2025年外研版高一數(shù)學(xué)下冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高一數(shù)學(xué)下冊月考試卷241考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、下列圖象中表示函數(shù)圖象的是（）（A）(B)(C)(D)2、為終邊上一點(diǎn)，則（）.A.B.C.D.3、已知最小時(shí)x的值是()A.-3B.3C.-1D.14、【題文】對于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，有＝x＋y＋z(x；y、z∈R)；

則x＋y＋z＝1是P；A、B、C四點(diǎn)共面的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件。

C.充要條件D.既不充分也不必要條件5、【題文】如圖，下列物體的正視圖和俯視圖中有錯(cuò)誤的一項(xiàng)是()

6、四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面是側(cè)棱長為3的等腰三角形，則二面角的余弦值的大小為()A.B.C.D.7、若向量=（3，m），=（2，﹣1），=0，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-B.C.2D.68、設(shè)f（x）為定義于（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，則f（﹣2）、f（﹣π）、f（3）的大小順序是（）A.f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）B.f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）C.f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2）D.f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3）9、若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD

中；其中AB=2BC=1

則質(zhì)點(diǎn)落在以AB

為直徑的半圓內(nèi)的概率是(

)

A.婁脨2

B.婁脨4

C.婁脨6

D.婁脨8

評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)10、方程ln（3?=0的解為____．11、將函數(shù)圖像向左平移（）個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是.12、函數(shù)y=cosx（-≤x＜）的值域是（區(qū)間）____．13、圓心在軸上，且過兩點(diǎn)A(1，4)，B(3，2)的圓的方程為____.14、【題文】已知圓C:x2+y2+2x+ay-3=0(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)都在圓C上，則a=____.15、已知點(diǎn)O是銳角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=．若=x+y則6x+9y=____16、sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于____．17、sin960°的值為____________．18、若直線l上存在不同的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，使得關(guān)于x的方程x2+x+=（x∈R）有解（點(diǎn)O不在直線l上），則此方程的解集為______．評卷人得分三、證明題(共7題，共14分)19、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．20、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．21、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點(diǎn)；弦AD與邊BC相交于點(diǎn)E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．22、已知ABCD四點(diǎn)共圓，AB與DC相交于點(diǎn)E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點(diǎn)，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．23、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點(diǎn)，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點(diǎn)G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．24、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時(shí)也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計(jì)一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．25、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．評卷人得分四、解答題(共4題，共40分)26、某專賣店經(jīng)銷某種電器，進(jìn)價(jià)為每臺1500元，當(dāng)銷售價(jià)定為1500元～2200元時(shí)，銷售量（臺）P與銷售價(jià)q（元）滿足P=

（1）當(dāng)定價(jià)為每臺1800元時(shí)；該專賣店的銷售利潤為多少？

（2）若規(guī)定銷售價(jià)q為100的整數(shù)倍；當(dāng)銷售價(jià)q的定價(jià)為多少時(shí)，專賣店的利潤最高？

27、一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.（1）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為n，求的概率.28、【題文】如圖，四邊形與均為菱形，且

（1）求證：

（2）求證：

（3）求二面角的余弦值．29、在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)；已知A(0,5)B(鈭?1,3)C(3,t)

．

(1)

若t=1

求證：鈻?ABC

為直角三角形；

(2)

求實(shí)數(shù)t

的值，使|AB鈫?+AC鈫?|

最??；

(3)

若存在實(shí)數(shù)婁脣

使AB鈫?=婁脣鈰?AC鈫?

求實(shí)數(shù)婁脣t

的值．評卷人得分五、綜合題(共4題，共28分)30、如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果；那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在△ABC中；若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對嗎？為什么？

（2）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．31、已知函數(shù)f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是實(shí)數(shù)，設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=0的兩根為x1，x2；f（x）=x的兩實(shí)根為α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b滿足的關(guān)系式；

（2）若a、b均為負(fù)整數(shù)；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）試比較（x1+1）（x2+1）與7的大?。?2、已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，對稱軸為y軸．一次函數(shù)y=kx+1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)）；且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，4）．平行于x軸的直線l過（0，-1）點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；

（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系；并給出證明；

（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移t個(gè)單位（t＞0），二次函數(shù)的圖象與x軸交于M，N兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交y軸于F點(diǎn)．當(dāng)t為何值時(shí)，過F，M，N三點(diǎn)的圓的面積最小？最小面積是多少？33、如圖；Rt△ABC的兩條直角邊AC=3，BC=4，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），以P為圓心作⊙P與BA相切于點(diǎn)M．設(shè)CP=x，⊙P的半徑為y．

（1）求證：△BPM∽△BAC；

（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；并確定當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，⊙P與AC所在直線相離；

（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)；是否存在這樣的⊙P，使得它與△ABC的外接圓相內(nèi)切？若存在，求出x；y的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、C【分析】【解析】試題分析：根據(jù)函數(shù)的定義；對任意的一個(gè)x都存在唯一的y與之對應(yīng)可求【解析】

根據(jù)函數(shù)的定義，對任意的一個(gè)x都存在唯一的y與之對應(yīng),而A、B、D都是一對多，只有C是多對一．故選C考點(diǎn)：函數(shù)定義【解析】【答案】C2、A【分析】因?yàn)辄c(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，所以【解析】【答案】A3、B【分析】試題分析：由題目已知可得：然后利用二次函數(shù)知識求解即可.考點(diǎn)：(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（2）二次函數(shù).【解析】【答案】B4、C【分析】【解析】

試題分析：證充分條件：因?yàn)閤＋y＋z＝1，所以＝x＋y＋z=x＋y＋所以即根據(jù)平面向量基本定理可知，三向量共面，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)C所以P、A、B、C四點(diǎn)共面。證必要條件：因?yàn)镻、A、B、C四點(diǎn)共面，所以由平面向量定理可知有且只有一對實(shí)數(shù)對使由向量減法法則可將上式變形為整理的所以故C正確。

考點(diǎn)：平面向量基本定理，空間向量基本定理，向量的加減法法則【解析】【答案】C5、D【分析】【解析】畫三視圖時(shí)不可見輪廓線一定要畫成虛線，選項(xiàng)D中的俯視圖缺少兩條不可見輪廓線.【解析】【答案】D6、B【分析】【解答】如圖，取中點(diǎn)過作底面的垂線，垂足為連接根據(jù)題意可知，的大小就是二面角的大小，因?yàn)樗赃xB.

7、D【分析】【解答】解：=6﹣m=0；

∴m=6．

故選D

【分析】根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為零，寫出坐標(biāo)形式的公式，得到關(guān)于變量的方程，解方程可得．8、A【分析】【解答】解：f（x）為定義在（﹣∞；+∞）上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；

知f（x）在（﹣∞；0）上是減函數(shù)，此類函數(shù)的特征是自變量的絕對值越大，函數(shù)值越大；

∵2＜3＜π

∴f（2）＜f（3）＜f（π）

即f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π）

故選A．

【分析】由題設(shè)條件，f（x）為定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，知f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，此類函數(shù)的特征是自變量的絕對值越大，函數(shù)值越大，由此特征即可比較出三數(shù)f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小順序．9、B【分析】解：隆脽AB=2BC=1

隆脿

長方體的ABCD

的面積S=1隆脕2=2

圓的半徑r=1

半圓的面積S=婁脨2

則由幾何槪型的概率公式可得質(zhì)點(diǎn)落在以AB

為直徑的半圓內(nèi)的概率是婁脨22=婁脨4

故選：B

．

利用幾何槪型的概率公式；求出對應(yīng)的圖形的面積，利用面積比即可得到結(jié)論．

本題主要考查幾何槪型的概率的計(jì)算，求出對應(yīng)的圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．【解析】B

二、填空題(共9題，共18分)10、略

【分析】

由ln（3?=0，得：3?2x-2=1；

所以，3?2x=3，2x=1；解得x=0．

故答案為x=0．

【解析】【答案】題目給出的是對數(shù)方程，根據(jù)“1的對數(shù)式0”得3?2x-2=1；整理后即可解得x的值．

11、略

【分析】試題分析：對于三角函數(shù)，形如為奇函數(shù)，形如為偶函數(shù).將函數(shù)圖像向左平移（）個(gè)單位后得到要使函數(shù)平移后為偶函數(shù)，則有所以當(dāng)時(shí)有最小值．考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).【解析】【答案】12、略

【分析】

∵y=cosx在區(qū)間[0，）是減區(qū)間。

∴當(dāng)x=0時(shí)，ymax=cos0=1

當(dāng)x=時(shí)，ymin=cos=-

∵y=cosx在區(qū)間[-0]是增區(qū)間。

∴當(dāng)x=0時(shí)，ymax=cos0=1

當(dāng)x=-時(shí)，ymin=cos（-）=-

∴函數(shù)y=cosx（-≤x＜）的值域是（-1]

故答案為：（-1]

【解析】【答案】首先求出函數(shù)的單調(diào)性y=cosx在區(qū)間[0，）是減區(qū)間，在區(qū)間[-0]是增區(qū)間，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出結(jié)果．

13、略

【分析】【解析】試題分析：因?yàn)閳A心在軸上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為（m，0），半徑為r，則圓的方程為（x-m）2+y2=r2，因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)A（1，4）、B（3，2），所以解得：m=-1，r2=20，所以圓的方程為（x+1）2+y2=20?？键c(diǎn)：圓的方程的求法?！窘馕觥俊敬鸢浮?4、略

【分析】【解析】解：由已知；直線x-y+2=0經(jīng)過了圓心(-1，-a/2)，所以-1+a/2+2=0，從而有a=-2．

故選a=-2．【解析】【答案】-215、5【分析】【解答】如圖所示；

過點(diǎn)O分別作OD⊥AB；OE⊥AC，垂足分別為D，E．

則D；E分別為AB，AC的中點(diǎn)；

∴

∵A=．

∴．

∵

∴

化為32=64x+48y；72=48x+144y；

聯(lián)立解得

∴6x+9y=5．

故答案為：5．

【分析】如圖所示，過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．可得D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)．可得．由A=可得．對兩邊分別與作數(shù)量積即可得出.16、【分析】【解答】解：由題意sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°=

故答案為：．

【分析】本題可用兩角和的正弦函數(shù)對sin14°cos16°+cos14°sin16°，再利用特殊角的三角函數(shù)求值17、略

【分析】解：由題意，sin960°=sin(720°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-

故答案為：【解析】18、略

【分析】解：∵直線l上存在不同的三個(gè)點(diǎn)A；B，C；

∴存在實(shí)數(shù)λ使得

∴

又關(guān)于x的方程x2+x+=（x∈R）有解（點(diǎn)O不在直線l上）；

∴-x2-x=0；

解得x=-1；（x≠0）．

∴此方程的解集為{-1}．

故答案為：{-1}．

直線l上存在不同的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，可得存在實(shí)數(shù)λ使得即又關(guān)于x的方程x2+x+=（x∈R）有解（點(diǎn)O不在直線l上），可得-x2-x=0；解出即可．

本題考查了向量共線定理、平面向量基本定理、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．【解析】{-1}三、證明題(共7題，共14分)19、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據(jù)三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結(jié)論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．20、略

【分析】【分析】首先作CD關(guān)于AB的對稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點(diǎn)共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關(guān)于AB的對稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點(diǎn)共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．21、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點(diǎn)；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．22、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實(shí)現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進(jìn)一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個(gè)外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．23、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點(diǎn)共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點(diǎn)共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點(diǎn)共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點(diǎn)共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．24、略

【分析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．25、略

【分析】【分析】構(gòu)造以重心G為頂點(diǎn)的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點(diǎn)共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點(diǎn)共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點(diǎn)共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．四、解答題(共4題，共40分)26、略

【分析】

（1）當(dāng)q=1800時(shí)，P=500-=500-360=140；∴銷售利潤為（1800-1500）×140=42000元；

（2）設(shè)q=100n（n∈Z）；則。

當(dāng)1500≤q＜2000，即15≤n＜20時(shí)，銷售利潤為（100n-1500）×（500-20n）=-2000（n-20）2+50000

∴y＜50000；

當(dāng)2000≤q≤2200，即20≤n≤22時(shí)，銷售利潤為（100n-1500）×（1100-50n）=-2000（n-）2+61250

∴n=20，即q=2000時(shí)，ymax=50000；

答：（1）當(dāng)定價(jià)為每臺1800元時(shí)；該專賣店的銷售利潤為42000元；（2）銷售價(jià)q的定價(jià)為2000時(shí)，專賣店的利潤最高．

【解析】【答案】（1）求出銷售量；每臺的利潤，即可求專賣店的銷售利潤；

（2）根據(jù)分段函數(shù)；分別求出銷售利潤，利用配方法，即可求得結(jié)論．

27、略

【分析】試題分析：本小題主要考察古典概型、對立事件的概率計(jì)算，考察學(xué)生分析問題、解決問題的能力；先列舉出所有可能的結(jié)果，再找出滿足條件的有幾種，兩者相比即可.試題解析：（1）從袋子中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個(gè)；從袋中隨機(jī)取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個(gè)；因此所求事件的概率為1/3.（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號為m，放回后，在從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果（m,n）有：（1,1）(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3,2),(3,3)(3,4),(4,1)（4,2），（4,3）（4,4），共16個(gè)有滿足條件的事件為（1,3）（1,4）（2,4），共3個(gè)所以滿足條件的事件的概率為故滿足條件的事件的概率為考點(diǎn)：古典概型、對立事件的概率.【解析】【答案】（1）取出的球的編號之和不大于4的概率為（2）的概率為．28、略

【分析】【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O；連結(jié)FO.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以且O為AC中點(diǎn).

又FA=FC，所以2分。

因?yàn)?/p>

所以3分。

（Ⅱ）證明：因?yàn)樗倪呅闻c均為菱形；

所以

因?yàn)?/p>

所以

又

所以平面

又

所以6分。

（Ⅲ）解：因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形，且所以為等邊三角形．

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以由（Ⅰ）知故。

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)AB=2．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，則BD=2，所以O(shè)B=1，

所以8分。

所以

設(shè)平面BFC的法向量為則有所以

取得12分。

易知平面的法向量為

由二面角A-FC-B是銳角；得。

所以二面角A-FC-B的余弦值為14分。

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系；垂直關(guān)系；角的計(jì)算。

點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。證明過程中，往往需要將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題加以解答。本題解答，通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，簡化了繁瑣的證明過程，實(shí)現(xiàn)了“以算代證”，對計(jì)算能力要求較高?！窘馕觥俊敬鸢浮浚á瘢┻B結(jié)FO.由四邊形ABCD為菱形，得且O為AC中點(diǎn).

根據(jù)FA=FC，得到

（Ⅱ）由四邊形與均為菱形；

得到得出

平面

（Ⅲ）二面角A-FC-B的余弦值為29、略

【分析】

(1)

當(dāng)t=1

時(shí)，C(3,1)

求出AB鈫?,BC鈫?

由AB鈫?鈰?BC鈫?=0

能證明鈻?ABC

為直角三角形．

(2)

求出AB鈫?=(鈭?1,鈭?2),AC鈫?=(3,t鈭?5)

從而|AB鈫?+AC鈫?|=4+(t鈭?7)2

由此能求出結(jié)果．

(3)

由AB鈫?=婁脣鈰?AC鈫?

列出方程組，能求出實(shí)數(shù)婁脣t

的值．

本題考查三角形是直角三角形的證明，考查向量的模取最小值時(shí)對應(yīng)的實(shí)數(shù)值的求法，涉及到平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直、向量的模等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．【解析】證明：(1)

當(dāng)t=1

時(shí)；C(3,1)

則AB鈫?=(鈭?1,鈭?2),BC鈫?=(4,鈭?2)(2

分)

隆脿AB鈫?鈰?BC鈫?=鈭?1隆脕4+(鈭?2)隆脕(鈭?2)=0

隆脿AB鈫?隆脥BC鈫?

隆脿鈻?ABC

為直角三角形.(4

分)

解：(2)AB鈫?=(鈭?1,鈭?2),AC鈫?=(3,t鈭?5)

隆脿AB鈫?+AC鈫?=(鈭?1,鈭?2)+(3,t鈭?5)=(2,t鈭?7)(6

分)

隆脿|AB鈫?+AC鈫?|=4+(t鈭?7)2

當(dāng)t=7

時(shí)，|AB鈫?+AC鈫?|

的最小值為2.(9

分)

(3)

由AB鈫?=婁脣鈰?AC鈫?

得：

(鈭?1,鈭?2)=婁脣鈰?(3,t鈭?5)?{鈭?2=位(t鈭?5)鈭?1=3位(12

分)

解是{t=11位=鈭?13(14

分)

五、綜合題(共4題，共28分)30、略

【分析】【分析】（1）設(shè)△ABC的邊AB上的高為h，由三角形的面積公式即可得出=，=，再由點(diǎn)D為邊AB的黃金分割點(diǎn)可得出=；故可得出結(jié)論；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，設(shè)直線EF與CD交于點(diǎn)G，由同底等高的三角形的面積相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四邊形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四邊形BEFC，再由=可知=，故直線EF也是△ABC的黃金分割線．【解析】【解答】解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：

設(shè)△ABC的邊AB上的高為h．

∵S△ADC=AD?h，S△BDC=BD?h，S△ABC=AB?h；

∴=，=；

又∵點(diǎn)D為邊AB的黃金分割點(diǎn)；

∴=；

∴=；

∴直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

設(shè)直線EF與CD交于點(diǎn)G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四邊形AFGD+S△FCG=S四邊形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四邊形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直線EF也是△ABC的黃金分割線．31、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)f（x）=x的兩實(shí)根為α、β，可列出方程用a，b表示兩根α，β，根據(jù)|α-β|=1，可求出a、b滿足的關(guān)系式．

（2）根據(jù)（1）求出的結(jié)果和a、b均為負(fù)整數(shù)，且|α-β|=1，可求出a，b；從而求出f（x）解析式．

（3）因?yàn)殛P(guān)于x的方程f（x）=0的兩根為x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），討論a，b的關(guān)系可比較（x1+1）（x2+1）與7的大小的結(jié)論．【解析】【解答】解：（1）∵f（x）=x；

∴ax2+4x+b=x；

α=，β=．

∵|α-β|=1；

∴=|a|；

∴a2+4ab-9=0；

（2）∵a、b均為負(fù)整數(shù)，a2+4ab-9=0；

∴a（a+4b）=9，解得a=-1，