2023中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型《角平分線的基本模型（二）非全等類》含答案解析

專題08角平分線的重要模型（二）非全等類

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn),

需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，.

本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）

【模型解讀】雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）指的是當(dāng)三角形的內(nèi)角（外角）的平分線相交時(shí)，

可以導(dǎo)出平分線的夾角的度數(shù)。

【模型圖示】條件：BD,是角平分線.

結(jié)論ZBDC=90°+-ZANBDC=90°——ZA

22

ZBDC=-ZA

2

1.（2022?廣東?九年級(jí)專題練習(xí)）8尸是0ABe的平分線，CP是0ACB的鄰補(bǔ)角的平分線,

BABP=20°,[?L4CP=50o,則回尸二（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

2.（2022?山東?濟(jì)南中考模擬）如圖1,在AABC中，勖AC的平分線AD與132cA的平分線

CE交于點(diǎn)O.

⑴求證：a4OC=90°+ya4BC；

（2）當(dāng)MBC=90。時(shí)，且AO=3。。（如圖2）,判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加

以證明.

3.（2022?蓬溪縣九年級(jí)月考）某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾

角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究.（1）如圖1,在△ABC中，N48C與NACB的平

分線交于點(diǎn)P,NA=64°,則N8PC=；（2）如圖2,△ABC的內(nèi)角NACB的平分線與

△ABC的外角N4B0的平分線交于點(diǎn)E.其中NA=a,求/BEC.（用a表示NBEC）；（3）如

圖3,ZCBM./BCN為△ABC的外角，/CBM、/BCN的平分線交于點(diǎn)Q,請(qǐng)你寫(xiě)出NBQC

與NA的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（4）如圖4,△ABC外角/CBM、/BCN的平分線交于點(diǎn)

Q,NA=64°,ZCBQ,/BCQ的平分線交于點(diǎn)P,則/BPC=°,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,

NECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R,則NR=__°.

4.（2022?遼寧沈陽(yáng)?九年級(jí)期中）閱讀下面的材料，并解決問(wèn)題

⑴已知在0ABe中，0A=60。，圖1-3的0ABe的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)。請(qǐng)直接

寫(xiě)出下列角度的度數(shù)，如圖1,回。=；如圖2,回。=；如圖3,00=；（2）如

圖4,點(diǎn)。是0ABe的兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：回。=90。+人朋（3）如圖5,在0ABe中，

2

0ABe的三等分線分別與0AC8的平分線交于點(diǎn)。/。2,若m1=115。，02=135°,求0A的度數(shù).

模型2.角平分線加平行線等腰現(xiàn)（角平分線+平行線），

【模型解讀】1）過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形；2）有角平分線

時(shí)，過(guò)角一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線，交角的另一邊的直線于一點(diǎn)，也可構(gòu)造等腰三角

形。

【模型圖示】已知如圖1,。尸為NAOB的角平分線，點(diǎn)尸角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，輔助線

的作法大都為過(guò)點(diǎn)P作PM/IOB或即可.即有AOMP是等腰,三角形，利用相關(guān)

結(jié)論解決問(wèn)題.

已知如圖2,OC平分NAQB,點(diǎn)。是。4上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。E〃OC交OB的反向延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,則OD=OE.

注意：平行線、角平分線、等腰△知二推一即：

①AO〃8C+AC是NBA。的角平分線=>△ABC是等腰三角形；

@AD//BC+AABC是等腰三角形0AC是/BA。的角平分線；

③AC是/BAD的角平分線+△ABC是等腰三角形nAZ）〃8C。

常見(jiàn)模型：

A

A

1.（2022?安徽?二模）如圖，在，ABC中，NABC與ZACB的平分線8。，CO交于點(diǎn)。，過(guò)

點(diǎn)D作E尸〃BC,分別交48,AC于點(diǎn)E,F.若BE=2,CF=3,BC=9,則AE的長(zhǎng)為

()

A.2.5B.4.5C.3.75D.6.75

2.（2022,重慶?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BABC中，0ABe與0AC8的平分線交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸

作DE”BC交AB于■前。，交AC于點(diǎn)E,那么下列結(jié)論：①回8。尸和回CEV都是等腰三角形；

（2）DE=BD+CE；③0AOE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和;@BF>CF；⑤若0A=8O°,貝帆8FC

=130。.其中正確的有—.（填正確的序號(hào)）

----------------

4.（2022?沈陽(yáng)市九年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）已知：如圖，/ACD是AABC的一個(gè)外角，CE、CF分別

平分NACB、ZACD,EF/7BC,分別交AC、CF于點(diǎn)H、F求證：EH=HF

A

4.（2022?河南南陽(yáng)?三模）閱讀理解：如圖（1）,BABC中，以B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

畫(huà)弧，與BC和8A分別交于點(diǎn)x,y再分別以點(diǎn)x,y為圓心，大于工xy的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

2

兩弧交于點(diǎn)。，作射線8。與AC交干點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF〃BC交AB于F.

觀察思考：依據(jù)上述操作可，①0A8E與回C3E的大小關(guān)系為；②3尸與跖的數(shù)

關(guān)系為.

拓展延伸：如圖（2）在0ABe中，0ABe的平分線與三角形外角0ACG的平分線交于點(diǎn)。，

過(guò)。作。8c分別交AC,AB于點(diǎn)￡,R請(qǐng)判斷所與BRCE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)

明理由.

問(wèn)題解決：如圖（3）,在ABCD中，ZA=30°,AD=2^3,連接切）,將0AB。沿8。折疊，

使點(diǎn)A落在直線。C上方的A處，當(dāng)回A'OC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段A8的長(zhǎng)度.

模型3.面積模型

【模型解讀與圖示】

已知條件：BG、CG、AG分別是/ABC、ZACB,/8AC的平分線

輔助線：過(guò)點(diǎn)G作GOLBC、GELAC.FGLAB（求面積需要高，作垂直得到高）

結(jié)論：SAL\AziBDCLx=—/\/nD,GC4ABe

1.（2022?內(nèi)蒙古?九年級(jí)期末）如圖，ABC的三邊A3,BC,C4長(zhǎng)分別是20,30,40,

其三條角平分線將ABC分為三個(gè)三角形，則5枷：S^BCO：4必。等于（）

2.（2022?安徽滁州二模）如圖，ABC的面積為JGen?,王汨的平分線BP與AP垂直，垂足

3.（2022?湖北武漢?九年級(jí)期中）問(wèn)題背景：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.若一個(gè)

多邊形的每個(gè)內(nèi)角角平分線都交于一點(diǎn)。，點(diǎn)。叫做該多邊形的內(nèi)心，點(diǎn)。到其中一邊的距

離叫做廠.

問(wèn)題解決：如圖1,在面積為S的ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,內(nèi)心。到邊AC的

7q

距離為,，試說(shuō)明r=-

類比推理：如圖2,存在內(nèi)心。的四邊形ABCD面積為S,周長(zhǎng)為/,用含有S與/的式子表

示內(nèi)心。到邊AB的距離r=；

理解應(yīng)用：如圖3,在四邊形ABCD中，ABHDC,AB=21,CD=11,AD=BC=13,

對(duì)角線BD=20,點(diǎn)。i與儀分別為△ABD與△BCD的內(nèi)心，它們到各自三角形的邊的距離

分別為4和4,求21的值.

模型4.角平分線定理模型（角平分線分線段成比例（二級(jí)結(jié)論））

【模型解讀與圖示】

條件：已知如圖，是N8AC的角平分線，

BD

證明思路：過(guò)點(diǎn)。作再利用等面積的思路，證得：——=——

ACCD

簡(jiǎn)證：

S^ABD^BD,：DE=DF，乂^,AB=BD

SAACDCDSAACDACACCD

1.（2021?黑龍江大慶?中考真題）已知，如圖1,若AD是&ABC中ZR4c的內(nèi)角平分線，通

過(guò)證明可得*=黑，同理，若AE是:ABC中?C的外角平分線，通過(guò)探究也有類似的

AC

性質(zhì).請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問(wèn)題：如圖2,在‘ABC中，BO=2,C￡>=3,A。是:ABC

的內(nèi)角平分線，則ABC的3C邊上的中線長(zhǎng)/的取值范圍是

ffli圖2

2.（2022?北京東城?九年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題.三角形內(nèi)角平分

線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.

已知：如圖，13ABe中，AD是角平分線.

=BD

求證：acDC.

證明：過(guò)C作CEEIDA,交BA的延長(zhǎng)線于E.

山=<1￡^營(yíng)心.①

■AD是角平分線，

0-1=一~.

?.AC=AE.②

又，IDCE,

.一BD

AE~DC.③

AB=BD

AC~DC.

（1）上述證明過(guò)程中，步驟①②③處的理由是什么？（寫(xiě)出兩條即可）（2）用三角形內(nèi)

角平分線定理解答：已知，回ABC中，AD是角平分線，AB=7cm,AC=4cm,BC=6cm,求BD

的長(zhǎng)；

（3）我們知道如果兩個(gè)三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比.請(qǐng)你通過(guò)研究

0ABD和回ACD面積的比來(lái)證明三角形內(nèi)角平分線定理.

3.(2022?江西贛州?九年級(jí)期末)定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做"對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如:

在四邊形ABCD中，NA+NC=18O。，或N3+ND=180。，則四邊形A3CD是“對(duì)補(bǔ)四邊形

圖⑴圖⑵圖⑶圖⑷

⑴【概念理解】如圖(1),四邊形ABCD是"對(duì)補(bǔ)四邊形”.

①若NA:ZB:NC=3:2:1,貝崛。的度數(shù)是

②若ZB=90。，且AB=2忘,AO=2,貝UCD?-

(2)【拓展延伸】如圖(2),四邊形ABCD是"對(duì)補(bǔ)四邊形"，當(dāng)AB=CB,S.ZEBF=^ZABC

時(shí)，猜測(cè)AE,CF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

⑶【類比運(yùn)用】如圖(3),如圖(4),在四邊形ABCD中，AB=CB,BD平分NADC.

①如圖(3),求證：四邊形A3CD是"對(duì)補(bǔ)四邊形”；

②如圖(4),設(shè)AD=a,OC=6,連接AC,當(dāng)NABC=90。，且肅組^=三時(shí)，求/的值.

4.(2022?廣西?九年級(jí)專題練習(xí))問(wèn)題背景:

一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論.如圖1,

已知AD是SABC的角平分線，可證隼=黑.小慧的證明思路是:如圖2,過(guò)點(diǎn)C作。的42,

交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,構(gòu)造相似三角形來(lái)證明笆=毀.

圖3

⑴嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明普=熬

（2）應(yīng)用拓展：如圖3,在R。48c中，0BAC=9O°,。是邊BC上一點(diǎn).連接A。，將1aAC￡>

沿AO所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊48上的E點(diǎn)處.

①若AC=LAB=2,求。E的長(zhǎng);

②若8C=m，SAED=a,求DE的長(zhǎng)（用含相，。的式子表示）.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?廣東?佛山市南海區(qū)石門(mén)實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖，R/E1ABC中，0C=9O°,平分0ABe

交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，若AB=12,CD=3,則SDBE的面積為（）

A.10B.12C.9D.6

2.（2022?山東棗莊?二模）如圖，4、BI、C7分別平分ZBAC、ZABC、ZACB,ID±BC,

ABC的周長(zhǎng)為18,ID=3,則ABC的面積為（）

A

A.18B.30C.24D.27

3.（2022?福建,模擬預(yù)測(cè)）如圖，外的一點(diǎn)尸到三邊所在直線的距離相等，若SBAC=

80°,貝靦

4.（2022?山東濟(jì)寧?二模）如圖，3E是NABD的平分線，C尸是NACD的平分線，BE與CF

交于G,若NB￡>C=140。，ZBGC=110°,則NA=.

5.（2022?蘇州九年級(jí)期中）如圖，在，ABC中，ZF=16°,BD、CD分別平分NABC、

ZACB,M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長(zhǎng)線上，BE、CE分別平分ZMBC、ZBCN,

BF、C/分別平分NEBC、NECQ,則NA=.

6.（2020?山東九年級(jí)期中）如圖、NABC的平分線BF與AABC中NACB的外角/ACG的平分

線CF相交于點(diǎn)F.過(guò)尸作DF〃BC,交AB于。，交AC于E,若B0=8,DE=3,則CE的長(zhǎng)度為

7.（2021?福建中考真題）如圖，A。是,A8C的角平分線.若NB=90。,BD=6，則

點(diǎn)D到AC的距離是.

8.（2022?北京?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，回ABC中，I3A=7O。，BD、CE為角平分線，則回BOC='

9.（2021?湖北荊門(mén)市?八年級(jí)期末）如圖，在,..ABC中，NABC和NACB的平分線相交于

點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作麻〃3C交A6于E,交AC于Q，過(guò)點(diǎn)。作0。，AC于。，下列結(jié)論：

@ZBOC=90°+-ZA：②點(diǎn)。到..A4C各邊的距離相等；③EF=BE+CF：④

2

AD=（AB+AC-BC）；⑤設(shè)OD=nz,AE+AF=n,則5AA跳■=〃掰；其中正確的

結(jié)論是.

10.（2022?北京市宣武外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題.

三角形內(nèi)角平分線定理:三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成

比例.

已知：如圖，I3ABC中，AD是角平分線.

證明：過(guò)C作CEEIDA,交BA的延長(zhǎng)線于E.

ffll=EE,02=03.

EIAD是角平分線，

001=02.

aS3=l3E.

I3AC=AE.

又回CEIBDA,

ABBD

0------------.

ACDC

⑴上述證明過(guò)程中，步驟①處的理由是

⑵用三角形內(nèi)角平分線定理解答：已知，EIABC中，AD是角平分線，AB=7cm,AC=4cm,

BC=6cm,則BD的長(zhǎng)為cm.

11.（2022湖北中考模擬）如圖，已知EL48c的周長(zhǎng)是21,OB,OC分別平分13ABe和0AC2,

OZBBC于。，且。0=4,E1ABC的面積是

A

12.（2022?云南昆明八年級(jí)期末）（1）如圖1,在AABC中，ZABC的平分線BF交AC于

F,過(guò)點(diǎn)F作DF〃BC,求證：BD=DF.（2）如圖2,在AABC中，ZABC的平分線BF與

ZACB的平分線CF相交于F,過(guò)點(diǎn)F作DE//BC,交直線AB于點(diǎn)D,交直線AC于點(diǎn)

E.那么BD,CE,DE之間存在什么關(guān)系？并證明這種關(guān)系.（3）如圖3,在AABC中，Z

ABC的平分線BF與/ACB的外角平分線CF相交于F,過(guò)點(diǎn)F作DE〃BC,交直線AB于

點(diǎn)D,交直線AC于點(diǎn)E.那么BD,CE,DE之間存在什么關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想.（不需

證明）

13.（2022?江陰市學(xué)九年級(jí)月考）如圖，AABC中，ZABC,/ACB的平分線交于。點(diǎn)，過(guò)0

點(diǎn)作EF〃BC交AB,AC于E,F.（1）如圖①，當(dāng)AB=AC時(shí)圖中有個(gè)等腰三角形.（2）

如圖②，寫(xiě)出EF與BE、CF之間關(guān)系式，并說(shuō)明理由.（3）如圖③，若AABC中NABC的平

分線BO與三角形外角平分線8交于O,過(guò)。點(diǎn)作OE〃BC交AB于E,交AC于F.EF與

BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由.

A

A

A

三

B①CB②CB③C

14.（2022?江西?九年級(jí)期中）如圖，在.A3c中，已知：A3=10,AC=8,A￡>是它的角

平分線，ZJELAC且OE=4.（1）求，A3c的面積;（2）在解完（1）問(wèn)后，小智經(jīng)過(guò)

反思后發(fā)現(xiàn)T—小慧發(fā)現(xiàn)—-,請(qǐng)判斷小智和小慧的發(fā)現(xiàn)是否正確?若正

^△ACZ）ACACCl

確，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若錯(cuò)誤，請(qǐng)說(shuō)明理由.

A

A

BDC

專題08角平分線的重要模型（二）非全等類

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn),

需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，,

本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）

【模型解讀】

雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）指的是當(dāng)三角形的內(nèi)角（外角）的平分線相交時(shí)，可以導(dǎo)出平

分線的夾角的度數(shù)。

【模型圖示】

條件：BD,。是角平分線.

結(jié)論：ZBDC=90°+-ZAZBDC=90°--ZA

22

ZBDC=-ZA

2

1.（2022?廣東?九年級(jí)專題練習(xí)）8P是0ABe的平分線，CP是0ACB的鄰補(bǔ)角的平分線,

0ABp=20°,0ACP=5O°,貝幅尸=()

A

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出國(guó)尸

的度數(shù).

【詳解】SBP是AABC中0ABe的平分線，CP是0ACB的外角的平分線，

0EL4BP=EICBP=2OO,EL4CP=EIMCP=50o,

H3PCM是ABCP的外角，fflP=0PCM-0CBP=5Oo-2Oo=3O°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：一個(gè)三角形的外角等

于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

2.（2022?山東?濟(jì)南中考模擬）如圖1,在"BC中，勖AC的平分線AD與回BCA的平分線

CE交于點(diǎn)O.

⑴求證：0AOC=90°+1-0ABC；

（2）當(dāng)0ABC=9O。時(shí)，且40=3。。（如圖2）,判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加

以證明.

【答案】（1）見(jiàn)解析

4

（2）yAE+CZ）=AC,證明見(jiàn)解析

【分析】（1）求出勖AC+IBBCA=180Ja4BC,根據(jù)角平分線定義求出回04>,田氏4（7,0（9CA=

2

^BCA,即可求出回。AC+回。CA的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；

2

(3)在AC上分別截取AM、CN,使CN=CD,連接。跖ON,證AAEOa3AM0,

△OCOE0NC。，推出I3EOA=EIMOA,EICON=EICOQ,OD=ON,求出0MON=[3MOA=45°,根據(jù)

角平分線性質(zhì)求出MK=ML,據(jù)此計(jì)算即可求解.

(1)證明：00ABC+0ACB+0BAC=18O",

fflBAC+0BCA=18O°-0ABC,

EBBAC的平分線AD與EI8CA的平分線CE交于點(diǎn)0.

S3\OAC=-WAC,0OCA=-0BCA,

22

fflOAC+0OC4=-(0BAC+0BCA)=-(18O°-0ABC)=90°--EL4BC,

222

EBAOC=180°-(EOAC+0OCA)=180°-(9O°--0ABC),

2

即0Aoe=90°+；0ABC；

(2)解：iAE+CD=AC,

3

證明：如圖2,a3AOC=90°+，EL4BC=135°,

2

EHEOA=45°,

在AC上分別截取AM、CN,使AAf=AE,CN=CD,連接OM,ON,

'AE=AM

則在EIAEO和MM。中，*/￡A。=ZMAO,

AO=AO

0EL4EOB0AW,

同理M>coaaNCO,

^EOA=^MOA,^CON^COD,0D=0N,

甌EOA=0MOA=EICON=iaCOO=45°,

HWON=EIMOA=45°,

過(guò)用作MAHA。于K,MZJ3ON于3

B

^\MK=MLf

SAOM=-AOxMK,SMON=-ONxML,

A22A

團(tuán)A。=SMOM,

M...........-----------------

ONS^ON

團(tuán)-----=----

SAMONMN

AOAM

團(tuán)---=----，

ONMN

^\AO=3OD,

44

MTV=—AM=—AE,

她N+NCSC,

4

團(tuán)一AE+CD=AC.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義和性質(zhì)，三角形的面積，三角

形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2022?蓬溪縣九年級(jí)月考）某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾

角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究.（1）如圖1,在△4BC中，N/BC與N/CB的平

分線交于點(diǎn)P,NA=64°,則NBPC=；（2）如圖2,△/BC的內(nèi)角N/CB的平分線與

△八BC的外角N/AB。的平分線交于點(diǎn)E.其中NZ=a,求N8EC.（用a表示NBEC）；（3）如

圖3,NCBM、NBC/V為△八8c的外角，/CBM、NBC/V的平分線交于點(diǎn)Q,請(qǐng)你寫(xiě)出NBQC

與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（4）如圖4,ZVIBC外角NCBM、NBC/V的平分線交于點(diǎn)

Q,ZA=64°,ZCBQ,NBCQ的平分線交于點(diǎn)P,則NBPC=°,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,

NECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R,則NR=°.

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不

相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用/A與N1表示出/2,再利用/E與/I表示出N2,于是得到結(jié)

論；(3)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出

NEBC與/ECB,然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；(4)結(jié)合(1)(2)(3)

的解析即可求得.

【解答】解：(1),；PB、PC分另IJ平分/ABC和NACB,

11

：.ZPBC=^ZJ\BC,ZPCB=^ZACB(角平分線的性質(zhì))，

ZBPC+ZPBC+ZPCB=180°(三角形內(nèi)角和定理)，

111

AZBPC=180°-(NPBC+NPC8)=180°-(-ZABC+^ZACB)=180°一亨(ZABC+

222

ZACB)

iill

=180°(180°-/A)=180°-90°+^/A=90°+^Z^=90°+|X64°=122°.故

答案為:122°；

11

(2)：BE是/ABD的平分線，CE^ZACB：.ZECB=^ZACB,ZECD=^ZABD.

：NAB。是△ABC的夕卜角，NEB。是△BCE的夕卜角，/.ZABD=ZA+ZACB,ZEBD=ZECB+

ZBEC,

111

(NA+NACB)

:.NEBDF2/ABD"2=ZBEC+2ZECB,^-ZA+ZECB=ZECB+ZBEC,

11

AZBEC=/4=aa；

1

(3)結(jié)論/3QC=90°-訝/八.

與NBCN是△ABC的夕卜角，：.ZCBM^ZA+ZACB,NBCN=NA+/ABC,

11

VBQ,CQ分別是/ABC與/ACB外角的平分線，：.ZQBC=^CZA+ZACB),ZQCB=(Z

A+ZABC).

VZQBC+ZQCB+ZBQC=180°,

11

：.ZBQC=180°-ZQBC-ZEQB=180°CZA+ZACB)一)(ZA+ZABC\

1111

=180°-]N4—2(ZA+ZABC+ZACB)=180°-^ZA~90°=90°~2ZA;

11

(4)由(3)可知，NBQC=90。一衣4=90°—>64。=58。,

由(1)可知NBPC=90°+1ZBQC=90°+]X58。=119°；

1

由(2)可知，ZR=2ZBQC=29°故答案為119,29.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?遼寧沈陽(yáng)?九年級(jí)期中)閱讀下面的材料，并解決問(wèn)題

'圖1'圖2c圖30B圖4GB圖5°

(1)已知在0ABe中，0A=6O°,圖1-3的0ABe的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)。，請(qǐng)直接

寫(xiě)出下列角度的度數(shù)，如圖1,回。=;如圖2,回。=；如圖3,回。=；

(2)如圖4,點(diǎn)。是0ABe的兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：00=90°+1a4

(3)如圖5,在0ABe中，0ABe的三等分線分別與0ACB的平分線交于點(diǎn)。/。2，若團(tuán)1=115°,

02=135°,求0A的度數(shù).

【答案】⑴120°,30°,60。⑵見(jiàn)解析⑶70。

【分析】(1)由0A的度數(shù)，在0ABe中，可得13ABe與EACB的和，又BO、C。是內(nèi)角平分

線或外角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)進(jìn)而可求得

答案；

(2)由0A的度數(shù)，在0ABe中，可得0ABe與0AC8的和，又BO、CO是角平分線，利用角

平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可證得結(jié)論；

(3)先分別求出0ABe與0AC8的度數(shù)，即可求得0A的度數(shù).

(1)①在圖1中：回8。平分0ABC,CO平分0AC8

00OBC=|EIABC,0OCB=1[3ACB

^EOBC+^OCB

=；(EL4BC+0ACB)

二(180°-EIBAC)

=?(180°-60°)=60°

00(9=180°-(0OBC+0OCB)=120°；

②在圖2中：

回8。平分0A8C,CO平分EIAC。

00OBC=10ABC,回OCD=；0ACQ

EHACZ)=0A8C+0AEHOCZ)=J_(EL4BC+0A)

2

00OC￡)=BOBC+0O

00O=0OCD-0OBC=J_EIABC+0A2C=J_EIA=30o.

2222

③在圖3中：國(guó)2。平分I3E2C,CO平分回BCD

00OBC=y0EBC,0OCB=y0BCZ)

E0OBC+[?IOCB=1(.^EBC+^iBCD)=1(EIA+0ACS+0BCD)=1(0A+18O°)=1(60°+180°)

255萬(wàn)

=120°

000=180°-(0OBC+0OCB)=60".故答案為：120°,30°,60°.

(2)證明：回。2平分EABC,OC平分0ACB,

SEOBC=^SABC,^OCB=\^ACB,

00=180°-(0OBC+0OCB)=180°-；(0ABC+a4CB)=180°-y(18O°-0A)=90°+?fflA.

(3)設(shè)0/18。2=回。280/=回。/BC=a,0ACO2=I28co2=￡，

回2a+夕=180°-115°=65°,a+夕=180°-135°=45°解得：a=20°,§=25。

a3ABC+0AC8=3a+2W=6O°+5O°=llO°,00A=7O".

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí),

熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及基本圖形是解題的關(guān)鍵.

模型2.角平分線加平行線等腰現(xiàn)（角平分線+平行線），

【模型解讀】

1）過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形；2）有角平分線時(shí)，過(guò)角一邊

上的點(diǎn)作角平分線的平行線，交角的另一邊的直線于一點(diǎn)，也可構(gòu)造等腰三角形。

【模型圖示】

已知如圖1,0P為NAC化的角平分線，點(diǎn)P角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為

過(guò)點(diǎn)P作PM//OB或。揚(yáng)//。4即可.即有AOMP是等腰,三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.

已知如圖2,0c平分NAQB,點(diǎn)。是。4上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。E7/0C交的反向延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,則OD=OE.

注意：平行線、角平分線、等腰△知二推一即：

①是的角平分線=>△ABC是等腰三角形；

?AD//BC+AABC是等腰三角形nAC是NBA。的角平分線；

③AC是/BAD的角平分線+△ABC是等腰三角形04?！˙C。

常見(jiàn)模型：

A

A

1.(2022?安徽?二模)如圖，在，ABC中，ZABC與ZACB的平分線8。，CO交于點(diǎn)。，過(guò)

點(diǎn)D作EF〃BC,分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.若BE=2,CF=3,BC=9,則AE的長(zhǎng)為

()

A.2.5B.4.5C.3.75D.6.75

【答案】A

【分析】由角平分線的性質(zhì)得到44瓦＞=ZD8C,ZACD=ZDCB,由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得

到NEDB="BC,NFDC=NDCB,進(jìn)而證明BE=￡D,CF=DF,解得EF的長(zhǎng)，再根據(jù)

平行線判定AEFABC,最后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答.

【詳解】解：8。平分NABC,CD平分ZACB,:.ZABD=ZDBC,ZACD=ZDCB

EF//BCZ.EDB=ZDBC,ZFDC=ZDCB

:.ZABD=ZEDB,ZACD=ZFDCBE=ED,CF=DF

BE=2,CF=3.\EF=DE+DF=BE+FC=2+3=5

ApFF5

EF//BCAEFABC/.——=——=—

ABBC9

AE=|.?.4AE=10，AE=2.5故選:

A.

AE+BE

【點(diǎn)睛】本題考查等角對(duì)等邊、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.（2022,重慶?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，0ABe中，0ABe與0AC8的平分線交于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)P

作￡）E〃8C交A8于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,那么下列結(jié)論：①SBOE和回CEF都是等腰三角形；

②DE=BD+CE；③MOE的周長(zhǎng)等于A3與AC的和；@BF>CF；⑤若04=80。，則回8FC

=130°.其中正確的有—.（填正確的序號(hào)）

【答案】①②③⑤

【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系即可求解.

【詳解】①回BF是13ABe的角平分線，CF是回ACB的角平分線，00ABF=0CBF,0ACF=0BCF,

0DE0BC,00CBF=0BFD,0BCF=0EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

00ABF=0BFD,0ACF=0EFC,0DB=DF,EF=EC,

EEBDF和團(tuán)CEF都是等腰三角形，回①選項(xiàng)正確，符合題意；

②回DE=DF+FE,DB=DF,EF=EC,EIDE=DB+CE,回②選項(xiàng)正確，符合題意；

③H3ADE的周長(zhǎng)為=人口+。￡,

0DE=DB+CE,00ADE的周長(zhǎng)為=AD+DB+AE+CE=AB+AC,回③選項(xiàng)正確，符合題意；

④根據(jù)題意不能得出BF>CF,回④選項(xiàng)不正確，不符合題意；

⑤回若IBA=80°,fflABC+0ACB=18Oo-0A=18Oo-8Oo=lOO°,

00ABF=EICBF,SACF=0BCF,00CBF+0BCF=1xl00°=50°,

2

00BFC=18O°-ECBF-[3BCF=18OO-5O<,=13OO,

回⑤選項(xiàng)正確，符合題意；故答案為：①②③⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直

線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)

鍵.

4.（2022?沈陽(yáng)市九年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）已知：如圖，NACD是AABC的一個(gè)外角，CE、CF分別

平分/ACB、ZACD,EF//BC,分別交AC、CF于點(diǎn)H、F求證：EH=HF

【分析】由角平分線的定義可得/BCE=NACE,ZACF=ZDCF,由平行線的性質(zhì)可得NBCE

=ZCEF,ZCFE=ZDCF,利用等量代換可得/ACE=/CEF,ZCFE=ZACF,根據(jù)等角對(duì)等

邊即可求得EH=CH=HF,進(jìn)而求得EH=HF.

【詳解】：CE、CF分別平分/ACB、ZACD,/BCE=NACE,/ACF=/DCF,

VEF//BC,NBCE=NCEF,ZCFE=ZDCF,

/.ZACE=ZCEF,ZCFE=ZACF,；.EH=CH,CH=HF,AEH=HF.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等角對(duì)等邊求解是解題

關(guān)鍵.

4.（2022?河南南陽(yáng)?三模）閱讀理解：如圖（1）,0ABC中，以B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

畫(huà)弧，與BC和BA分別交于點(diǎn)x,y再分別以點(diǎn)x,y為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

2

兩弧交于點(diǎn)。，作射線BD與AC交干點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)￡作￡尸〃交于尸.

觀察思考：依據(jù)上述操作可，①0A8E與團(tuán)C8E的大小關(guān)系為；②斷與EF的數(shù)

關(guān)系為.

拓展延伸：如圖（2）在a48c中，0ABe的平分線與三角形外角0ACG的平分線交于點(diǎn)。，

過(guò)。作。尸〃BC分別交a。4?于點(diǎn)E,F,請(qǐng)判斷EF與B凡CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)

明理由.

問(wèn)題解決：如圖（3）,在ABCD中，ZA=30°,AD=2^3,連接應(yīng)），將0ABO沿8。折疊，

使點(diǎn)A落在直線DC上方的A'處，當(dāng)回A'OC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB的長(zhǎng)度.

AAA'

【答案】觀察思考：?0AB￡=0CBE；Q)BF=EF；拓展延伸：3A=EF+EC;問(wèn)題解決:

4或6

【分析】觀察思考：①根據(jù)作圖可知班是ZABC的角平分線，可得NABE=NCBE,

②根據(jù)EF//8C可得NCBE=NEEB,等量代換可得，0AB￡=0CBE；等角對(duì)等邊即可得,

BF=EF;

拓展延伸：方法同上可得BF=FD,ED=EC,進(jìn)而可得8尸=砂+EC；

問(wèn)題解決:分ZA'DC=90。和NDAC=90。，兩種情形,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì),

勾股定理求解即可求得的長(zhǎng)

【詳解】觀察思考：①根據(jù)作圖可知班是ZABC的角平分線，/ASE=NCBE,

②EFIIBCNCBE=ZFEB,

0ABE=0CB￡；QNFBE=NFEB,:.BF=EF；

拓展延伸：BF=EF+ECQBD平分ZABC:.ZABD=NCBD

DF//BCZFDB=ADBC:.ZFBD=ZFDB:.FD=FB

CD平分ZACGZACD=ZGCD

DF//BC■-ZEDC=ZDCGZACD=NEDC

:.EC=ED:.FD=EF+ED=EF+ECBF=EF+EC

問(wèn)題解決：當(dāng)/A'DC=90。時(shí)，如圖，延長(zhǎng)AO交48于點(diǎn)E,

四邊形AC3D是平行四邊形.1AB//。。AD±DC..A'E±AB

折疊，A!D=AD,A!B=ABZA=30°N￡A'B=30°

EB=^A'B:.EB=^AB：,AE=EBZA=30°,AD=2A/3DE=^

=12呵一（國(guó)=3：.AB=2AE=6

HAADE中,AE=YAD2-DE2

當(dāng)NDTC=90。時(shí)，如圖,

四邊形ABCD是平行四邊形.?.CD=AB

折疊，，AD=AD,A!B=AB.-.DC=AB

四邊形ADBC是矩形ZADB=ZADB=90°

ZA=30°,AD=273,DB=^AB

AD=y/AB2-DB2=y/3DB,QB=2AB=2DB=4

綜上所述，4?的長(zhǎng)為4或6

【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的

性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

模型3.面積模型

【模型解讀與圖示】

已知條件：BG、CG、AG分別是/ABC、/ACB、/8AC的平分線

輔助線：過(guò)點(diǎn)G作GOLBC、GELAC.FGLAB（求面積需要高，作垂直得到高）

結(jié)論：SAABC=iDG-CAABC

1.（2022?內(nèi)蒙古?九年級(jí)期末）如圖，ABC的三邊AB,BC,C4長(zhǎng)分別是20,30,40,

其三條角平分線將ABC分為三個(gè)三角形，則SAB。：S"入切等于（）

B

A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：5

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)。作于O,OELAB于E,Ob于尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得：OE=OF=OD,依據(jù)三角形面積公式求比值即

可得.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作ODLAC于。，于E,。尸，BC于尸，

.點(diǎn)。是三條角平分線交點(diǎn)，\OE=OF=OD,

:.SABO：SABCO：SCAO=-ABOE■^BCOF■-ACOD=AB:BC:AC=2:3:4,故

選：C.

【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)及三角形面積公式，理解角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.(2022?安徽滁州?二模)如圖，ABC的面積為限m,壬汨的平分線BP與AP垂直，垂足

為點(diǎn)尸，AB:BC=2:5,那么的面積為cm2.

【答案】

【分析】延長(zhǎng)AP交BC于T,根據(jù)3尸，AT,3尸為NABC的角平分線，可得

ZBPA=ZBPT=90°,NPBA=NPBT,可證.BPANBPT(ASA),則有叢=pr,得

S^BPA=，4BPT，S4ACP=S^CPT>即有以取=京4小=；石，再根據(jù)AB:3c=2:5,且ZABC的

角平分線到AB與3C的距離相等，可得以4*:5-g=2：5,貝|5人的=|54皿=：6,再根據(jù)

S公APC=S/^ABC-S&ABP-SMBC求解即可

【詳解】如圖延長(zhǎng)AP交BC于T,

0BP±AT,0ZBPA=ZBPr=9O0,

EIBP為NABC的角平分線，aNPBA=NPBT,

在△BR4與8PT中，

ZPBA=NPBT

<BP=BP^.BPA^.BPT（A5A）,^\PA=PT,

ZBPA=ZBPT

2

二qq-c=^73（cm

國(guó)S^BPA一°/\BPT，°AACP-*/\CPT，u冏°sAPBC

團(tuán)AB:5C=2:5,且NABC的角平分線到A5與5c的距離相等,

團(tuán)^^ABP:S^PBC=2.5,

12

貝J5AABP=15APBC=-|X^-73=173（cm）.

S=SSS2

^^APC^ABC-^ABP-^PBC=73-15/3-^3=A/3（cm）.

故答案為：^A/3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查面積及等積變換的知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?湖北武漢?九年級(jí)期中）問(wèn)題背景：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.若一個(gè)

多邊形的每個(gè)內(nèi)角角平分線都交于一點(diǎn)。，點(diǎn)。叫做該多邊形的內(nèi)心，點(diǎn)。到其中一邊的距

離叫做廠.

問(wèn)題解決：如圖1,在面積為S的ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,內(nèi)心。到邊AC的

7q

距離為小試說(shuō)明〃=-.

a+b+c

類比推理：如