《第六章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)-核心素養(yǎng)梳理》章末復習

2/2《第六章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)》章末復習知識網(wǎng)絡建構核心素養(yǎng)梳理本單元主要涉及數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學建模、邏輯推理等核心素養(yǎng).1.數(shù)學抽象核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在得出冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)在形式上比較接近，二者的區(qū)別在于變量的位置，冪函數(shù)變量在底數(shù)位置，指數(shù)函數(shù)變量在指數(shù)位置；對數(shù)函數(shù)可以從對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的角度，通過指數(shù)函數(shù)認識對數(shù)函數(shù).此外冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)與冪、指數(shù)和對數(shù)型函數(shù)易混淆，冪、指數(shù)和對數(shù)型函數(shù)是指由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)經(jīng)過四則運算或者復合而構成的函數(shù)，需要準確把握定義，才可突破這一難點.2.數(shù)學運算核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)應用中，會用到前面學習過的指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)，指數(shù)式的運算首先注意化簡順序，一般負指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為分數(shù)指數(shù)冪運算，其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的.對數(shù)運算首先注意公式應用過程中范圍的變化，前后要等價，熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并結合對數(shù)恒等式、換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.3.直觀想象核心素養(yǎng)反映在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象及其應用中，學生要熟練掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象.并且會畫函數(shù)圖象需掌握函數(shù)圖象的以下畫法：畫法應用范圍畫法技巧基本函數(shù)法基本初等函數(shù)利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的有關知識，畫出特殊點（線），直接根據(jù)函數(shù)的圖象特征作出圖象變換法與基本初等函數(shù)有關聯(lián)的函數(shù)弄清所給函數(shù)與基本函數(shù)的關系，恰當?shù)剡x擇平移、對稱等變換方法，由基本函數(shù)圖象變換得到函數(shù)圖象描點法未知函數(shù)或較復雜的函數(shù)列表、描點、連線4.數(shù)學建模核心素養(yǎng)反應在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的實際應用問題，需掌握步驟和原則：（1）建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題的步驟：①對實際問題進行抽象概括，確定變量之間的主、被動關系，并用分別表示；②建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時要注意函數(shù)的定義域；③求解函數(shù)模型，并還原為實際問題的解.（2）建模的三個原則：①簡化原則：建立模型，要對原型進行一定的簡化，抓主要因素、主變量，盡量建立較低階、較簡便的模型.②可推演原則：建立的模型一定要有意義，既能對其進行理論分析，又能計算和推理，且能推演出正確結果.③反映性原則：建立的模型必須真實地反映原型的特征和關系，即應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明現(xiàn)實問題的功能，能回到具體研究對象中去解決問題.5.邏輯推理核心素養(yǎng)主要反應在利用函數(shù)性質(zhì)比較大小及解不等式問題.需要利用函數(shù)的性質(zhì)，進行合理的推理論證，得出結果.具體的方法技巧有：（1）數(shù)（式）的大小比較及常用的方法.比較兩數(shù)（式）或幾個數(shù)（式）大小問題是本章的一個重要題型，主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間量法、作差法、作商法等.（2）數(shù)的大小比較常用的技巧：①當需要比較大小的兩個實數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.②比較多個數(shù)的大小時，先利用“0”和“1”作為分界點，即把它們分為“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.例1、對于實數(shù)a和b，定義運算，則式子的值為_________解析，由定義.答案9素養(yǎng)解讀本例體現(xiàn)了數(shù)學抽象和數(shù)學運算核心素養(yǎng).本題求解的關鍵是將定義的抽象運算理解清楚，實際上定義運算的本質(zhì)是將較小的數(shù)加1后與另一數(shù)做乘積，因此式子的值需要知道兩個因式的大小，根據(jù)指、對數(shù)運算可知小于，從而可以順利求值.例2、已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象都過，如果，那么_________.解析設，代入得，解得..又..答案2素養(yǎng)解讀本例體現(xiàn)了數(shù)學運算核心素養(yǎng)，求解的關鍵是熟練掌握指對冪函數(shù)的定義和運算.例3、已知函數(shù)則__________.解析由題意得.答案素養(yǎng)解讀本例體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).通過函數(shù)求值將對數(shù)、指數(shù)運算融合在一起，需要學生有較強的運算能力，熟悉指數(shù)、對數(shù)運算的公式.例4、函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.解析方法一：當時，，故可排除選項A；由，得，即函數(shù)的定義域為，排除選項B；又易知函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，故選C.方法二：函數(shù)的圖象可認為是由的圖象經(jīng)過如下步驟變換得到的：（1）函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象；（2）把函數(shù)的圖象關于y軸對稱得到函數(shù)的圖象；（3）把函數(shù)的圖象向右平移1個單位，即可得到的圖象，故選C.答案C素養(yǎng)解讀本例體現(xiàn)了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).1.識別函數(shù)的圖象可以從以下幾個方面入手：（1）單調(diào)性：函數(shù)圖象的變化趨勢；（2）奇偶性：函數(shù)圖象的對稱性；（3）特殊點對應的函數(shù)值.2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過定點的實質(zhì)是.例5、在同一直角坐標系中，函數(shù)的圖象可能是（）A.B.C.D.解析冪函數(shù)的圖象不過點，故A錯；B項中由對數(shù)函數(shù)的圖象知，而此時冪函數(shù)的圖象應是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯；C項中由對數(shù)函數(shù)的圖象知，而此時冪函數(shù)的圖象應是增長越來越快的變化趨勢，故C錯；D對.答案D素養(yǎng)解讀本例體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng).例6、某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物已知該動物的數(shù)量y（只）與引人時間x（年）的關系為，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100，則到第7年它們的數(shù)量為（）A.300B.400C.600D.700解析將代入中，可得，解得，則.所以當時，.答案A素養(yǎng)解讀本例體現(xiàn)了數(shù)學建模和數(shù)學運算核心素養(yǎng).讀懂題意，選擇合適的函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解，是解決此類問題的通法.例7、某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時刻x（時）的函數(shù)關系為，其中a為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且.（1）若，求一天中哪個時刻污水污染指數(shù)最低；（2）規(guī)定每天中的最大值作為當天的污水污染指數(shù)，要使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過3，則調(diào)節(jié)參數(shù)a應控制在什么范圍內(nèi)？解析（1）求一天中哪個時刻污水污染指數(shù)最低實際就是求函數(shù)的最小值；（2）通過解不等式求出參數(shù)a應控制在什么范圍內(nèi).答案（1）因為，則.當時，，得，即.所以一天中早上4點該廠的污水污染指數(shù)最低.（2）設，則當時，.則，則顯然在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則，，因為，則有解得.又.故調(diào)節(jié)參數(shù)a應控制在內(nèi).素養(yǎng)解讀本例體現(xiàn)了數(shù)學建模和數(shù)學運算核心素養(yǎng).例8、設，則（）A.B.C.D.解析因為，所以.因為，所以，即，所以.答案C