋轉(zhuǎn)探究不在同一條直線上的共頂點(diǎn)的三條線段的數(shù)量關(guān)系問題，常用的策略如下：

L利用旋轉(zhuǎn)把線段遷移到同一個(gè)三角形或者同一條直線上；

2.利用繞共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60。改變線段的方向(不改變長度)，此時(shí)會出現(xiàn)等邊三角形，注意，作輔助線時(shí)也可以作

等邊三角形，此時(shí)相當(dāng)于把線段旋轉(zhuǎn)60°;

3.利用繞共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。改變線段的方向，同時(shí)會出現(xiàn)原線段長四倍的線段，此時(shí)會出現(xiàn)等腰直角三角形；

4.利用繞共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120。改變線段的方向，同時(shí)會出現(xiàn)原線段長四倍的線段，此時(shí)會出現(xiàn)120。的等腰三角

形.

精選例題，

例1.(2018廣州)如圖，在四邊形ABCD中,NB=60°/D=30°,AB=BC.

(1)求NA+NC的度數(shù)

⑵連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)若AB=1,點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且滿足BE2+CE號求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長度.

感解析

(1)利用多邊形內(nèi)角和即可得到答案；

(2)AD,BD,CD為共頂點(diǎn)D的三條線段，可以通過^ABD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)60。把這三條線段遷移到同一個(gè)三角形中

探究這三條線段的關(guān)系；

(3)共點(diǎn)E的三條線段滿足AE2=BE2+CE3同(2)類似，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，把三條線段遷移到同一個(gè)三角形中，

然后通過導(dǎo)角尋找定角和定弦，進(jìn)而確定E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

解(1)在四邊形ABCD中，

?.zA+zB+zC+zD=180o,zB=60o,zC=30°,

.?.zA+zC=360°-60°-30°=270°;屋:二^

(2)DB2=DA2+DC2.

理由：如答圖1,連接BD,以BD為邊向下作等邊三角形△BDQ.

?.zABC=zDBQ=60°,

.-.zABD=zCBQ."Q

答圖1

..AB=BC,DB=BQ,

.“ABD學(xué)CBQ.

.-.AD=CQ,zA=zBCQ.

?.zA+zBCD=zBCQ+zBCD=270°,

.-.zDCQ=90o.

DQ2=DC2+CQ2.

-,CQ=DA,DQ=DB,

???DB2=DA2+DC2,

另解:把△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,或者把AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,或者把△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60。均可求證；

⑶解法一:如答圖2,連接AC,將MCE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至SABR,連接RE則^AER是等邊三角形.

???EA2=EB2+EC2,EA=RE,EC=RB,

RE2=RB2+EB2.

.■.zEBR=90°.

..NRAE+NRBE=150°.

..NARB+NAEB=NAEC+NAEB=210°.

答圖2

..NBEC=150°.

?.如答圖3,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)。為圓心的圓上，在。。上取一點(diǎn)K,連接KB,KC,OB,OC.

?.zK+zBEC=180°,

..NK=30°,NBOC=60。.

??OB=OC,

.?.△OBC是等邊三角形.

.?點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑=鬻=與

loU3

解法二：如答圖4,把線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AR,連接ER,CR,CE,后面的解法類似解

法一.

解法三：如答圖5，把線段BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BR,連接ER,AR,后面的解法類似解法一.

例2如圖l'ABC中,CA=CB/ACB=a,D為^ABC內(nèi)一點(diǎn)，將ACAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a得到4BE,

點(diǎn)A,D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B,E,且A,D,E三點(diǎn)在同一直線上.

⑴填空NCDE=(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,若a=60。,請補(bǔ)全圖形,再過點(diǎn)C作CF±AE于點(diǎn)F,然后探究線段CF,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論；

⑶若a=90°,AC=5a，且點(diǎn)G滿足/人68=90。力6=6,直接寫出點(diǎn)C到AG的距離.

cC

E

圖1圖2

解析

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE/DCE=a,即可求解；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=BE,CD=CE/DCE=60°,可證ACDE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得DF=

EF=即可求解；

(3)分點(diǎn)G在AB的上方和AB的下方兩種情況討論，利用勾股定理可求解.

解(1)?.將△以。繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a得到ACBE,

.,.△ACD^ABCE,zDCE=a.

..CD=CE.

NCDE=

2

故答案為手；

(2)力E=BE+^~CF.

理由：如答圖1.

?.將ACAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角60。得到ACBE,

."ACD當(dāng)BCE.

.■.AD=BE,CD=CE,zDCE=60°.

.?.<DE是等邊三角形，且CF±DE.

DF=EF=—CF.

3

?.AE=AD+DF+EF,

：.AEBE+—CF;答圖1

3，

⑶如答圖2,當(dāng)點(diǎn)G在AB上方時(shí)，過點(diǎn)C作CE±AG于點(diǎn)E.

.?NACB=9（T,AC=BC=5V2,

.-.zCAB=zABC=45o,AB=10.

???NACB=90°=ZAGB,

.,.點(diǎn)C,點(diǎn)G,點(diǎn)B,點(diǎn)A四點(diǎn)共圓.

.-.zAGC=zABC=45o,nCE±AG.

.-.zAGC=zECG=45o.

，CE=GE.

.AB=10,GB=6,NAGB=90°,

AG=7AB2-GB2=8.

-：AC2=AE2+CE2,

2

（5V2）=（8—CE）2+CE2.

，CE=7（不合題意舍去）,CE=1.答圖3

如答圖3,若點(diǎn)G在AB的下方，過點(diǎn)（：作CF±AG.

同理，可得CF=7.

.?點(diǎn)C到AG的距離為1或7.

精選練習(xí)

如圖L在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)把AADE沿DE翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A1，

延長EAi交直線DC于點(diǎn)F,再把NBEF折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B1落在EF上折痕EH交直線BC于點(diǎn)H.

(1)求證：^ANDEOABIEH;

(2)如圖2,直線MN是矩形ABCD的對稱軸，若點(diǎn)A1恰好落在直線MN上,試判斷△DEF的形狀，并說

明理由；

⑶如圖3,在⑵的條件下，點(diǎn)G為3EF內(nèi)一點(diǎn)，且NDGF=150。,試探究DG,EG,FG的數(shù)量關(guān)系.

解題策略二

L旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，旋轉(zhuǎn)角相等；

2.兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)成等腰三角形，這樣得到相等的線段、相等的角；

3.旋轉(zhuǎn)時(shí)可以得到“手拉手”全等模型，可以用其進(jìn)行證明和計(jì)算得到有用的結(jié)論或結(jié)果.

精選例題

例1.(2019北京)已知NAOB=30；H為射線OA上一定點(diǎn),(OH=<3+1,P為射線OB上一點(diǎn)，M為線

段OH上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM,滿足NOMP為鈍角，以點(diǎn)P為中心，將線段PM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150:得到線段PN,

連接ON.

(1)依題意補(bǔ)全圖1；

(2)求證:.N0MP=N0PN;

⑶點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對稱點(diǎn)為Q,連接QP.寫出一個(gè)OP的值，使得對于任意的點(diǎn)M總有(ON=QP,并證

圖1備用圖

解析

(1)按作圖要求作出圖形即可，標(biāo)出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角；

(2)由三角形內(nèi)角和角的關(guān)系易得答案;

⑶由NAOB=30。,。舊=8+1,你能想到包含30角的直角三角形嗎?可初步猜想OP=2時(shí)滿足條件，然

后通過構(gòu)造全等三角形驗(yàn)證結(jié)論是否成立.

解⑴如答圖1；

(2)在AOPM中,.N0MP=1800-NPOM-N0PM

NOPN=NMPN-N0PM=1500-N0PM,

.?.zOMP=zOPN；

⑶當(dāng)OP=2時(shí)，對于任意點(diǎn)M總有ON=PQ.

理曲如答圖2,過點(diǎn)P作PELOA,過點(diǎn)N作NF±OB.

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，

?.NOMP=NOPN,..NPME=NNPF.

在ANPF和APME中,

fNNPF=NPME,

[NNFP=NPEM=90。，

.“NPF學(xué)PME(AAS).

，PF=ME,NF=PE.

在Rt^POE中，

?.OP=2,zAOB=30°,

???PE=NF=l,OE=V3.

OH=V3+1,

.".EH=1.

答圖2

設(shè)PF=ME=a.

?.MH=ME+EH=a+l=HQ,

.-.EQ=EH+HQ=a+2=OF.

」.RtANO踵RfPQE(HL).

.-.ON=PQ.

同理，點(diǎn)M與點(diǎn)E重合或點(diǎn)E在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，類似證明即可.

例2.在AABC中,CA=CB/ACB=a點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn).連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a得到線段DP,連接AD,BD,CP.

⑵如圖2,當(dāng)a=90。時(shí),請寫出a=90°器的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形

說明理由.

⑶當(dāng)a=90時(shí)若點(diǎn)E,F分別是CA,CB的中點(diǎn)點(diǎn)P在直線EF上,請直接寫出點(diǎn)C,P,D在同一直線上時(shí)若

的值

解析

(1)NCAB=NPAD=6(T,AC=AB,AP=AD,滿足“手拉手”全等模型，利用該模型不難得到答案；

⑵NCAB=NPAD=45°,該組對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例，滿足"一線三等角"相似模型，利用該模型即可解決

問題；

⑶分兩種情形:當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長AD交BC的延長線于H.證明AD=DC即可解決問題；

當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，同法可證DA=DC來解決問題.

解(1)如答圖L延長CP交BD的延長線于點(diǎn)E,設(shè)AB交EC于點(diǎn)0.入

?.zPAD=zCAB=60°,/!\

.?.zCAP=zBAD.//\\

■.CA=BA,PA=DA,

.”CAP%BAD(SAS).E口

.-.PC=BD,zACP=zABD.答圖1

如答圖2,/zA0C=zB0E,

.-.zBEO=zCAO=60o.

翳=1,線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60。.故答案為1,60°;i

⑵如答圖3,設(shè)BD交AC于點(diǎn)O,BD交PC于點(diǎn)E.

?.zPAD=zCAB=45°,

..NPAC=NDAB.

??些=2=魚

答圖AP'

.'.△DAB-APAC.

ZPCA=ZDBA,—=—=V2.

PCAC

如答圖4;/zEOC=zAOB,

.-.zCEO=zOAB=450.

二直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45°;

⑶如答圖5,當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長AD交BC

?.CE=EA,CF=FB,

.".EFllAB.

..NEFC=NABC=45°.

?.zPAO=45°,

答圖4

.?.zPAO=zOFH.

?.zPOA=zFOH,

.?.zH=zAPO.

?.zAPC=90°,EA=EC,

.-.PE=EA=EC.

..NEPA=NEAP=NBAH.

.'.zH=zBAH.

..BH=BA.

.NADP=NBDC=45°,

.-.zADB=90o.

H

.-.BD±AH.

.?.zDBA=zDBC=22.5°.

?.zADB=zACB=90°,

.-.A,D,C,B四點(diǎn)共圓/DAC=NDBC=22.5°/DCA=NABD=22.5°.

.-.zDAC=zDCA=22.50.

，DA=DC,設(shè)AD=a,貝[]DC=AD=a,PD=^-a.

,,方一工一2T.答圖5

2

如答圖6,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，

同法可證DA=DC,設(shè)AD=a,

貝！ICD=AD=a,PD=~a.

PC=a——ci.

2

??考=Yr=2+a-

PCV2

a-----a

2

精選練習(xí)

1.若AABC和AAED均為等腰三角形，且NBAC=NEAD=90°.

⑴如圖1,點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；

⑵如圖2,若點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，連接GB并延長至點(diǎn)F,使CF=CD.求證:①EB=DC;②NEBG=NBFC.

2.如圖，△ABC和A4DE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,ZBAC=ZDAE=90。.

⑴如圖L連接BE,CD,BE的廷長線交AC于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)P.求證：BP1CD；

⑵如圖2把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí)，連接BE,CD,CD的延長線交BE于點(diǎn)P,

若BC=6a,AD=3,求APDE的面積.

圖I圖2

精選練習(xí)

解題策略一

解:⑴證明:在RtAABC中,/BAC=3(T,E為AB邊的中點(diǎn)，

/.BC=EA,ZABC=60°.

VADEB為等邊三角形，

,>.DB=DE,ZDEB=ZDBE=60°.

ZDEA=120°,ZDBC=120°.

ZDEA=ZDBC.

.,.△ADE^ACDB;

⑵解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E；連接BE交AC于點(diǎn)H.

則點(diǎn)H即為符合條件的點(diǎn).

由作圖可知,EH=HE:AE'=AE,NEAC=/BAC=30。.

AAEAE'=60°.

...△EAE為等邊三角彩

EE'=EA=-AB.

2

AAAE'B=90°.

在RtAABC中,/BAC=3(F,BC=V3,

???AB=243,AE'=AE=y[3.

2

BE'=7AB2-4E'2=(2百)2-V3=3.

.,.BH+EH的最小值為3.

解題策略二

1.證明：(1)：E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),

11

：.AE=-AB,DF=-CD.

22

;矢巨形ABCD中,AB=CD,AB〃CD,

；.AE=DF,AE〃DF,

.??四邊形AEFD為平行四邊形.

又?矩形ABCD中,NA=90。，

/.□AEFD為矩形；

⑵連接PM,BM,如答圖1.

?矩形ABCD中,AD〃BC,

矩形AEFD中,EF〃AD,

；.AD〃BC〃EF.

為AB中點(diǎn)，

；.0為BP的中點(diǎn).

.點(diǎn)M是點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)，D

/.AP=PM,

/M

BA=BM.

又：BP=BP,

AABP注AMBP(SSS).答圖1

ZA=ZBMP=90°.

.?.在RtABMP中,0為BP中點(diǎn).

OM=-BP.

2

.*.OB=OM;

⑶：點(diǎn)M是點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn),

ABP垂直平分AM.

/.AP=PM,AB=AM.

I.當(dāng)點(diǎn)P在射線AD±D點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，△AMD為等腰三角形：

①如答圖2,以AD為底，則AM=MD.

點(diǎn)M在AD的垂直平分線上.

作AD的垂直平分線EF分別交AD,BC于點(diǎn)E,F.

;矢巨形ABCD中,AD=BC=8,

/.AE=BF=4.

VAB=BM=5,

.?.在RtABMF中,由勾股定理，得

MF=yjBM2-BF2=V52-42=3.

EM=EF-MF=AB-MF=5-3=2.

設(shè)AP=PM=x，貝！|PE=4-x.

在RtAPEM中,由勾股定理，得

PE2+EM2=PM2,

即(4-x)2+22=久2.解之，得x=|,于是AP=|.

②以AD為腰,AD=DM,如答圖3,此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合.

，AP=AD=8.

③以AD為腰,DA=AM,如答圖4,M

；BP垂直平分AM,答圖3

AO=-AM=1x8=4.

22

在RtAAOB中，AB=5,AO=4,由勾股定理，得

BO=-JAB2-AO2

=V52-42=3.

ZBAO+ZOAP=90°,

ZDAO+ZAPO=90°,

???NBAO=NAPO.答圖4

sinNBAO二sinZAPO,

即￡2=絲；=工

ABAP5AP

.「20

??.AP=—.

3

II.當(dāng)點(diǎn)P在AD射線點(diǎn)D的右側(cè)時(shí),△AMD為等腰三角形.

以AD為底則AM=MD,如答圖5.

同理得MF=3.

AME=EF+MF

=5+3=8.

在RtAAEM中，由勾股定理，得

AM=VME2+AE2=V82+42=4V

AO=-AM=2V5.

2

VAO±BP,AB±AP,

???ZAPO=ZBAO.

???AB〃EM,

???ZBAO=ZAME=90°.

???ZAME=ZAPB,sinZEMA=sinZAPB.

EA_AOqn4_2V5

"AM-AP網(wǎng)4V5―AP'

AAP=10.

綜上所述，當(dāng)^AMD為等腰三角形時(shí),2尸二|或10或g或8.

2.解:⑴如答圖1,

??,BB關(guān)于EC對稱，

???BB」EC,BE=EB1

ZDEB=ZDAC=90°.

ZEDB-ZADC,

???ZDBE=ZACD