中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí)：相似模型-一線三等角及“K”模型（原卷）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí)：相似模型--一線三等角及“K”模型一、單選題1．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．2．矩形中，，，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長是（

）．

A．1 B．3 C．1或3 D．1或43．如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持．當(dāng)時(shí)，則的長為（）A．2 B． C．3 D．4．如圖，在矩形中，，將點(diǎn)折疊到邊上點(diǎn)處，折痕為，連接，，若點(diǎn)是中點(diǎn)，則長為（

）

A． B． C． D．5．如圖，在等邊中，點(diǎn)分別在邊上，，若，則的長度為（

）

A．1 B． C．2 D．二、填空題6．如圖，在邊長為的菱形中，，將菱形沿翻折，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)G落在對角線上．若，則的長為cm，的長為cm．

7．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若AP⊥DP，則BP的長為．8．如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．9．如圖，點(diǎn)D是等邊邊上一點(diǎn)，將等邊折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為（點(diǎn)E在邊上）．（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，．10．如圖，已知是等邊三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在上，，同時(shí)平分和，則，BD的長是．

11．如圖，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)，若，，則的長為．

12．在等邊中，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，，則的邊長為．

13．如圖，等邊中，、分別在邊，上，，，沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，則．

14．如圖，在中，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，且，則度，的長為．

15．如圖，在等邊中，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，且，則．

16．如圖，矩形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，，且．對角線與交于點(diǎn)G，則的長為．

17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cos∠α＝，下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD＝6時(shí)，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結(jié)論是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）18．如圖，等邊的邊長為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊沿過點(diǎn)的直線折疊，該直線與直線交于點(diǎn)，使點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，且折痕為則的長為．19．如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，將沿對折后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，則的值為．20．將邊長為15的等邊三角形紙片進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在對邊上的點(diǎn)D處，折痕交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，且滿足，則的長為．

三、解答題21．課題學(xué)習(xí)：【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，，求證：．【思考探究】（2）如圖2，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．【拓展延伸】（3）請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長．22．如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，把沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．(1)求證：；(2)若，，求的長．(3)當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：．23．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作射線交于點(diǎn)，使；(1)求證：；(2)設(shè)，，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長．(直接寫出答案，不寫解題過程)．24．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，連接、，且．(1)證明：；(2)若，，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），且是等腰三角形，求此時(shí)的長．25．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作射線交于點(diǎn)，使．

(1)求證：；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求線段長度．26．如圖，在中，，，點(diǎn)、分別在線段、上運(yùn)動(dòng)，并保持

(1)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長；(2)當(dāng)時(shí)，求的長．27．已知等邊三角形的邊長為4．(1)如圖，在邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，求證：；

(2)如圖，若點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上，滿足，當(dāng)時(shí)，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，求的面積．28．已知：如圖，在中，，，，是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，交射線于點(diǎn)與、不重合），是邊上一點(diǎn)，且．設(shè)、兩點(diǎn)的距離為，的面積為．

(1)若時(shí)，求的值．(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．(3)當(dāng)與相似時(shí)，求的長度．29．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過BC邊上一點(diǎn)P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說明理由；（2）若△PDE為正三角形時(shí)，求BD+CE的值；（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)，請用BP表示BD，并求出BD的最大值．30．如圖，點(diǎn)D是等邊邊上一點(diǎn)，將等邊折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折?為（點(diǎn)E在邊上）．

(1)當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，的值為______．(2)當(dāng)點(diǎn)D為的三等分點(diǎn)時(shí)，的值為______．31．如圖所示，直線與軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)B，將沿著y軸折疊，使點(diǎn)A落在x軸上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合，連接，以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線交于點(diǎn)M，使，①求證：；②是否存在點(diǎn)P使為直角三角形?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．32．在矩形中，點(diǎn)在上，，，．(1)如圖1，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，證明：是等腰三角形；(2)如圖2，點(diǎn)在矩形的邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．求證：；(3)如圖3，若交于點(diǎn)，，其他條件不變，且的面積是6，求的長．33．閱讀下列材料：如圖1，點(diǎn)A、D、E在直線l上，且，則：，又，故．像這樣一條直線上有三個(gè)等角頂點(diǎn)的圖形我們把它稱為“一線三等角”圖形．

請根據(jù)以上閱讀解決下列問題：(1)如圖2，中，，，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作于點(diǎn)D，過B作于點(diǎn)E．求證：．(2)如圖3，在中，點(diǎn)D在上，，，，，求點(diǎn)C到邊的距離．(3)如圖4，在平行四邊形中，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)．若，，，，求的長．34．如圖，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將含有的三角板的銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，并繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，交邊于、兩點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．

(1)如圖1，求證：(2)如圖2，連接，，，求的面積．35．如圖1，點(diǎn)P是線段上與點(diǎn)A，點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，在的同側(cè)分別以A，P，B為頂點(diǎn)作，其中∠1與∠3的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)，線段為等聯(lián)線．

(1)如圖2，在個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長均為1，為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段．請用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在中，，延長至點(diǎn)B，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，得到，再延長交的延長線于E，連接并延長交的延長線于F，連接．①確定的形狀，并說明理由；②若，求等聯(lián)線和線段的長（用含k的式子表示）．36．如圖，已知等腰，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），作．射線交邊于點(diǎn)M．(1)求證：；(2)若為等腰三角形，求的長；(3)如圖，延長到點(diǎn)N，使得，當(dāng)時(shí)，求的長．37．【感知】如圖①，在四邊形中，點(diǎn)P在邊上（不與A、B重合），．易證：（不要求證明）．【探究】如圖②，在四邊形中，點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．(1)求證：．(2)若，則的長為_________