2024-2025學年北師大版八年級數(shù)學上冊復習：平面直角坐標系中平移與幾何綜合（壓軸題專項講練）解析版

平面直角坐標系中平移與幾何綜合

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學難題進程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采

用間接證明。

分類討論思想：當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進行分類，然后對每

一類分別進行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并

非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：

1.不重（互斥性）不漏（完備性）；

2.按同一標準劃分（同一性）；

3.逐級分類（逐級性）。

?知識點總結(jié)

一、點在坐標系中的平移

平面直角坐標內(nèi)點的平移規(guī)律，設6>0：

（1）一次平移：P（x,j）—向右平移"個單號」尸（x+a,j）

P（X,-向下平移￡個單位一>尸'（X,y~~b）

向左平移"個單位、

（2）二次平移：尸（x,WP（x—a,y+b）

再向上平移。個單

二、圖形在坐標系中的平移

在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)。，相應的新圖形就是把

原圖形向右（或向左）平移。個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數(shù)a,相應的新

圖形就是把原圖形向上（或向下）平移。個單位長度.（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加,

下移減.）

?典例分析

【典例1】在直角坐標系中，已知線段4B,點力的坐標為（1,—2）,點B的坐標為（3,0）,如圖1所示.

（1）平移線段4B到線段CD,使點4的對應點為。，點B的對應點為C,若點C的坐標為（一2,4）,求點。的坐

標；

（2）在第（1）的條件下，求三角形8CD的面積；

（3）平移線段4B到線段CD,使點C在y軸的正半軸上，點。在第二象限內(nèi)，連接8C,BD,如圖2所示.若

SABCD=7（S4BCD表示三角形BCD的面積），求點C、。的坐標.

【思路點撥】

（1）首先根據(jù)2,C點的坐標找到點的平移方式，然后根據(jù)點的平移規(guī)律即可得出答案；

（2）分別過點C,。作CE1久軸于點E,DFlx軸與點憶根據(jù)SABCO=s梯形COFE+S^BCE—S^BOF,即可

求解；

（3）首先根據(jù)3,C點的坐標找到點的平移方式，然后設出點C,。的坐標，利用面積求解即可.

【解題過程】

（1）解：點8的坐標為（3,0）,平移后的對應點C的坐標為（一2,4）,

可設3+a=—2,0+6=4,

：.a=—5,b=4,

即：點8向左平移5個單位，再向上平移4個單位得到點C,

,?,點4的坐標為（1,一2）,

■■A點平移后的對應點。（—4,2）；

（2）解：如圖，分別過點C,。作CE1%軸于點E,DFlx軸與點尸，則

CE=4QE=2,BF=3+4=7,DF=2,EF=4-2=2,

?'△BCD=S梯形CORE+S/^BCE-S/\BDF，

,",SABCD=5(DF+CE)xEF+-CExBE--DFXBF,

■■SABCD=1(2+4)x2+|x4x5-|x2x7=9；

設點C的坐標為(0,y),

???點C在y軸上，點。在第二象限，

???線段向左平移3個單位，再向上平移y個單位得到線段CD,

???。(—2,y—2),

■:S^BCD=SMOC+^ACOD—S.。。，S^BCD=7

弓OBx0C+10Cx2-10BXy=7,

111

；萬x3xy+5yx2——x3x(y—2)-7,

■■y=4,

■?■C(0,4),D(-2,2).

?學霸必刷

1.（2023七年級下?浙江?專題練習）如圖所示，把三角形力8c向上平移3個單位長度，再向右平移2個單

位長度，得到三角形4$傳1.

（2）寫出點Bi的坐標;

（3）在了軸上是否存在一點P,使得三角形BCP與三角形28C面積相等？若存在，請直接寫出點尸的坐標;

若不存在，說明理由.

【思路點撥】

（1）根據(jù)平移的要求分別確定點41、當、Ci的位置，即可得到三角形力IB】。；

（2）根據(jù)（1）的圖形即可得到點&,當?shù)淖鴺耍?/p>

（3）先求出三角形力BC的面積為：X4X3=6,設點尸的坐標為（0即），列出方程：x4X|血—（—2）|=6,

求出巾=1或m=—5,即可求出點P的坐標.

【解題過程】

（1）解：如圖，三角形力道修1即為所求作的三角形；

（2）解：點4的坐標為（0,4）,點&的坐標為（一1,1）；

____1

（3）解：由題意得三角形4BC的面積為5x4x3=6,

設點尸的坐標為（0即），

?.三角形BCP與三角形力BC面積相等,

???|X4X|m—(―2)|=6,

二即+2|=3,

：.m+2=3或m+2=—3,

■?■m=1或TH=—5,

二點P的坐標是(0,1)或(0,—5).

2.(22-23七年級下?湖北武漢?階段練習)如圖，三角形4B'C是由三角形48C經(jīng)過某種平移得到的，點/

與點4,點2與點9，點C與點(7分別對應，且這六個點都在格點上，觀察各點以及各點坐標之間的關(guān)系,

解答下列問題：

(1)分別寫出點8和點夕的坐標，并說明三角形4BC是由三角形ABC經(jīng)過怎樣的平移得至I］的?

(2)連接B。，直接寫出NC8O與4夕。。之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)若點M(a—1,2b—5)是三角形N8C內(nèi)一點，它隨三角形4BC按(1)中方式平移后得到的對應點為點

N(2a—7,4—b),求0和6的值.

【思路點撥】

本題主要考查了坐標與圖形，根據(jù)平移前后點的坐標判斷平移方式，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟

練掌握點坐標平移的規(guī)律.

(1)根據(jù)點在坐標軸的位置得到點8的坐標為(2,1),點方的坐標為(一1,—2),由此即可得到平移方式；

(2)由平移的性質(zhì)可得則NB'C'B=4CBC',再根據(jù)BC1I#軸,得到NBC6=90。,貝此-NB'C'

0=AB'C'B-乙B'C'O=LBC'O=90°；

(3)根據(jù)平移方式可以得到a—1—3=2a—7,2b—5—3=4—b,由此求解即可.

【解題過程】

(1)解：由題圖知，點2的坐標為(2,1),點方的坐標為(一1,一2),,

.??三角形是由三角形4BC先向左平移3個單位長度，再向下平移3個單位長度得到的.

(2)NCB6?與4方。。之間的數(shù)量關(guān)系為NCBO—NBC。=90°,

解：由平移的性質(zhì)可得用C1IBC,

>

X

；/BCB=Z.CBC,

???點8的坐標為(2,1),點。的坐標為(0,1),

.?.BC'llx軸,

.-.ABCO=90°,

：/CBC-Z.B'C'0=-乙B'CO=LBCO=90°,

.?ZCB。與NBC。之間的數(shù)量關(guān)系為NCBO—NBC。=90°；

(3)解：由平移方式可得可(2。一7,4—功是點用((1一1,26—5)先向左平移3個單位長度，再向下平移3個

單位長度得到的，

=

'-CL—1—3=2。-7f2b—5—34—b),

.,.a=3,5=4,

二a的值是3,b的值是4.

3.(2024七年級下?全國?專題練習)在平面直角坐標系中，O為原點，點4(0,2),5(-2,0),C(4,0).

(1)如圖①，則三角形ABC的面積為

(2)如圖②，將點3向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點。.

①求三角形△2CD的面積；

②點P(?n,3)是一動點，若△P4。的面積等于△C4。的面積.請直接寫出點尸坐標.

【思路點撥】

本題考查了坐標與圖形、點的平移、絕對值方程等知識，掌握運用數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題是解題關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)題意得出。力=2,0B=2,。。=4,然后根據(jù)三角形面積公式直接計算即可；

(2)①連接。。，過點。作DEly軸于點E,過點。作DFlx軸于點F,由平移的性質(zhì)可得點。坐標，根據(jù)

S&4CD=SA04D+Sa0CD—SA04C進行計算即可得到答案；②根據(jù)△P4。的面積等于△乙4。的面積，求解

即可.

【解題過程】

(1)解：???4(0,2),B(-2,0),C(4,0),

：.OA=2,OB=2,OC=4,

.9.BC=OB+OC=6,

???S2ABe=^BC.OA=gx6x2=6.

故答案為：6；

(2)解：①連接OD,過點。作DEIy軸于點E,過點。作OF1%軸于點F,

將點B向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點。坐標為(5,4)

+S&OCD—^AOAC

111

=-OA-DE-OC-DF--0A-OC

111

=-x2x54--x4x4--x2x4

=9；

②如下圖,

11

即有5X2x|m|=5x2x4,

解得m=±4,

??.P點坐標為(一4,3)或(4,3).

4.(22-23七年級下?廣東廣州?期中)如圖1,在平面直角坐標系中力(a,0),B(0,b),其中a,b滿足

(a-l)2+VFT3=0,現(xiàn)將線段力B先向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，得到線段DC.

(1)直接與出點4B,C,。的坐標：A,B,C,D；

(2)若點P在x軸上，且使得三角形0cp的面積是三角形2BC面和的5倍，求點P坐標；

(3)如圖2,點九)是三角形4BC內(nèi)部的一個動點，連接AM,BM,CM,若三角形ABM與三角形4CM

面積之比為1:2,求小，n之間滿足的關(guān)系式.

【思路點撥】

(1)先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，得到48的坐標，再根據(jù)“右加左減，上加下減”的平移規(guī)律求出

C、D的坐標；

(2)先求得S^BC和SMCP，再根據(jù)SADCP=*P?yD，求得CP的長度，根據(jù)C(5,o),即可求得點P坐標；

(3)用含n式子表示S^CM和S^BM，再根據(jù)題意列出等式即可.

【解題過程】

(1)解："(a—1)2+7b+3=0,

?t.a—1=0,b+3=0,

■'■a—1,b——3,

???4(1,0),B(0,—3),

???將線段48先向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，得到線段DC,

C(0+5,—3+3)=(5,0),+5,0+3)=(6,3),

故答案為：(1,0),(0,-3),(5,0),(6,3)；

(2)解：由⑴知，4(1,0),8(0,—3),C(5,0),0(0,0),

???AC—4,OB=3,

???SMBC=.OB=^x4x3=6,

33

ASADCP=WMBC=5X6=9,

#p.yD=到-3=9,

???CP=6,

-C(5,0),

Pi(ll,0)，P2(-I,O)；

(3)解：?-,SAACM=^AC'\yM\=IX4(—n)=-2n,

=^AOAM+S^OBM—^AAOB

111

=2%?I'MI+—OB-\xM\-—OA-OB

1,、，33

=式一九)+/一5，

v三角形ZBM與三角形ZCM面積之比為1:2,

-2n=+—0,

整理得：3m+n=3或者71=3—37n或者TH=1—

5.(22-23七年級下?福建廈門?期末)若點「(%7)的坐標滿足2、一％=2時，我們稱點尸(叼)為“橫和點”.

(1)判斷點Q(4,3)是否為“橫和點”，并說明理由；

(2)在平面直角坐標系中，將三角形ABC平移得到三角形DEF,點4B,C的對應點分別是點。，E,F.已

知點/(成荏)，點8(0力)，點。?力)，點”是“橫和點”，點E的橫坐標為m,且7n>o.

①若點B(O,b)是“橫和點”，且三角形4BD的面積為2,求m的值;

11

②若點的坐標是a+-

C(a—m—3,2-4點E恰好落在%軸上，判斷點F是否為“橫和點”，并說明理由.

【思路點撥】

(1)根據(jù)“橫和點”的定義進行求解即可：

(2)①先根據(jù)“橫和點”的定義推出n=等，6=1,再根據(jù)點坐標的平移規(guī)律得到三角形4BC向右平移加

個單位長度，向上平移或向下平移|b—旬個單位長度得到三角形CEF,進而推出t=2m,再由三角形4BD

的面積為2,列出方程求解即可；

②先求出風小，0),再根據(jù)點坐標平移規(guī)律推出b—幾=一詈，進而求出點F的坐標為(a—31a—9，

由此根據(jù)“橫和點”的定義判斷即可.

【解題過程】

⑴解:(1)點Q(4,3)是“橫和點”,理由如下:

v2X3—4=2,

.?.點Q(4,3)是“橫和點”;

(2)解：①?.?點力是“橫和點”，

■,■2n—m=2,即n=

又???點B(0,b)是“橫和點”，

：,2b—0=2,即b=l,

???將三角形平移得到三角形DEF,點。與點8的縱坐標相同，點E與點4的橫坐標相同，

???三角形48C向右平移m個單位長度，向上平移或向下平移|b-川個單位長度得到三角形。EF,

.,.t—m=m,即t=2m,

??三角形480的面積為2,

I

1-\b—n\=2,

?,?H=2

2

/.1-mz=2n,

解得m=2(負值舍去)；

②點尸是否為“橫和點”，理由如下：

???點￡落在x軸上，

??.E(zn,0),

???將三角形平移得到三角形DEF,

.,.0—b=b—n,即九=2b,

,m+2

：.b—n=-----,

4

r點C的坐標是(a—m—3,^a+^mj,

???點F的坐標為(a—m—3+m,^a+^m-即(a—3,^a—g),

,.12(|a—0—(a—3)—a—1—a+3-2,

???點/是'橫和點”.

6.(22-23七年級下?湖北武漢?階段練習)如圖，平面直角坐標系中，4(a,0),B(0,b),C(0,c),6a+4+|2—〃

(2)如圖2,點力以每秒小個單位的速度向下運動至4,與此同時，點Q從原點出發(fā)，以每秒2個單位的速度

沿x軸向右運動至。，3秒后，4、C、Q'在同一直線上，求小的值；

(3)如圖3,點。在線段48上，將點。向右平移4個單位長度至E點，若△力CE的面積等于14,求點。坐標.

【思路點撥】

(1)由非負數(shù)的性質(zhì)求出a=—4,b=2,求出c=—3,由4B,C三點的坐標可求出答案；

(2)根據(jù)三角形的面積關(guān)系S7,Q，4=SMQ,。+S梯形/Ac。可得出答案；

(3)連接OD,OE,,設。(m,n),由三角形面積關(guān)系得出m=2n—4,由平移的性質(zhì)得出E(2n,n),

根據(jù)三角形的面積關(guān)系可求出答案.

【解題過程】

(1)???VaT4+|2-b|=0,VaT4>0,|2-b|>0,

???Va+4=0.,\2—b\=0,

???a=—4,b=2,

：?c=1(a—h)=—3,

???/(—4,0),8(0,2),C(—3,0),

:?BC—5,OA—4,

???S^ABC=TxBCxOA=gx5x4=10；

(2)由題意知：OQ'=2x3=6,AA'-3m,

?JSz\4Q/=S&CQ?+S梯形

iii

A-x10x3m=-x6x3+-x(3+3m)x4,

5

???m=-.

設。(7n,7i),

SAAOB=S△力。o+S^DOB，

J?5x4x2=~x4xn4~-x2x(^—TTI),

:.m=2n—4,

???點。向右平移4個單位長度得到瓦點，

???E(2n,Ti),

???S4AOC+^/\AOE+SMOE=S/VICE，

?,.|x4x3+|x4xn+|x3x2n=14,

8

???n=-,

4

/.m=2n—4=-

翼).

7.(22-23七年級下?云南昆明?期末)如圖，已知點力(a,0),B(6,0)滿足(4a+b)2+|b—引=0.將線段ZB

先向上平移4個單位，再向右平移1個單位后得到線段CD,連接AC,BD.

(2)點”從。點出發(fā)，以每秒1個單位的速度向上平移運動.設運動時間為/秒，當f為多少時，四邊形

OMDB的面積等于10?

(3)在(2)的條件下，點M從。點出發(fā)的同時，點N從2點出發(fā)，以每秒［個單位的速度向左平移運動,

設射線DN交y軸于點￡.在運動過程中S^EMO-SMEN的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出它的值；若

變化，請說明理由.

【思路點撥】

(1)本題考查絕對值的非負性，完全平方的非負性，利用非負性可求a,b的值，即可得到答案；

(2)本題考查平移的性質(zhì)，由平移的性質(zhì)可得點C(0,4),點D(4,5),0/1=1,0B=4,OC=4,CD=5,

由面積關(guān)系可求解；

(3)分點8在線段0B上，點2在2。的延長線上兩種情況討論，由面積和差關(guān)系可求解；

【解題過程】

(1)解：,；(4a+6產(chǎn)+|6-4|=0,(4a+b)2>0,\b-4\>0,

：-b=4,a=—1,

.?.點4(—1,0),點B(4,0)；

(2)解：???將線段4B先向上平移4個單位，再向右平移1個單位后得到線段C。，2(—1,0),點8(4,0),

???點C(0,4),點D(4,5),OA=1,OB=4,

.'.OC—4,CD—5,

.?.四邊形。CDB的面積=：X(4+5)X4=18,

?.?四邊形。MDB的面積等于10,

???點”在點C下方，

.?.四邊形。MDB的面積=四邊形。CDB的面積+SMDM=18+[x5x(t—4)=10,

4

(3)解：—S^OEN的值不會變化，

理由：如圖1,當點N在線段。8上時，

???S2XEMO—^AOEN=S四邊形MONO，

??6△EMO—S^OEN—^AMOD+^AOND=]Xtx5+5X(4--t)X4=8;

如圖2,當點N在X軸的負半軸時，

,:S&EMD~S^OEN=(S2XEMO+SAEOD)~(S&OEN+S^EOD)，

?^AEMD-S^OEN—S/XMOO—^ANOD=|xtx5——4)x4=8,

綜上所述：S^EMD-SAOEN是定值8.

8.(22-23七年級下?湖北武漢?期中)如圖，平面直角坐標系中，A(a,0),B(0,b),C(0,c),Va+3+(4-h)2

0,c=-CL—b.

(1)求4B、C的坐標和△4BC的面積；

(2)如圖2,點/以每秒s個單位的速度向上運動至4,與此同時，點Q從原點出發(fā)，以每秒1個單位的速

度沿x軸向右運動至。，4秒后，在同一直線上，求s的值；

(3)如圖3,點。在線段4C上，將點。向上平移2個單位長度至￡點，若aABE的面積等于|,求點。的

坐標.

【思路點撥】

(1)非負性求出a,b,進而求出c的值，得到/、B、C的坐標，利用三角形的面積公式，進行求解即可；

(2)根據(jù)S44Q，4,=S梯形0448+S.BOQ”構(gòu)建方程求解即可；

(3)連接。D,OE,設D(m,n),由三角形面積關(guān)系得出巾=2九一4,由平移的性質(zhì)得出E(2n,zi),根據(jù)三角形

的面積關(guān)系，求解即可.

【解題過程】

(1)解：?.?V^TI+(4—b)2=0,

/.a+3=0,4—b=0,

.,.a=—3,b=4,

.,.c=-a—b=3—4=—1,

???4(—3,0)鳳0,4),C(0,—1),

???△/BC的面積為搟X5x3=熱

(2)由題意，得：AA'=4s,OQr=1x4=4,

???4(-3,0)鳳0,4),

：.OA=3,OB=4,

：.AQ=7,

，:^^AQ'A'=S梯形+S^BOQ',

???|x7x4s=1x(4+4s)x3+|x4x4,

解得：s=J；

4

設。(磯九)，

???S△力oc=SAA0D+S^COD，

111

二5X3X1=]X3X(—71)+5X1X(—771),

：.m=—3n—3,

???將點D向上平移2個單位長度至E點，

；.E(—3?1—3,TL+2),

,:S^AOB=S△力OE+S^BOE+S/XBZE，

1113

A-x3x4=-x3x(n+2)+-x4x(3n+3)+-,

3

???n=-g,

?6

：.m=-3n-3=-

9.(22-23七年級下?湖北武漢?期中)在平面直角坐標系中，點A(a,b)滿足6=后二l+W^%+6.

(1)直接寫出點”的坐標；

(2)如圖，將線段。力沿x軸向右平移5個單位長度后得到線段BC(點。與點2對應)，在線段BC上取點

E(711,71),當71=2時，求。點的坐標；

(3)在(2)的條件下，x軸上是否存在點尸使得S0EF=13,若存在，求出廠點坐標；若不存在，請說

明理由.

【思路點撥】

(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出。值，從而可得6值：

(2)設。的坐標為(%,0),根據(jù)平移得到8(5,0),C(9,6),則有BD=x—5,分別表示出相應部分的面積，

=^AAOD-S^BED=S四邊形40BC—S4AEC，可得方程，解之求出工值即可得解；

(3)分點尸在。點左側(cè)，點尸在。點右側(cè)，兩種情況，設F(k,0),表示出F。，根據(jù)已知面積，列出方程,

解之即可.

【解題過程】

(1)解：??力=—4+-4—a+6,

.,.a—4>0,4—a>0,

：.a=4,

=6,

???/(4,6)；

(2)設。的坐標為(%,0),由平移可得：8(5,0),C(9,6),

??.BD=%—5,

vn=2,

1

:5ABED=-xBPx2=x—5,

\'AC=5,

1

：，SAACE=5xACx(6-2)=10,

i

,S四邊形40BC=5x6=30,S4AOD=5xODx6=3%,

又四邊形AOBE=^AAOD-S/\BED=S四邊形40BC—

即3%—(%—5)=30—10,解得％=',

.?喏,0)；

(3)存在，理由是:

由(2)知。。=?

當點尸在。點左側(cè)時，設F(k,O),貝同=當一k,

<SMEF=S塘FD—S&DE=|x(y—k)x6—3x得—fc)x2=13,

解得k=l,

尸點坐標為(1,0),

當點尸在。點右側(cè)時，設F(k,0),則FD=k—宏

'''^AAEF=^AAFD~^AFDE=Q乂(卜-X6--X(k—費)X2=13,

解得k=14,

尸點坐標為(14,0),

綜上所述，尸點坐標為(1,0)或(14,0).

10.(22-23七年級下?福建福州?期末)如圖1,在平面直角坐標系中，已知點4(—5,—1),8(—3,2),將

線段4B平移至線段CD,使點4的對應點C恰好落在久軸的正半軸上，設點C的坐標為(匕0),點B的對應點。

(2)連接BD,BC.如圖2,若三角形BCD的面積為8,求k的值；

(3)連接4D,如圖3,分別作N&BC和乙4DC的平分線，交于點P,試探究NBCD和N8PD之間的等

量關(guān)系，并說明理由.

【思路點撥】

(1)由/,C的坐標變化得出平移方式，從而可得答案；

(2)如圖，過B作BQLx軸于Q,過D作DHlx軸于〃，可得Q(—3,0),"(k+2,0),結(jié)合C(k,0),

B(—3,2),D(k+2,3),可得CQ=k+3,CH=2,由S梯形收”。一S^CBQ—S^CDH=8,再建立方程求解即

可;

(3)如圖，過P作PEII4B,由平移的性質(zhì)可得：ABWCD,可得4B||PE||CD,可得乙IBP=NBPE,

/-ADC=/-A,4ABC=LBCD,乙EPD=LPDC,=Z.BPE+^DPE=^ABP+ACDP,再結(jié)合角

平分線可得結(jié)論.

【解題過程】

⑴解：?.?點4(—5,-1),8(—3,2),設點C的坐標為(鼠0),

???平移方式為向右平移(k+5)個單位長度，再向上平移1個單位長度，

.?.D(/c+2,3)；

(2)如圖，過B作BQlx軸于Q,過。作DHlx軸于

?,■<2(-3,0),H(/c+2,0),而C(k,0),B(—3,2),O(k+2,3),

.-.CQ=k+3,CH=2,

，S梯形BQHD-S^CBQ—SACDH~8,

111

.?.式2+3)x(fc+5)-2><2x(fc+3)--x2x3-8,

解得：k=L

(3)4BPD=34BCD4A；理由如下：

如圖，過P作P吐I4B,

由平移的性質(zhì)可得：ABWCD,

.-.ABWPEWCD,

:./.ABP=/.BPE,/.ADC=/.A,4ABC=^BCD,Z.EPD=/.PDC,

"BPD=4BPE+Z.DPE=Z.ABP+乙CDP,

???BP平分/ABC,DP平分N4DC,

.-.APBA=^ABC,乙PDC=%ADC,

:/BPD=)1ABC+1^ADC1=葵B1CD+

11.(23-24七年級上?黑龍江綏化?期中)如圖，在平面直角坐標系中，點4B的坐標分別為2(0,a),B

(b,a),且a、b滿足(a—2尸+g—4|=0,現(xiàn)同時將點4B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位,

分別得到點4B的對應點C,D,連接北，BD,AB.

(1)求點C,。的坐標及四邊形4BDC的面積S四邊形

(2)點P是四邊形40DB上的一個動點，連接P4PO.當點P在BD上移動時(不與B,D重合)求—

的值.

(3)當點P運動到什么位置時，直線OP將四邊形4BDC的面積分成3:5兩部分？(直接寫出答案)

【思路點撥】

(1)根據(jù)條件確定/,8坐標，根據(jù)平移得到C,。兩點的坐標；由/,B,C,。坐標確定四邊形底和高,

即可求面積；

(2)過點P作力B、CD的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙4P0=NBAP+4D0P,從而可得答案;

(3)由S因邊物BDC=8,5AOOB=|X3X2=3,如圖，直線。P將四邊形力BCD的面積分成3:5兩部分，此

時P,B重合，P(4,2),當S四邊形4cop=3時，設P(m,2),如圖，再利用梯形的面積公式可得答案.

【解題過程】

(1)解：:("2)2+\b-4\=0,

???a=2,b=4,

???4(0,2)、8(4,2),

???將點4B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位,

???C(—1,0)、D(3,0),

S四邊形ABDC=CD-OA=4x2=8；

(2)解：由⑴中4(0解、8(4,2)、C(-LO)、。(3,0),可得酒8；

如圖所示，過點P作PEII/8,則PE||43||CD,

???乙BAP=乙APE,Z.DOP=乙OPE,

???Z-BAP+乙DOP=Z-APE+Z.OPE=Z.APO,

/.BAP+Z.DOP不發(fā)生變化;

Z-APO

(3)解、■:S四邊形ABDC=CD，°A=2x4=8,=—X3X2=3,

如圖，直線。P將四邊形450c的面積分成3:5兩部分，

此時P,8重合,尸(4,2),

當S四邊形ACOP=3時，設P(m,2),如圖,

解得：m=2,

止匕時P(2,2),

綜上：當P的坐標為(4,2)或(2,2)時，直線。P將四邊形4BCD的面積分成3:5兩部分.

12.(2023九年級上?全國?專題練習)如圖1,在平面直角坐標系中，點力，B的坐標分別為4(a,0),B@0),

且a,b滿足|a+6|+V3a—2b+26=0,現(xiàn)將線段力B先向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度得

到線段CD,其中點力對應點為C,點B對應點為D,連接AC,BD.

(1)請直接寫出4B兩點的坐標；

(2)如圖2,點M是線段4C上的一個動點，點N是線段CD的一個定點，連接MN,MO,當點M在線段AC上

移動時(不與4C重合)，探究NDNM,乙OMN,NM08之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)在坐標軸上是否存在點P,使三角形PBC的面積與三角形力BD的面積相等？若存在，請求出點P的坐標;

若不存在，試說明理由.

【思路點撥】

(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a,b,即可求出答案；

(2)過點M作直線MEIL48,則/OME+NMOB=180。，再判斷出NDNM+4NME=180。，即可得出結(jié)論;

(3)先求出△力BD的面積，再分點P在x軸和y軸上兩種情況，根據(jù)三角形面積公式建立方程求解，即可得

出答案.

【解題過程】

(1)???|a+6|+:3a—2b+26=0,

.'.a+6=0,3a—2b+26=0,

■■■a=—6,6=4,

M(-6,0),8(4,0)；

(2)4DNM+AOMN+乙MOB=360°,

理由：如圖2,過點M作直線MEII4B,

圖I

???Z.OME+Z.MOB=180°,

???線段C。由線段平移得到，

??.ABWCD,

ME\\CD,

:?乙DNM+乙NME=180°,

???乙DNM+乙OMN+乙MOB,

=乙DNM+乙NME+LOME+乙MOB,

=180°+180°

=360°,

"DNM+乙OMN+乙MOB=360°；

(3)如圖，依題意可得4(—6,0),8(4,0),C(0,4),0(10,4),

???S^ABD="鳥-yD=1x10x4=20,

①當點P在式軸上時，設點P(m,0),

則SAPRC=?OC=Tx|m-4|x4=2|m-4|,

?「SNBC=SMBO，

???2\m-4|=20,

m=14或—6；

②當點P在y軸上時，設點尸（0,九）,

貝US^PBC=-OB=IX|n-4|X4=2|n-4|,

S/^PBC—^AABD>

?'-2\n-4|=20,

???n=14或—6,

綜上所述，存在點P,使三角形P8C的面積與三角形48。的面積相等，點P的坐標為(14,0)或(一6,0)或(0,14)

或(0,—6).

13.(22-23七年級下?河南洛陽?期末)如圖，在平面直角坐標系中，點4B的坐標分別為(3,5),(3,0).將

線段48向下平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到線段CD,連接力C,BD.

(1)直接寫出坐標：點C(，)，點D(,)；

(2)M,N分別是線段SB,CD上的動點，點M從點力出發(fā)向點B運動，速度為每秒1個單位長，點N從點D

出發(fā)向點C運，速為每秒0.5個單位長度，兩點同時出發(fā)，求幾秒后MN"軸？

(3)若點尸是x軸正半軸上一動點(不與點B重合)，問NDCP、NCP4與NP4B存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直

接寫出結(jié)論.

【思路點撥】

(1)利用平移變換的性質(zhì)求解；

(2)設t秒后MNII%軸，構(gòu)建方程求解即可；

(3)分兩種情形：①當點P在點B左側(cè)時；②當點P在點B右側(cè)時，利用平行線的性質(zhì)分別求解即可.

【解題過程】

⑴解:由題意，可得C(-l,3),0(-1,-2).

故答案為：一1,3,-1,-2；

(2)設t秒后MN||x軸，如下圖，貝XM=t,DN=0.5t,

??弘(3,5)4(3,0),力(一1,一2),

.,.AB=5,DE=2,

;.BM—5—t,NE—0.5t—2,

???MN||%軸，

；.BM=NE,

5—t=0.5t—2,

解得t=y,

.?工=苧秒時，MN||x軸;

：./.PAB=乙APQ,

由平移的性質(zhì)可知力B||CD,

■■CDWPQ,

：.Z.DCP=Z.CPQ,

：./.APQ+乙CPQ=^PAB+乙DCP,

BPZ.CPX=Z.DCP+"AB；

.?.Z-PAB=4APQ,

由平移的性質(zhì)可知C0I4B,

■■PQWCD,

；ZDCP=乙CPQ=/.CPA+4ApQ,

即N。CP=/.CPA+"MB.

綜上所述，乙DCP、NCP4與NP4B存在的數(shù)量關(guān)系為NDCP=NCP4+"4B或NCP4=NDCP+NP4B.

14.(2023八年級上?江蘇?專題練習)在平面直角坐標系中，點A(a,5),B(h0),a,b滿足，b+5

(1)求點4,B的坐標；

(2)如圖1,平移線段4B至EF,使點/的對應點E落在y軸正半軸上，連接BF,AF.若SAABF=6,求點E

的坐標；

(3)如圖2,平移線段A8至EF,點2的對應點E的坐標為(3,6),EF與y軸的正半軸交于點H,求點H的坐標.

【思路點撥】

本題考查的是坐標與圖形面積，坐標系內(nèi)點的平移規(guī)律，算術(shù)平方根的非負性的性質(zhì)：

(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)先求解a,匕的值，從而可得答案；

(2)如圖，過B作y軸的平行線，與過尸作x軸的平行線交于點N,M,設F(—4,冗)，結(jié)合S梯形-S.NB

—SQBMF=6,再建立方程求解即可；

(3)確定平移方式為先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，可得F(-1,1),如圖，過尸作x軸的平行

線與過E作y軸的平行線交于點Q,FQ與y軸交于點K,求解SAEFQ=[義4x5=10,設HK="，可得：

X1X72+[x(九+5)X3=10,再解方程可得答案；

熟練運用等面積法建立方程是解本題的關(guān)鍵.

【解題過程】

(1)解：???vm>0,|a+1|>0,VFT5+|a+1|=0,

-a+1=0,b+5=0,

?*.a=—1,b=—5,

???/(—1,5),8(—5,0)；

(2)解：如圖，過B作y軸的平行線，與過F作X軸的平行線交于點N,M,

則4至IJE向右平移了1個單位，8(—5,0),

設尸(-4#),

S梯形/NMF-S^ANB-S'BMF~6,

???1(1+4)x(5-n)-1x4x5-1x1x(-n)=6,

7

???n=--,

7

???F(-41)，

由平移的性質(zhì)可得：E(0,5-今,即E(0給；

(3)解：???4(—1,5),E(3,6),

???平移方式為先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，

?■?5(-5,0),

??.FC-1,1),

如圖，過F作無軸的平行線與過E作y軸的平行線交于點Q,FQ與y軸交于點K,

11

SXEFQ=]X4x5—10,

???設HK=n,

???|xlxn+|x(n+5)x3=10,

解得：n=1,

59

：?OH=1+-=

44

9

“(0，》

15.(22-23七年級下?福建福州?期中)如圖1,在平面直角坐標系中，點/、B在坐標軸上，其中4(0,①,

B(b,0),且滿足|a—3|+-6—4=0.

(2)將線段平移到CD.點/的對應點是C(—4,0).點B的對應點是0.且C、。兩點也在坐標軸上，過點

。作直線。Ml48,垂足為M,交CD于點、N.請在圖1中畫出圖形，直接寫出點。的坐標，并證明MNLCD；

(3)如圖2,將48平移到C。、點N對應點C(—2,陶，連接4C、BC,8C交y軸于點E,若△力BC的面積等

于12,求點E的坐標及加的值.

【思路點撥】

(1)根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負性，求出。、6的值，即可得出答案；

(2)根據(jù)平移得出4BIICD,AB=CD,證明乙4B。=NDC。，根據(jù)AAS證明.??△力。8三△D0C,得出

OA=OD=3；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出40NC=乙0MB=90°,即可得出MN1CD；

(3)過點C作CFly軸于點F,根據(jù)△ABC的面積等于12,求出。E=1即可；過B作BG1CF于G,過工作

?2

AH1BG于H,根據(jù)△力BC的面積等于12,求出。尸=右即可得出答案.

【解題過程】

(1)解：|a—3|+Vfa—4=0,

G—3=0,且b—4=0,

■■a—3,b—4,

點/的坐標為(0,3),點B的坐標為(4,0)；

(2)解：如圖1,由平移的性質(zhì)可知：AB\\CD,AB=CD,

圖1

???OMA.ABf

.?"MB=90°,

.?ZONC=上OMB=90°,

???MNLCD；

???將線段4B平移到CD,點4(0,3)的對應點是。(一4,0),即將線段48向左平移4個單位，向下平移3個單位;

故點8(4,0)的對應點。(0,-3).

(3)解：如圖2,過點C作以'ly軸于點F,

由(1)可知,4、8兩點的坐標為(0,3),(4,0),

OA=3,OB=4,

點c的坐標為(-2即)，

:.CF=2,OF=-m,

???△/BC的面積等于12,

A^^ACE+^AABE=12,

???^AE-CF+^AE-OB=12,

即*3+OF)X2+|X(3+OE)x4=12,

解得：OE=1,

???點E的坐標為(0,—1)；

過B作BG1CF于G,過/作2H1BG于H,

則AHIICG,OF=BG,AH=尸G=OB=4,BH=。4=3,

???CG=CF+FG=6,

???△ABC的面積等于12,

???S梯形/HGC-S^ABH-S&BCG=^AABC=12,

即廣(4+6)x(3+OF)—5x3x4—"6?。尸=12,

解得：OF=萬,

3

???—m=

3

m=--

即點E的坐標為（0,—1）,小的值為一看

16.（22-23七年級下?廣東廣州?階段練習）如圖所示，2（1,0）在x軸上、點8在y軸上，將AOAB沿x軸負

方向平移，平移后的圖形為ADEC,且點C的坐標為（一3,2）.

（備用圖）

（1）直接寫出點E的坐標；

（2）在四邊形48CD中，點P從點8出發(fā)，沿“BC-CD”移動.若點P的速度為每秒1個單位長度，運動時

間為/秒，回答下列問題：

①當t=秒時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；

②求在運動過程中是否存在點尸，使得班的面積是△CB面積的一半，若存在，求出點尸的坐標：若

不存在，試說明理由；

③當3<t<5時，設4cBp=x。,NPAD=y。，ABPA=z°,試問x,y,z之間的數(shù)量關(guān)系能否確定？若能,

請用含x,y的式子表示z,寫出過程；若不能，說明理由.

【思路點撥】

（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）①由點C的坐標為（一3,2）.得到BC=3,CD=2,由于點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；于是確定

點P在線段BC上，有PB=CD,即可得到結(jié)果；

②當點P在線段BC上時，由題意得BP=t,此時點P的坐標（一t,2）,根據(jù)△尸班的面積是△C45面積的一半，

得到孑X2=NN3X2,解得t=*即可得到點P坐標為（—Q）；當點P在線段CE上時，由題意得

CP=t-3,DP=5-t,DE=1,OE=2,此時點P的坐標（一3,5—t）,根據(jù)△尸班的面積是△C4B面積的一半，

得到3X2—鄴等一等心一竽=3X《X3X2,解得t=*此時點P坐標為（一3,9，問題得解；

③在運動過程中存在點尸，使得匹的面積是aaB面積的一半，此時點P坐標為（—|,2）或（—3,故③

過P作PF11BC交28于尸，證明PF||AD,得到N1=乙CBP=￡。，z2=/.DAP=y°,即可得到

Z.BPA=zl+Z2=x°+y°=z°,從而得到z=x+y.

【解題過程】

（1）解：???點3在y軸上，點C的坐標為（一3,2）,AOAB沿x軸負方向平移，得至必DEC,

.?.△04B沿x軸負方向平移3個單位得到ADEC,

「點4的坐標是（1,0）,

.??點E的坐標是（-2,0）；

故答案為:（-2,0）

（2）解：①???點C的坐標為（-3,2）.

BC=3,CD—2,

,?,點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；

???點P在線段8c上，

：.PB=CD,

即t=2

當t=2秒時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；

故答案為：2

②如圖1,當點P在線段BC上時，由題意得BP=t,此時點P的坐標（一t,2）,

DEO\AxDE0\Ax

圖1圖2

■.APEB的面積是△CB面積的一半，

.-.|tx2=|x|x3x2

解得yI，

此時點P坐標為（―I，2）；

如圖2,當點P在線段CE上時，由題意得CP=t—3,DP=5—t,DE=3—2=1,OE=2,此時點P的坐標

（—3,5—t）,

?:APEB的面積是△C48面積的一半，

...3*2—中—中—竽4x"3X2,

解得t=I，

此時點P坐標為（一3,（）.

答：在運動過程中存在點P,使得△PE2的面積是△C42面積的一半，此時點P坐標為（一|,2）或（-3,J；

③能確定.

如圖3,過P作P