山西省太原市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)

第一學(xué)期高二年級(jí)期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線在軸和軸上的截距分別為（）A.，2 B.，2 C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用橫縱截距的意義求解即得.解析】直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線在軸和軸上的截距分別為，2.故選：B2.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.， B.， C.，3 D.，3【答案】A【解析】【分析】利用給定圓方程直接求出圓心坐標(biāo)及半徑即得.【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：A3.已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)合漸近線方程求解即可.【解析】因?yàn)殡p曲線方程為：，所以漸近線方程為：.故選：D4.平行直線l1：3x－y＝0與l2：3x－y＋＝0的距離等于（）A.1 B.0 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線間的距離公式直接得出結(jié)論.【解析】l1、l2的距離為＝1.故選：A.【小結(jié)】本題考查平行線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題型.5.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即可求解.【解析】解：拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，如圖所示：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故選：C6.已知直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為，則該雙曲線的焦距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立解方程，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后列式計(jì)算即可.【解析】聯(lián)立，消去得，所以，此時(shí)方程的解為，所以，解得，符合，所以雙曲線的焦距為.故選：B.7.在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)交點(diǎn)為，代入橢圓方程做差，然后整理可得直線斜率，利用點(diǎn)斜式可得直線方程.【解析】因?yàn)?，故點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)的直線恒與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，又，兩式相減得，整理得，所以以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，即.故選：C.8.如圖，直線經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且，則直線的斜率為（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，利用拋物線的定義以及直角三角函數(shù)可求.【解析】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可得，在直角三角形中，，，所以.故選：A.二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線：與：交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為B.點(diǎn)到直線的距離為1C.不論實(shí)數(shù)取何值，直線：都經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.是直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再逐項(xiàng)計(jì)算、判斷即得.【解析】由，解得，則點(diǎn)，對(duì)于A，到原點(diǎn)距離，A正確；對(duì)于B，到直線的距離，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，直線不過(guò)點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線的斜率，因此是直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)，D正確.故選：AD10.當(dāng)時(shí)，方程表示的軌跡可能是（）A.兩條直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)所取范圍分類討論，即可求得不同情況下對(duì)應(yīng)的軌跡.【解析】對(duì)方程，若，則，即，此時(shí)該方程表示兩條直線與；若，此時(shí)該方程表示橢圓；若，此時(shí)該方程表示雙曲線；綜上所述，該方程表示的軌跡可能是兩條直線、橢圓或雙曲線.故選：ABD.11.橢圓的方程為，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)且在第一象限.若是等腰三角形，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.點(diǎn)到軸距離為 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，確定焦點(diǎn)三角形的有關(guān)結(jié)論.【解析】如圖：因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以：，，.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，且是等腰三角形，離心率，所以必是：.根據(jù)橢圓的定義，，故A正確；在中，，，由余弦定理：，故B錯(cuò)誤；由，到軸的距離為：，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為雙曲線上一點(diǎn)，平分，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 B.C.雙曲線的焦距為 D.點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為【答案】BCD【解析】【分析】不妨設(shè)為雙曲線的右支上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)三角形全等進(jìn)而得，，再結(jié)合雙曲線的定義，中位線定理得，由離心率求出可得雙曲線方程可判斷ABC；設(shè)，則，求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積可判斷D.【解析】對(duì)于A，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，因?yàn)槠椒?，且，所以，在中，，所以，所以，，即為線段的中點(diǎn)，可得為的中位線，根據(jù)雙曲線的定義，因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，即，離心率為，可得，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉榈闹形痪€，，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以雙曲線的焦距為，故C正確；對(duì)于D，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以漸近線方程為，即，設(shè)，則，即，點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為，故D正確.故選：BCD.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題解題的關(guān)鍵在于延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，結(jié)合幾何關(guān)系得到為的中點(diǎn)，進(jìn)而求得雙曲線的解析式.三、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得答案.【解析】由拋物線方程，可知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦準(zhǔn)距，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：14.已知圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則圓的方程是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得圓心坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得半徑，則問(wèn)題得解.【解析】根據(jù)題意，，即圓心坐標(biāo)為；則圓的半徑，故所求圓的方程為：.故答案為：.15.已知是拋物線上的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，則________.【答案】【解析】【分析】過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，過(guò)作的垂線，垂足分別為，結(jié)合條件及拋物線的定義可求得，在中，利用余弦即可求出結(jié)果.【解析】由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，過(guò)作的垂線，垂足分別為．如圖所示，由題意知，因，易知，又點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：，解得，在中，，，由余弦定理得，所以，故答案為：.16.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，若橢圓上兩點(diǎn)，滿足，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_______.【答案】##【解析】【分析】向量坐標(biāo)化得Q的坐標(biāo)，代入橢圓方程計(jì)算求解離心率.【解析】根據(jù)橢圓性質(zhì)，，，則，則點(diǎn)位于軸上，設(shè)，，其中，設(shè)，由于，得：，即，代入橢圓得：，即，解得離心率.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共52分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，.（1）求邊所在直線的方程；（2）判斷的形狀.【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.（2）求出直線的斜率，結(jié)合（1）中信息及兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算判斷即得.【小問(wèn)1解析】依題意，直線的斜率，則直線的方程為：，化簡(jiǎn)得：.【小問(wèn)2解析】直線的斜率，顯然，即，是直角三角形，又，則是等腰三角形，所以是等腰直角三角形.18.已知圓的方程為，點(diǎn)在圓內(nèi).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列出不等式，求解不等式即得.（2）按切線斜率存在與否分類求出切線方程.【小問(wèn)1解析】圓：的圓心，半徑由點(diǎn)在圓內(nèi)，得，解得，所以的取值范圍為.【小問(wèn)2解析】顯然點(diǎn)在圓外，圓的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心到直線的距離為2，則直線是過(guò)點(diǎn)的圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為，由，解得，切線方程為，即，所以圓的切線方程為或.19.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求雙曲線方程；（2）若斜率為的直線經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得雙曲線半焦距c，再求出即可.（2）求出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立求出弦長(zhǎng)，再借助雙曲線定義求解即得.【小問(wèn)1解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的半焦距，由，得，所以雙曲線的方程為.【小問(wèn)2解析】由（1）知，直線的方程為，設(shè)，，由，得，顯然，則，，，因此，所以的周長(zhǎng)為.20.已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用拋物線的焦半徑公式，可求得p的值，即得答案；（2）設(shè)出直線CD的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論.【小問(wèn)1解析】由題意點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.得，解得，故拋物線的方程為.【小問(wèn)2解析】證明：設(shè)直線的方程為，，，由，得，，.，，即直線關(guān)于x軸對(duì)稱，故.21.已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓分別交于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，和的面積分別為和，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出滿足的等量關(guān)系，求得，則方程得解；（