2024年中考數(shù)學復習：有理數(shù)的運算復習講義

有理數(shù)的運算復習講義

一、有理數(shù)的加法運算

1.有理數(shù)的加法運算法則

(1)同號兩數(shù)相加：取相同的符號，并把絕對值相加；

(2)異號兩數(shù)相加：絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去

較小的絕對值；

⑶一個數(shù)同。相加，仍得這個數(shù).

【例】(+3)+(+5)=+(3+5)=8(-3)+(-5)=-(3+5)=-8

2+(-2)=03+(-2)=+(3-2)=1

2+(-5尸-(5-2)=-3-3+0=3

符號數(shù)值

正數(shù)+正數(shù)正絕對值相加

負數(shù)+負數(shù)負絕對值相加

正數(shù)+負數(shù)取絕大絕大減絕小

【注】多個數(shù)相加時，加法交換律和加法結合律仍然成立.

2.加法運算技巧

⑴化小數(shù)為分數(shù)：分數(shù)與小數(shù)均有時，應先化為統(tǒng)一形式；

(2)符號相同的數(shù)可以先結合在一起；

(3)若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時，可先結合相加；特別是有互為相反數(shù)的兩個數(shù)時，可先結合相加

得零；

(4)若有同分母的分數(shù)或易通分的分數(shù)，應先結合在一起.

【例】-；+(-0.75)=-《+(-1)=-1

8\2/888\272V2/

3.7+(-7)+6.3=3.7+6.3+(-7)=10+(-7)=3

-2.4+5+2.4=(-2.4+2.4)+5=0+5=5

二、有理數(shù)的減法運算

1.有理數(shù)的減法運算法則

減去一個數(shù).等于加上這個數(shù)的相反數(shù),即:a-b=a+(-b).

【例】3-(-2)=3+2=5-8-(-7)=-8+7=-1

2.有理數(shù)的減法運算步驟

⑴把減號變?yōu)榧犹?，把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)；

⑵按照加法運算進行計算.

【例】計算：-8-6

解:原式=-8-(-6)Stepl:減號變加號，減數(shù)變相反

=-(8+6)Step2：按照加法的運算步驟計算

=-14

3.有理數(shù)加減法混合運算技巧

⑴把算式中的減法轉化為加法；

⑵去括號時注意符號，能省掉的“+”號要省掉；

(3)多觀察，巧妙利用運算律簡便計算.

三、有理數(shù)的乘法運算

1.有理數(shù)的乘法運算法則

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘.

任何數(shù)與0相乘，積仍為0.

【例】-3x(-5)=+(3x5)=15-2X8=-(2-8)=-16

12x11=1322017x0=0

2.有理數(shù)的乘法運算律

(1)乘法交換律:ab=ba;

⑵乘法結合律:(ab)c=a(bc);

(3)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.

【例】—3x5=5x(-3)[(-2)X3]x：=(-2)x(3x|)

-|x(10+|)^-|xl0+(-|)x|

3.有理數(shù)乘法運算技巧：

⑴幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定：奇負偶正；

⑵幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0,則積為0；

⑶在進行乘法運算時，若有小數(shù)及分數(shù)，一般先將小數(shù)化為分數(shù)，若有帶分數(shù)，應先化為假分數(shù)，便于約

分.簡記為：化小為分，化帶為假.

【例】-1x：x(-2)x(-0.75)x5的結果為負數(shù)

-8x|x(-9)xOx7的結果為0

173

-3-x0.75xl6=--x;xl6=-42

四、有理數(shù)的除法運算

L有理數(shù)除法運算法則

一個數(shù)除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).a+b=a(bK0).

2.有理數(shù)除法的運算步驟：

(1)把除號變?yōu)槌颂枺?/p>

(2)把除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)；

⑶把除法轉化為乘法，按照乘法運算的步驟進行運算.

[例]2+=2x(-4)=-(2x4)=-8

_3+(H)=_3X(_|)=+(3X|)=|

五、乘方

乘方：求n個相同因數(shù)的積的運算,叫做乘方，乘方的結果叫做幕.在a“中，a”讀作“a的n次幕”或者“a的n

次方”，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).

【例】a”表示有n個a連續(xù)相乘：

3,表示3x3x3x3x3,

-35表示-(3x3x3x3x3),

(-3)5表示(-3)x(-3)X(-3)x(一3)x(-3).

【注】當n為奇數(shù)時，(-以=-心當n為偶數(shù)時，(一a)〃=a".

六、混合運算技巧

1.有理數(shù)運算規(guī)則

加減法為一級運算，乘除法為二級運算，乘方及開方稱為三級運算.

(1)先乘方，再乘除，最后加減；

(2)同級運算，從左到右進行；

(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

簡記為：從左到右，從高(級)到低(級)，從小(括號)到大(括號).

2.“奇負偶正”

(1)多重負號的化簡：這里奇、偶指的是號的個數(shù)，正、負指的是化簡結果的符號；

(2)有理數(shù)乘法：當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇、偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正、負指的是結果中積的符號；

⑶有理數(shù)乘方：這里奇、偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則幕為負；指數(shù)為偶數(shù)，則幕為

正.

【例】-[-(-3)]=-3-[+(-3)]=3(-3)x(-2)x(-6)=-36;

(-3)x(-2)x(+6)=36(-3)2=9(-3)3=-27.

七、絕對值初步

(1)若|a|=a,則a>0;若|a|=-a,則a<0.

(2)|a|=|-a|.

re回」1，a>。

⑶a-l-l,a<0

模塊一有理數(shù)的加減法

例題1

⑴(+12)+(+3)(2)(+7.5)+(+3|)(3)(-11)+(-9)

(4)(-40+(-3m(5)15+(-6)(6)(+53|)+(-18§

⑺-5+3⑻"(W)

[ftWJ(l)(+12)+(+3)(2)(+7.5)+(+3|)(3)(-ll)+(-9)(4)(-40+(-30

=+(12+3)=15=+(7.5+3.6)=ll.l=-(10+9)=-(4|+30

=-8

(5)15+(-6)(6)(+531)+(-18^)(7)-5+3(8)^+(-^)

二+(15-6)=9=+(52+——18—覆)=-(5-3)=-2=---

\55/6

=34-=--

53

例題2

(1)23-17-(-7)+(-16)(2)^-(-|+|)+(-2)

【解析】⑴解:原式=23+(-17)+7+(-16)⑵解:原式=京-(-專)+(-2)

=(23+7)+[(-17)+(-16)]=.+[+-2)

=30+(-33)=-3=^+(-2)=-^

例題3

⑴/(-0.75)+0.375+(-2⑵[《+(-/+[(-1)+6引

⑶-0.5-(-3-(-2.75)-(70⑷(-21)-(+30-(+1.25)-(-J

【解析】⑴原式=：+(T+|+(-2；)⑵原式=嗚+(-"+[(-：)+6當

=1+§+[(_1)+(-2；)]=[蚱+6￡|+[(—1)+(-1)]

=j+(-3)=-j=ll+(-|)=10i

⑶原式=-1+3]+2|+(—7()(4)原式=(—2：)+(—3鄉(xiāng)+(—1)+2

=[(-3+(-73+(3；+2=[(-21)+(-；)]+[(-31)+1]

=(-8)4-6=—2=(—4)+(—3)=-7

模塊二有理數(shù)的乘除法

例題4

(1)(—3)x(-11)x(-10x(+5|)x卷(2)(—0.25)x0.5x(―x4

(3)(-81)+2：x(-\)+4⑷(-|)x2,+(一琦)xI-4|

【解析】⑴原式=(一3"(一？義(一募)*￡乂卷=一(3義卜蔡義甘乂才=一9；

(2)^=(-i)xjx(-^)x4=ix|x^x4=^;

(3)原式=(-81)x源_以x(=1；

(4)原式=(一Jx|x(一|)x4=5.

例題5

(1)8+(-36)X-(2)(-3.89)x(一|)-2.51X(-|)+6.4X(-1)

【解析】⑴原式=8+(—36)xT+(-36)x(-i|)+(-36)X[

=8+(—28)+33+(-6)=7.

(2)原式=[(-3.89)-2.51+6.4]x(―|)

=0x(-i)=0-

模塊三乘方

例題6

⑵—34(3)(-|)3

(1)(—3尸

⑷一3Q3⑸|一3『*(一3*(一0%(|)2

【解析】(1)81;(2)—81;(3)~~~\(4)-

(5)^=9x(-i)x(-i)xg)=i

例題7

⑴一32x2—3x(—2產(chǎn)(2)2x(-3)2—；x(-22)+6

(3)-I4-4-[16-(-3)2](4)(一3)2一(11)x|-64-|-1|3

【解析】(1)原式(2)原式=2x9—：x(-4)+6

=-9X2-3X44

=-18-12=-30=18+1+6=25

⑶原式=_1―什7(4)原式=9-,X|-6吟

oz)O

=-1Y--1X-1=9—三一叫

7744

150

-d1-------=---------=-12

4949

【提示】有理數(shù)乘方?？紝W生的易錯點，即“奇負偶正”在乘方運算中的應用.

模塊四絕對值初步

例題8

⑴若l<a<3,則化簡||1—可+|3—磯的結果為

⑵若x<。,化簡曷!言

(3)已知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡|a|+網(wǎng)+|a+加一|b—c|的結果是().

A.2a+3b-cB.3b—ca0bC

C.b+cD.c-b

⑷數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|=|c|;化簡\a+c\+\2b\-\b-a\-\c-b\+\a+b\=

cb

O

【解析】(1)2;

⑵II用一2%|_手=-%;(3)B;(4)-b+c.

|%—3|—|x|3-%+%

例題9

(1)若ab邦,求高+看的所有可能值.

(2)若abc邦,求言+白+吊勺所有可能值.

(3)試探究，若agLa回力0,求名+巖+L+看的所有可能值.

|?1|也|跖I

【解析】⑴①兩數(shù)均正，原式=2;

②一正一負,原式=0；

③兩數(shù)均負，原式=-2;

⑵①三數(shù)均正,原式=3;

②二正一負.原式=1；

③一正二負,原式=-1；

④三數(shù)均負.原式=-3;

⑶①當n為奇數(shù)時，所有可能的值為:±1,±3,±5,…，±n;

②當n為偶數(shù)時，所有可能的值為:0,±2,±4,±6,-,±n.

例題10

⑴已知a、b是不為0的有理數(shù)，求旦的值.

ab

⑵已知mn知，求四+言+總的值.

m\n\\mn\

⑶已知abc#0,求有+產(chǎn)+普的值.

\ab\\ac\\bc\

【解析】⑴當a>0,b>0時,=1T=0；

當a>0,b<0時，旦一粵=1-(-1)=2;

ab

當a<0,b>0時，旦―回=—1—1=—2;

ab

當a<0,b<0時,也一回=_1_(_1)=0;

ab

綜上所述，印-?的值為20,2.

ab

⑵：mn#),；.m、n兩個數(shù)都不為零

若m、n兩個數(shù)都是正數(shù)，則mn也是正數(shù)，故原式值為3；

若m、n兩個數(shù)一正一負，則mn是負數(shù)，故原式值為-1；

若m、n兩個數(shù)都是負數(shù)，則mn是正數(shù)，故原式值為-1；

綜上所述，例+含+巴=3,-1.

m\n\\mn\

(3)Vabc^O,/.asb、c三個數(shù)都不為零,

若a、b、c三個數(shù)都是正數(shù).則ab、ac、be也都是正數(shù).故原式值為3;

若a、b、c中兩正、一負，則ab、ac、be中一正、兩負，故原式值為-I;

若a、b、c中一正、兩負，則ab、ac、be中一正、兩負，故原式值為-1;

若a、b、c中三負，則ab、ac、be中三正，故原式值為3.

綜上所述，黑+胃+含=3-1.

\ab\\ac\\bc\

例題11

(Da,b,c為非零有理數(shù),且a+b+c=O,則罌+翟+與的值等于多少？

\a\b\b\c\c\a

(2)已知a,b,c都不等于0,且abc>0,a+b+c=O,求若+喏+喑.

a\b\b\c\c\a\

【解析】(1)由a+b+c=O可知a,b,c里存在兩正一負或者一正兩負；

a\b\_b\c\c\a\_a_1^1,.If!_L

\a\b\b\c\c\a\a\'b\b\c\c\a

若兩正一負，那么高￥+，■?+自?=ITT=T；

若一正兩負，那么+帚也+方f=

綜上所得罌+鬻+瞿=-1；

\a\b\b\c\c\a

(2)考慮a+b=—c,b+c=—a,a+c=一仇代入原式可得-1.

【提示】例9,10.11均是關于回的問題，例9是最基本的回的考查形式，需要帶著學生分類討論找到規(guī)律；例10是例9

aa

的變形，考查形式多樣化，但基本思路依然是分類討論正負數(shù)的個數(shù)即可；例11則加入了一些限制性的條件，限

制了正負數(shù)的個數(shù).

非常挑戰(zhàn)

2012+氯-丁+(一/(-0.625)]:(-2§

⑴

-(-l)20z-

,(-2)3X(-l)2012-|-12|*[-(-i)2]

【解析】(1)6035;(2)25.6.

復習鞏固

演練1

計算：(1)J一[(—9.5)+4/]+7.5

(2)—5.5+(—3.2)—(—2.5)—(—4.8)

(3)—32—17一|一23|一|一(-17)|

【解析】⑴7.5;⑵-1.4;(3)-89.

演練2

(1)(—51)xg—8+|—2+4|(2)(-1)6-(1_|_I(|)-11

(3)-I8+(1-0.5)X|X[2-(-3)2](4)-42x0.25一，+(―|?+1-(-1)2015

：⑴-6;(2)-；;(3)苧4)-13.

4o

演練3

(1)已知一|一XW|,則|2x+3|+|2x-5|=

(2)a<0,abV0,那么\b-a+11—|CL—b—51=.

(3)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示.若〃