2024年新高考I卷數(shù)學(xué)高考試卷（原卷+答案）

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新高考I卷）

（適用地區(qū)：山東、廣東、湖南、湖北、河北、江蘇、福建、浙江、江西、安徽、河南）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知集合4={削—5＜三＜5},3={-3,—1,0,2,3},則A「]B=（）

A{-150}B.{2,3}C.{-3,-1,0)D.{-1,0,2)

2.若^^=l+i,則z=()

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.已知向量a=(0,l),Z?=(2,x),若人(石-40),則為=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.4知85(。+6)=加/311a1@116=2,則cosQ—/?)=()

mm

A.—3mB.-----C.D.3m

3~3

5.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為則圓錐的體積為（）

A2后B.3后C.6G兀D.9月71

-x2-2ax-a,x<0

6.已知函數(shù)y（x）h%?,八八在R上單調(diào)遞增,則?的取值范圍是（)

e+ln(x+1),%>0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

7.當(dāng)x-[0,2加時(shí)，曲線y=sinx與y=2sin（3x—W）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

)

A.3B.4C.6D.8

8.已知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,/（%）＞/（^-1）+/（%-2）,且當(dāng)無(wú)＜3時(shí)，（x）=x,則下列結(jié)論中一定正確

的是（）

1/19

A./(10)>100B./(20)>1000C./(IO)<1OOOD./(20)<10000

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單

位：萬(wàn)元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值了=2.1,樣本方差

？=0.0b已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(L8,012),假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入y服從

正態(tài)分布"(月52),則()(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(〃,b2),P(Z<〃+b)y0.8413)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C,P(Y>2)>0.5D,P(Y>2)<0.8

10.設(shè)函數(shù)/(x)=(x—l)2(x—4),則()

A.x=3是/a)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)</(%2)

C.當(dāng)l<x<2時(shí)，—4<y(2x—l)<0D.當(dāng)一l<x<0時(shí)，/(2-%)>/(%)

ii.設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶,其造型b可以看作圖中的曲線c的一部分.已知c過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)o.且c上的點(diǎn)滿足:橫

坐標(biāo)大于-2,到點(diǎn)F(2,0)的距離與到定直線x=a(a<0)的距離之積為4,則(

A.a=—2B.點(diǎn)(2&,0)在C上

4

C.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點(diǎn)(%,%)在C上時(shí)，%〈一~-

九0+2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.設(shè)雙曲線C:工-七=15>0/>0)左右焦點(diǎn)分別為耳、耳，過(guò)工作平行于，軸的直線交C于/,3兩

ab

點(diǎn)，若14Al=13,1AB1=10,則C的離心率為.

13.若曲線y=e'+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+a的切線，則。=.

14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上

分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一

張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡

片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

2/19

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.記qABC的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=0cos6，a2+b2-c2y/2ab

(1)求2；

(2)若uABC的面積為3+6，求心

16.已知A(0,3)和3q橢圓。:0+多=1(。＞匕＞0)上兩點(diǎn).

(1)求C的離心率；

(2)若過(guò)P的直線/交C于另一點(diǎn)8,且的面積為9,求/的方程.

17.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面/BCD,PA=AC=2,BC=1,AB=6

(1)若ADLPB,證明：A?！ㄆ矫鍼8C；

(2)若且二面角A—CP—。正弦值為二:二，求A￡).

7

3/19

18.已知函數(shù)/(x)=ln--——ax+b{x-1)3

2-x

(1)若b=o,且r(x)xo,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對(duì)稱(chēng)圖形；

(3)若/(x)〉—2當(dāng)且僅當(dāng)l<x<2,求。的取值范圍.

19.設(shè)加為正整數(shù)，數(shù)列仆出，…，4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)4和勺。</)后剩余的4根

項(xiàng)可被平均分為機(jī)組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列6,。2,…，4m+2是億/)-可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫(xiě)出所有的l<i<j<6,使數(shù)列與出，…,。6是億/)-可分?jǐn)?shù)列；

(2)當(dāng)機(jī)》3時(shí)，證明：數(shù)列％,。2,…，。4,“+2是(2,13)—可分?jǐn)?shù)列；

(3)從12,...,4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和；(/,<；),記數(shù)列4,。2,…,a4m+2是億可分?jǐn)?shù)列的概率為

匕，證明：pm>l.

O

4/19

參考答案

1.【答案】A

【詳解】因?yàn)锳={x|—迅＜x（迅},B={—3,—1,0,2,3},且注意到1＜退＜2，

從而API8={-i,o}.

故選：A.

2.【答案】C

zz—]+111

【詳解】因?yàn)椤?-------=1+——=1+1,所以z=l+-=l—i.

z-1z-1z-l1

故選：C.

3【答案】D

【詳解】因?yàn)楸匦抟黄?所以石?僅一42）=0,

所以片_4小。=0即4+X2—4X=0，故X=2,

故選：D.

4.【答案】A

【詳解】因?yàn)閏os（a+4）=m,所以coscrcos尸-sincrsin〃=M,

而tanatan夕=2,所以sinasin§=2cosacos§,

故cosacos/3-2cosacos夕=m即cosacos/3=-m,

從而sinasin￡=-2加,故cos（a—⑶=一3機(jī)，

故選：A.

5.【答案】B

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為小則圓錐的母線長(zhǎng)為JU+3,

而它們的側(cè)面積相等，所以2ax6=JJ73即2c=VJT7，

故r=3,故圓錐的體積為』兀乂9'百=3百兀.

3

故選：B.

6.【答案】B

【詳解】因?yàn)椤υ赗上單調(diào)遞增，且X20時(shí)，〃%）=/+皿％+1）單調(diào)遞增,

—-＞0

則需滿足，2x（-1）,解得—iKaKO,

-4Z＜e°+In1

5/19

即。的范圍是［—1,0］.

故選：B.

7.【答案】C

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=sinX的的最小正周期為7=271,

函數(shù)y=2sin(3x—的最小正周期為丁=當(dāng)，

所以在口［0,2可上函數(shù)y=2sin13x—高有三個(gè)周期的圖象,

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

8.【答案】B

【詳解】因?yàn)楫?dāng)尤<3時(shí)，(x)=x,所以/(1)=1,/(2)=2,

又因?yàn)?),

則/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知人20)>1000,則B正確；

且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

9.【答案】BC

6/19

【詳解】依題可知，x=2.1,52=0.01,所以y-N(2』,0.1),

故尸(y>2)=尸(1>2.1—。1)=尸(1<2.1+。1)合0.8413>0.5,C正確，D錯(cuò)誤;

因?yàn)閄N(1.8,0.1),所以尸(X>2)=P(X>1.8+2x01)，

因?yàn)镻(X<1.8+0.1)^0.8413,所以P(X>1.8+0.1)^1—0.8413=0.1587<0.2,

而P(X>2)=P(X>1.8+2x0])<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正確，A錯(cuò)誤，

故選：BC.

10.【答案】ACD

【詳解】對(duì)A,因?yàn)楹瘮?shù)“X)的定義域?yàn)镽,而/''(x)=2(x—l)(x—4)+(x—iy=3(x—l)(x—3),

易知當(dāng)xe(1,3)時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)xe(—oo,l)或xe(3,+oo)時(shí)，/'(尤)>0

函數(shù)在(一S」)上單調(diào)遞增，在。,3)上單調(diào)遞減，在(3,+動(dòng)上單調(diào)遞增，故x=3是函數(shù)外力的極小值

點(diǎn)，正確；

對(duì)B,當(dāng)0<%<1時(shí)，%-%2=%(1-%)>0,所以I〉》〉%?〉。，

而由上可知，函數(shù)“力在(o,i)上單調(diào)遞增，所以錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)l<x<2時(shí)，l<2x—1<3,而由上可知，函數(shù)/(%)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以7(1)>/(2%_1)>/(3),即_4</(2x—l)<0,正確；

對(duì)D,當(dāng)一1<%<0時(shí)，f(2-x)-f(x)=(1--^)"(-2-x)-(x-l)2(x-4)=(x-1)2(2-2%)>0,

所以"2—x)〉/(x),正確;

故選：ACD.

11.【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A：設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)尸(X,y),則x>_2且J(x_2)2+y2x,_a|=4,

因?yàn)榍€過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故“0—2)2+02刈0_同=4,解得。=-2,故A正確.

對(duì)于B：又曲線方程為—2)2+/><7+2|=4，而》>-2,

故yJ(x-2)2+/x(x+2)=4.

當(dāng)x=2力,y=0時(shí)，J(20—2『義(20+2)=8—4=4,

故(2萬(wàn)0)在曲線上，故B正確.

對(duì)于C：由曲線的方程可得y=7―太一(％—2),取％=

7/19

64641,645256-245八

則/而--------]=------=---------->0，故此時(shí)/>1,

49449449449x4

故c在第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1,故c錯(cuò)誤.

162

對(duì)于D：當(dāng)點(diǎn)（%，%）在曲線上時(shí)，由C的分析可得￥=-(X0-2)<—

5+2)2'(尤。+2廣

4

故—,故D正確.

%+2"為"六

故選：ABD.

3

12.【答案】-

2

22

【詳解】由題可知A3,8三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將x=c代入三—與=1

ab

*7A2h1

得y=±——，即Ac,—,Bc,,故[4邳=—=10,|A耳卜一二5,

a\a)\a,

又耳|—|A8|=2a,得耳|=用+2a=2a+5=13,解得a=4,代入一=5得/=20,

a

r63

Sfcc2=a2+b2=36,,即c=6,所以e=—=—=一.

。42

13.【答案】ln2

【詳解】由y=e'+X得y'=e*+1,y'|x=0=e°+1=2,

故曲線y=爐+x在（0』）處的切線方程為y=2x+l；

由y=ln（x+l）+a得y'=」一，

x+1

設(shè)切線與曲線丁=111（%+1）+0相切的切點(diǎn)為（不/11（天+1）+0）,

,1=2,解得/=—5,則切點(diǎn)為1—5，a+lnQ

由兩曲線有公切線得y=——；

%+1

切線方程為y=21x+g

+〃+In—=2%+1+。一In2

2

8/19

根據(jù)兩切線重合，所以a-山2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

14.【答案】1##0.5

【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為X],X2，X3，X4,四輪的總得分為X.

對(duì)于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪

獲勝的概率p(x力=1)=工=!，所以E(X&)=|(k=1,2,3,4).

4x488

4QQ

從而E(X)=E(X|+X2+X3+X4)=注(％)=工金=5

k=lk=l3,

記Pz=P（X=Z）優(yōu)=0,l,2,3）.

如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出2,4,6,8,所以

11

P°=XT萬(wàn)

如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出8,2,4,6,所以

11

''"XT五

3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故Po+P1+P2+P3=1，夕1+2。2+3。3=E（X）=].

所以P]+P2+高=1,P]+2P2+7==，兩式相減即得22=7，故。2+23=7?

12o224ZZ

所以甲的總得分不小于2的概率為P2+P3=g.

故答案為：.

7T

15.【答案】（1）B=-

⑵20

【小問(wèn)1詳解】

由余弦定理有力+/—。2=2aZ7cosC，對(duì)比已知/+/—c?=啦。匕，

可得cosC="+62、2=s/2ab=V|

2ab2ab2

因?yàn)镃e(O,7i),所以sinC>0,

從而sinC=A/1-COS2C=V2

V

9/19

又因?yàn)閟inC=V2cosB,即cosB=—,

注意到3￡（0,兀），

所以3=?7T.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可得B=cosC,?！辏?,兀），從而。=工，A=TI—二一巴二2二

3243412

=siQ+上也X3+也xL西^

而sinA=sin

(46122224

a_b_c

由正弦定理有.5兀.兀.兀，

sin—sin—sin—

1234

從而。=約^技也

-6--+---1-c,b,=——

2--------2

由三角形面積公式可知，ABC的面積可表示為

SABL—旦巫4。2,

"BC222228

由已知的面積為3+百，可得過(guò)史c?=3+6,

8

所以C=2>/L

16.【答案】（1）|

（2）直線/的方程為3x—2y—6=0或x—2y=0.

【解析】

【小問(wèn)1詳解】

3-—1

法_：]_2_1，則直線AP的方程為,=_71+3,即%+2y_6=0,

3k—52

10/19

|”|=、（0-3）+--1--=

2x9_12A/5

設(shè)點(diǎn)B到直線AP的距離為d,則”=乖=三一，

則將直線AP沿著與AP垂直的方向平移醫(yī)5單位即可,

5

此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)B,

設(shè)該平行線的方程為：x+2y+C=0,

則口8=應(yīng)1,解得C=6或C=—18,

755

x=-3

-%---+1--匕---—11

當(dāng)C=6時(shí)，聯(lián)立＜129，解得〈3，

%+2y+6=0I”"2

即5（0,—3）或1—3,-51,

33

當(dāng)3(0,—3)時(shí)，此時(shí)勺=/,直線/的方程為y=—3,即3x—2y—6=0,

當(dāng)3,—時(shí)，此時(shí)左=；，直線/的方程為y=；x，即x—2y=o,

「22

土+匕=1

當(dāng)C=—18時(shí)，聯(lián)立《129得2y2—27y+117=0,

x+2y-18=0

A=272-4x2x117=-207＜0，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn).

綜上直線/的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

法二：同法一得到直線A尸的方程為x+2y—6=0,

點(diǎn)B到直線AP的距離d=應(yīng)5，

區(qū)—5°-

設(shè)8(%,%)，則＜，解得｛_3或＜

五+范=1—5

I129

即8(0,—3)或卜3,—,以下同法一.

11/19

法三：同法一得到直線A尸的方程為x+2y—6=0,

點(diǎn)B到直線AP的距離d=超5

5

與cos9+6sin。一]2石

設(shè)5(2j^cose,3sin。)，其中。€[0,2兀)，則有

忑5

AV3

cos'=----

2cos0=Q

聯(lián)立cos26>+sin23=1解得《

,c1[sin0--1

sin“二——

2

即8(0,—3)或13,—|],以下同法一;

法四：當(dāng)直線A3的斜率不存在時(shí)，此時(shí)8(0,-3),

133

工尸.=5*6、3=9,符合題意，此時(shí)用=]，直線/的方程為丁=]九一3，即3x—2y—6=。，

當(dāng)線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線A6的方程為丁=丘+3,

y=kx+3

22,則左之日其中左尸，即左

聯(lián)立橢圓方程有《xy（4+3）d+24=o,w3w—J_,

-----1-------12

〔129

—24左1

解得1=0或%=—z，左w0，k手—，

4左2+32

(、

令片言’則”*詈則8-24k-12k2+9

4左2+3'442+3

7

同法一得到直線AP的方程為%+2y—6=0,

點(diǎn)B到直線AP的距離d=*也，

5

—24kc-12k~+9q

—o---F2x------6I-3

則442+34/+3126，解得左.，

忑二'

此時(shí)3,—g),則得到此時(shí)段=；,直線/的方程為y=即x—2y=0,

綜上直線/的方程為3x_2y_6=0或x—2y=0.

法五：當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，/：X=3,B[3,—|，PB|=3,A到尸8距離d=3,

12/19

19

此時(shí)S=—x3x3=—#9不滿足條件.

ABP22

3

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，設(shè)尸5:y—]=攵（x—3）,令？（為,%）方（々,%），

3

y=左(％-3)+耳

,消y可得(4/+3)f—Q4左②-12k)x+36^-36^-27=0,

22

—+—=1

1129

21

△二（24左2—12左）一4（4左2+3）（36左2—36左一27）＞0,且人"人轉(zhuǎn)，即左w—

*2

24k-12k3/+必+彳

36左2—36左-274左2+3

4y/34e+1J3k2+9k+^卜+口

,_rj5

A到直線尸3距離u-4

-r;--2PAB

止+1~24/+3V+l

1313,

k=—或一，均滿足題意，:y=—xy=-x-3,即3%一2y_6=0或x_2y=0.

222

法六：當(dāng)/斜率不存在時(shí)，/：X=3,8，,—3

,|「邳=3,A到尸3距離』=3,

19

此時(shí)SABP=5X3X3=5R9不滿足條件.

3

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)/:丁=左（％—3）+/,

設(shè)/與》軸的交點(diǎn)為。，令x=0,貝UQ,,—3左+||,

3

，一依3k*2,則有(3+4左2b2―弘,—2]

聯(lián)立《x+36左2—36左一27=0,

3x2+4y2=3612)

x+36左2—36左一27=0,

(3左一I]—4(3+4左2)(36左2左一）＞且上w—工,

其中A=8公—36270,

12

3642-36左-2712k2-12k-9

則3X

B3+4左2,Xb-—3+4/

,0I,1312左+1813

則S二一A。龍尸—XD——3kH--------1=9,解的《二[或％經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.

2111尸川223+4左2

13/19

(2)V3

【解析】

【小問(wèn)1詳解】

(1)因?yàn)镻AJ_平面ABCD,而ADu平面ABCD,所以PA_LAD,

又PB\\PA=P,尸3,PAu平面上43,所以AD,平面PA5,

而ABu平面上45,所以AD_ZAB.

因BC2+AB2=AC2,所以BCLAB,根據(jù)平面知識(shí)可知A。/ABC,

又ADz平面PBC,BCu平面PBC,所以A。//平面PBC.

【小問(wèn)2詳解】

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作DEIAC于E,再過(guò)點(diǎn)E作砂，CP于尸，連接

因?yàn)镻AL平面ABCD,所以平面P4C，平面ABCD,而平面PA。1平面ABC。=AC,

所以DE/平面PAC,又EFLCP,所以CP_L平面DE尸，

根據(jù)二面角的定義可知，NDFE即為二面角A-CP-D的平面角，

即sin/DEE=@Z，即tanN￡>PE=n.

7

XX

因?yàn)锳。，DC,設(shè)AD=x,則co="一/,由等面積法可得，DE=^~'

2

4-Y2

而上屏C為等腰直角三角形，所以EF=—L，

422V2

4-x2

故tan/DFE——2—=^/6,解得x=V3，即AD=V3.

4-%2

2^/2

14/19

p

18.【答案】(1)-2

2

(2)證明見(jiàn)解析(3)b>—

3

【解析】

【小問(wèn)1詳解】

0=0時(shí)，/(x)=lnX+ax,其中xe(0,2),

2-x

][2

則/'(x)=:+口+。=77yz^+a,xe(O,2),

因?yàn)閤(2_x)(2-廠]=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立，

故/''(%)而n=2+a,而/''(X)對(duì)成立，故a+2N0即a12,

所以。的最小值為-2.,

【小問(wèn)2詳解】

/(x)=ln—^+ax+Z?(x-l)3的定義域?yàn)?0,2),

2-x

設(shè)P[m,n)為y=/(X)圖象上任意一點(diǎn)，

P(m,n)關(guān)于(l,o)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(2-m,2a-n),

因?yàn)槭?私〃)在丁=/(x)圖象上，故〃=ln—2一+麗+b(m—l)3,

2-m

m

而/(2-m)=ln———+a(2-m)+/?(2-m-l)3=-In------\-am+Z?(m-1)3+2〃,

m2-m

=-n+2a,

所以。(2—zn,2a—也在y=/(x)圖象上，

由P的任意性可得y=f(x)圖象為中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心為。,a).

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)椤ā?>—2當(dāng)且僅當(dāng)l<x<2,故x=l為〃尤)=—2的一個(gè)解,

15/19

所以/■⑴=—2即“=-2,

先考慮l<x<2時(shí)，"k)>—2恒成立.

此時(shí)八％)>-2即為如^^+2(1—九)+b(x—if>0在(1,2)上恒成立,

2—%

設(shè).二%—1￡(0,1),則比*—2%+初3〉。(0,1)上恒成立，

設(shè)g(%)=In-----2t+bt3€*(0』)，

產(chǎn)(—3初2+2+3b)

則g'(，)=——r-2+3bt2=

、71-t21-t2

當(dāng)。之0,-3bt2+2+3b>-3b+2+3b=2>0,

故g'?)>0恒成立，故g(。在(0』)上為增函數(shù)，

故g⑴>g(o)=0即/(x)>—2在(1,2)上恒成立.

2

當(dāng)一時(shí)，一342+2+3匕22+3^20，

故/(?)>0恒成立，故g(。在(0,1)上為增函數(shù)，

故g(。>g(。)=。即7(％)>-2在(1,2)上恒成立.

當(dāng)6<-；，則當(dāng)o<t<Ji+2<1時(shí)，g'(，)<o

3\3b

故在°,+上g")為減函數(shù)'故g?)<g(0)=0,不合題意，舍；

2

綜上，〃》)>—2在(1,2)上恒成立時(shí)武—了

2

而當(dāng)62-一時(shí)，

3

2

而62-m時(shí)，由上述過(guò)程可得g⑺在(0,1)遞增，故g(7)〉o的解為(0,1),

即〃x)>—2的解為(1,2).

綜上，b>--.

3

19.【答案】(1)(1,2),(1,6),(5,6)

(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)直接根據(jù)億/)-可分?jǐn)?shù)列的定義即可;

(2)根據(jù)億/)-可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；

16/19

(3)證明使得原數(shù)列是億/)-可分?jǐn)?shù)列的(V)至少有+機(jī)個(gè)，再使用概率的定義.

【小問(wèn)1詳解】

首先，我們?cè)O(shè)數(shù)列％,。2,…，。4",+2的公差為d，則dwO.

由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，

故我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?="丁+1(左=1,2,…,4m+2),

得到新數(shù)列4=%(左=1,2,.,4m+2),然后對(duì)4,4“什2進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.

換言之，我們可以不妨設(shè)弓=%(左=1,2,…,4m+2),此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.

回到原題，第1小問(wèn)相當(dāng)于從1,2,3,4,5,6中取出兩個(gè)數(shù)i和/?</),使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.

那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.

所以所有可能的(口)就是(1,2),(1,6),(5,6).

【小問(wèn)2詳解】

由于從數(shù)列1,2,...,4m+2中取出2和13后，剩余的4加個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共機(jī)組，使得每組成等

差數(shù)列：

①{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3組；

②{15,16,17,18},{19,20,21,22},...,{4m—1,4m,4m+1,癡+2},共加—3組.

(如果加一3=0,則忽略②)

故數(shù)列1,2,…,4根+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列.

【小問(wèn)3詳解】

定義集合A={4k+1%=={l,5,9,13,...,4m+l},

B={4k+2伙=0,1,2,…，相}=12,6,10,14,4m+2}.

下面證明，對(duì)1<，</<4加+2,如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，

則數(shù)列1,2,…,4根+2一定是億/)-可分?jǐn)?shù)列：

命題1：ieA,Je3或ie瓦/eA；

命題2：j-i^3.

我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.

第一種情況：如果icA/eB,且

此時(shí)設(shè)3=4左+1,j=4k2+2,左，左2e{0,1,2,...,.}.

17/19

則由可知秋+1<4左2+2,即修—《〉—；，故左22匕.

此時(shí)，由于從數(shù)列1,2,...,4m+2中取出i=4%+1和/=442+2后，

剩余的4加個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共機(jī)組，使得每組成等差數(shù)列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{秋—3,4勺—2,4勺—1,4勺},共%組；

②{44]+2,4匕+3,441+4,44+5},{44]+6,4kl+7,4左1+8,44]+9},{4居—2,4k2-1,4k2,4鼠+1},共k2—左]

組；

③{4左2+3,4k,+4,4k2+5,4左,+6},{4居+7,4&+8,4k,+9,4k,+101—1,4m,4m+1,4-m+2},共m—k,組.

（如果某一部分的組數(shù)為0,則忽略之）

故此時(shí)數(shù)列1,2,…,4根+2是億/）-可分?jǐn)?shù)列.

第二種情況：如果且J—

此時(shí)設(shè)，=46+2,j=4^2+1,krk2e