2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-三角形（學(xué)生版）

專題05三角形

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1：三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.

c

如圖3.2-1,在三角形VABC中，有三條邊ABBCCA,三個(gè)角行1,B,?C,三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C，

在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.

三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每

條中線的三等分點(diǎn).

三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三

邊的距離相等.

三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部,

直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.

過不共線的三點(diǎn)A、B.C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形A8C的外接圓，圓心。為三角形的外心.三

角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形

結(jié)論一：等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的內(nèi)

心/、重心G、垂心”必然在一條直線上.

結(jié)論二：正三角形三條邊長相等，三個(gè)角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點(diǎn)稱為正三

角形的中心.

【題型歸納目錄】

題型一：三角形的“四心”

題型二：幾種特殊的三角形

【典例例題】

題型一：三角形的“四心”

例1.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，P是線段5c中點(diǎn)，連接80交AP于點(diǎn)E,

連接CE.

AD

⑴如果AE=CE.

①求證：平行四邊形ABCD為菱形；

②若AB=5,CE=3,求線段的長.

(2)分別以AE,BE為半徑，點(diǎn)A,8為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)E,F,點(diǎn)尸恰好在射線CE上，如果CE=&AE，

求笑的值.

例2.(2023?湖北省直轄縣級(jí)單位??？寄M預(yù)測)如圖，在uABCD^,AC為對角線，AC=BC,AE是ABC

的中線.

(1)在圖1中用無刻度的直尺畫出ABC的高C”；

(2)在圖2中用無刻度的直尺畫出ADC的高AK

例3.(2023?四川成都?統(tǒng)考二模)在RCABC,ZABC=90°,A5=4,3C=6,點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，將ABC

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)得到A'3'C'(點(diǎn)A,2的對應(yīng)點(diǎn)分別為B'),點(diǎn)夕不在直線BC上，連接

(1)如圖1,連接cc,BC,B'C,求證：四邊形BB'CC'是矩形;

(2)如圖2,當(dāng)？落在邊AC上時(shí)，AC'與AC交于點(diǎn)連接CC',BC.求線段MC的長；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G為△03方的重心，連接AG,當(dāng)線段AG取得最小值時(shí)，求出此時(shí)的面積.

變式1.(2023?湖北十堰?統(tǒng)考三模)如圖，已知，四邊形A5CD中，ZC=ZD=90°,/A的平分線交C。于

點(diǎn)、E,以A3為直徑作半。經(jīng)過點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.

⑴求證：8與半「。相切；

(2)若BC=CD,AD=2,求A3的長.

變式2.(2023.安徽滁州?統(tǒng)考二模)如圖1,AO是:ABC的角平分線，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作AD的平

行線交C4的延長線于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)f，在射線E尸上取一點(diǎn)G,使3G=30.

圖1圖2

(1)求證：BF=CE；

(2)如圖2,已知AB=8,AC=AD=4.

①求0D的長；

②圖中存在四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，在圖中畫出這個(gè)平行四邊形，并證明它是平行

四邊形.

變式3.(2023?浙江金華?統(tǒng)考二模)如圖，點(diǎn)E是54延長線上一點(diǎn)，ZE=ZDCE.

⑴求證：ZB=ZD.

⑵若CE平分ZBC。，ZE=47°,求的度數(shù).

變式4.(2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC和8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、F

分別為Q4、OD的中點(diǎn).

圖I圖2

(1)求證：BOEMCOF；

(2)如圖2,連接AF和OE,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中面積是一ABE面積3倍的三角

形.

變式5.（2023?吉林長春?吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？既＃蹎栴}提出］某節(jié)數(shù)學(xué)課上，小致遇到這樣一個(gè)問題：如

圖①’在中，M小均為金C的中線’仞與以相交于點(diǎn)。.求正的值.（此處無需求解）

圖①圖③

［方法探究］

⑴小致發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)A作3c的平行線交CE的延長線于點(diǎn)網(wǎng)如圖②），可以得到“AEFWiBEC,

△OAF-AODC.則型的值為

OA

［方法應(yīng)用］參考小致思考問題的方法，解決問題:

如圖③，在ABC中，CE為邊上的中線，點(diǎn)。在BC的延長線上，且質(zhì)?=2跳＞.

⑵求器的值.

（3）若..ABC的面積為10,則四邊形0D3E的面積為

變式6.（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在ASC中，點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，點(diǎn)尸是射線AC上的一點(diǎn).連

接FD并延長交A8于點(diǎn)E.

BDE

⑵求證：W+『?

變式7.(2023?安徽合肥?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

A(2,2),B(4,0),C(4,-4).

(1)請畫出A6C向左平移6個(gè)單位長度后得到的△ABC1；

(2)以點(diǎn)。為位似中心，將ABC縮小為原來的g,得到△人&G,請?jiān)趛軸右側(cè)畫出△d芻G,并求出△O&Cz

的面積.

變式8.(2023?陜西西安??？寄M預(yù)測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長均為1,

ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4T3),8(2,0),C(-3,-l).

(1)在圖中畫出ABC關(guān)于x軸對稱的△48。］(點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為4、4、CJ

(2)求_ABC的面積.

變式9.(2023?陜西西安?西安市第二十六中學(xué)校考模擬預(yù)測)【問題提出】

(1)如圖1,在Rt^AfiC中，ABAC=90°,AB=8,AC=6,AD為BC邊上的高，則AD的長為.

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，ABCD,§LAB=2CD,E,尸分別是AB,3c的中點(diǎn)，連接

DE,EF,AC,BD,EF與8。相交于點(diǎn)AC與2。相交于點(diǎn)。，若MF=2,求AC的長.

【問題解決】

(3)如圖3,四邊形ABCD是園林局欲修建的一塊菱形園地的大致示意圖，沿對角線班＞,AC各修一條人行走

道，AC=80m,BD=60m.E是AD上的一點(diǎn)，點(diǎn)凡G在A3上，EFVAB,OG//EF.根據(jù)規(guī)劃要求，

建造一個(gè)四邊形OEFG的特殊花卉種植區(qū)，求該種植區(qū)四邊形OEFG的最大面積.

題型二：幾種特殊的三角形

例4.(2023?全國?模擬預(yù)測)如圖，在ASC中，AB^AC,。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,歹在直線AD上，且。E=.

(1)求證：四邊形BECF是菱形；

(2)若=3C=8,AB=AF,求A3的長.

例5.（2023?江蘇淮安?校聯(lián)考三模）如圖，ZA=NB,AE=BE,點(diǎn)。在AC邊上，/1=/2,AE和BD相

交于點(diǎn)O.

（1）求證：4AEC必BED；

⑵若Zl=42°,則ZBDE的度數(shù)為

例6.（2023?湖北咸寧?統(tǒng)考一模）【問題探究】如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)尸、G分別在邊8C、8上，

且AFJ_8G于點(diǎn)P,求證AF=3G；

【知識(shí)遷移】如圖2,矩形ABCD中，AB=m,BC=n,裊E、F、G、以分別在邊AB、BC、CD、AD上，

FG

且EGLFH于點(diǎn)P.求染的值；

HF

［拓展應(yīng)用】如圖3,在四邊形ABCD中，ZABC=90°,NBDC=120°,DB=DC,點(diǎn)E、F分別在線段AB.BC

CF

上，且CELD產(chǎn)于點(diǎn)P.請直接寫出二鄉(xiāng)的值.

（圖1）（圖2）（圖3）

變式10.（2023?云南楚雄?統(tǒng)考二模）如圖，AC與BO相交于點(diǎn)O,S.AB=DC,AC=DB.求證：OB=OC.

AD

變式11.（2023?福建福州?統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A,8在C。的同側(cè)，線段AC,相交于點(diǎn)E,ZECD=ZEDC,

NECB=NEDA,求證：AD=BC.

變式12.（2023?廣東揭陽?校聯(lián)考二模）如圖，ABC中，ABAC=90°,8D平分，ABC.

A

（1）過點(diǎn)A作BC的垂線"為垂足，交8。于點(diǎn)P；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）求證：AP=AD.

變式13.（2023?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長

都是1,ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.

(1)畫出..ASC關(guān)于y軸對稱的△ABC.

(2)畫出以C4為腰的等腰三角形△ADC,連接A。，AC,使AOC的面積為5.

變式14.(2023?江蘇南京?模擬預(yù)測)如圖，在A5CD中，對角線AC、8D交于點(diǎn)。，E是3。延長線上的點(diǎn),

且,ACE是等邊三角形.

(1)求證：四邊形A3CD是菱形.

(2)若NA￡E)=2NE4￡>,求證：四邊形ABC。是正方形.

變式15.(2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？既?如圖1,已知ABC為等邊三角形，D,E分別在AC,

A3上，且BE=2CD,連接DE,過。點(diǎn)作。尸_LOE交BC于尸點(diǎn)，連接E尸.

(1)若E點(diǎn)和A點(diǎn)重合，則/EED=；

⑵若DFAB,如圖2,求證：四邊形皿D為平行四邊形；

(3)猜想線段AE,CF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并利用圖1給出證明.

變式16.(2023?山東德州?統(tǒng)考二模)【綜合與實(shí)踐】數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主

題，開展如下探究活動(dòng)：

(1)【操作探究】如圖1,ABC為等邊三角形，將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180。，得到VADE,連接8E,則/EBC=

°.若/是BE的中點(diǎn)，連接AF,則■與OE的數(shù)量關(guān)系是.

圖1

(2)【遷移探究】如圖2,將⑴中的ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，得到VADE,其他條件不變，求出此時(shí)ZEBC

的度數(shù)及AF與DE的數(shù)量關(guān)系.

圖2

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在Rt^ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到VADE,

連接3E,尸是BE的中點(diǎn)，連接AF.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NEBC=15。時(shí)，直接寫出線段"的長.

圖3備用圖

【過關(guān)測試】

一、解答題

1.(2023?廣東深圳.深圳市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)問題背景：

(1)如圖1,點(diǎn)E是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且連接AD,BE,求證：ADC^BEC.

(2)如圖2,點(diǎn)C是線段A8垂直平分線上位于A3上方的一動(dòng)點(diǎn)，是位于A3上方的等腰直角三角形,

圖2

PA

1(填一個(gè)合適的不等號(hào))；

rC+CoD

pA

②i工的最大值為______，此時(shí)______°.

PB

問題組合與遷移：

⑶如圖3,AD是等腰，ABC底邊BC上的高，點(diǎn)E是AD上的一動(dòng)點(diǎn)，PEC位于BC的上方，且

2PA

△ABCs&EC,若cos/ABC=',求詬的最小值.

2.（2023?廣東深圳?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1,在等腰直角三角形A3C中，ZA=90°,AB=AC,點(diǎn)、D、

E分別在邊AB、AC上，AD^AE,連接8E,點(diǎn)〃、N、P分別為BE、5C的中點(diǎn).

圖1圖2

（1）觀察猜想：

圖1中，線段MN與NP的數(shù)量關(guān)系是,ZMVP的大小是；

（2）探究證明：

把VAOE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MP、BD、CE,判斷△WP的形狀，試說明理由;

（3）拓展延伸：

把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AO=1,AB=3,請直接寫出△WP面積的最大值.

3.（2023?山東淄博?統(tǒng)考二模）如圖，在，ABC中，BC=3,將ABC平移4個(gè)單位長度得到△A片￡,點(diǎn)尸,

。分別是A3,4C的中點(diǎn)，求P2的最大值和最小值.

4.（2023?山東濟(jì)南?三模）已知RtZVIBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A（-4,0）,線段AC交y軸于

(2)如圖2,點(diǎn)G是x軸上一點(diǎn)，連接CG交反比例函數(shù)y」(x>0)的圖象于點(diǎn)R連接。尸，交BC于點(diǎn)P.若

X

CG=3FG,求的面積.

⑶點(diǎn)/是直線3C右側(cè)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連接過點(diǎn)M作跖交x軸于點(diǎn)N,連接硒，

當(dāng)，EMN與ABC相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

5.(2023?云南昆明?統(tǒng)考二模)【問題引入】

古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫-秦九韶

公式，如果一個(gè)三角形的三邊長分別是a,b,c,記“十;十,,那么三角形的面積為：

S=Qp(p_a)(p_b)(p-c),在ABC中，/A,/B,ZC所對的邊長分別為a,b,c,若“=3,6=4,

c=5,貝IASC的面積為6；

【問題探索】

d+hc

如圖一，在MC中，設(shè)3c=a,AC=b,AB=c,p=---,M是ABC的內(nèi)切圓，eN分別與AC

的延長線、AB的延長線以及線段BC均只有一個(gè)公共點(diǎn)，"的半徑為機(jī)，eN的半徑為〃.

(1)分析與證明：

如圖二，連接的4、MB、MC,則ABC被劃分為三個(gè)小三角形，用S表示4ABe的面積，即

+

=^AMBC+^AMCA^AMAB-那么S=P，/"是否成立？請證明你的結(jié)論.

(2)理解與應(yīng)用：

當(dāng)NA=60。，m=2,〃=6時(shí)，求，ABC的面積.

6.(2023?云南昆明??？既?【感知】如圖1,已知四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°.求證：A、B、C、D

下述證明過程中可直接使用李明的結(jié)論)

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，證明：PF=PC；

(2)如圖3,過點(diǎn)尸分別作AB、BC的垂線，垂足分別為N、M.求MN的最小值.

7.(2023?吉林長春?校聯(lián)考一模)問題原型：如圖(1)所示，在等腰直角三角形A3C中，ZACS=90°,BC=a,

AB的中點(diǎn)為/，將線段郎繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接8,過點(diǎn)。作BC邊上的高DE,

易證從而得到△BCD的面積為4片.

4

初步探究：如圖(2)所示，在RtAABC中，NACB=90。，BC=a,A3的中點(diǎn)為P.將線段在3繞點(diǎn)B按順

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段80,連接CZX用含。的代數(shù)式表示△BCD的面積，并說明理由.

簡單應(yīng)用：如圖(3)所示，在等腰三角形A3C中，AB=AC,BC=a,AB的中點(diǎn)為E將線段EB繞點(diǎn)3按

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段80,連接8,直接寫出△BCD的面積(用含。的代數(shù)式表示).

8.(2023?浙江溫州?校聯(lián)考二模)如圖在6x6的方格紙中，點(diǎn)AB,C均在格點(diǎn)上，請按要求畫出相應(yīng)格點(diǎn)圖

(1)在圖1中畫出ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱的格點(diǎn)三角形1ABic(點(diǎn)A3的對應(yīng)點(diǎn)分別為A，4).

(2)在圖2中畫出ABD,使得SABD^3SABC.

9.(2023?吉林延邊?統(tǒng)考一模)【探究】

⑴如圖①，在RCABC中，NACB=90。，點(diǎn)D是A8中點(diǎn)，連接8,則A8與C。的數(shù)量關(guān)系是

D

CB

圖①

【應(yīng)用】

(2)如圖②，在，ASC中，NACB=90。，CDLAB,點(diǎn)、E,尸分別是BC、C4的中點(diǎn)，連接。E、DF,且

DE=3,DF=4,求A8的長度.

圖②

(3)如圖③，ASC的中線8。、CE相交于點(diǎn)0,F、G分別是3。、CO的中點(diǎn).連接。E、EF、FG、GD.若

VADE的面積為6,則四邊形DEfU的面積為.

10.(2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考二模)已知四邊形ABCD中，AC,2D相交于點(diǎn)E,AB=CD,ZABE=NDCE.

(1)如圖，求證：/EBC=NECB；

(2)如圖2,延長胡，延長8相交于點(diǎn)R若點(diǎn)。是CT的中點(diǎn).在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫

出圖2中的四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于△川不面積的2倍.

R

IL（2023?江西南昌??？家荒＃〢SC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,2）.

⑴在圖中作出ASC關(guān)于x軸對稱的圖形,A'￡C',并寫出W,B',C'的坐標(biāo);

（2）求出AEC'的面積.

12.（2023?安徽合肥??？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，己知,ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

3（4,2）、C（3,5）

y

(1)以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將一ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△43。］,請畫出△AB|G(點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分

別為4、B［、G)；

(2)將一ABC平移，使平移后點(diǎn)8、C對應(yīng)點(diǎn)與、C?分別在y軸和x軸上，畫出平移后的△4與6；

(3)借助網(wǎng)格，請用無刻度的直尺畫出的中線(保留作圖輔助線)

13.(2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考三模)如圖，在ABC中，以AB為直徑的一。與2C相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作的

切線交AC于點(diǎn)E.DE1AC.

⑴求證：AB=AC；

(2)若的直徑為13,3c=24,求。E的長.

14.(2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模)如圖①，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線

以每秒5個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、E同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、C重合時(shí)，作點(diǎn)尸關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)

Q,連接PQ交AC于點(diǎn)尸，連接EP、EQ,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

Q

圖①圖②

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在CB上時(shí)，用含r的代數(shù)式表示尸尸=_；當(dāng)點(diǎn)尸在A2上時(shí)，用含f的代數(shù)式表示小=_；

(2)當(dāng).EP。為直角三角形時(shí)，求》的值.

(3)如圖②，取PE的中點(diǎn)連接QM.當(dāng)尸在上，且QM〃CZ＞時(shí)，求f的值.當(dāng)點(diǎn)尸在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí),

是否存在加〃AO的情況，如果存在直接寫出f的值，如果不存在請說明理由.

15.(2023?福建廈門?廈門一中?？寄M預(yù)測)如圖，在，ABC中，ZACB=90°,AC=3C=4,將線段C4繞

點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到線段CD,連接AD,過點(diǎn)C作CE，AD于點(diǎn)E,連接BD,分別交C4、CE于點(diǎn)八

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