2024年中考數(shù)學復習：一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題復習講義

一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題復習講義

二次函數(shù)是刻畫實際生活中數(shù)量關系的又一種重要模型.在實際生活中，二次函數(shù)的應用更為廣泛，特別是解決

實際生活中的最值問題，二次函數(shù)更有其用武之地.中考時，常常將二次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）、其他函數(shù)等

知識結合在一起，考查同學們數(shù)形結合中的理解能力、推理計算中的思考能力、構建模型中的建模能力等，是中考

中難度較大的問題.

一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題是中考數(shù)學?？嫉膲狠S題型，主要考查一次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的性質、用待

定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的關系式、勾股定理、交點問題與線段長度問題、三角形的面積問題等，考查的知

識點較多，綜合性較強.

2.1與兩個函數(shù)的性質有關的題型

解題策略

1.判斷一個點是否在函數(shù)圖象上，只需把該點的坐標代入解析式中，看等式兩邊是否成立即可.滿足等式的點在

函數(shù)圖象上，等式不成立則點不在函數(shù)圖象上.

2.比較兩個函數(shù)值的大小，如果兩個點在對稱軸的同側，則利用增減性直接判斷；如果在對稱軸的異側，可充

分利用二次函數(shù)的對稱性，找到一點關于對稱軸的對稱點，然后利用增減性進行判斷.

3.求拋物線yax2+bx+c（a豐0）的對稱軸、頂點坐標有兩種方法，一是利用頂點公式（（-蔣節(jié)盧），二是

通過配方得到y(tǒng)=a[x-牙+k的形式.

4.比較拋物線上點的縱坐標大小的基本方法有以下三種：

⑴利用拋物線上對稱點的縱坐標相等，把各點轉化到對稱軸的同側，再利用二次函數(shù)的增減性進行比較；

（2）當已知拋物線的解析式及相應點的橫坐標時，可先求出相應點的縱坐標，然后比較大?。?/p>

（3）利用“開口向上，拋物線上的點距離對稱軸越近，點的縱坐標越小，開口向下，拋物線上的點距離對稱軸越

近，點的縱坐標越大”比較大小.

模型求與一元二次方程有關的不等式的解集

場景：一次函數(shù)y=kx+n與二次函數(shù)yax2+bx+c有關的不等式解集.

結論：kx+n>ax2+bx+c,表示一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方的部分，如圖中的函數(shù)圖象紅色部分，

此時的解集為當<久<%B（X軸上紅色線段表示的部分）；

kx+n<ax2+bx+c表示一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象下方的部分，如圖中的函數(shù)圖象黑色部分，此時的解

集為.久<孫或久〉久B，（X軸上黑色線段表示的兩部分部分）.

探究：當a<。時，其解集又是什么情況呢?

精選例題

例1已知函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經過點((一2,4).

(1)求b,c滿足的關系式；

⑵設該函數(shù)圖象的頂點坐標是(m,n),當b的值變化時，求n關于m的函數(shù)解析式；

(3)若該函數(shù)的圖象不經過第三象限，當-5SXS1時，函數(shù)的最大值與最小值之差為16,求b的值.

T解析

(1)代入點A的坐標，整理即可得到b,c的關系式；

(2)在⑴的基礎上，將(m,n)代入y=x2+bx+c,然后利用對稱軸方程得到m與b的關系式，最后代入消去b即

可得到n關于m的函數(shù)解析式；

(3)由于對稱軸的位置不固定，所以要分情況討論，根據對稱軸的不同位置，利用二次函數(shù)的變化趨勢求解.

解(1)將點(24)代入y=x2+bx+g得4=(-2)2—2b+c.

c=2b.

???b,c滿足的關系式是c=2b;

⑵把c=2b代入y=x2+bx+c得y=x2+bx+2b.

:頂點坐標是(m,n),n=m2+bm+2b,S,m=—b=-2m.

.?.n=—m2—4m.

??.n關于m的函數(shù)解析式為n=-m2-4m;

(3)由(2)的結論，畫出函數(shù)y=必+匕％+c和函數(shù)y=-x2-4%的圖象.

函數(shù)y=/+匕％+。的圖象不經過第三象限,

-4W—40.

-2-

①當—4<—^<—2,即4<b<8時，如答圖1,

x=l時，函數(shù)取到最大值y=l+3b;

X=-2時，函數(shù)取到最小值y=巴盧

2

即b+4b-60=0,.-.bi=6,b2=-10(舍去).

②當-2。，即0Sb<4時,如答圖2,

x=-5時，函數(shù)取到最大值y=25-3b;

久=—?時，函數(shù)取到最小值y=四蘭

即b2-20b+36=0.

bi-2,b2=18(舍去).

綜上所述，b的值為2或6.

例2.已知點M為二次函數(shù)y=-(尤—b)2+46+1的圖象的頂點，直線y=mx+5分別交x軸肆由2

y軸于點

A.B.

⑴判斷頂點M是否在直線y=4x+l上,并說明理由；

(2)如答圖1,若二次函數(shù)圖象也經過點A,B,且加久+5>-(久-by+4b+1,根據圖象，寫出x的取值范

圍；

(3)如圖2,點A的坐標為(5,0),點M在△力。B內，若點都在二次函數(shù)的圖象上，試比較％與

治的大小.

(1)把二次函數(shù)的頂點坐標代入.y=4x+1中，看等式兩邊是否相等即可；

(2攻口圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)相交于點A,B,由點B的坐標求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，可以得到

點A的坐標，然后利用函數(shù)圖象得到取值范圍；

(3)此問有兩個關鍵點，一個是頂點在.y=4x+1上，且點M在.AAOB內，所以需要確定頂點的范圍，即求

出b的取值范圍；第二個是討論對稱軸與點C,D的位置關系.

解⑴點M為二次函數(shù)y=-(x-b)2+4b+1圖象的頂點，

；.M的坐標是((。46+1).

把x=b代入y=4%+L得y=4b+1.

，點M在直線.y=4久+1上；

⑵如答圖1直線y=mx+5交y軸于點B,

???點B的坐標為(0,5),又?.?點B在拋物線上，

5=-(0-bY+4b+1,解得b=2.

???二次函數(shù)的解析式為y=-(%-2)2+9.

當y=0時,-(x-2)2+9=0,解得%i=5,x2=-1.

.?.點A的坐標為(5,0).

由圖象，可得當mx+5>-(x-b)2+4b+1時，x的取值范圍是.x<0或x>5;

⑶如答圖1,

:直線y=4x+l與直線AB交于點E,與y軸交于點F,

由A(5,0),B(0,5)得直線AB的解析式為y=-x+5,

聯(lián)立EF,AB彳導方程組［解得

點E的坐標為&芝)，點F的坐標為(0,1).

?點M在小AOB內，:1<4b+1<系

4

0<b<-.

當點c,D關于拋物線的對稱軸對稱時，b-1=1-b,.-.b=^.

442

且二次函數(shù)圖象開口向下，頂點M在直線y=4x+1上,如答圖2、3.

綜上所述,①當0<b<粗寸,yi>y2;

②當b=2時，yi=y2;

③當|<b<［時,yi<y2-

精選練習

2

1.已知拋物線yi=-x+mx+n,直線y2=kx+6,%的對稱軸與必交于點4(-1,5),點A與月的頂點B

的距離是4.

⑴求yi的解析式；yi

(2)若以隨著x的增大而增大，且外與段都經過x軸上的同一點，求力的解析式.

2.如圖.一次函數(shù)丫=丘-1的圖象經過點力(3有，m)(MO),與y軸交于點B點C在線段AB上，且BC=

2AC,,過點C作x軸的垂線，垂足為點D.若.AC=CD.

⑴求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)已知一開口向下、以直線CD為對稱軸的拋物線經過點A,它的頂點為P,若過點P且垂直于AP的直線

與x軸的交點為Q(-等，0),求這條拋物線的函數(shù)解析式.

2.2與兩個函數(shù)的交點有關的題型

解題策略

這里的交點問題是指二次函數(shù)與直線或線段的交點問題.

1.拋物線y=ax?+6%+。與x軸的有無交點是通過判別式判斷的，若拋物線與x軸無交點，則4<0；拋物線

與x軸有一個交點，則△=0；拋物線與x軸有兩個交點，則4>0反之，若△<0,貝U拋物線與x軸無交點；△=(),

則拋物線與x軸有一個交點；△>0,則拋物線與x軸有兩個交點.

2.當k加時求y=kx+b與拋物線的交點，則把兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立，消元化簡為一個一元二次方程，求解得

到交點的橫坐標，進而求出縱坐標即可.判定兩個函數(shù)是否有交點，則把兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立，消元化簡為一個一

元二次方程，利用判別式即可，若無交點，貝必<0；有一個交點，貝必=0;有兩個交點，則△>0.

3.當直線與y軸垂直或平行于x軸也可以轉化為一元二次方程進行求解.此時可以充分利用二次函數(shù)的對稱性,

即兩個交點的橫坐標之和等于對稱軸橫坐標的2倍.

5.當線段與二次函數(shù)相交時，注意端點的范圍，并分類討論.

模型求函數(shù)的交點

場景：一次函數(shù)y=kx+n(k中0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的交點.

策略：聯(lián)立后消元，得kx+n-ax2+bx+c,整理得ax2+(b-k)x+c-n-0.

結論：當△>。時，有兩個交點(如圖)；當小=0時，有一個交點；當△<。時，無交點.

例1.在平面直角坐標系中，已知拋物線Cy=ax2+2x-l(a*0)和直線1：y=kx+b,點4(一3,一-1)

均在直線1上.

⑴若拋物線C與直線1有交點，求a的取值范圍；

(2)當a=一1,二次函數(shù)yax2+2x-1的自變量x滿足血WxWm+2時，函數(shù)y的最大值為一4,求m的

值；

(3)若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍.

解析

(1)先求出直線的解析式，然后將二次函數(shù)的解析式與一次函數(shù)的解析式組成方程組，利用根的判別式/>。，求

出a的取值范圍；

⑵對自變量的取值范圍在對稱軸的左、右兩側進行分類，結合增減性求出m的值；

(3)由于拋物線經過(0,-1)這一定點，將拋物線分開口向上和開口向下兩種情況求出a的取值范圍.討論時注意

兩個臨界點A和點B,同時注意排除拋物線和直線AB沒有交點的情況.

解⑴將.4(-3,-3)"-1)代入y=依+4中，得

「汽督=丁,解得「飛

Ik+b=-1,b=

直線1的解析式為y=

答圖1

???拋物線C與直線1有交點，

GIX2+2x-1=|x-|有實數(shù)根.

???2ax2+3%+1=0,

9

**?=9-8aN0.ct

???a的取值范圍是aW，且a#0;

o

⑵當a=-l時，拋物線為y=—尤2+2x—1=—（久—1產對稱軸為x=l.

當m<x<m+2在對稱軸的左側時,如答圖1,即m+2<l時,

m<-l,y隨x的增大而增大.

當x=m+2時，函數(shù)y的最大值為4

m=-3.

當m<x<m+2在對稱軸的左側時,如答圖2,即m>l時，

y隨x的增大而減小.

當x=m時，函數(shù)y的最大值為-4,m=3;答圖3

(3)當a<0時,對稱軸x=-->0.

a

將B(1,-1)代入y=ax2+2%—L得a=-2.

???當a<-2時，拋物線C與線段AB有兩個不同的交點.

當a>0時，對稱軸%=--<0.

a

將A(-3,-3)代入y=ax2+2x—L得a=[.

當gWaW看時，拋物線C與線段AB有兩個不同的交點.

綜上所述，拋物線C與線段AB有兩個不同的交點時，：WaW1或a<-2.

例2在平面直角坐標系xOy中直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y="答I圖)4-3a經過點A,

將點B向右平移5個單位長度，得到點C.

⑴求點C的坐標；

⑵求拋物線的對稱軸；

⑶若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

解析

⑴求出點B的坐標，利用平移的性質即可得到點C的坐標；

(2)求出點A的坐標，代入y=ax2+bx-3a中，化簡整理，求出一方即可；

⑶分類討論a>0,a<0時的情況，這里要注意BC垂直y軸，頂點在BC上的情況

解⑴令x=0,代入直線y=4x+4彳導y=4..?.點B的坐標為(0,4).

?.?點B向右平移5個單位長度得到點C，，點C的坐標為(5,4)；

⑵令y=0,代入直線y=4x+4得x=--l.，點A的坐標為((-1，0).

將點A(-l,0)代入拋物線y=ax2+bx—3a中，得0=。一b—3a,即b=—2a

拋物線的對稱軸%=-捺=一子=1;

(3)?.?拋物線始終過點A(-l,0)且對稱軸為直線.久=1,

由拋物線對稱性可知拋物線也一定過點A的對稱點(3,0).

①a>0時,如答圖1.

將x=0代入拋物線得.y=-3a.

???拋物線與線段BC恰有一個公共點，

4

-3aV4,ct>—.

3

將x=5代入拋物線得.y=12a.

11

???12a>4,aa>

②a<0時，如答圖2.

將x=0代入拋物線得y=-3a.

???拋物線與線段BC恰有一個公共點,

答圖3

4

-3a>4.，a<—.

3

③當拋物線頂點在線段BC上時，則頂點為(1,4),如答圖3.

將點(1,4)代入拋物線得4=a—2a—3a,a=—1.

綜上所述，a21或a〈一;或a=-l.

精選練習

1.已知二次函數(shù)y=-^x2+bx+c的圖象經過A(0,3),B(一4,一兩點.

⑴求b,c的值;

(2)二次函數(shù)y=-^-x2+bx+c的圖象與x軸是否有公共點?若有,求公共點的坐標；若沒有，請說明情況.

16

2.已知k是常數(shù)，拋物線y=x2+(fc2+fc-6)x+3k的對稱軸是y軸，并且與x軸有兩個交點.

⑴求k的值;

⑵若點P在拋物線y=x2+(^k2+k-6~)x+3k上，且P到y(tǒng)軸的距離是2,求點P的坐標.

2.1與兩個函數(shù)的性質有關的題型

精選練習

2

1.解:⑴：拋物線以=-x+mx+n,直線y2=kx+b,y"的對稱軸與y2交于點A(-l,5),點A與yi的頂點B

的距離是4.

二點B的坐標為(-1,1)或(-1,9).

mq

-；~T=—1

2x(-1)

22

4x(-l)n-m_._ii4x(-l)n-m_Q

4x(-1)—-1或-4x(-1)—-

解得m=-2,n=0或n=8.

."■Y1的解析式為yi=-X2-2x或yi=-%2-2%+8;

⑵①當yi的解析式為人=-x2-2x時，拋物線與x軸交點是(0,0)和(-2,0).

Vyi的對稱軸與y2交于點A(-l,5),

???yi與y?都經過x軸上的同一點(-2,0).

把(-1,5),(-2,0)代入得

—k+b=5,,解得Co.

—2k+b=0：

???=5%+10.

②當.yi=—%2—2%+8時，解—x2—2第+8=0得x=-4或x=2.

隨著X的增大而增大，且過點A(-l,5),

?-yi與y2都經過x軸上的同一點(-4,0).

—k+b=5,

把(-1,5),(-4,0)代入得

—4fc+b=0.

k7=-5,

3

解得720

3

2.解:⑴如圖過點A作AF，x軸過點B作BFLCD于點H,交AF于點F,過點C作CEXAF于點E.

設AC=n，則CD=n.

?，點B的坐標為（0,-1）,

CD=n+1,AF=m+1.

VCH/7AF,BC=2AC,

.CH_BC_2

''AF~AB~3

.AC_CE_1

''AB_BF~3

即可得（CE=V5.

在RtAAEC中，

CE2+AE2=AC2,

???5+（m—幾）2=n2.

m

把九=等1代入5+（m—歿B=（乂^），解得i=5,m2=一3（舍去）.

n