專題10 難點探究專題：相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略（原卷版）

專題10難點探究專題：相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 6【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】 15【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】 21【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】 26【考點六相似三角形中的動點探究應(yīng)用問題】 34【典型例題】【類型一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】例題：如圖，在中，，，，若點是邊上的一個動點，以每秒3個單位的速度按照從運(yùn)動，同時點從以每秒1個單位的速度運(yùn)動，當(dāng)一個動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，設(shè)運(yùn)動時間為，若△BPQ與相似，則的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，．點從點開始沿邊向終點以的速度移動；點從點開始沿邊向終點以的速度移動．有一點到達(dá)終點，另一點也停止運(yùn)動．若、同時出發(fā)，運(yùn)動時間為．

(1)用含t的代數(shù)式分別表示線段和的長；(2)當(dāng)t為何值時，與相似？2．（2023秋·廣東佛山·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，，，，現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿向點方向運(yùn)動，動點從點出發(fā)，沿線段也向點方向運(yùn)動，如果點的速度是，點的速度是，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，就停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒．

(1)求為多少秒時，的面積為為(2)當(dāng)為多少時，以點為頂點的三角形與相似.3．如圖，矩形中，，點E為的中點，動點F從點A出發(fā)沿射線方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動，連接．過點作的平行線交射線于點H，設(shè)點F的運(yùn)動時間為t（不考慮、、在一條直線上的情況）．

(1)填空：當(dāng)___________時，，此時___________；(2)當(dāng)與相似時，求t的值．【類型二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點E是的動點，若，則的長為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，，，，點D在邊AC上，若是以為腰的等腰三角形，則的長為．2．（2023春·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點A的坐標(biāo)為，點P在矩形的內(nèi)部，點E在邊上，且滿足，當(dāng)△是等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為．3．（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，，分別為邊，上的動點，且，作，垂足為，連接．當(dāng)是直角三角形時，的長為．

4．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考三模）如圖，在中，分別為上的點，沿直線將折疊，使點B恰好落在上的D處，當(dāng)恰好為直角三角形時，的長為．5．（2023·江蘇鹽城·校考一模）如圖，在中，，，，點是邊上一動點，過點作交邊于點，將沿直線翻折，點落在線段上的處，連接，當(dāng)為等腰三角形時，的長為．【類型三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】例題：（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點P是邊上的動點，過點P作交于點H，則的最小值為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，D是的中點，P是邊上的一動點，則的最小值為．2．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，點在邊上從向點運(yùn)動，速度為，同時點在邊上從向點運(yùn)動，速度為．連接、，設(shè)、交于點，取的中點，則的最小值為．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，E是BC中點，CD上有一動點M，連接、，將沿著翻折得到，連接，，則的最小值為．

【類型四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023春·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形一邊在直線l上，P是直線l上點A左側(cè)的一點，，E為邊上一動點，過點P，E的直線與正方形的邊交于點F，連接，若設(shè)，的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點P為邊上一動點，過點P作直線，交折線于點Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

2．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動點從點出發(fā)沿方向在和上勻速移動，連接交或的延長線于，記點移動的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．3．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點C，D是位于直線下方的上的一動點（點D不與點C重合），連接，過點A作，過點B作于點E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．

B．

C．D．

【類型五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點B的坐標(biāo)為，現(xiàn)有兩動點P，Q，點P以每秒3個單位的速度從點O出發(fā)向終點A運(yùn)動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)向終點B運(yùn)動，連接，，．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

(1)點P的坐標(biāo)為______，點Q的坐標(biāo)為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請判斷四邊形的面積是否會隨時間t的變化而變化，并說明理由；(3)若A，P，Q為頂點的三角形與相似時，請求出t的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運(yùn)動D點，則點G的運(yùn)動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

2．（2023春·江西鷹潭·九年級?？茧A段練習(xí)）綜合與探究問題提出：數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個問題：在中，，于點D，E為上的一動點，與相交于點G，點F在上，于點E，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

特例故知：（1）勤奮小組從特殊情況入手：如圖1，，E為的中點，則與的數(shù)量關(guān)系為______．變式探究（2）希望小組受此啟發(fā)，作了如下改變：如圖2，將（1）中“”改為“”，其他條件不變，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展提高（3）經(jīng)過前兩個小組的探究，智慧小組將該問題的條件更一般化：如圖3，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【類型六相似三角形中的動點探究應(yīng)用問題】例題：（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）探究完成以下問題：【初步認(rèn)識】(1)如圖1，在四邊形中，，連接，，過點作交的延長線于點．求證：；【特例研究】(2)如圖2，若四邊形中，，（1）中的其它條件不變，取，的中點M，F(xiàn)，連接．①求證：；②N為的中點，連接，猜想與的位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，對角線，相交于點O，E是射線上一動點，過點作交射線于點，當(dāng)，，時，請直接寫出的長．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照小慧提供時思路，利用圖（2）請證明上述結(jié)論；（2）A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點，點P是直線外一動點，平分；【嘗試應(yīng)用】①若，，延長至D，使，若的長為定值，請求出這個值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點在l外運(yùn)動時，使為定值，直接寫出的長為___________（用含m、n的式子表示）．2．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

(1)操作推斷如圖1，點P是正方形紙片的邊的中點，沿