曲 率教學課件

曲率曲率已知如果兩個函數的單調性相同，它們所對應的凹凸性不一定相同.即使兩個函數凹凸一致也不能判定它們所對應的函數相等，因為它們圖形的彎曲程度不一定相同.在生產實踐和工程技術中，常常需要研究曲線的彎曲程度.例如，設計鐵路、髙速公路的彎道時，就需要根據最高限速來確定彎道的彎曲程度.所以，引出了曲率，用它來描述曲線的彎曲程度.

作為曲率的預備知識，先介紹弧微分的概念.一、弧微分設函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內具有連續(xù)導數，x0為a,b內一定點，x,x+Δx為a,b內兩個鄰近的點，M0,M,M′分別為曲線y=f(x)上與x0,x,x+Δx對應的點，如圖4-17所示.在曲線y=f(x)上取定點M0作為度量弧長的起點，并規(guī)定依增大的方向作為弧的正向.圖4-17一、弧微分以s表示這條曲線由點M0到點M的一段弧M0M的長度，即s=M0M(有向曲線弧M0M的值也常記為M0M).顯然，弧長s是隨點Mx,y的確定而確定的，也就是說s是x的函數，記為s=s(x),而且s(x)是x的單調增加函數.

下面用已知函數y=f(x)來表示弧長s的微分ds.

設對應于x的增量Δx，弧長s的增量為Δs，則Δs=MM′(見圖4-17).因為弦MM′的長度MM′2=Δx2+Δy2,

一、弧微分一、弧微分上式稱為弧s=s(x)關于x的弧微分公式.二、曲率的概念及其計算先從幾何圖形上分析哪些量與曲線彎曲程度有關.

如圖4-18所示，弧段M1M2比較平直，當動點沿著這段弧從M1移動到M2時，切線轉過的角度為φ1，而弧段M2M3彎曲得比較厲害，當動點沿著這段弧從M2移動到M3時，切線轉過的角度為φ2.圖4-18二、曲率的概念及其計算顯然φ2>φ1.然而，從圖4-19可以看出，兩曲線弧M1M2及N1N2的切線轉角相同，但彎曲程度明顯不同，短弧段比長弧段彎曲得厲害些.因此，曲線弧的彎曲程度與弧段的長度和切線轉過的角度均有關.

圖4-19二、曲率的概念及其計算由此，引入描述曲線彎曲程度的概念——曲率.

設M,M′是曲線y=f(x)上兩點(見圖4-20)，設曲線在點M和點M′處切線的傾斜角分別為α和α+Δα，當點從M沿曲線y=f(x)變到M′時，切線的轉角為Δα，而改變這個角度所經過的路程則是弧長Δs=MM′.圖4-20二、曲率的概念及其計算二、曲率的概念及其計算例如，直線的切線就是其本身，當點沿直線移動時，切線的

它表明直線上任一點的曲率都等于零.這與人們的直覺“直線不彎曲”是一致的.

又如，半徑為R的圓，圓上點M，M′處的切線所夾的角Δα等于中心角∠MO′M′(見圖4-21)，由于

所以圖4-21二、曲率的概念及其計算這表明，圓上各點處的曲率都等于半徑的倒數，且半徑越小曲率越大，即彎曲得越厲害.

下面來推導實際計算曲率的公式.

二、曲率的概念及其計算在直角坐標系下，不能直接得到α與s之間的關系，但可以得到變量α，s與變量x的關系.二、曲率的概念及其計算【例49】二、曲率的概念及其計算【例50】三、曲率圓前面講過，圓周函數的任意點的曲率都是相同的，并且等于圓周半徑的倒數，這就啟發(fā)人們對于一般的曲線，都可以定義它的任意一點的曲率的倒數為曲線在這點的曲率半徑.

顯然，這個定義是具有非常直觀的意義的，因為根據前面曲率的一般計算公式，可以看到一般曲線在某點的曲率完全由曲線在該點的一階導數和二階導數決定，因此如果過曲線上任意一點作一個圓與曲線相切，圓的半徑就是該點的曲率半徑，那么曲線在該點的曲率只與該點處的一階導數和二階導數有關的性質，就完全可以通過研究通過該點的這個圓而得到，因為它們具有同樣的凹凸性和曲率，以及共同的切線.稱這個圓為曲線在該點的曲率圓，而這個圓的圓心則稱為曲線在該點的曲率中心.

三、曲率圓根據曲率半徑的定義，曲線上某點處的曲率半徑ρ與曲線在該點處的曲率K互為倒數，即上述公式表明，曲線上某點處的曲率半徑越大，曲線在該點處的曲率越小，則曲線越平緩；曲率半徑越小，曲率越大，則曲線在該點處彎曲得越厲害.三、曲率圓下面求曲率中心的坐標.

如圖4-22所示，設曲線的方程為y=f(x)，其二階導數y″在點x處不等于零，則曲線在點M(x,y)處的曲率中心O′(a,b)的坐標為圖4-22三、曲率圓三、曲率圓當點M(x,y)沿著曲線C