數(shù)學(xué)?？?jí)狠S題九年級(jí)人教版第二十一章一元二次方程（5大壓軸考法60題專練）原卷版含答案及解析

第二十一章一元二次方程（5大壓軸考法60題專練）目錄題型一：換元法解一元二次方程 1題型二：根的判別式 4題型三：根與系數(shù)的關(guān)系 9題型四：一元二次方程的應(yīng)用 19題型五：配方法的應(yīng)用 46一．換元法解一元二次方程（共4小題）1．（2023秋?黔南州期末）閱讀材料：解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，則，原方程化為．①解得，當(dāng)時(shí)，．．；當(dāng)時(shí)，，，．原方程的解為，，，．根據(jù)上面的解答，解決下面的問(wèn)題：（1）填空：在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想．（2）解方程：．2．（2022秋?綏寧縣期中）閱讀下面的材料：解方程這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，則，原方程可化為：，解得，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．原方程有四個(gè)根是：，，，，以上方法叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用上述方法解答下列問(wèn)題．（1）解方程：；（2）已知實(shí)數(shù)，滿足，試求的值．3．（2023秋?臨澤縣校級(jí)期中）閱讀下面的材料，解決問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，．?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．請(qǐng)參照例題，解方程．4．（2023秋?高新區(qū)校級(jí)期中）閱讀新知：移項(xiàng)且合并同類項(xiàng)之后，只含有偶次項(xiàng)的四次方程稱作雙二次方程．其一般形式為，一般通過(guò)換元法解之，具體解法是設(shè)，則原四次方程化為一元二次方程：，解出之后代入，從而求出的值．例如解：解：設(shè)，則原方程可化為：，，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，小試牛刀：請(qǐng)你解雙二次方程：歸納提高：思考以上解題方法，試判斷雙二次方程的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（選出所有的正確答案）①當(dāng)時(shí)，原方程一定有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，原方程一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；③當(dāng)，并且換元之后的一元二次方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，原方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，換元之后的一元二次方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，原方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；④原方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，一定有．二．根的判別式（共5小題）5．（2022秋?江北區(qū)期末）對(duì)于一元二次方程，下列說(shuō)法：①若，則；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則⑤存在實(shí)數(shù)、，使得；其中正確的A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③6．（2024?湖州一模）對(duì)于關(guān)于的一元二次方程的根的情況，有以下四種表述：①當(dāng)，，時(shí)，方程一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)，，時(shí)，方程一定有實(shí)數(shù)根；③當(dāng)，時(shí)，方程一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；④當(dāng)，，時(shí)，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中表述正確的序號(hào)是A．① B．② C．③ D．④7．（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的三邊長(zhǎng)？8．（2024?富順縣一模）我們規(guī)定：方程的變形方程為．例如，方程的變形方程為（1）直接寫出方程的變形方程；（2）若方程的變形方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）若方程的變形方程為，直接寫出的值．9．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）已知等腰的底邊，若，恰好是另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．（3）閱讀材料：若三邊的長(zhǎng)分別為，，，那么可以根據(jù)秦九韶海倫公式可得：，其中，在（2）的條件下，若和的角平分線交于點(diǎn)，根據(jù)以上信息，求的面積．三．根與系數(shù)的關(guān)系（共9小題）10．（2024?雙峰縣模擬）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，我們定義新運(yùn)算“”：，例如．若，是方程的兩根，則的值為．11．（2024春?海門區(qū)校級(jí)期中）已知：平行四邊形的兩邊，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（2）若的長(zhǎng)為2，那么平行四邊形的周長(zhǎng)是多少？（3）如果這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．12．（2022秋?宿城區(qū)期末）已知關(guān)于的方程．（1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；（2）能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若能找到，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L(zhǎng)，另兩邊的長(zhǎng)、恰好是這個(gè)方程的兩根時(shí)，求的周長(zhǎng)．13．（2023秋?魚(yú)臺(tái)縣期中）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．（1）請(qǐng)問(wèn)一元二次方程是倍根方程嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若一元二次方程是倍根方程，且方程有一個(gè)根為2，求、的值？14．（2023春?環(huán)翠區(qū)期末）已知：關(guān)于的方程．（1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值，并求出這時(shí)方程的根．（2）問(wèn)：是否存在正數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于136？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2023春?定遠(yuǎn)縣期中）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說(shuō)法，正確的有（填序號(hào)）①方程是倍根方程；②若是倍根方程：則；③若，滿足，則關(guān)于的方程是倍根方程；④若方程以是倍根方程，則必有．16．（2023?黃石港區(qū)校級(jí)模擬）如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，那么，，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：（1）已知、是方程的二根，則（2）已知、、滿足，，求正數(shù)的最小值．（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問(wèn)題：已知和是關(guān)于，的方程組的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）請(qǐng)閱讀下列材料：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得．化簡(jiǎn)，得，故所求方程為，這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．（1）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；（2）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；（3）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為3，，求一元二次方程的兩根．18．（2023春?鯉城區(qū)校級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下列材料：，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得，化簡(jiǎn)，得，故所求方程為，這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）．（1）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；（2）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；（3）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為3，，求一元二次方程的兩根．（直接寫出結(jié)果）四．一元二次方程的應(yīng)用（共34小題）19．（2023秋?青島期末）實(shí)驗(yàn)與操作：小明是一位動(dòng)手能力很強(qiáng)的同學(xué)，他用橡皮泥做成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體．（1）如圖1所示，在頂面中心位置處從上到下打一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形孔，打孔后的橡皮泥塊的表面積為；（2）如果在第（1）題打孔后，再在正面中心位置（如圖2中的虛線所示）從前到后打一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥塊的表面積為；（3）如果把（1）、（2）中的邊長(zhǎng)為的通孔均改為邊長(zhǎng)為的通孔，能否使橡皮泥塊的表面積為？如果能，求出，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2023秋?納溪區(qū)期末）已知：的兩邊，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（2）若的長(zhǎng)為2，那么的周長(zhǎng)是多少？21．（2023?城廂區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，、、、為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，一直到達(dá)為止，點(diǎn)以的速度向移動(dòng)．（1）、兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，四邊形的面積為；（2）、兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)的距離是．22．（2022秋?新化縣期末）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤(rùn)是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤(rùn)更多，該店決定把零售單價(jià)下降元．（1）零售單價(jià)下降元后，該店平均每天可賣出只粽子，利潤(rùn)為元．（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)定為多少時(shí)，才能使該店每天獲取的利潤(rùn)是420元并且賣出的粽子更多？23．（2023秋?綏棱縣校級(jí)期中）某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)800件恤，第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件；第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的恤一次性清倉(cāng)銷售，清倉(cāng)時(shí)單價(jià)為40元，設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低元．（1）填表：（不需化簡(jiǎn)）時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)（元8040銷售量（件200（2）如果批發(fā)商希望通過(guò)銷售這批恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？24．（2023春?長(zhǎng)樂(lè)區(qū)校級(jí)期末）某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？25．（2023秋?新華區(qū)校級(jí)月考）在寬為，長(zhǎng)為的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直，（如圖），把耕地分成大小相等的六塊作試驗(yàn)田，要使實(shí)驗(yàn)地面積為，問(wèn)道路應(yīng)為多寬？26．（2022秋?湖北月考）某商場(chǎng)禮品柜臺(tái)元旦期間購(gòu)進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元．為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場(chǎng)平均每天可多售出100張，商場(chǎng)要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元？27．（2022春?宜秀區(qū)校級(jí)月考）廣安市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價(jià)開(kāi)盤銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率．（2）某人準(zhǔn)備以開(kāi)盤價(jià)均價(jià)購(gòu)買一套100平方米的住房，開(kāi)發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問(wèn)哪種方案更優(yōu)惠？28．（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級(jí)月考）將一條長(zhǎng)為的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形．（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少？（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．29．（2024春?懷寧縣期末）某青年旅社有60間客房供游客居住，在旅游旺季，當(dāng)客房的定價(jià)為每天200元時(shí)，所有客房都可以住滿．客房定價(jià)每提高10元，就會(huì)有1個(gè)客房空閑，對(duì)有游客入住的客房，旅社還需要對(duì)每個(gè)房間支出20元每天的維護(hù)費(fèi)用，設(shè)每間客房的定價(jià)提高了元．（1）填表（不需化簡(jiǎn)）入住的房間數(shù)量房間價(jià)格總維護(hù)費(fèi)用提價(jià)前60200提價(jià)后（2）若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多的游客，則每間客房的定價(jià)應(yīng)為多少元？（純收入總收入維護(hù)費(fèi)用）30．（2024春?安慶期中）如圖，中，，，，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著方向以的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿著邊以的速度運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）若的面積是面積的，求的值？（2）的面積能否為面積的一半？若能，求出的值；若不能，說(shuō)明理由．31．（2023秋?頭屯河區(qū)期末）某超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率不變．（1）求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；（2）從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)獲利4250元？32．（2024春?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）鄉(xiāng)情教育是我校一直以來(lái)的辦學(xué)特色，本學(xué)期，學(xué)校將舉辦“鄉(xiāng)情攝影”展等系列活動(dòng)．小穎同學(xué)積極參加了這次活動(dòng)，將自己在暑假回老家時(shí)拍攝的一張家鄉(xiāng)的風(fēng)景相片（如圖上交了學(xué)校并被選為優(yōu)秀作品．圖片的長(zhǎng)為8分米，寬為6分米，為了展示將在原圖片的四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊，制成一幅掛圖．如果要求整個(gè)掛圖的面積是80平方分米．那么金色紙邊的寬應(yīng)是多少？（1）如果設(shè)金色紙邊的寬度為分米，那么掛畫的長(zhǎng)可表示為分米，掛畫的寬可表示為分米，列出的方程為．（2）根據(jù)你所列的方程求出的值．33．（2024春?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，要用籬笆（虛線部分）圍成一個(gè)矩形苗圃，其中兩邊靠的墻足夠長(zhǎng)，中間用平行于的籬笆隔開(kāi)，已知籬笆的總長(zhǎng)度為18米．（1）設(shè)矩形苗圃的一邊的長(zhǎng)為，矩形苗圃面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時(shí)，所圍矩形苗圃的面積為？34．（2024?瑤海區(qū)校級(jí)三模）某農(nóng)戶種植花生，原來(lái)花生的畝產(chǎn)量為200千克，出油率為（即每100千克花生可加工成花生油50千克），現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長(zhǎng)率是畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的．求新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率．（1）這是一個(gè)增長(zhǎng)率問(wèn)題，可設(shè)所求增長(zhǎng)率為，依題意填寫下列表格：畝產(chǎn)量（千克）出油率出油量（千克）原來(lái)20050現(xiàn)在132（2）求新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率．35．（2024?犍為縣模擬）某樓盤2018年2月份準(zhǔn)備以每平方米7500元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國(guó)家有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商對(duì)價(jià)格連續(xù)兩個(gè)月進(jìn)行下調(diào)，4月份下調(diào)到每平方米6075元的均價(jià)開(kāi)盤銷售．（1）求3、4兩月平均每月下調(diào)的百分率；（2）小穎家現(xiàn)在準(zhǔn)備以每平方米6075元的開(kāi)盤均價(jià)，購(gòu)買一套100平方米的房子，因?yàn)樗乙淮涡愿肚遒?gòu)房款，開(kāi)發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.5元，小穎家選擇哪種方案更優(yōu)惠？（3）如果房?jī)r(jià)繼續(xù)回落，按此平均下調(diào)的百分率，請(qǐng)你預(yù)測(cè)到6月份該樓盤商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破4800元平方米，請(qǐng)說(shuō)明理由．36．（2024春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．如果、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．①經(jīng)過(guò)幾秒后的面積等于；②的面積能否等于，并說(shuō)明理由．37．（2024?旺蒼縣一模）某農(nóng)戶在山上種臍橙果樹(shù)44株，現(xiàn)進(jìn)入第三年收獲．收獲時(shí)，先隨機(jī)采摘5株果樹(shù)上的臍橙，稱得每株果樹(shù)上臍橙重量如下（單位：，35，34，39，37．（1）試估計(jì)這一年該農(nóng)戶臍橙的總產(chǎn)量約是多少？（2）若市場(chǎng)上每千克臍橙售價(jià)5元，則該農(nóng)戶這一年賣臍橙的收入為多少？（3）已知該農(nóng)戶第一年果樹(shù)收入5500元，根據(jù)以上估算求第二年、第三年賣臍橙收入的年平均增長(zhǎng)率．38．（2023秋?青白江區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，，，是和邊長(zhǎng)，易知，這時(shí)我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）寫出一個(gè)“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，且四邊形的周長(zhǎng)是，求面積．39．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為，求小道進(jìn)出口的寬度．40．（2024?無(wú)錫校級(jí)二模）某大型水果超市銷售無(wú)錫水蜜桃，根據(jù)前段時(shí)間的銷售經(jīng)驗(yàn)，每天的售價(jià)（元箱）與銷售量（箱有如表關(guān)系：每箱售價(jià)（元6867666540每天銷量（箱40455055180已知與之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)．（1）求與的函數(shù)解析式；（2）水蜜桃的進(jìn)價(jià)是40元箱，若該超市每天銷售水蜜桃盈利1600元，要使顧客獲得實(shí)惠，每箱售價(jià)是多少元？（3）七月份連續(xù)陰雨，銷售量減少，超市決定采取降價(jià)銷售，所以從7月17號(hào)開(kāi)始水蜜桃銷售價(jià)格在（2）的條件下，下降了，同時(shí)水蜜桃的進(jìn)貨成本下降了，銷售量也因此比原來(lái)每天獲得1600元盈利時(shí)上漲了，7月份（按31天計(jì)算）降價(jià)銷售后的水蜜桃銷售總盈利比7月份降價(jià)銷售前的銷售總盈利少7120元，求的值．41．（2024?武威三模）如圖，利用一面足夠長(zhǎng)的墻，用鐵柵欄圍成一個(gè)矩形自行車場(chǎng)地，在和邊各有一個(gè)2米寬的小門（不用鐵柵欄），設(shè)矩形的寬為米，矩形的長(zhǎng)為（且．（1）若所用鐵柵欄的長(zhǎng)為40米，用含的代數(shù)式表示矩形的長(zhǎng)；（2）在（1）的條件下，若使矩形場(chǎng)地面積為192平方米，則、的長(zhǎng)應(yīng)分別為多少米？42．（2023秋?射陽(yáng)縣期中）“黃橋燒餅全國(guó)聞名”，國(guó)慶節(jié)期間，黃橋某燒餅店平均每天可賣出300個(gè)燒餅，賣出1個(gè)燒餅的利潤(rùn)是1元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每降0.1元，平均每天可多賣出100個(gè)，為了使每天獲取的利潤(rùn)更多，該店決定把零售單價(jià)下降元（1）零售單價(jià)下降元后，每個(gè)燒餅的利潤(rùn)為元，該店平均每天可賣出個(gè)燒餅（用含的代數(shù)式表示，需化簡(jiǎn)）；（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)定為多少時(shí)，才能使該店每天獲取的利潤(rùn)是420元并且賣出的燒餅更多？43．（2023秋?新城區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．（1）如果，分別從，同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？（2）在（1）中，的面積能否等于？說(shuō)明理由．44．（2023秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）果農(nóng)田豐計(jì)劃將種植的草莓以每千克15元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售，由于部分果農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該草莓滯銷．為了加快銷售，減少損失，田豐對(duì)價(jià)格進(jìn)行兩次下調(diào)后，以每千克9.6元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售．（1）如果每次價(jià)格下調(diào)的百分率相同，求田豐每次價(jià)格下調(diào)的百分率；（2）小李準(zhǔn)備到田豐處購(gòu)買3噸該草莓，因數(shù)量多，田豐準(zhǔn)備再給予兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：打九折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金400元．試問(wèn)小李選擇哪種方案最優(yōu)惠？請(qǐng)說(shuō)明理由．45．（2023秋?蕪湖期中）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，由季節(jié)的變換，為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每件降價(jià)1元，則每天可多售5件．如果每天要盈利800元，每件應(yīng)降低多少元？46．（2023秋?大埔縣期中）西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3元千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克．為了促銷，該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價(jià)0.1元千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．（1）若將這種西瓜每千克的售價(jià)降低元，則每天的銷售量是千克（用含的代數(shù)式表示）；（2）銷售這種水果要想每天盈利200元且使每天的銷售量較大，需將每千克的售價(jià)降低多少元？47．（2023秋?武城縣校級(jí)月考）某單位于“三八”婦女節(jié)期間組織女職工到金寶樂(lè)園觀光旅游．下面是領(lǐng)隊(duì)與旅行社導(dǎo)游就收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的一段對(duì)話．領(lǐng)隊(duì)：組團(tuán)去金寶樂(lè)園旅游每人收費(fèi)是多少？導(dǎo)游：如果人數(shù)不超過(guò)25人，人均旅游費(fèi)用為100元．領(lǐng)隊(duì)：超過(guò)25人怎樣優(yōu)惠呢？導(dǎo)游：如果超過(guò)25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低2元，但人均旅游費(fèi)用不得低于70元．該單位按旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)組團(tuán)游覽金寶樂(lè)園結(jié)束后，共支付給旅行社2700元．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求該單位這次到金寶樂(lè)園觀光旅游的共有多少人．48．（2023?沛縣模擬）某日王老師佩戴運(yùn)動(dòng)手環(huán)進(jìn)行快走鍛煉，兩次鍛煉后數(shù)據(jù)如表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數(shù)增長(zhǎng)的百分率是其平均步長(zhǎng)減少的百分率的3倍．設(shè)王老師第二次鍛煉時(shí)平均步長(zhǎng)減少的百分率為．項(xiàng)目第一次鍛煉第二次鍛煉步數(shù)（步10000①平均步長(zhǎng)（米步）0.6②距離（米60007020注：步數(shù)平均步長(zhǎng)距離．（1）根據(jù)題意完成表格填空；（2）求；（3）王老師發(fā)現(xiàn)好友中步數(shù)排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結(jié)束后又走了500米，使得總步數(shù)恰好為24000步，求王老師這500米的平均步長(zhǎng)．49．（2023?東明縣一模）畢業(yè)在即，某商店抓住商機(jī)，準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批紀(jì)念品，若商店花440元可以購(gòu)進(jìn)50本學(xué)生紀(jì)念品和10本教師紀(jì)念品，其中教師紀(jì)念品的成本比學(xué)生紀(jì)念品的成本多8元．（1）請(qǐng)問(wèn)這兩種不同紀(jì)念品的成本分別是多少？（2）如果商店購(gòu)進(jìn)1200個(gè)學(xué)生紀(jì)念品，第一周以每個(gè)10元的價(jià)格售出400個(gè)，第二周若按每個(gè)10元的價(jià)格仍可售出400個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價(jià)銷售（根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出100個(gè)，但售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)），單價(jià)降低元銷售一周后，商店對(duì)剩余學(xué)生紀(jì)念品清倉(cāng)處理，以每個(gè)4元的價(jià)格全部售出，如果這批紀(jì)念品共獲利2500元，問(wèn)第二周每個(gè)紀(jì)念品的銷售價(jià)格為多少元？50．（2023春?臨淄區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別以、的速度從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)．（1）若點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)停止，點(diǎn)隨點(diǎn)的停止而停止移動(dòng)，點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間、兩點(diǎn)之間的距離是？（2）若點(diǎn)沿著移動(dòng)，點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)停止時(shí)，點(diǎn)隨點(diǎn)的停止而停止移動(dòng)，試探求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間的面積為？51．（2024?金沙縣一模）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天銷售20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利和減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件降價(jià)1元，則每天可多銷售2件．（1）商場(chǎng)若想每天盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（2）問(wèn)在這次活動(dòng)中，平均每天能否獲利1500元？若能，求出每件襯衫應(yīng)降多少元；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．52．（2024?蓬江區(qū)校級(jí)一模）為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，2014年某縣投入教育經(jīng)費(fèi)6000萬(wàn)元，2016年投入教育經(jīng)費(fèi)8640萬(wàn)元，假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同．（1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率；（2）若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬(wàn)元．五．配方法的應(yīng)用（共8小題）53．（2023?惠城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知，為實(shí)數(shù)，且滿足，記的最大值為，最小值為，則A． B． C． D．54．（2024春?相城區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：若，求、的值．解：，，，，，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知，求的值；（2）已知等腰的三邊長(zhǎng)、、都是正整數(shù)，且滿足，求的周長(zhǎng)；（3）已知，，求的值．55．（2022秋?南海區(qū)校級(jí)月考）閱讀與應(yīng)用：同學(xué)們，你們已經(jīng)知道，即．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．閱讀1：若、為實(shí)數(shù)，且，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．閱讀2：若函數(shù)，，為常數(shù)）．由閱讀1結(jié)論可知：即當(dāng)即，時(shí)，函數(shù)的最小值為閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：若函數(shù)，則時(shí)，函數(shù)的最小值為．問(wèn)題2：已知一個(gè)矩形的面積為4，其中一邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，求當(dāng)時(shí)，矩形周長(zhǎng)的最小值為．問(wèn)題3：求代數(shù)式的最小值．問(wèn)題4：建造一個(gè)容積為8立方米，深2米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米120元和80元，設(shè)池長(zhǎng)為米，水池總造價(jià)為（元，求當(dāng)為多少時(shí)，水池總造價(jià)最低？最低是多少？56．（2023春?邗江區(qū)期中）仔細(xì)閱讀下列解題過(guò)程：若，求、的值．解：，，根據(jù)以上解題過(guò)程，試探究下列問(wèn)題：（1）已知，求的值；（2）已知，求、的值；（3）若，，求的值．57．（2023春?柯橋區(qū)期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式的多種運(yùn)用，可以運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式的最小值．解答如下：解：，，當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是0，，當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1，的最小值是1．請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題．（1）知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值是；（2）知識(shí)運(yùn)用：若，當(dāng)時(shí)，有最值（填“大”或“小”，這個(gè)值是；（3）知識(shí)拓展：若，求的最小值．58．（2023春?東陽(yáng)市期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成、是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)樗?是“完美數(shù)”．解決問(wèn)題：（1）已知10是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成、是整數(shù)）的形式；（2）若可配方成、為常數(shù)），則；探究問(wèn)題：（3）已知，則；（4）已知、是整數(shù)，是常數(shù)），要使為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)值，并說(shuō)明理由．拓展結(jié)論：（5）已知實(shí)數(shù)、滿足，求的最值．59．（2023秋?中江縣期中）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題．例題：若，求和的值．解：，，問(wèn)題：（1）若，求的值．（2）已知等腰的三邊長(zhǎng)為，，，其中，滿足：，求的周長(zhǎng)．60．（2022春?錫山區(qū)期中）閱讀材料：把形如的二次三項(xiàng)式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即．例如：是的一種形式的配方，是的另一種形式的配方請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：（1）比照上面的例子，寫出的兩種不同形式的配方；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值．

第二十一章一元二次方程（5大壓軸考法60題專練）目錄題型一：換元法解一元二次方程 1題型二：根的判別式 4題型三：根與系數(shù)的關(guān)系 9題型四：一元二次方程的應(yīng)用 19題型五：配方法的應(yīng)用 46一．換元法解一元二次方程（共4小題）1．（2023秋?黔南州期末）閱讀材料：解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，則，原方程化為．①解得，當(dāng)時(shí)，．．；當(dāng)時(shí)，，，．原方程的解為，，，．根據(jù)上面的解答，解決下面的問(wèn)題：（1）填空：在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想．（2）解方程：．【分析】（1）根據(jù)題意可以解答本題；（2）根據(jù)換元法可以解答此方程．【解答】解：（1）由題意可得，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到了將次的目的，體現(xiàn)了換元的數(shù)學(xué)思想，故答案為：換元、換元；（2），令，則原方程可化為：，解得，或，（舍去），，解得，，，故原方程的解是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查換元法解一元二次方程、解一元二次方程的方法，解題的關(guān)鍵是明確解方程的方法．2．（2022秋?綏寧縣期中）閱讀下面的材料：解方程這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，則，原方程可化為：，解得，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．原方程有四個(gè)根是：，，，，以上方法叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用上述方法解答下列問(wèn)題．（1）解方程：；（2）已知實(shí)數(shù)，滿足，試求的值．【分析】（1）設(shè)，則由已知方程得到：，利用因式分解法求得該方程的解，然后解關(guān)于的一元二次方程；（2）設(shè)，則由已知方程得到：，利用因式分解法求得該方程的解即可．【解答】解：（1）設(shè)，則，整理，得，解得，，當(dāng)即時(shí)，解得：；當(dāng)當(dāng)即時(shí)，解得：；綜上所述，原方程的解為，；（2）設(shè)，則，整理，得，解得，（舍去），故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．3．（2023秋?臨澤縣校級(jí)期中）閱讀下面的材料，解決問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾?，．?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．請(qǐng)參照例題，解方程．【分析】根據(jù)題目中的例子和換元法解方程的方法可以解答本題．【解答】解：設(shè)，原方程可變?yōu)?，解得，，?dāng)時(shí)，，得，，當(dāng)時(shí)，，得方程，△，此時(shí)方程無(wú)實(shí)根，所以原方程有兩個(gè)根：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查換元法解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用換元法解方程．4．（2023秋?高新區(qū)校級(jí)期中）閱讀新知：移項(xiàng)且合并同類項(xiàng)之后，只含有偶次項(xiàng)的四次方程稱作雙二次方程．其一般形式為，一般通過(guò)換元法解之，具體解法是設(shè)，則原四次方程化為一元二次方程：，解出之后代入，從而求出的值．例如解：解：設(shè)，則原方程可化為：，，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，小試牛刀：請(qǐng)你解雙二次方程：歸納提高：思考以上解題方法，試判斷雙二次方程的根的情況，下列說(shuō)法正確的是②③（選出所有的正確答案）①當(dāng)時(shí)，原方程一定有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，原方程一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；③當(dāng)，并且換元之后的一元二次方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，原方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，換元之后的一元二次方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，原方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；④原方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，一定有．【分析】先設(shè)，則原方程變形為，運(yùn)用因式分解法解得，，再把和4分別代入得到關(guān)于的一元二次方程，然后解兩個(gè)一元二次方程，最后確定原方程的解．根據(jù)閱讀新知和小試牛刀即可判斷①②③④．【解答】解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋海纸庖蚴?，得，解得，，，?dāng)時(shí)，，，△，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，解得，，所以原方程的解為，．根據(jù)閱讀新知和小試牛刀即可判斷②③；如：，雖然△，但原方程可化為，明顯，此方程無(wú)解；所以，①④錯(cuò)誤，故答案為②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法解一元二次方程：當(dāng)所給方程是雙二次方程時(shí)，可考慮用換元法降次求解．二．根的判別式（共5小題）5．（2022秋?江北區(qū)期末）對(duì)于一元二次方程，下列說(shuō)法：①若，則；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則⑤存在實(shí)數(shù)、，使得；其中正確的A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式等對(duì)各選項(xiàng)分別討論，可得答案．【解答】解：①若，則是方程的解，由一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系可知△，故①正確；②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，△，，則方程的判別式△，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故②正確；③是方程的一個(gè)根，則，，若，等式仍然成立，但不一定成立，故③不正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：或或故④正確．⑤令，則存在實(shí)數(shù)、，使得；正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，牢固掌握二者的關(guān)系并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．6．（2024?湖州一模）對(duì)于關(guān)于的一元二次方程的根的情況，有以下四種表述：①當(dāng)，，時(shí)，方程一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)，，時(shí)，方程一定有實(shí)數(shù)根；③當(dāng)，時(shí)，方程一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；④當(dāng)，，時(shí)，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中表述正確的序號(hào)是A．① B．② C．③ D．④【分析】關(guān)于的一元二次方程的判別式為△，若△，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根，據(jù)此逐一判斷即可．【解答】解：①當(dāng)，，時(shí)，滿足，，，此時(shí)△，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故①錯(cuò)誤；②，，，，，△，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故②正確；③當(dāng)，，時(shí)，滿足，，此時(shí)△，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③錯(cuò)誤；④，，，，，△，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的是②，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判別式判斷根的情況是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的三邊長(zhǎng)？【分析】（1）計(jì)算方程的判別式大于等于0即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)有、或三種情況，當(dāng)或時(shí)，可知為方程的一個(gè)根，代入可求得的值，則可求得方程的根，可求得三邊長(zhǎng)；當(dāng)時(shí)，可知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由判別式等于0可求得，同樣可求得方程的兩根，可求得三角形的三邊長(zhǎng)．【解答】（1）證明：一元二次方程，△，無(wú)論取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：為等腰三角形，有、或三種情況，①當(dāng)或時(shí)，可知為方程的一個(gè)根，，解得或，當(dāng)時(shí)，方程為，解得或，三角形的三邊長(zhǎng)為4、6、6，當(dāng)時(shí)，方程為，解得或，三角形的三邊長(zhǎng)為6、6、10，②當(dāng)時(shí)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△，即，解得，方程為，解得，此時(shí)三角形三邊為6、2、2，不滿足三角形三邊關(guān)系，舍去，綜上可知三角形的三邊為4、6、6或6、6、10．還可采取以下方法：由得到，解得或，當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)，三角形的邊長(zhǎng)為6，6，4；當(dāng)時(shí)，則，，則，此時(shí)，三角形的邊長(zhǎng)為6，6，10；當(dāng)時(shí)，即，解得，則，此時(shí)，三角形的邊長(zhǎng)，2，2，6（構(gòu)不成三角形，舍去）綜上可知三角形的三邊為4、6、6或6、6、10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方程根的判別式及等腰三角形的性質(zhì)，掌握根的判別式與一元二次方程根的個(gè)數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2024?富順縣一模）我們規(guī)定：方程的變形方程為．例如，方程的變形方程為（1）直接寫出方程的變形方程；（2）若方程的變形方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）若方程的變形方程為，直接寫出的值．【分析】（1）用表示方程里的，直接得結(jié)論；（2）先把方程變形，再利用根的判別式，計(jì)算出的取值范圍；（3）變形方程整理，即得的值．【解答】解：（1）用表示方程里的，可得．（2）用表示方程里的，得．整理，得變形后的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，△，．（3）．（方程的變形方程為，整理，得，即由于方程的變形方程為，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法、根的判別式、不等式的解法．題目難度不大，掌握根的判別式是關(guān)鍵．9．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）已知等腰的底邊，若，恰好是另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．（3）閱讀材料：若三邊的長(zhǎng)分別為，，，那么可以根據(jù)秦九韶海倫公式可得：，其中，在（2）的條件下，若和的角平分線交于點(diǎn)，根據(jù)以上信息，求的面積．【分析】（1）根據(jù)△，構(gòu)建不等式求解即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得一元二次方程兩根相等，利用△，構(gòu)建方程求解值，即可得一元二次方程，解方程可求解，，進(jìn)而可求解的周長(zhǎng)；（3）由海倫公式可求解的面積，過(guò)分別作，，，垂足分別為，，，利用角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合的面積可求解的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算可求解．【解答】解：（1）由題意得：△，且，化簡(jiǎn)得：，解得：且；（2）由題意知：，恰好是等腰的腰長(zhǎng)，，，是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，△，解得，，解得，，的周長(zhǎng)為：；（3）由（2）知：的三邊長(zhǎng)為3，3，4，，，過(guò)分別作，，，垂足分別為，，，是角平分線的交點(diǎn)，，，解得，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．三．根與系數(shù)的關(guān)系（共9小題）10．（2024?雙峰縣模擬）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，我們定義新運(yùn)算“”：，例如．若，是方程的兩根，則的值為．【分析】根據(jù)新定義先將方程化為一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求得，，再結(jié)合分式的加減及完全平方公式代入計(jì)算可求解．【解答】解：由題意得即為，化簡(jiǎn)得，，是該方程的兩根，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，新定義，代數(shù)式求值，根據(jù)新定義將等式化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2024春?海門區(qū)校級(jí)期中）已知：平行四邊形的兩邊，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（2）若的長(zhǎng)為2，那么平行四邊形的周長(zhǎng)是多少？（3）如果這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，即方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，根據(jù)根的判別式為0可得關(guān)于的方程，解之可得的值，再還原方程，求解可得；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，解之可得的長(zhǎng)，繼而得出周長(zhǎng)；（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，代入到，解之可得．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，即方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，，解得：，此時(shí)方程為，解得：，這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為；（2）根據(jù)題意知，，解得：，平行四邊形的周長(zhǎng)是；（3）方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，，，代入到，可得，解得：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，理解題意得出相應(yīng)的方程是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?宿城區(qū)期末）已知關(guān)于的方程．（1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；（2）能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若能找到，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L(zhǎng)，另兩邊的長(zhǎng)、恰好是這個(gè)方程的兩根時(shí)，求的周長(zhǎng)．【分析】（1）整理根的判別式，得到它是非負(fù)數(shù)即可．（2）兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，讓即可求得的值．（3）分，兩種情況做．【解答】證明：（1）△，方程總有實(shí)根；解：（2）兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，，解得；（3）①當(dāng)時(shí)，則△，即，，方程可化為，，而，不適合題意舍去；②當(dāng)，則，，方程化為，解得，，，，當(dāng)時(shí)，同理得，，綜上所述，的周長(zhǎng)為10．【點(diǎn)評(píng)】一元二次方程總有實(shí)數(shù)根應(yīng)根據(jù)判別式來(lái)做，兩根互為相反數(shù)應(yīng)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系做，等腰三角形的周長(zhǎng)應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．13．（2023秋?魚(yú)臺(tái)縣期中）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．（1）請(qǐng)問(wèn)一元二次方程是倍根方程嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若一元二次方程是倍根方程，且方程有一個(gè)根為2，求、的值？【分析】（1）利用因式分解法求出方程的兩根，再根據(jù)倍根方程的定義判斷即可；（2）根據(jù)倍根方程的定義，倍根方程有一個(gè)根為2時(shí)，另外一個(gè)根為4或1，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出、的值．【解答】解：（1）是倍根方程，理由如下：解方程，得，，是1的2倍，一元二次方程是倍根方程；（2）分兩種情況：①另外一個(gè)根為4時(shí)，，，，；②另外一個(gè)根為1時(shí)，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．也考查了學(xué)生的閱讀理解能力與知識(shí)的遷移能力．14．（2023春?環(huán)翠區(qū)期末）已知：關(guān)于的方程．（1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值，并求出這時(shí)方程的根．（2）問(wèn)：是否存在正數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于136？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式△，建立關(guān)于的等式，由此求出的取值．再化簡(jiǎn)方程，進(jìn)而求出方程相等的兩根；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)，即．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于的方程，解得的值，再判斷是否符合滿足方程根的判別式．【解答】解：（1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有△，解得，當(dāng)時(shí)，原方程為，；（2）不存在．假設(shè)存在，則有．，，．即，，，，．△，，，都不符合題意，不存在正數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于136．【點(diǎn)評(píng)】總結(jié)：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．2、根與系數(shù)的關(guān)系為：．15．（2023春?定遠(yuǎn)縣期中）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說(shuō)法，正確的有②③④（填序號(hào)）①方程是倍根方程；②若是倍根方程：則；③若，滿足，則關(guān)于的方程是倍根方程；④若方程以是倍根方程，則必有．【分析】①求出方程的解，再判斷是否為倍根方程，②根據(jù)倍根方程和其中一個(gè)根，可求出另一個(gè)根，進(jìn)而得到、之間的關(guān)系，而、之間的關(guān)系正好適合，③當(dāng)，滿足，則，求出兩個(gè)根，再根據(jù)代入可得兩個(gè)根之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷是否為倍根方程，④用求根公式求出兩個(gè)根，當(dāng)，或時(shí)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得出關(guān)系式，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①解方程得，，，得，，方程不是倍根方程；故①不正確；②若是倍根方程，，因此或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故②正確；③，則：，，，，因此是倍根方程，故③正確；④方程的根為：，，若，則，，即，，，，，．若時(shí)，則，，即，則，，，，，，．故④正確，故答案為：②③④【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．（2023?黃石港區(qū)校級(jí)模擬）如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，那么，，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：（1）已知、是方程的二根，則43（2）已知、、滿足，，求正數(shù)的最小值．（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問(wèn)題：已知和是關(guān)于，的方程組的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)，是的解，求出和的值，即可求出的值．（2）根據(jù)，，得出，，、是方程的解，再根據(jù)，即可求出的最小值．（3）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出，，再解，即可求出的值．【解答】解：（1）、是方程的二根，，，，故答案為：43；（2），，，，、是方程的解，，，是正數(shù)，，，，正數(shù)的最小值是4．（3）存在，當(dāng)時(shí)，．由變形得：，由變形得：，把代入，并整理得：，由題意思可知，，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故有：即：解得：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．17．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）請(qǐng)閱讀下列材料：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得．化簡(jiǎn)，得，故所求方程為，這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．（1）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；（2）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；（3）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為3，，求一元二次方程的兩根．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)所求方程的根是，則，所以，然后把代入原方程，化簡(jiǎn)可求；（2）根據(jù)題意，設(shè)所求方程的根是，則，所以，然后把代入原方程，化簡(jiǎn)可求；（3）由（2）可知，對(duì)方程兩邊同時(shí)除以，得，則方程的兩根是兩根的倒數(shù)，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）設(shè)所求方程的根是，則，所以，把代入，得，故答案為：；（2）設(shè)所求方程的根是，則，所以，把代入方程，得，化簡(jiǎn)，得；（3）一元二次方程整理后可得：，令，，則方程的兩根比兩根大1，所以方程的兩根分別是4、．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握換根法的使用．18．（2023春?鯉城區(qū)校級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下列材料：，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得，化簡(jiǎn)，得，故所求方程為，這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）．（1）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；（2）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；（3）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為3，，求一元二次方程的兩根．（直接寫出結(jié)果）【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)所求方程的根是，則，所以，然后把代入原方程，化簡(jiǎn)可求；（2）根據(jù)題意，設(shè)所求方程的根是，則，所以，然后把代入原方程，化簡(jiǎn)可求；（3）由（2）可知，對(duì)方程兩邊同時(shí)除以，得，則方程的兩根是兩根的倒數(shù)，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）設(shè)所求方程的根是，則，所以，把代入，得，故答案為：；（2）設(shè)所求方程的根是，則，所以，把代入方程，得，化簡(jiǎn)，得；（3）一元二次方程整理后可得：，令，，則方程的兩根比兩根大1，所以方程的兩根分別是4、．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握換根法的使用．四．一元二次方程的應(yīng)用（共34小題）19．（2023秋?青島期末）實(shí)驗(yàn)與操作：小明是一位動(dòng)手能力很強(qiáng)的同學(xué)，他用橡皮泥做成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體．（1）如圖1所示，在頂面中心位置處從上到下打一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形孔，打孔后的橡皮泥塊的表面積為110；（2）如果在第（1）題打孔后，再在正面中心位置（如圖2中的虛線所示）從前到后打一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥塊的表面積為；（3）如果把（1）、（2）中的邊長(zhǎng)為的通孔均改為邊長(zhǎng)為的通孔，能否使橡皮泥塊的表面積為？如果能，求出，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）打孔后的表面積原正方體的表面積小正方形孔的面積孔中的四個(gè)矩形的面積．（2）打孔后的表面積圖①中的表面積個(gè)小正方形孔的面積新打的孔中的八個(gè)小矩形的面積．（3）根據(jù)（1）（2）中的面積計(jì)算方法，用表示出圖①和圖②的面積．然后讓用得出的圖②的表面積計(jì)算出的值．【解答】解：（1）表面積，故答案為：110；（2）表面積，故答案為：118；（3）能使橡皮泥塊的表面積為，理由為：，，，當(dāng)邊長(zhǎng)改為時(shí)，表面積為．【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于面積問(wèn)題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式．另外，整體面積各部分面積之和；剩余面積原面積截去的面積．20．（2023秋?納溪區(qū)期末）已知：的兩邊，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（2）若的長(zhǎng)為2，那么的周長(zhǎng)是多少？【分析】（1）讓根的判別式為0即可求得，進(jìn)而求得方程的根即為菱形的邊長(zhǎng)；（2）求得的值，進(jìn)而代入原方程求得另一根，即易求得平行四邊形的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）四邊形是菱形，，△，即，整理得：，解得，當(dāng)時(shí)，原方程為，解得：，故當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，菱形的邊長(zhǎng)是0.5；（2）把代入原方程得，，把代入原方程得，解得，，．【點(diǎn)評(píng)】綜合考查了平行四邊形及菱形的有關(guān)性質(zhì)；利用解一元二次方程得到兩種圖形的邊長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．21．（2023?城廂區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，、、、為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，一直到達(dá)為止，點(diǎn)以的速度向移動(dòng)．（1）、兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，四邊形的面積為；（2）、兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)的距離是．【分析】（1）設(shè)、兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到秒時(shí)四邊形的面積為，則，，根據(jù)梯形的面積公式可列方程：，解方程可得解；（2）作，垂足為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，用表示線段長(zhǎng)，用勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）設(shè)、兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到秒時(shí)四邊形的面積為，則，，根據(jù)梯形的面積公式得，解之得，（2）設(shè)，兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過(guò)秒時(shí)，點(diǎn)，間的距離是，作，垂足為，則，，，，，由勾股定理，得，解得，．答：（1）、兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到5秒時(shí)四邊形的面積為；（2）從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)的距離是．【點(diǎn)評(píng)】（1）主要用到了梯形的面積公式：（上底下底）高；（2）作輔助線是關(guān)鍵，構(gòu)成直角三角形后，用了勾股定理．22．（2022秋?新化縣期末）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤(rùn)是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤(rùn)更多，該店決定把零售單價(jià)下降元．（1）零售單價(jià)下降元后，該店平均每天可賣出只粽子，利潤(rùn)為元．（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)定為多少時(shí)，才能使該店每天獲取的利潤(rùn)是420元并且賣出的粽子更多？【分析】（1）每天的銷售量等于原有銷售量加上增加的銷售量即可；利潤(rùn)等于銷售量乘以單價(jià)即可得到；（2）利用總利潤(rùn)等于銷售量乘以每件的利潤(rùn)即可得到方程求解．【解答】解：（1）零售單價(jià)下降元后，該店平均每天可賣出只粽子，利潤(rùn)為元．（2）令．化簡(jiǎn)得，．即，．解得或．可得，當(dāng)時(shí)賣出的粽子更多．答：當(dāng)為0.4時(shí)，才能使商店每天銷售該粽子獲取的利潤(rùn)是420元并且賣出的粽子更多．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解總利潤(rùn)的計(jì)算方法，并用相關(guān)的量表示出來(lái)．23．（2023秋?綏棱縣校級(jí)期中）某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)800件恤，第一個(gè)月以單價(jià)80元銷售，售出了200件；第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的恤一次性清倉(cāng)銷售，清倉(cāng)時(shí)單價(jià)為40元，設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低元．（1）填表：（不需化簡(jiǎn)）時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)（元807040銷售量（件200（2）如果批發(fā)商希望通過(guò)銷售這批恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？【分析】（1）根據(jù)題意直接用含的代數(shù)式表示即可；（2）利用“獲利9000元”，即銷售額進(jìn)價(jià)利潤(rùn)，作為相等關(guān)系列方程，解方程求解后要代入實(shí)際問(wèn)題中檢驗(yàn)是否符合題意，進(jìn)行值的取舍．【解答】解：（1）時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)（元8040銷售量（件200（2）根據(jù)題意，得整理得，即，解得當(dāng)時(shí)，答：第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是70元．【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．有關(guān)銷售問(wèn)題中的等量關(guān)系一般為：利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)．24．（2023春?長(zhǎng)樂(lè)區(qū)校級(jí)期末）某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【分析】設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)元，得出日銷售量將減少千克，再由盈利額每千克盈利日銷售量，依題意得方程求解即可．【解答】解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)元，依題意得方程：，整理，得，解這個(gè)方程，得，．要使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)?。穑好壳Э怂麘?yīng)漲價(jià)5元．【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是熟知此題的等量關(guān)系是：盈利額每千克盈利日銷售量．25．（2023秋?新華區(qū)校級(jí)月考）在寬為，長(zhǎng)為的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直，（如圖），把耕地分成大小相等的六塊作試驗(yàn)田，要使實(shí)驗(yàn)地面積為，問(wèn)道路應(yīng)為多寬？【分析】本題中，試驗(yàn)地的面積矩形耕地的面積三條道路的面積道路重疊部分的兩個(gè)小正方形的面積．如果設(shè)道路寬，可根據(jù)此關(guān)系列出方程求出的值，然后將不合題意的舍去即可．【解答】解：設(shè)道路為米寬，由題意得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，但是，因此不合題意舍去．答：道路為寬．【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于面積問(wèn)題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式．另外，整體面積各部分面積之和；剩余面積原面積截去的面積．26．（2022秋?湖北月考）某商場(chǎng)禮品柜臺(tái)元旦期間購(gòu)進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元．為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場(chǎng)平均每天可多售出100張，商場(chǎng)要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元？【分析】等量關(guān)系為：（原來(lái)每張賀年卡盈利降價(jià)的價(jià)格）（原來(lái)售出的張數(shù)增加的張數(shù)），把相關(guān)數(shù)值代入求得正數(shù)解即可．【解答】解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)元，現(xiàn)在的利潤(rùn)是元，則商城多售出張．，解得（降價(jià)不能為負(fù)數(shù)，不合題意，舍去），．答：每張賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元．【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程的應(yīng)用；得到每降價(jià)元多賣出的賀年卡張數(shù)是解決本題的難點(diǎn)；根據(jù)利潤(rùn)得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．27．（2022春?宜秀區(qū)校級(jí)月考）廣安市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價(jià)開(kāi)盤銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率．（2）某人準(zhǔn)備以開(kāi)盤價(jià)均價(jià)購(gòu)買一套100平方米的住房，開(kāi)發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問(wèn)哪種方案更優(yōu)惠？【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分別計(jì)算兩種方案的優(yōu)惠價(jià)格，比較后發(fā)現(xiàn)方案①更優(yōu)惠．【解答】解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為，則，解得：，（舍去），故平均每次下調(diào)的百分率為；（2）方案①購(gòu)房?jī)?yōu)惠：（元；方案②可優(yōu)惠：（元．故選擇方案①更優(yōu)惠．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解，屬于中檔題．28．（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級(jí)月考）將一條長(zhǎng)為的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形．（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少？（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）這段鐵絲被分成兩段后，圍成正方形．其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)“兩個(gè)正方形的面積之和等于”作為相等關(guān)系列方程，解方程即可求解；（2）設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為，可得二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值的求法可求得的最小值是12.5，所以可判斷兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于．【解答】解：（1）設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，依題意列方程得，整理得：，，解方程得，，，；或，．因此這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是、；（2）兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于．理由：設(shè)兩個(gè)正方形的面積和為，則，，當(dāng)時(shí)，的最小值，兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于；（另解：由（1）可知，化簡(jiǎn)后得，△，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；所以兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于．【點(diǎn)評(píng)】此題等量關(guān)系是：兩個(gè)正方形的面積之和或．讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解題的關(guān)鍵．29．（2024春?懷寧縣期末）某青年旅社有60間客房供游客居住，在旅游旺季，當(dāng)客房的定價(jià)為每天200元時(shí)，所有客房都可以住滿．客房定價(jià)每提高10元，就會(huì)有1個(gè)客房空閑，對(duì)有游客入住的客房，旅社還需要對(duì)每個(gè)房間支出20元每天的維護(hù)費(fèi)用，設(shè)每間客房的定價(jià)提高了元．（1）填表（不需化簡(jiǎn)）入住的房間數(shù)量房間價(jià)格總維護(hù)費(fèi)用提價(jià)前60200提價(jià)后（2）若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多的游客，則每間客房的定價(jià)應(yīng)為多少元？（純收入總收入維護(hù)費(fèi)用）【分析】（1）住滿為60間，表示每個(gè)房間每天的定價(jià)增加量；定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑，房間空閑個(gè)數(shù)為，入住量房間空閑個(gè)數(shù)，列出代數(shù)式；（2）用：每天的房間收費(fèi)每間房實(shí)際定價(jià)入住量，每間房實(shí)際定價(jià)，列出方程．【解答】解：（1）增加10元，就有一個(gè)房間空閑，增加20元就有兩個(gè)房間空閑，以此類推，空閑的房間為，入住的房間數(shù)量，房間價(jià)格是元，總維護(hù)費(fèi)用是．故答案為：；；；（2）依題意得：，整理，得，解得，．當(dāng)時(shí)，有游客居住的客房數(shù)量是：（間．當(dāng)時(shí)，有游客居住的客房數(shù)量是：（間．所以當(dāng)時(shí)，能吸引更多的游客，則每個(gè)房間的定價(jià)為（元．答：每間客房的定價(jià)應(yīng)為300元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．30．（2024春?安慶期中）如圖，中，，，，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著方向以的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿著邊以的速度運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）若的面積是面積的，求的值？（2）的面積能否為面積的一半？若能，求出的值；若不能，說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可以得出面積為，的面積為，由題意列出方程解答即可；（2）由等量關(guān)系列方程求出的值，但方程無(wú)解．【解答】解：（1），，，整理得，解得．答：當(dāng)時(shí)的面積為面積的；（2）當(dāng)時(shí)，，整理得，△，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，的面積不可能是面積的一半．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．31．（2023秋?頭屯河區(qū)期末）某超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率不變．（1）求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；（2）從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)獲利4250元？【分析】（1）由題意可得，1月份的銷售量為：256件；設(shè)2月份到3月份銷售額的月平均增長(zhǎng)率，則二月份的銷售量為：件；三月份的銷售量為：件，又知三月份的銷售量為：400元，由此等量關(guān)系列出方程求出的值，即求出了平均增長(zhǎng)率；（2）利用銷量每件商品的利潤(rùn)求出即可．【解答】解：（1）設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為；（2）設(shè)當(dāng)商品降價(jià)元時(shí)，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商場(chǎng)獲利4250元．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵在于理解題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．32．（2024春?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）鄉(xiāng)情教育是我校一直以來(lái)的辦學(xué)特色，本學(xué)期，學(xué)校將舉辦“鄉(xiāng)情攝影”展等系列活動(dòng)．小穎同學(xué)積極參加了這次活動(dòng)，將自己在暑假回老家時(shí)拍攝的一張家鄉(xiāng)的風(fēng)景相片（如圖上交了學(xué)校并被選為優(yōu)秀作品．圖片的長(zhǎng)為8分米，寬為6分米，為了展示將在原圖片的四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊，制成一幅掛圖．如果要求整個(gè)掛圖的面積是80平方分米．那么金色紙邊的寬應(yīng)是多少？（1）如果設(shè)金色紙邊的寬度為分米，那么掛畫的長(zhǎng)可表示為分米，掛畫的寬可表示為分米，列出的方程為．（2）根據(jù)你所列的方程求出的值．【分析】（1）設(shè)金色紙邊的寬度為分米，那么掛畫的長(zhǎng)可表示為分米，掛畫的寬可表示為分米，根據(jù)掛畫的面積為80平方分米，列方程即可；（2）求解（1）所列的方程．【解答】解：（1）設(shè)金色紙邊的寬度為分米，則掛畫的長(zhǎng)為分米，掛畫的寬為分米，由題意得；（2）整理方程得：，解得：，（不合題意舍去）．答：金色紙邊的寬度為1分米，故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．33．（2024春?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，要用籬笆（虛線部分）圍成一個(gè)矩形苗圃，其中兩邊靠的墻足夠長(zhǎng)，中間用平行于的籬笆隔開(kāi)，已知籬笆的總長(zhǎng)度為18米．（1）設(shè)矩形苗圃的一邊的長(zhǎng)為，矩形苗圃面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時(shí)，所圍矩形苗圃的面積為？【分析】（1）一邊的長(zhǎng)為，則另一邊，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)得出關(guān)于的方程，解方程即可得．【解答】解：（1）設(shè)矩形苗圃的一邊的長(zhǎng)為，則，，；（2）根據(jù)題意，得：，解得：或，答：當(dāng)或時(shí)，所圍矩形苗圃的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)面積公式得出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．34．（2024?瑤海區(qū)校級(jí)三模）某農(nóng)戶種植花生，原來(lái)花生的畝產(chǎn)量為200千克，出油率為（即每100千克花生可加工成花生油50千克），現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長(zhǎng)率是畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的．求新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率．（1）這是一個(gè)增長(zhǎng)率問(wèn)題，可設(shè)所求增長(zhǎng)率為，依題意填寫下列表格：畝產(chǎn)量（千克）出油率出油量（千克）原來(lái)20050現(xiàn)在132（2）求新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率．【分析】（1）增長(zhǎng)后的量增長(zhǎng)前的量增長(zhǎng)率）．（2）每畝收獲的花生可加工成花生油的質(zhì)量是，依此即可列方程求解．【解答】解：（1）花生的現(xiàn)在畝產(chǎn)量，花生的現(xiàn)在出油率；（2）設(shè)新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為．，（舍去）．．故新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是增長(zhǎng)率問(wèn)題，首先表示新植花生的畝產(chǎn)量，再表示出出油率增長(zhǎng)后出的油，然后列方程求解．35．（2024?犍為縣模擬）某樓盤2018年2月份準(zhǔn)備以每平方米7500元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國(guó)家有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商對(duì)價(jià)格連續(xù)兩個(gè)月進(jìn)行下調(diào)，4月份下調(diào)到每平方米6075元的均價(jià)開(kāi)盤銷售．（1）求3、4兩月平均每月下調(diào)的百分率；（2）小穎家現(xiàn)在準(zhǔn)備以每平方米6075元的開(kāi)盤均價(jià)，購(gòu)買一套100平方米的房子，因?yàn)樗乙淮涡愿肚遒?gòu)房款，開(kāi)發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.5元，小穎家選擇哪種方案更優(yōu)惠？（3）如果房?jī)r(jià)繼續(xù)回落，按此平均下調(diào)的百分率，請(qǐng)你預(yù)測(cè)到6月份該樓盤商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破4800元平方米，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)出平均每月下調(diào)的百分率為，利用預(yù)訂每平方米銷售價(jià)格每次下調(diào)的百分率）開(kāi)盤每平方米銷售價(jià)格列方程解答即可；（2）對(duì)于方案的確定，可以通過(guò)比較兩種方案得出的費(fèi)用：①方案：下調(diào)后的均價(jià)；②方案：下調(diào)后的均價(jià)兩年的物業(yè)管理費(fèi)，比較確定出更優(yōu)惠的方案；（3）利用（1）中的答案和方法計(jì)算得出答案即可．【解答】解：（1）設(shè)3、4兩月平均每月下調(diào)的百分率為，由題意得：，解得：，（舍，答：3、4兩月平均每月下調(diào)的百分率是；（2）方案一：（元，方案二：（元，，方案一更優(yōu)惠，小穎選擇方案一：打9.8折購(gòu)買；（3）不會(huì)跌破4800元平方米因?yàn)橛桑?）知：平均每月下調(diào)的百分率是，所以：（元平方米），，月份該樓盤商品房成交均價(jià)不會(huì)跌破4800元平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解清楚題意找出等量關(guān)系，列出方程求出符合題意得解．36．（2024春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．如果、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．①經(jīng)過(guò)幾秒后的面積等于；②的面積能否等于，并說(shuō)明理由．【分析】作出輔助線，過(guò)點(diǎn)作于，即可得出的面積為，有、點(diǎn)的移動(dòng)速度，設(shè)時(shí)間為秒時(shí)，可以得出、關(guān)于的表達(dá)式，代入面積公式，即可得出答案．【解答】解：如圖，①過(guò)點(diǎn)作于，則．，．．設(shè)經(jīng)過(guò)秒后的面積等于，則，，．根據(jù)題意，．．，．當(dāng)時(shí)，，，不合題意舍去，?。穑航?jīng)過(guò)2秒后的面積等于；②當(dāng)面積等于5時(shí)，．．△，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以的面積不能等于，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的運(yùn)用，注意求得的值的取舍問(wèn)題．37．（2024?旺蒼縣一模）某農(nóng)戶在山上種臍橙果樹(shù)44株，現(xiàn)進(jìn)入第三年收獲．收獲時(shí)，先隨機(jī)采摘5株果樹(shù)上的臍橙，稱得每株果樹(shù)上臍橙重量如下（單位：，35，34，39，37．（1）試估計(jì)這一年該農(nóng)戶臍橙的總產(chǎn)量約是多少？（2）若市場(chǎng)上每千克臍橙售價(jià)5元，則該農(nóng)戶這一年賣臍橙的收入為多少？（3）已知該農(nóng)戶第一年果樹(shù)收入5500元，根據(jù)以上估算求第二年、第三年賣臍橙收入的年平均增長(zhǎng)率．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求出樣本平均數(shù)，然后乘以44即是這年臍橙的總產(chǎn)量．（2）根據(jù)市場(chǎng)上的臍橙售價(jià)乘以總產(chǎn)量即是這年該農(nóng)戶賣臍橙的收入．（3）設(shè)年平均增長(zhǎng)率為，先依題意表示出第三年的收入再根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【解答】解：（1）樣本平均數(shù)為36千克，這年臍橙的總產(chǎn)量約為1584千克；（2）這年該農(nóng)戶賣臍橙的收入將達(dá)7920元；（3）設(shè)：年平均增長(zhǎng)率為，依題意得：，解得：（不合題意，舍去）．答：第二年、第三年賣臍橙收入的年平均增長(zhǎng)率為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了學(xué)生如何求平均數(shù)，會(huì)根據(jù)平均數(shù)估計(jì)總數(shù)，能根據(jù)題意列出一元二次方程．解題時(shí)要注意對(duì)解出的根進(jìn)行檢驗(yàn)，不合題意的要舍去．38．（2023秋?青白江區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，，，是和邊長(zhǎng)，易知，這時(shí)我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）寫出一個(gè)“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，且四邊形的周長(zhǎng)是，求面積．【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過(guò)判斷根的判別式△的正負(fù)來(lái)證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得的值，根據(jù)完全平方公式求得的值，從而可求得面積．【解答】（1）解：當(dāng)，，時(shí)勾系一元二次方程為；（2）證明：根據(jù)題意，得△即△勾系一元二次方程必有實(shí)數(shù)根；（3）解：當(dāng)時(shí)，有，即，即，．【點(diǎn)評(píng)】此類題目要讀懂題意，根據(jù)題目中所給的材料結(jié)合勾股定理和根的判別式解題．39．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為，求小道進(jìn)出口的寬度．【分析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為米，然后利用其種植花草的面積為532平方米列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為米，依題意得．整理，得．解得，，．（不合題意，舍去），．答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到正確的等量關(guān)系并列出方程．40．（2024?無(wú)錫校級(jí)二模）某大型水果超市銷售無(wú)錫水蜜桃，根據(jù)前段時(shí)間的銷售經(jīng)驗(yàn)，每天的售價(jià)（元箱）與銷售量（箱有如表關(guān)系：每箱售價(jià)（元6867666540每天銷量（箱40455055180已知與之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)．（1