2024年初升高數(shù)學(xué)銜接講義-三角形練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題09三角形

"敢徐述

三角形的“四心”有著明顯的幾何特征，這些幾何特征與高中很多知識(shí)都有交匯，所以要熟練掌握它們的

概念，理解對(duì)應(yīng)的幾何意義，為高中“四心”知識(shí)的綜合奠定基礎(chǔ).

1.四心的地位

所謂三角形的“四心”,是指三角形的四種重要線段相交而成的四類特殊點(diǎn).它們分別是三角形的內(nèi)心、外心、

垂心與重心，其中，外心與內(nèi)心在初中課本中分別作出了敘述和介紹，而垂心與重心這兩個(gè)概念是在高中

加強(qiáng)的.在高中后續(xù)學(xué)習(xí)向量、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容時(shí)，垂心、重心、內(nèi)心、外心都是不可缺少的知

識(shí)點(diǎn)，在高考試卷中也屢屢出現(xiàn)，所以要清楚它們的基本概念，在三角形中用尺規(guī)作圖的方法能夠找到這

四心，也就是要熟悉它們的幾何特征，正三角形四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點(diǎn)稱為正三角形的

中心.

2.四心的概念與常用性質(zhì)

內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，該點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，內(nèi)心到三角形的三邊的距離相

等；

垂心：三角形的三條高的交點(diǎn)；通過(guò)作圖可知銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心為直角頂

點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形外，該點(diǎn)分每條高線的兩部分乘積相等；

重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)，該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍；

外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

四心在高中階段具有代數(shù)與幾何的雙重身份，需要給這四心的幾何特征以代數(shù)形式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，

以數(shù)解形.

薛程要求

《初中課程要求》1、三角形及其性質(zhì)

2、全等三角形

3、相似三角形

4、直角三角形

《高中課程要求》1、三角變換與解三角形的綜合問(wèn)題

2、解三角形與平面向量結(jié)合

3、以平面圖形為背景的解三角形問(wèn)題

高中必備知識(shí)點(diǎn)i：三角形的“四心”

三角形是最重栗的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題.

如圖3.27，在三角形VABC中，有三條邊三個(gè)角行1,民？C,三個(gè)頂點(diǎn)A,比C,

在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.

三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，

恰好是每條中線的三等分點(diǎn).

三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三

角形的三邊的距離相等.

三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角

形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.

過(guò)不共線的三點(diǎn)4B、。有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形4死的外接圓，圓心。為三角形的外

心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形

結(jié)論一：等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角

形的內(nèi)心/、重心G、垂心”必然在一條直線上.

結(jié)論二：正三角形三條邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一該點(diǎn)

稱為正三角形的中心.

■例周新

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：三角形的“四心”

【典型例題】

如圖，在。。中，AB是的直徑，力與。0相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C在。。上，且PC=%,

⑴求證PC是。。的切線；

⑵過(guò)點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)。,若CD=PA=2>Jj,

①求圖中陰影部分面積；

②連接AC,若的內(nèi)切圓圓心為/,則線段/E的長(zhǎng)為.

【變式訓(xùn)練】

已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.ZADC=60°,等邊4AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。

⑴特殊發(fā)現(xiàn)：如圖①，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn);.求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)。即為

等邊4AEF的外心；

(2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng).記等邊4AEF的外心為點(diǎn)P.

①猜想驗(yàn)證：如圖②.猜想4AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

②拓展運(yùn)用：如圖③，當(dāng)4AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M,交邊DC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)N,試判斷點(diǎn)是否為定值.若是.請(qǐng)求出該定值；若不是.請(qǐng)說(shuō)明理由。

DMDN

【能力提升】

定義：到三角形的兩邊距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)內(nèi)心，例如：如圖1,PD±AC,PEXAB,垂足分

別為點(diǎn)D、E,若PD=PE,則點(diǎn)P為^ABC的準(zhǔn)內(nèi)心

⑴應(yīng)用：如圖2,CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)內(nèi)心P在高CD上，且PD=^AB,求/APB的度數(shù).

⑵探究：如圖3,已知AABC為直角三角形，斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)內(nèi)心P在AC邊上(不與點(diǎn)A、C重合),

求PA的長(zhǎng).

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形

【典型例題】

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE〃BC交AC于E,則線段BD

與CE有何數(shù)量關(guān)系？

拓展探究：如圖2,將4ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0-<a<360。)，上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立,

請(qǐng)就圖中給出的情況加以證明.

問(wèn)題解決：如果^ABC的邊長(zhǎng)等于2百，AD=2,直接寫(xiě)出當(dāng)^ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí)BD

【變式訓(xùn)練】

如圖，兩條射線BA〃CD,PB和PC分另lj平分NABC和NDCB,過(guò)點(diǎn)P,分別交A8,C。與點(diǎn)A,D.

CD

⑴求/BPC的度數(shù);

(2)5^AD±BA,ZBCD=60°,BP=2,求AB+CD的值；

⑶右S^B尸為a，SACDP為b,SABPC為c,求證：a+b=c.

【能力提升】

如圖，△ABC、ADCE>ZiFEG是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG在同一直線上，且AB=也,

BC=1,連結(jié)BF,分別交AC、DC、DE于點(diǎn)P、Q、R.

⑴求證:ABFG^AFEG

(2)求sin/FBG的值.

對(duì)點(diǎn)希稼

1.如圖，等邊ABC的頂點(diǎn)3(3,1)；規(guī)定把ABC"先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為

一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過(guò)2021次變換后，等邊?ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為().

A.(-2020,6+1)B.(-2017,-73-1)C.(-2018,^+1)D.(-2019,-73-1)

2.如圖，在,A6c中，點(diǎn)。是邊上的中點(diǎn)，連接CQ,將△5CD沿著CQ翻折，得到ECD,CE

與交于點(diǎn)F，連接AE.若A3=6,CD=4,AE=2,則點(diǎn)C到AB的距離為()

7

r8加

A.-B.472V(---------------D.272

23

3.在總ABC中，AC=3C,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，NGDH=90。，NGDH繞點(diǎn)、D旋轉(zhuǎn),OG,r>H分別

與邊AC,BC交于E,F兩點(diǎn),下列結(jié)論：?AE+BF=—AB；@AE2+BF2=EF2；③

~2一'

^mcEDF=15AABC；④.DE尸始終為等腰直角三角形，其中正確的是（）

A.①②④B.①②③C.③④D.①②③④

4.如圖，在MBC中，EIBAC=90。，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是MCB的角平分線，CF交A

。于點(diǎn)G,交8E于點(diǎn)H,下面說(shuō)法正確的是（）

①蜘BE的面積=I3BCE■的面積；②回E4G=EIFCB；③AF=AG；④BH=CH.

C.②④D.①③

5.已知。、b為兩正數(shù)，且〃+人=12,則代數(shù)式V4W+5萬(wàn)最小值為（）

A.12B.13C.14D.15

6.已知。、b、4分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，且〃、6是關(guān)于1的一元二次方程%2—6%+左+2=0的兩

個(gè)根，則%的值等于（）

A.6B.7C.-7或6D.6或7

7.如圖，在銳角<ABC中，AB=&,回BAC=45。，IUBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上

的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）

.V2

A.-----C.72D.73

2

8.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A&C,O,E是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則NBAC—NZME的度數(shù)為（）

C.30°D.25°

9.如圖，在RfABC中，ZC=90°,AD平分NC4B,DELAB于E,則下列結(jié)論中，不正確的是（

A.OE平分NAD5B.BD+ED=BCC.AD平分/EDCD.ED+AC>AD

10.如圖，一艘輪船在A處測(cè)的燈塔。在北偏西15。的方向上，該輪船又從A處向正東方向行駛20海里到

達(dá)8處，測(cè)的燈塔。在北偏西60。的方向上，則輪船在3處時(shí)與燈塔C之間的距離（即的長(zhǎng)）為（）

A.40G海里B.（20君+10）海里

C.40海里D.(106+10)海里

IL如圖,在正方形ABCD中，AB=8,點(diǎn)尸是線段DC上的動(dòng)點(diǎn),將AADP沿直線AP翻折，得到AAEP，

點(diǎn)H是上一點(diǎn)，且9=3,連接AH,HE,當(dāng)。P的長(zhǎng)為時(shí)，AAHE是直角三角形.

12.如圖，點(diǎn)4（2,2）在直線y=無(wú)上，過(guò)點(diǎn)作A4〃y軸交直線y=于點(diǎn)耳，以點(diǎn)4為直角頂點(diǎn)，A四

為直角邊在44的右側(cè)作等腰直角△A4G,再過(guò)。點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)4層〃了軸交直線，=龍和直線y=于

4，為兩點(diǎn)，以點(diǎn)4為直角頂點(diǎn)，為直角邊在4名的右側(cè)作等腰直角△&層。2,…，按此規(guī)律進(jìn)行

下去，則等腰直角.4g,G的邊長(zhǎng)&G為.（用含正整數(shù)〃的代數(shù)式表示）

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，4，A，L,4在％軸上，點(diǎn)片,融,瓜,.,用在直線丁=走％上.若

-3

A（i,o）,且…,都是等邊三角形，從左到右的小三角形（陰影部分）的面積分別

記為，，邑,反,則S2021可表示為—

14.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,連接AC,AC0BC,回B/W=135。，E為AC上一點(diǎn)，連接BE,回BEC=2

EMCD,AD=2,CE=3,貝I］線段BE=_.

15.如圖，回ABC中，0C=9O°,AC=4,BC=3,將EMBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（（T<a<90。），直線

4cl分別交AB,AC于點(diǎn)G,H.當(dāng)蜘GH為等腰三角形時(shí)，則CH的長(zhǎng)為.

16.如圖，在ABC中，ZB=18°,NC=41。，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A5上，將、BDE沿DE折

疊，若點(diǎn)B的落點(diǎn)9在射線C4上，則54與5'。所夾銳角的度數(shù)是.

B'

17.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則與M8C面積的大小關(guān)系為：SEMBC

S?DBC（填或

J.V..j

AB

18.如圖，ZGW+ZB+ZC+Zr)+ZE=

19.如圖，在RtABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,8。平分NABC,AD!IBC,則AD的長(zhǎng)

是.

20.如圖，將一個(gè)含30。角的三角尺ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到蜘DE,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好落在B

C邊上，若AB=超,則CD的長(zhǎng)為.

21.如圖1,在RfA5C中，ZACB=90°，A3=AC,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，連接AD,點(diǎn)石是上

一點(diǎn)，連接3E并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)尸.

E

E

CDBCDB

圖1圖2

⑴若點(diǎn)尸是AC中點(diǎn)，求證：ZABE=ZBAE-,

(2)如圖2,若NDBE=NDEB.

①求證：AE=CF；

②猜想空的值并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程.

CF

22.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形A3CD中，點(diǎn)K在AD上，連接3K,過(guò)點(diǎn)A,。作3K的垂線，垂足分別

為M，N,點(diǎn)。是正方形A3CD的中心，連接ON,ON.

(1)求證：AM=BN；

(2)請(qǐng)判斷OA1N的形狀，并說(shuō)明理由；

⑶若點(diǎn)K在線段AD上運(yùn)動(dòng)(不包括端點(diǎn))，設(shè)AK=x,OMN的面積為丁，求丁關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式(寫(xiě)

出x的范圍)；若點(diǎn)K在射線AD上運(yùn)動(dòng)，且，QWN的面積為工，請(qǐng)直接寫(xiě)出AK長(zhǎng).

23.如圖，在正方形A3CD中，動(dòng)點(diǎn)E，E分別在邊。C，CB上移動(dòng)(不與頂點(diǎn)重合)，且滿足￡>E=CE.連

接AE和。尸，交于點(diǎn)P.

⑴請(qǐng)你寫(xiě)出AE與O廠的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑵由于點(diǎn)E，尸的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng).

①請(qǐng)用文字描述并且在圖中畫(huà)出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑；

②若A￡>=10,請(qǐng)求出線段CP的最小值.

AD

24.在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與X軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,點(diǎn)3坐標(biāo)為［0,16］，

A8=7,點(diǎn)C在x軸上(點(diǎn)。在點(diǎn)A的右側(cè))，AC=5,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)3出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

沿運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)尸到

達(dá)點(diǎn)。時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒(f>0).

⑴如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上時(shí).

①求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

②當(dāng)，CP。是等腰三角形時(shí)，求t的值；

⑵是否存在時(shí)刻/，使得若存在，直接寫(xiě)出f的值；若不存在，說(shuō)明理由.

25.如圖，在,A6c中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上，且CD=CE,點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線。石成軸對(duì)

稱.

A

D

⑴求作點(diǎn)P；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

RDPP1

⑵連接EP，^―=—=-＞判斷點(diǎn)P是否在直線相上，并說(shuō)明理由.

Z1I，

26.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)石是邊上一點(diǎn)，AD=DE.

⑴過(guò)A作AF1DE于點(diǎn)尸.（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，要下結(jié)論）；

（2）求證：AF=CD.

27.如圖，RtABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=3,點(diǎn)。在HfABC的邊AC上，DC=m,

以8。為直角邊在AC同側(cè)作等腰直角三角形班）￡，使BD=DE=*過(guò)右作所LAC于點(diǎn)尸，連接

AE.

⑴求證：_EDF0二DBC；

⑵求AE的最小值;

=n

(3)右S四邊形AEBC~求S四邊形AEBC的值.

28.如圖，AB=AC,直線/過(guò)點(diǎn)A,直線/,CNJ_直線/,垂足分別為〃、N,且現(xiàn)1=4V.

(2)求證NBAC=90°.

29.如圖，在EL4BC中，0B4C=90°,A。是BC邊上的中線，AESBC,CE3\AD.

/B

⑴求證：四邊形ADCE是菱形；

(2)連接BE,若MBC=30°,AC=2,求BE的長(zhǎng).

30.如圖，在總A5C中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=2,將A6c繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得

到VAB'C,此時(shí)點(diǎn)A恰好落在AB邊上，則二。14'周長(zhǎng)為.

專題09三角形

專敦徐述

三角形的“四心”有著明顯的幾何特征，這些幾何特征與高中很多知識(shí)都有交匯，所以要熟練掌握它們的

概念，理解對(duì)應(yīng)的幾何意義，為高中“四心”知識(shí)的綜合奠定基礎(chǔ).

1.四心的地位

所謂三角形的“四心”,是指三角形的四種重要線段相交而成的四類特殊點(diǎn).它們分別是三角形的內(nèi)心、外心、

垂心與重心，其中，外心與內(nèi)心在初中課本中分別作出了敘述和介紹，而垂心與重心這兩個(gè)概念是在高中

加強(qiáng)的.在高中后續(xù)學(xué)習(xí)向量、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容時(shí)，垂心、重心、內(nèi)心、外心都是不可缺少的知

識(shí)點(diǎn)，在高考試卷中也屢屢出現(xiàn)，所以要清楚它們的基本概念，在三角形中用尺規(guī)作圖的方法能夠找到這

四心，也就是要熟悉它們的幾何特征，正三角形四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點(diǎn)稱為正三角形的

中心.

2.四心的概念與常用性質(zhì)

內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，該點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，內(nèi)心到三角形的三邊的距離相

等；

垂心：三角形的三條高的交點(diǎn)；通過(guò)作圖可知銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心為直角頂

點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形外，該點(diǎn)分每條高線的兩部分乘積相等；

重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)，該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍；

外心：三角形的二條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為二角形外接圓的圓心，外心到二個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

四心在高中階段具有代數(shù)與幾何的雙重身份，需要給這四心的幾何特征以代數(shù)形式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，

以數(shù)解形.

德程要求

《初中課程要求》1、三角形及其性質(zhì)

2、全等三角形

3、相似三角形

4、直角三角形

《高中課程要求》1、三角變換與解三角形的綜合問(wèn)題

2、解三角形與平面向量結(jié)合

3、以平面圖形為背景的解三角形問(wèn)題

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:三角形的“四心”

三角形是最重栗的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題.

如圖3.27，在三角形VABC中，有三條邊三個(gè)角行1,民？C,三個(gè)頂點(diǎn)A,比C,

在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.

三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，

恰好是每條中線的三等分點(diǎn).

三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三

角形的三邊的距離相等.

三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角

形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.

過(guò)不共線的三點(diǎn)4B、。有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形/女?的外接圓，圓心。為三角形的外

心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形

結(jié)論一：等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角

形的內(nèi)心/、重心G、垂心”必然在一條直線上.

結(jié)論二：正三角形三條邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一該點(diǎn)

稱為正三角形的中心.

典例周折

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:三角形的“四心”

【典型例題】

如圖，在。。中，AB是的直徑，力與。。相切于點(diǎn)4點(diǎn)C在。。上，且PC=R4,

⑴求證PC是。。的切線；

⑵過(guò)點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)。,若CD=PA=2yJj,

①求圖中陰影部分面積；

②連接AC,若△RAC的內(nèi)切圓圓心為/,則線段/￡的長(zhǎng)為.

4/-_

答案:⑴詳見(jiàn)解析；⑵①S陰影==耳乃—J3.②幣.

解析：

(1)證明：連接OC、OP,

???點(diǎn)C在。。上，

???0C為半徑.

??,力與。。相切于點(diǎn)4

：.OA.LP/\.

：.ZPAO=90°.

?.?OC=OAf

OP=OP,

PC=PA,

.'.APCO^APAO.

：.ZPC0=ZPA0=9Q°.

：.PC_LOC.

二?PC是。O的切線.

B

(2)①作CM，AP于點(diǎn)M,

\'CD±AB,

：.CE=DE=y/j,ZCEA=90°.

二四邊形C/VME是矩形.

:.AM=6

：.PM=AM.

：.PC=AC.

?：PC=PA,

...△PGA是等邊三角形.

：.ZPAC=60°.

：.ZCAB=30°.

/.ZCOE=60°.

/.ZCOD=120°.

在RtACOE中，

sm60=——,

OC

：.OC=2.

1?S陰影=yR—、/^.

②：AP=2G,AH=CE=6

/.CH=V3AH=3

又力為正APAC的內(nèi)心

1

/.Cl=-CH=2

3

22

A|E=^CE+C/=V3+4=近

【變式訓(xùn)練】

已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.ZADC=60°,等邊4AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F?

⑴特殊發(fā)現(xiàn)：如圖①，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn).求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)。即為

等邊4AEF的外心；

(2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng).記等邊4AEF的外心為點(diǎn)P.

①猜想驗(yàn)證：如圖②.猜想4AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

②拓展運(yùn)用：如圖③，當(dāng)4AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M,交邊DC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)N，試判斷言+由是否為定值.若是.請(qǐng)求出該定值；若不是.請(qǐng)說(shuō)明理由。

答案:⑴見(jiàn)解析；(2)①外心P一定落在直線DB上，見(jiàn)解析；②總+烹為定值，總+2=1?

解析：

(1)證明：如圖I,分別連接OE、OF

?..四邊形ABCD是菱形

；.ACJ_BD,BD平分/ADC.AD=DC=BC,

NCOD=NCOB=NAOD=90°.

ZADO=-ZADC=-x60°=30°,

又：E、F分別為DC、CB中點(diǎn)

.*.OE=-CD,OF』BC,AO=-AD,

222

.\OE=OF=OA,

.??點(diǎn)0即為AAEF的外心，

(2)①猜想：外心P一定落在直線DB上，

證明：如圖2,分別連接PE、PA,過(guò)點(diǎn)P分別作PUCD于I,PJ_LAD于J

/PIE=NPJD=90°,VZADC=60°

ZIPJ=360°-ZPIE-ZPJD-ZJDI=120°

丁點(diǎn)P是等邊AAEF的外心，.\ZEPA=120°,PE=PA,

ZIPJ=ZEPA,/.ZIPE=ZJPA

.,.△PIE^APJA,;.PI=PJ,

...點(diǎn)P在/ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上,

②總+烹為定值L

當(dāng)AEJ_DC時(shí).AAEF面積最小，

此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn).

連接BD、AC交于點(diǎn)P,由⑴

可得點(diǎn)P即為AAEF的外心，

解法：如圖3.設(shè)MN交BC于點(diǎn)G

設(shè)DM=x,DN=y(x#O.y#0),則CN=y-2

由BC〃DA易證△GBPgZ\MDP.；.BG=DM=x.

CG=2—%,

VBC/7DA,AANCG^ANDM

.CN_CG.y-2_2-x

''DN-DM'**y-x

.*.%+y=xy.

二瀉=L即焉+由=1?

【能力提升】

定義：到三角形的兩邊距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)內(nèi)心，例如：如圖LPD±AC,PEXAB,垂足分

別為點(diǎn)D、E,若PD=PE,則點(diǎn)P為AABC的準(zhǔn)內(nèi)心

⑴應(yīng)用：如圖2,CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)內(nèi)心P在高CD上，且PD=[AB,求NAPB的度數(shù).

⑵探究：如圖3,已知^ABC為直角三角形，斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)內(nèi)心P在AC邊上(不與點(diǎn)A、C重合),

求PA的長(zhǎng).

答案:⑴/APB=90。；(2)PA=|.

解析:

⑴：準(zhǔn)內(nèi)心P在高CD上，

...①點(diǎn)P為/CAD的角平分線與CD的交點(diǎn),

AABC是等邊三角形，

AZPAD=ZPAC=30°,

VCD為等邊三角形ABC的高，

.*.AD=V3DP,AD=BD,

與已知PD=^AB矛盾，

.??點(diǎn)P不可能為/CAD的角平分線與CD的交點(diǎn)，

同理可知②點(diǎn)P不可能為/CBD的角平分線與CD的交點(diǎn),

③：CD_LAB,

...點(diǎn)P為NBCA的平分線，

此時(shí)，點(diǎn)P至!JAC和BC的距離相等，

1

?.?PD=—AB,

2

???PD=AD=BD,

???NAPD=NBPD=45°,

??.NAPB=90°；

(2)VBC=5,AB=3,

???AC=?2-4^2=4,

??,準(zhǔn)內(nèi)心在AC邊上，(不與點(diǎn)A,B重合),

???點(diǎn)P為NCBA的平分線與AC的交點(diǎn)，

作PDLBC與點(diǎn)D,

.?.PA=PD,BD=BA=3,

設(shè)PA=x,則x2+22=(4-x)2,

?..x=三，即PA=3

22

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形

【典型例題】

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,4ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE〃BC交AC于E,則線段BD

與CE有何數(shù)量關(guān)系？

拓展探究：如圖2,將4ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（（r<a<360。），上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立,

請(qǐng)就圖中給出的情況加以證明.

問(wèn)題解決：如果^ABC的邊長(zhǎng)等于2君，AD=2,直接寫(xiě)出當(dāng)^ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí)BD

答案:問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：BD=CE；拓展探究：結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；問(wèn)題解決：BD的長(zhǎng)為2和2".

解析：

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖LBD=CE,理由是

AABC是等邊三角形，

；.AB=AC,

：DE〃BC,

/.BD=CE,

拓展探究：結(jié)論仍然成立，如圖2,

由圖1得,AADE是等邊三角形，

，AD=AE,

由旋轉(zhuǎn)得NBAD=NCAE,ABAD咨ACAEJ旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)）

,BD=CE,

問(wèn)題解決：當(dāng)AADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí)，設(shè)垂足為點(diǎn)F,此時(shí)有兩種情況:

AADE是等邊三角形,AF_LDE,

/DAF=NEAF=30°,

AZBAD=30",

過(guò)D作DG_LAB,垂足為G,

VAD=2,

/.DG=1,AG=百，

VAB=2V3,

BG=AB-AG=73,

；.BD=2（勾股定理），

同理得ABADgZ\CAE,

「?BD=CE,

,「△ADE是等邊三角形,

，ZADE=60°,

VAD=AE,DE±AC,

AZDAF=ZEAF=30°,

1

.*.EF=FD=-AD=1,

2

，AF=G，

/.CF=AC+CF=26+百=3如，

在RtAEFC中,EC=VEF2+FC2=臚+(3后=腐=2近,

.?.BD=EC=2?.

綜上所述,BD的長(zhǎng)為2和2后.

【變式訓(xùn)練】

如圖，兩條射線BA〃CD,PB和PC分另U平分/ABC和/DCB,AD過(guò)點(diǎn)P,分別交AB,CD與點(diǎn)A,D.

⑴求NBPC的度數(shù)；

(2)5^AD±BA,ZBCD=6Q°,3尸=2,求AB+CD的值；

⑶右SMBP為。，SACDP為b,S&BPC為c,求證：a+b=c.

答案:⑴90。；⑵4；(3)證明見(jiàn)解析

解析：

(1)'：BA//CD,：.ZABC+ZBCD=180".

和PC分別平分NABC和NDCB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZBCD,：.ZPBC+ZPCB=-X(ZABC+

222

ZBCD)=90",：.ZBPC=90°；

H11

(2)若N8CD=60°，BP=2,：.ZZ\BC=180°-60°=120°,/PCD=—NBCD=30°,AZABP=-ZABC=60°.

22

在RSA8P中，BP=2,AB=1.在Rt"CP中，CP=273.在R3PC。中，PD=瓜CD=3,：.AB+CD=4.

⑶如圖，作PQ_LBC.

VZABP=ZQBPfNBAP=/BQP,BP=BP,

：."BP名△BQP(AAS).

同理△PQC.ZXPCOlAAS),；?SABCP=SABPQ+SAPQC=SAABP+SAPCD,**?o+b=c.

【能力提升】

如圖，Z\ABC、ADCE>Z\FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG在同一直線上，且AB=5

BC=1,連結(jié)BF,分別交AC、DC、DE于點(diǎn)P、Q、R.

⑴求證：△BFGs^FEG

(2)求sin/FBG的值.

答案:⑴證明見(jiàn)解析；⑵巫.

6

解析：

解：⑴依題可得：

BC=CE=EG=1,FG=AB二百，

/.BG=3,

在4BFG和"EG中,

FGBG/-

------=-------=y/3,NG=/G,

EGFG

.".△BFG^AFEG.

則/FHG=90。,

?.?△FEG是等腰三角形,EG=1,

EH=GH=-EG=-,

22

.*.FH=VFG2-GH2=史

2

VABFG^AFEG,

/BFG=NFEG=/G,

；.BF=BG=3BC=3,

在RtAFBH中,

FHViiVTT

；.sinNFBG=BF—2-6

3

對(duì)點(diǎn)褊稱

1.如圖，等邊ABC的頂點(diǎn)41,1),8(3,1)；規(guī)定把ABC"先沿?zé)o軸翻折，再向左平移1個(gè)單位"為

一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過(guò)2021次變換后，等邊,ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為().

A.(-2020,君+1)B.(-2017,-73-1)C.(-2018,0+1)D.(-2019,-^-1)

答案:D

過(guò)點(diǎn)。作CDLA5交AB于點(diǎn)。

AD=BD=-AB=-AC

22

VA(l,l),3(3,1)

?.AC=AB=2

AD=—AB=1

2

CD=VAC2-AD2=G

：.C(2,6+1)

第一次把‘ABC"先沿》軸翻折，再向左平移1個(gè)單位'；得C(2-1,-G-1),即C(-

第二次把，ABC"先沿X軸翻折，再向左平移1個(gè)單位'；得c(l—1,6+1),即c(—2+2,百+1)

第三次把，ABC"先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位'；得C(0-1,-6-1),即C卜

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，第〃次把a(bǔ)ABC"先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位？得C卜〃+2,-6-1)

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，第九次把cABC"先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位'；得。卜〃+2,6+1)

；2021為奇數(shù)

.?.第2021次把ABC"先沿X軸翻折，再向左平移1個(gè)單位'；得Q-2021+2,-百-1),即

C(-2019,-^-l)；

故選：D.

2.如圖，在,A6c中，點(diǎn)。是邊上的中點(diǎn)，連接CD,將△BCD沿著CD翻折，得到.ECD,CE

與交于點(diǎn)F，連接AE.若A3=6,CD=4,AE=2,則點(diǎn)C到AB的距離為()

E

B---------------------C

A.1B.4夜C.半D.2近

答案:C

連接8E,延長(zhǎng)8交BE于G點(diǎn)，過(guò)C作CHLAB于H,如圖所示

由折疊的性質(zhì)，得：BD=ED,CB=CE

：.CG是線段BE的垂直平分線

1

BG=—BE

2

點(diǎn)是AB的中點(diǎn)

**,BD二AD,SBCD=SACD

：.AD=ED

：.ZDAE=ZDEA

'：BD=ED

：.ZDEB=ZDBE

:/DAE+/BEA+NDBE=180°

即ZDAE+ZDEA+ZDEB+ZDBE=180°

.9.2ZDEA+2ZDEB=180°

：.ZDEA+ZDEB=90°

即ZAEB=90°

在中，由勾股定理得：BE=^AB2-AE2=736^4=4A/2

BG=2V2

??Q1C-C

?uBCD丁?,ACD-u.ABC

2x-CD-BG=-AB-CH

22

.…2CD,BG2x4x2近8四

,,CH---------------------------------

AB63

故選：C.

3.在RtABC中，AC=3C,點(diǎn)。為A5中點(diǎn)，ZGDH=90°,NGDH繞點(diǎn)、D旋轉(zhuǎn),。G￡歸分別

與邊AC,BC交于E,F兩點(diǎn)，下列結(jié)論：@AE+BF=—AB；@AE2+BF2=EF2；③

一2

S四邊形c力④QEF始終為等腰直角三角形，其中正確的是（）

C

G

'EH

ADB

A.①②④B.①②③C.③④D.①②③④

答案:D

解：連接CD,AC=8C,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，ZACB=90°,

：.AD=CD=BD=^AB.ZA=ZB=ZACD=ZBCD=45°,ZADCZBDC=90°.

：.ZADE+ZEDC^90°,

ZEDC+NFDC=ZGDH=90°,

\?ADE?CDF.

在AM陽(yáng)和ACD尸中，

ZA=ZDCB

<AD=CD,

NADE=NCDF

AADE=ACDF(ASA),

-'-AE=CF,DE=DF，=SACDF.

AC=BC,

:.AC-AE=BC-CF,

：.CE=BF.

AC=AE+CE,

AC=AE+BF.

AC2+BC2=AB2,

AC^—AB,

2

歷

AE+BF=—AB.

2

DE=DF,ZGDH=90°,

二.ADE戶始終為等腰直角三角形.

CE2+CF2=EF2,

：.AE2+BF2=EF2-

S四邊形CEDF=S莊DC+SAC。尸，

??S四邊形團(tuán)c產(chǎn)=$里DC+SAADE=5*^AABC,

???正確的有①②③④.

故選D.

a力B

4.如圖，在MBC中，回BAC=90。，AD是8c邊上的高，8E是AC邊的中線,CF是蜘CB的角平分線，CF交A

。于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)、H,下面說(shuō)法正確的是（）

①M(fèi)BE的面積=IEBCE的面積；②團(tuán)E4G="CB；③/F=AG；@BH=CH.

BDC

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

答案:D

解：???8E是4：邊的中線，

：.AE=CEf

?「△ABE的面積,△8CE的面積='XC￡XA8,

22

???△48￡的面積=4BCE的面積，故①正確；

,.?八。是8C邊上的高，

ZADC=9Q°,

*：ZBAC=90°,

：.ZDAC+ZACB=9Q°fZFAG-^ZDAC=90°f

：.ZFAG=ZACB.

?：CF^ZACB的角平分線,

AZACF=ZFCB,NACB=2NFCB,

：.ZFAG=2ZFCB,故②錯(cuò)誤；

?.?在和△DGC中，ZBAC=ZADC=90a,ZACF=ZFCB,

：./AFG=180°-ZBAC-NACF,4GF=NDGC=180°-ZADC-NFCB,

：.ZAFG=ZAGF,

：.AF=AG,故③正確；

根據(jù)已知不能推出N”BC=/HCB,即不能推出“B=HC,故④錯(cuò)誤；

即正確的為①③，

故選：D.

5.已知。、b為兩正數(shù)，且。+匕=12,貝J弋?dāng)?shù)式,4+6?+,9+加最小值為()

A.12B.13C.14D.15

答案:B

解：如圖所示，構(gòu)造RtZXBEA和RtZXAFC使得BE=a,EA=2,AF=3,FC=b,

根據(jù)勾股定理可得：AB=而/和AC=的+匕2,

所以：

AB+AC^BC,

.?.當(dāng)4B,C三點(diǎn)共線時(shí)AB+4C有最小值，即BC,

在RtABDC中=yjBD2+DC2=J(a+,)2+(2+3f=13.

故選:B

6.已知。、b、4分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，且。、。是關(guān)于工的一元二次方程d—6%+左+2=0的兩

個(gè)根，則k的值等于（）

A.6B.7C.-7或6D.6或7

答案:D

解：：。、b、4分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，

...當(dāng)a=4或b=4時(shí)，即:42-6x4+/r+2=0,解得：k=6,

此時(shí)，尤2一6%+8=。的兩個(gè)根為：X1=2,X2=4,符合題意；

當(dāng)a=b時(shí)，即△=(-6)2-4x(k+2)=0,解得：k=7,

此時(shí)，爐一6%+9=0的兩個(gè)根為：XI=X2=3,符合題意；

綜上所述，k的值等于6或7,

故選：D.

7.如圖，在銳角,ABC中，AB=yf2,0B/4C=45°,EIBAC的平分線交BC于點(diǎn)。，M、N分別是A。和AB上

的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是()

A.?B.1C.72D.73

答案:B

如圖，作于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)AT,作于點(diǎn)N',則+為所求最小值.

由角平分線的性質(zhì)可知MN'=,

BM'+M'N'=BM'+M'H=BH,即9長(zhǎng)為所求最小值.

,/ZBAC=45°,

.ABH為等腰直角三角形.

/.BH=AB.sin45°=近義叵=L

2

C

H

故選B.

8.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)ASC。,萬(wàn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則NBA?！狽ZM石的度數(shù)為（）

答案:A

解：如圖，連接CG、AG,

由勾股定理得：AC2=AG2=l2+22=5,CG2=l2+32=10,

：.AC2+AG2=CG2,

：.ZCAG=90°f

???AC4G是等腰直角三角形，

4CG=45°,

\'CF//ABf

：.ZACF=ZBACf

在和△八。E中,

CF=AD

ZCFG=ZADE=90°,

FG=DE

.?.△CFG經(jīng)△ADE(SA5),

：.ZFCG=ZDAE,

：.ZBAC-ZDAE=ZACF-ZFCG=/ACG=45°,

故選：A.

9.如圖，在HrABC中，ZC=90°,AO平分NC4B,DELATE,則下列結(jié)論中，不正確的是(

)

A.。石平分NAD5B.BD+ED=BCC.AD平分NEDCD.ED+AC>AD

答案:A

平分NCAB,CDLAC,EDIAB

：.CD=ED,

：.BC=BD+CD=BD+ED

故選項(xiàng)B正確；

平分NC4B

ZCAD=ZEAD

'：CD±AC,ED±AB

/C=/DEA=90°

ZADC=ZADE

即AD平分/EOC

故選項(xiàng)C正確；

在△ACD中，AC+CD>AD

：.ED+AC>AD

故選項(xiàng)D正確;

若0E平分NADB

貝1|有NBDE=NADE

,?ZADE=ZADC

：./ADE=NADC=NBDE

"：ZADE+ZADC+ZBDE=180°

AZBDE=60°

：.ZB=90。-/BDE=30°

顯然這里/B是不一定為30°

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

故選：A.

10.如圖，一艘輪船在A處測(cè)的燈塔C在北偏西15。的方向上，該輪船又從A處向正東方向行駛20海里到

達(dá)8處，測(cè)的燈塔C在北偏西60。的方向上，則輪船在3處時(shí)與燈塔C之間的距離（即的長(zhǎng)）為（）

北

C西+|—東

AB

A.400海里B.（20g+10）海里

C.40海里D.（10有+10）海里

答案:D

解：過(guò)A作于。，如圖所示：

在RtA4BD中，ZABD=30°,AB=20海里，

，40=345=10（海里），3。="4。=#A3=10百（海里）,

VZABC=30°,ZJR4C=90°+15°=105°,

...ZC=180°-105°-30°=45°，

：."8是等腰直角三角形，

CD=AD=10海里，

/.3C=3Z>+CZ>=(106+10)海里,

故選：D.

11.如圖,在正方形ABCD中，AB=8,點(diǎn)P是線段。。上的動(dòng)點(diǎn)，將AADP沿直線AP翻折,得到AAEP，

點(diǎn)H是3C上一點(diǎn)，且8/7=3,連接AH,HE,當(dāng)。尸的長(zhǎng)為時(shí)，AAHE是直角三角形.

答案：8或才40

①當(dāng)E在的上方時(shí)，且