28.2 解直角三角形及其應(yīng)用 同步練習_第1頁
28.2 解直角三角形及其應(yīng)用 同步練習_第2頁
28.2 解直角三角形及其應(yīng)用 同步練習_第3頁
28.2 解直角三角形及其應(yīng)用 同步練習_第4頁
28.2 解直角三角形及其應(yīng)用 同步練習_第5頁
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文檔簡介

28.2解直角三角形及其應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1.如圖,某飛機于空中A處探測到目標C,此時飛行高度AC=1200m,從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α=30°,則飛機A與指揮臺B的距離是(

)A.1200 B.12003 C.2400 D.2.如圖,電線桿AB的中點C處有一標志物,在地面D點處測得標志物的仰角為32°,若點D到電線桿底部點B的距離為a米,則電線桿AB的長可表示為(

)A.a(chǎn)sin32° B.2atan32°米 C.2a·tan32°米 D.3.我國航天事業(yè)捷報頻傳,神州十五號于2022年11月29日晚11點08分在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空,震撼人心.當神州十五號從地面到達點A處時,在P處測得A點的仰角∠DPA為30°,A與Р兩點的距離為12千米;它沿鉛垂線上升到達B處時,此時在Р處測得B點的仰角∠DPB為45°,則神州十五號從A處到B處的距離AB的長為(A.6?62 B.62?6 C.6?64.一次數(shù)學活動課上,老師帶領(lǐng)學生去測一條東西流向的河寬,如圖所示,小明在河北岸點A處觀測到河對岸有一點C在A的南偏西60°的方向上,沿河岸向西前行20m到達B處,又測得C在B的南偏西45°的方向上,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),幫助小明計算出這條河的寬度.(結(jié)果保留根號)這條河的寬度是(

)mA.103+10 B.103+20 C.5.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D是AC邊上一點,連接BD,點E是線段BD延長線上一點,連接AE,CE.使∠CAE=∠CBE,過點C作CF⊥CE,交BD于點F.若∠ABC=α0°<α<90°,則線段AE與之間的數(shù)量關(guān)系為()A.AE=BF?tanα B.BF=AE?tanα C.BF=AE?cosα D.BF=AE?sinα二、填空題6.一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光,航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故.一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號,測得事故船在它的北偏東方向,馬上以40海里每小時的速度前往救援.海警船大約需_____小時到達事故船C處,(sin53°≈0.8,7.如圖,學校操場上有一棵與地面垂直的樹,數(shù)學小組兩次測量它在地面上的影子,第一次是陽光與地面成30°時,第二次時陽光與地面成60°,兩次測量的影長相差6米,則樹高___________米.8.如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44cm,則高AD約為________cm.(結(jié)果精確到0.01cm,參考數(shù)據(jù):sin27°≈0.45,cos29.如圖,在△ABC中,,sinB=23,∠C=45°10.已知在△ABC中,∠A、∠B是銳角,且sinB=513,tanA=1三、解答題11.某大型超市為緩解停車難問題,建筑設(shè)計師提供了樓頂停車場的設(shè)計示意圖.按規(guī)定,停車場坡道口上坡要張貼限高標志,以便告知車輛能否安全駛?cè)耄埜鶕?jù)如圖,求出汽車通過坡道口的限高DF的長(結(jié)果精確到0.1m,sin28°≈0.47,cos212.體溫檢測是疫情防控中的一項重要工作,某公司設(shè)計了一款紅外線體溫檢測儀,該設(shè)備通過探測人體紅外輻射的能量對進入測溫區(qū)域的人員進行快速體溫檢測.如圖,AC是水平地面,其中AB是測溫區(qū)域,測溫儀安裝在豎直標桿PC上的點D處,設(shè)備安裝高度CD為2米,若該測溫儀能識別體溫的最大張角為72°(即∠ADC=72°),能識別體溫的最小張角為26.6°(即∠BDC=26.6°).求:測溫區(qū)域AB的長度.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,cos72°≈0.32,tan72°≈3.00,13.為緩解交通擁堵,某區(qū)擬計劃修建一地下通道,該通道一部分的截面如圖所示(圖中地面AD與通道BC平行),通道水平寬度BC為8米,,通道斜面CD的長為6米,通道斜面AB的坡度i=1:2.(1)求通道斜面AB的長為米;(2)為增加市民行走的舒適度,擬將設(shè)計圖中的通道斜面CD的坡度變緩,修改后的通道斜面DE的坡角為30°,求此時的長.(結(jié)果保留根號)14.如圖、為了測量一條河流的寬度,一測量員在河岸邊相距180m的P和Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置,T在P的正南方向,在Q的南側(cè)南偏西50°的方向,求河寬(結(jié)果精確到1m、參考數(shù)據(jù):,cos50°≈0.64,tan15.如圖,已知在△ABC中,AB=5,BC=7,.(1)求;(2)求AC.能力提升練一、單選題1.如圖,在ΔABC中,∠ACB=60°,∠B=45°,AB=6,CE平分∠ACB交AB于點E,則線段CE的長為(A.3+1 B.2 C.2 D.6-22.某公園有一座古塔,古塔前有一個斜坡CD,坡角∠DCE=42°,斜坡高DE=1.8米,DQ是平行于水平地面BC的一個平臺、小華想利用所學知識測量古塔的高度AB,她在平臺的點G處水平放置一平面鏡,AB⊥BC,MN⊥DO她沿著GQ方向移動,當移動到點N時,剛好在鏡面中看到古塔頂端點A的像,這時,測得小華眼睛與地面的距離MN=1.5米,GN=2米,BC=16米,DG=8米,已知,根據(jù)題中提供的相關(guān)信息,古塔的高度AB約為(參考數(shù)據(jù):sin42°≈0.67,cos42A.19.5 B.19.7 C.21.3 D.22.13.為了消防安全,學校在校園廣場步行梯(折線ABCD)處新建了學生宿舍安全通道(折線AEF),其剖面示意圖如圖所示,廣場步行梯AB,CD的坡角都是32°,且AB=6米,CD=4米,水平部分BC=2.4米;新建安全通道中水平部分米,步梯EF的坡度(即坡角的正切值).新建安全通道頂端點F到廣場步行梯底部所在水平面DG的距離DF的長約為(

)(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):,,)A.8.8米 B.9.0米 C.9.4米 D.9.6米4.5G時代,萬物互聯(lián).互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能與各行業(yè)應(yīng)用深度融合,助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展,共建智慧生活.網(wǎng)絡(luò)公司在改造時,把某一5G信號發(fā)射塔MN建在了山坡BC的平臺CD上,已知山坡BC的坡度為1:2.4.身高1.6米的小明站在A處測得塔頂M的仰角是,向前步行6米到達B處,再延斜坡BC步行6.5米至平臺點C處,測得塔頂M的仰角是50°,若A,B,C,D,M,N在同一平面內(nèi),且A,B和C,D,N分別在同一水平線上,則發(fā)射塔MN的高度約為(

)(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,,sin50°≈0.77,A.17.3米 B.18.9米 C.65.0米 D.66.6米5.如圖,重慶歡樂谷的摩天輪是西南地區(qū)最高的摩天輪,號稱“重慶之限”.摩天輪是一個圓形,直徑AB垂直水平地面于點C,最低點B離地面的距離BC為1.6米.某天,媽媽帶著洋洋來坐摩天輪,當她站在點D仰著頭看見摩天輪的圓心時,仰角為37o,為了選擇更佳角度為洋洋拍照,媽媽后退了49米到達點D’,當洋洋坐的橋廂F與圓心O在同一水平線時,他俯頭看見媽媽的眼睛,此時俯角為42o,已知媽媽的眼睛到地面的距離為1.6米,媽媽兩次所處的位置與摩天輪在同一平面上,則該摩天輪最高點A離地面的距離AC約是(

)(參考數(shù)據(jù):sin37o≈0.60,tan37o≈0.75,sin42o≈0.67,tan42o≈0.90)A.118.8米 B.127.6米 C.134.4米 D.140.2米二、填空題6.如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于點E,平分∠ABC,交AD于點F,AE與交于點P,連接EF,PD.若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,則tan∠ADP的值為________.7.如圖1是一種可折疊手機平板支架,由托板、支撐板和底座組成,手機放置在托板上,圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖.量得托板長AB=17cm,支撐板長CD=12cm,底座長DE=13cm,托板AB固定在支撐板頂端點C處,托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動,支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動,當∠ACD=2∠D=60°時,點A到直線DE的距離是點C到直線DE的距離的2倍.為了觀看舒適,把AB繞點C旋轉(zhuǎn),再將CD繞點D旋轉(zhuǎn),使點B與點8.圖1是一張可調(diào)節(jié)靠椅,調(diào)節(jié)示意圖如圖2,已知兩支腳AB=AC=10分米,BC=12分米,O為AC上固定連接點,靠背OD=10分米.檔位為Ⅰ檔時,OD∥AB.檔位為Ⅱ檔時,OD⊥AC.當靠椅由Ⅰ檔調(diào)節(jié)為Ⅱ檔時,EF=________分米.9.長嘴壺茶藝表演是一項深受群眾喜愛的民俗文化,是我國茶文化的一部分,所用到的長嘴壺更是歷史悠久,源遠流長.圖①是現(xiàn)今使用的某款長嘴壺放置在水平桌面上的照片,圖②是其抽象示意圖,l是水平桌面,測得壺身AD=BC=3AE=24cm,AB=30cm,CD=22cm,且CD∥AB.壺嘴EF=80cm,∠FED=70°.(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,tan80°≈5.6(1)FE與水平桌面l的夾角為________°.(2)如圖③,若長嘴壺中裝有若干茶水,繞點A轉(zhuǎn)動壺身,當恰好倒出茶水時,EF∥l,此時點F下落的高度為________cm.(結(jié)果保留一位小數(shù)).10.如圖1是某品牌自行車,圖2是其示意圖.已知∠ABC=120°,∠CBR=15°,AB∥CD,BD=3DK,AB=2BC=12dm,自行車坐墊FG∥BR,平行地面,垂直地面,自行車輪子半徑等于5dm,則A點到所在直線的距離為______dm,坐墊FG到地面的距離為____________dm.(已知sin15°=三、解答題11.在△ABC中,,,為銳角且tanC=1.(1)求△ABC的面積;(2)求AB的值;(3)求cos∠12.一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上,這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實線所示,底座為△ABC,點B、C、D在同一條直線上,測得∠ACB=90°,∠ABC=60°,,∠BDE=75°,其中一段支撐桿,另一段支撐桿,(1)求BC的距離;(2)求支撐桿上的E到水平地面的距離EF是多少?(用四舍五入法對結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,13.數(shù)學興趣小組想利用所學的知識了解某廣告牌的高度,已知CD=2m.經(jīng)測量,得到其它數(shù)據(jù)如圖所示.其中∠CAH=30°,∠DBH=45°,AB=10m,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算GH的長.(結(jié)果保留根號)14.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為BC邊上一點,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點,且∠AFE=(1)求證:△ADF(2)連接AE,當△ABE為直角三角形時,AB=8,AD=63,AF=43,sin15.如圖1是一個水龍頭的示意圖,類似于字母“F”的形狀,將其抽象成如圖2所示的截面圖形,線段是一根固定的軸,線段AB,CD均垂直于線段,出水口在點D處,AB為自來水開關(guān),AB⊥BC即為無水狀態(tài),將AB繞點B逆時針向上轉(zhuǎn)動即是開水.若已知BC=10cm,AB=20cm,CD=30cm.(參考數(shù)據(jù),精確到0.1,sin34°=0.56,cos34°=0.83,2(1)求出水龍頭不開時,點A與出水口的距離;(2)當BA向上旋轉(zhuǎn)34°時,即是最大出水量,求出最大出水量時,點A與出水口的距離.16.學習過三角函數(shù),我們知道在直角三角形中,一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定,因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的,可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系,我們定義:等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖,在△ABC中,AB=AC,頂角A的正對記作sadA,這時sadA=底邊(1)sad60°的值為___________A.12

B.1

C.32(2)對于0°<A<180°,∠A的正對值sadA的取值范圍是___________.(3)已知sinα=35,其中α17.【閱讀理解】:如圖,在Rt△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊,∠C=90°,其外接圓半徑為.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義:sinA=ac,sinB=b【探究活動】:如圖,在銳角△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊,其外接圓半徑為,那么:asinA___________bsinB【初步應(yīng)用】:事實上,以上結(jié)論適用于任意三角形.在∠ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊.已知∠B=30°,∠C=45°,b=2,求c【綜合應(yīng)用】:如圖,在某次數(shù)學實踐活動中,小瑩同學測量一棟樓AB的高度,在A處用測角儀測得地面點C處的俯角為45°,點D處的俯角為15°,B,C,D在一條直線上,且C,D兩點的距離為100m,求樓AB的高度.(參考數(shù)據(jù):3≈1.7,sin18.某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD,其中AB∥CD,大壩頂上有一瞭望臺PC,PC正前方有兩艘漁船M,N.觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角α為31°,漁船N的俯角β為45°.已知MN所在直線與PC所在直線垂直,垂足為E,且(1)求兩漁船M,N之間的距離(結(jié)果精確到1米);(2)已知壩高24米,壩長100米,背水坡AD的坡度i=1:0.25,為提高大壩防洪能力,請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進行加固,壩底BA加寬后變?yōu)锽H,加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75,完成這項工程需填筑土石方多少立方米?(參考數(shù)據(jù):,)拓展培優(yōu)練一、單選題1.如圖,一條河兩岸互相平行,為測得此河的寬度PT(PT與河岸PQ垂直),測P、Q兩點距離為m米,∠PQT=α,則河寬PT的長度是(

A.msinα B.mcosα C.2.如圖,某數(shù)學興趣小組測量一棵樹CD的高度,在點A處測得樹頂C的仰角為45°,在點B處測得樹頂C的仰角為60°,且A,B,D三點在同一直線上,若AB=16m,則這棵樹CD的高度是(

)A.8(3?3)m B.8(3+3)m C.3.如圖,某博物館大廳電梯的截面圖中,AB的長為12米,AB與AC的夾角為α,則高BC是(

)A.12sinα米 B.12cosα米 C.12sin4.如圖,坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB,當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下,在斜坡上的樹影BC長為m,則大樹AB的高為(

)A.mcosα?sinα B.msin5.如圖,一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時,頂部已經(jīng)淡然無存,但底部未曾受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形,且每一個側(cè)面與地面成60°角,則金字塔原來高度為(

)A.120m B.60m C.605m D.120m6.數(shù)學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖,他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°,再向前70m至D點,又測得最高點A的仰角為58°,點C,D,B在同一直線上,則該建筑物AB的高度約為(

)(精確到1m.參考數(shù)據(jù):sin22°≈0.37,tan22°≈0.40,A.28m B.34m C.37m D.46m二、填空題7.一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向,距離燈塔30海里的A處,它沿北偏東30°方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處,此時與燈塔P的距離約為________海里.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈35,8.2022年4月16日9時56分,神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸,某一時刻觀測點D測得返回艙底部C的仰角∠CDE=45°,降落傘底面圓A點處的仰角∠ADE=46°12′.已知半徑OA長14米,拉繩AB長50米,返回艙高度BC為2米,這時返回艙底部離地面的高度CE約為______米(精確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin46°12'≈0.72,cos49.在△ABC中,AB=36,AC=6,∠B=45°10.如圖,我海軍艦艇在某海域C島附近巡航,計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛.測得C島在A島的北偏東50°方向,在B島的北偏西40°方向.A,B之間的距離為80nmile,則C島到航線AB的最短距離是_____nmile.(參考數(shù)據(jù):2≈1.4,311.在Rt△ABC中,∠C=90°,有一個銳角為60°,AB=6,若點P在直線AB上(不與點A,B重合),且∠PCB=30°,則AP12.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,直尺的一邊與BC重合,另一邊分別交AB,AC于點D,E.點B,C,D,E處的讀數(shù)分別為15,12,0,1,則直尺寬BD的長為_________.三、解答題13.某班同學在一次綜合實踐課上,測量校園內(nèi)一棵樹的高度.如圖,測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°,C處測得樹頂D的仰角為37°(點A,B,C在一條水平直線上),已知測量儀高度AE=CF=1.6米,AC=28米,求樹BD的高度(結(jié)果保留小數(shù)點后一位.參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).14.隨著我國科學技術(shù)的不斷發(fā)展,科學幻想變?yōu)楝F(xiàn)實.如圖1是我國自主研發(fā)的某型號隱形戰(zhàn)斗機模型,全動型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機亮點之一.圖2是垂尾模型的軸切面,并通過垂尾模型的外圍測得如下數(shù)據(jù),BC=8,CD=2,∠D=135°,∠C=60°,且AB∥CD,求出垂尾模型ABCD的面積.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3

15.位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑,是為紀念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻身的革命烈士的而興建的,某校數(shù)學興趣小組利用無人機測量紀念塔的高度.無人機在點A處測得紀念塔頂部點B的仰角為45°,紀念塔底部點C的俯角為61°,無人機與紀念塔的水平距離AD為10m,求紀念塔的高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin61°≈0.87,cos61°≈0.48,tan61°≈1.80)16.知識再現(xiàn):如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c.∵sinA=∴c=asin∴a(1)拓展探究:如圖2,在銳角ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c.請?zhí)骄縜sinA,bsin(2)解決問題:如圖3,為測量點A到河對岸點B的距離,選取與點A在河岸同一側(cè)的點C,測得AC=60m,∠A=75°,∠C=60°.請用拓展探究中的結(jié)論,求點A到點B的距離.17.閱讀下列材料:在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,求證:asin證明:如圖1,過點C作CD⊥AB于點D,則:在中,CD=asinB在中,CD=bsin∴asin根據(jù)上面的材料解決下列問題:(1)如圖2,在ΔABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,求證:;(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會,張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化,已知∠A=67°,∠B=53°,AC=80米,求這片區(qū)域的面積.(結(jié)果保留根號.參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.818.如圖,計劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF.在點E處測得山頂A的仰角為45°,在距E點80m的C處測得山頂A的仰角為30°,從與F點相距10m的D處測得山頂A的仰角為45°,點C、E、F、D在同一直線上,求隧道EF的長度.19.勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴,凌駕于滔滔黃河之上,使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔AB垂直于橋面BC于點B,其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°,兩固定點D、C之間的距離約為33m,求主塔AB的高度(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):2≈1.41,20.某數(shù)學興趣小組準備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度(旗桿底端有臺階).該小組在C處安置測角儀CD,測得旗桿頂端A的仰角為30°,前進8m到達E處,安置測角儀EF,測得旗桿頂端A的仰角為45°(點B,E,C在同一直線上),測角儀支架高CD=EF=1.2m,求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度.(結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù):≈1.7)

28.2解直角三角形及其應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1.如圖,某飛機于空中A處探測到目標C,此時飛行高度AC=1200m,從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α=30°,則飛機A與指揮臺B的距離是(

)A.1200 B.12003 C.2400 D.【答案】C【詳解】解:由題意得,∠B=α=30°,∠∴AB=2AC=2400m,答:飛機A與指揮臺B的距離為2400m,故選C.2.如圖,電線桿AB的中點C處有一標志物,在地面D點處測得標志物的仰角為32°,若點D到電線桿底部點B的距離為a米,則電線桿AB的長可表示為(

)A.a(chǎn)sin32° B.2atan32°米 C.2a·tan32°米 D.【答案】C【詳解】解:∵BD=a,∠∴BC=BD·tan∵點C是AB的中點,∴AB=2BC=2a·tan故選:C.3.我國航天事業(yè)捷報頻傳,神州十五號于2022年11月29日晚11點08分在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空,震撼人心.當神州十五號從地面到達點A處時,在P處測得A點的仰角∠DPA為30°,A與Р兩點的距離為12千米;它沿鉛垂線上升到達B處時,此時在Р處測得B點的仰角∠DPB為45°,則神州十五號從A處到B處的距離AB的長為()千米.A.6?62 B.62?6 C.6?6【答案】D【詳解】解:∵在Rt△ADP中,∠∴PD=AP?cos∠APD=6∵在Rt△BDP中,∠∴BD=PD?∴AB=BD?AD=6故選D.4.一次數(shù)學活動課上,老師帶領(lǐng)學生去測一條東西流向的河寬,如圖所示,小明在河北岸點A處觀測到河對岸有一點C在A的南偏西60°的方向上,沿河岸向西前行20m到達B處,又測得C在B的南偏西45°的方向上,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),幫助小明計算出這條河的寬度.(結(jié)果保留根號)這條河的寬度是(

)mA.103+10 B.103+20 C.【答案】A【詳解】解:如圖,過點C作CD⊥AB于設(shè)CD=xm,在Rt△∵∠CBD=45°∴BD=CD=xm.在Rt△ACD中,∠DAC=90°?60°=30°,AD=AB+BD=20+xm∴CD=tan∴x=3解得x=103∴CD=103故選:A.5.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D是AC邊上一點,連接BD,點E是線段BD延長線上一點,連接AE,CE.使∠CAE=∠CBE,過點C作CF⊥CE,交BD于點F.若∠ABC=α0°<α<90°,則線段AE與之間的數(shù)量關(guān)系為()A.AE=BF?tanα B.BF=AE?tanα C.BF=AE?cosα D.BF=AE?sinα【答案】A【詳解】解:∵∠BCA=∴∠BCF=∵∠CAE=∴△BCF∴AEBF∵∠ABC=α∴tanα∴AE=BF·tan故選:A.二、填空題6.一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光,航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故.一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號,測得事故船在它的北偏東方向,馬上以40海里每小時的速度前往救援.海警船大約需_____小時到達事故船C處,(sin53°≈0.8,【答案】5【詳解】解:如圖,C作CD⊥AB交AB延長線于D,在Rt△∵∠ADC=90°,∴CD=1在Rt△CBD中,∠∴(海里),∴海警船到達事故船C處所需的時間大約為:50÷40=5故答案為:547.如圖,學校操場上有一棵與地面垂直的樹,數(shù)學小組兩次測量它在地面上的影子,第一次是陽光與地面成30°時,第二次時陽光與地面成60°,兩次測量的影長相差6米,則樹高___________米.【答案】3【詳解】解:如圖所示,在Rt△ABD中,∵tan∴BD=AB在Rt△ACB中,∵tan∴BC=AB∵BC?BD=6,∴3AB3∴AB=33故答案為:338.如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44cm,則高AD約為________cm.(結(jié)果精確到0.01cm,參考數(shù)據(jù):sin27°≈0.45,cos2【答案】11.22【詳解】解:∵AB=AC,AD⊥BC,BC=44cm,∴BD=CD=1∵在Rt△ABD中,tan∠∴AD=tan故答案為:11.22.9.如圖,在△ABC中,,sinB=23,∠C=45°【答案】2【詳解】解:如圖,過點A作AD⊥BC于點D,∵,sinB∴AD=sin∵∠C=45°,AD∴AC=AD故答案為:2210.已知在△ABC中,∠A、∠B是銳角,且sinB=513,tanA=1【答案】220【詳解】解:如圖:過點C作AB的垂線,垂足為點D.,設(shè)CD=5x,,,可設(shè)CD=y,,,,,由,得,則CD=5x=10故SΔABC故答案是:220三、解答題11.某大型超市為緩解停車難問題,建筑設(shè)計師提供了樓頂停車場的設(shè)計示意圖.按規(guī)定,停車場坡道口上坡要張貼限高標志,以便告知車輛能否安全駛?cè)耄埜鶕?jù)如圖,求出汽車通過坡道口的限高DF的長(結(jié)果精確到0.1m,sin28°≈0.47,cos2【答案】4.2m【詳解】解:在Rt△ABC中,∠A=28°,AC=10∴BC=ACtan∴BD=BC?CD=5.3?0.5=4.8,在RtΔBDF中,∠BDF=∠A=28°,BD=4.8,∴DF=BDcos答:坡道口的限高DF的長是4.2m.12.體溫檢測是疫情防控中的一項重要工作,某公司設(shè)計了一款紅外線體溫檢測儀,該設(shè)備通過探測人體紅外輻射的能量對進入測溫區(qū)域的人員進行快速體溫檢測.如圖,AC是水平地面,其中AB是測溫區(qū)域,測溫儀安裝在豎直標桿PC上的點D處,設(shè)備安裝高度CD為2米,若該測溫儀能識別體溫的最大張角為72°(即∠ADC=72°),能識別體溫的最小張角為26.6°(即∠BDC=26.6°).求:測溫區(qū)域AB的長度.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,cos72°≈0.32,tan72°≈3.00,【答案】測溫區(qū)域AB的長度約為5米【詳解】解:在Rt△ACD中,∠∴AC=CD?在Rt△BCD中,∠∴BC=CD?∴AB=AC?BC≈5米,∴測溫區(qū)域AB的長度約為5米.13.為緩解交通擁堵,某區(qū)擬計劃修建一地下通道,該通道一部分的截面如圖所示(圖中地面AD與通道BC平行),通道水平寬度BC為8米,,通道斜面CD的長為6米,通道斜面AB的坡度i=1:2.(1)求通道斜面AB的長為米;(2)為增加市民行走的舒適度,擬將設(shè)計圖中的通道斜面CD的坡度變緩,修改后的通道斜面DE的坡角為30°,求此時的長.(結(jié)果保留根號)【答案】(1)7.4米;(2)8+32【詳解】(1)過點A作AN⊥CB于點N,過點D作DM⊥BC于點∵,∴∠DCM=45°∵在Rt△CMD中,∠CMD=90°,CD=6∴DM=CM=2∴AN=DM=32∵通道斜面AB的坡度i=1:2∴tan∠∴BN=2∴AB=A即通道斜面AB的長約為7.4米;(2)∵在Rt△MED中,∠EMD=90°,∴EM=3∴EC=EM?CM=36∴BE=BC?EC==8?314.如圖、為了測量一條河流的寬度,一測量員在河岸邊相距180m的P和Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置,T在P的正南方向,在Q的南側(cè)南偏西50°的方向,求河寬(結(jié)果精確到1m、參考數(shù)據(jù):,cos50°≈0.64,tan【答案】河寬約為151m【詳解】解:在Rt△,∠PTQ=50°,∴PT=答:河寬約為151m.15.如圖,已知在△ABC中,AB=5,BC=7,.(1)求;(2)求AC.【答案】(1)1;(2)【詳解】(1)解:過點A作AD⊥BC于點D,則sinB∵AB=5,∴AD=4,∴BD=A∴CD=BC?BD=7?3=4,∴tan∠(2)解:由(1)知,在中,AC=A能力提升練一、單選題1.如圖,在ΔABC中,∠ACB=60°,∠B=45°,AB=6,CE平分∠ACB交AB于點E,則線段CE的長為(A.3+1 B.2 C.2 D.6-2【答案】B【詳解】如圖,作AD⊥BC于D,作EF⊥BC于F,在Rt△ABD中,BD=AD=AB?在Rt△ADC中,∠DAC=90°?∠ACB=30°∴BC=在Rt△BEF中,設(shè)BF=EF=x,在Rt△EFC中,∠FECCF=EF?由CF+BF=BC得,3x+x=∴x=1∴EC故答案為:B.2.某公園有一座古塔,古塔前有一個斜坡CD,坡角∠DCE=42°,斜坡高DE=1.8米,DQ是平行于水平地面BC的一個平臺、小華想利用所學知識測量古塔的高度AB,她在平臺的點G處水平放置一平面鏡,AB⊥BC,MN⊥DO她沿著GQ方向移動,當移動到點N時,剛好在鏡面中看到古塔頂端點A的像,這時,測得小華眼睛與地面的距離MN=1.5米,GN=2米,BC=16米,DG=8米,已知,根據(jù)題中提供的相關(guān)信息,古塔的高度AB約為(參考數(shù)據(jù):sin42°≈0.67,cos42A.19.5 B.19.7 C.21.3 D.22.1【答案】C【詳解】解:在Rt△CDE中,tan∠DCE=DE∴0.9=1.8∴CE=2,延長GD交AB于點H,則BH=DE=1.8(米),DH=BE=BC+CE=18(米),HG=DH+DG=26(米),∵∠AHG=∠MNG=90°,∠AGH=∠MGN,∴△AHG∽△MNG,∴AHMN=HG∴AH=19.5(米),∴AB=AH+HB=21.3(米).答:古塔的高度AB為21.3米.故選:C.3.為了消防安全,學校在校園廣場步行梯(折線ABCD)處新建了學生宿舍安全通道(折線AEF),其剖面示意圖如圖所示,廣場步行梯AB,CD的坡角都是32°,且AB=6米,CD=4米,水平部分BC=2.4米;新建安全通道中水平部分米,步梯EF的坡度(即坡角的正切值).新建安全通道頂端點F到廣場步行梯底部所在水平面DG的距離DF的長約為(

)(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):,,)A.8.8米 B.9.0米 C.9.4米 D.9.6米【答案】D【詳解】解:如圖所示:過B作BH⊥AE于H,延長BC交DF于M,設(shè)AE交DF于N,則MN=BH,HN=BM,BM∥DG,∴∠DCM=∠CDG=32°,在Rt△CDM中,sin∠DCM=AGGD,cos∠DCM=CM∴DM=CD?sin32°≈4×0.53=2.12(米),CM=CD?cos32°≈4×0.85=3.4(米),∴HN=BM=BC+CM=2.4+3.4=5.8(米),在Rt△ABH中,∠A=32°,sinA=BHAB,cosA=AH∴MN=BH=AB?sin32°≈6×0.53=3.18(米),AH=AB?cos32°≈6×0.85=5.1(米),∴AN=AH+HN=5.1+5.8=10.9(米),∴EN=AN?AE=10.9?3.9=7(米),∵步梯EF的坡度i≈0.62=FNEN∴FN≈0.62×7=4.34(米),∴DF=DM+MN+FN=2.12+3.18+4.34≈9.6(米),故選:D.4.5G時代,萬物互聯(lián).互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能與各行業(yè)應(yīng)用深度融合,助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展,共建智慧生活.網(wǎng)絡(luò)公司在改造時,把某一5G信號發(fā)射塔MN建在了山坡BC的平臺CD上,已知山坡BC的坡度為1:2.4.身高1.6米的小明站在A處測得塔頂M的仰角是,向前步行6米到達B處,再延斜坡BC步行6.5米至平臺點C處,測得塔頂M的仰角是50°,若A,B,C,D,M,N在同一平面內(nèi),且A,B和C,D,N分別在同一水平線上,則發(fā)射塔MN的高度約為(

)(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,,sin50°≈0.77,A.17.3米 B.18.9米 C.65.0米 D.66.6米【答案】B【詳解】解:如圖,設(shè)C點處垂線與B處視線交點為F,過點F作FL⊥MN于L,過點E作EI⊥MN于I,延長MN交AB的延長線于H,設(shè)MN=xm,CN=ym,AE=CF=1.6m在Rt△∵CGBG=∴BC=13∵BC=6.5m,∴BG=6m,CG=5在Rt△MFL中,tan5∵ML=MN?LN=MN?FC=x?1.6m,∴x?1.6y=1.2,則在Rt△EIM中,tan3∵EI=AH=AB+BG+GH=(12+y)m,MI=MN+NI=MN+NH?IH=x+2.5?1.6=(x+0.9)m,∴x+0.912+y=0.75,則∴56解得x=284故選:B.5.如圖,重慶歡樂谷的摩天輪是西南地區(qū)最高的摩天輪,號稱“重慶之限”.摩天輪是一個圓形,直徑AB垂直水平地面于點C,最低點B離地面的距離BC為1.6米.某天,媽媽帶著洋洋來坐摩天輪,當她站在點D仰著頭看見摩天輪的圓心時,仰角為37o,為了選擇更佳角度為洋洋拍照,媽媽后退了49米到達點D’,當洋洋坐的橋廂F與圓心O在同一水平線時,他俯頭看見媽媽的眼睛,此時俯角為42o,已知媽媽的眼睛到地面的距離為1.6米,媽媽兩次所處的位置與摩天輪在同一平面上,則該摩天輪最高點A離地面的距離AC約是(

)(參考數(shù)據(jù):sin37o≈0.60,tan37o≈0.75,sin42o≈0.67,tan42o≈0.90)A.118.8米 B.127.6米 C.134.4米 D.140.2米【答案】B【詳解】解:連接EB,∵D′E′=DE=BC=1.6∴E′,E,B在同一條直線上,且E′B⊥AC,過F做FH⊥BE于H,則四邊形BOFH是正方形,∴BH=FH=OB,設(shè)AO=OB=r,∴FH=BH=r,∵∠OEB=37°,∴tan37°=OBBE∴BE=43∴EH=BD-BH=13∵EE′=DD′=49,∴E′H=49+13∵∠FE′H=42°,∴tan42°=FHE解得r≈63,∴AC=2×63+1.6=127.6米,故選:B.二、填空題6.如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于點E,平分∠ABC,交AD于點F,AE與交于點P,連接EF,PD.若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,則tan∠ADP的值為________.【答案】2【詳解】解:四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD//BC∴∠AFB=∵∠ABF=∴∠ABF=∴AB=AF同理AB=BE,∴四邊形ABEF是菱形;∴AE∵∠ABC=60°∴∠ABF=30°,∠BAP=,∴AP=2如圖,過點P作PM⊥AD于M,∴PM=3,AM=1∵AD=6∴DM=5∴PD=故答案為:277.如圖1是一種可折疊手機平板支架,由托板、支撐板和底座組成,手機放置在托板上,圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖.量得托板長AB=17cm,支撐板長CD=12cm,底座長DE=13cm,托板AB固定在支撐板頂端點C處,托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動,支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動,當∠ACD=2∠D=60°時,點A到直線DE的距離是點C到直線DE的距離的2倍.為了觀看舒適,把AB繞點C旋轉(zhuǎn),再將CD繞點D旋轉(zhuǎn),使點B與點【答案】204【詳解】解:如圖,過點A作于F,延長AB,DE交于點,作CG⊥DH,垂足為G,∵∠ACD=2∴∠CDH=30°∴∠H=∴∠H=∴CH=CD=12cm∵CG⊥∴,即點C到直線DE的距離為6cm∴點A到直線DE的距離為12cm,即AF=12∵CG⊥∴CG∥∴△CHG∴CGAF=CH∴AH=24cm∴AC=AH?CH=12cm,旋轉(zhuǎn)后,如圖:過點A作AG⊥BD于G,交CD于.∵BC=5cm,∴BC∴△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°∴∠D+∵∠A+∴∠A=∴cosA在Rt△AGB中,AG=AB即:點A到直線DE的距離為20413故答案為:204138.圖1是一張可調(diào)節(jié)靠椅,調(diào)節(jié)示意圖如圖2,已知兩支腳AB=AC=10分米,BC=12分米,O為AC上固定連接點,靠背OD=10分米.檔位為Ⅰ檔時,OD∥AB.檔位為Ⅱ檔時,OD⊥AC.當靠椅由Ⅰ檔調(diào)節(jié)為Ⅱ檔時,EF=________分米.【答案】2【詳解】如圖,作AN⊥BC于點N,交PO于G點,延長GO,交DE于H,交D'F于M,根據(jù)PO∥BC,DO∥AB,得到∠DOH=∠ABN,從而得到cos∠DOH=35,解直角三角形即可得到OH的長度;再根據(jù)OD'⊥AC,得到∠COM=∠ACB=∠D'∵AB=AC=10,BC=12,∴BN=CN=6,AN=1∴cos∠由題意得:PO∥BC,DO∴∠ABN=∠APO,∠DOH=∴∠DOH=∴cos∠∵OD=10,∴OH=CD?∵O∴∠D'∴∠∵PO∥∴∠∵sin∴sin∴OM=O∴HM=OM?OH=2∴EF=2故答案為:2.9.長嘴壺茶藝表演是一項深受群眾喜愛的民俗文化,是我國茶文化的一部分,所用到的長嘴壺更是歷史悠久,源遠流長.圖①是現(xiàn)今使用的某款長嘴壺放置在水平桌面上的照片,圖②是其抽象示意圖,l是水平桌面,測得壺身AD=BC=3AE=24cm,AB=30cm,CD=22cm,且CD∥AB.壺嘴EF=80cm,∠FED=70°.(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,tan80°≈5.6(1)FE與水平桌面l的夾角為________°.(2)如圖③,若長嘴壺中裝有若干茶水,繞點A轉(zhuǎn)動壺身,當恰好倒出茶水時,EF∥l,此時點F下落的高度為________cm.(結(jié)果保留一位小數(shù)).【答案】

30°

40.3【詳解】解:(1)過點C、D分別作AB的垂線,垂足分別為H、G,過點E作EM∥AB,∵AD=BC,CD∥AB.∴四邊形ABCD是等腰梯形,∵AD=BC=24cm,AB=30cm,CD=22cm,∴AG=BH=12(AB-CD∴cos∠DAB=AGAD=≈0.17,∵cos80°≈0.17,∴∠DAB=80°,∴∠MEA=∠DAB=80°,∵∠FED=70°.∴∠FEM=180°-80°-70°=30°.故答案為:30°.(2)過點F作FN⊥EM于點N,過點E作EP⊥AB于點P,如圖1所示∵∠FEM=30°,EF=80cm,∴FN=12EF在Rt△AEP中,∠EAP=80°,AE=×24=8(cm),∴EP=AEsin∠EAP≈8×0.98=7.84(cm),當繞點A轉(zhuǎn)動壺身,EF∥l時,過點E作EQ⊥l于點Q,如圖2所示在Rt△AEQ中,∠EAQ=180°-80°-30°=70°,AE=×24=8(cm),∴EQ=AEsin∠EAQ≈8×0.94=7.52(cm),此時點E下落的高度為7.84-7.52≈0.3(cm),∴此時點F下落的高度為40.3cm故答案為:40.3.10.如圖1是某品牌自行車,圖2是其示意圖.已知∠ABC=120°,∠CBR=15°,AB∥CD,BD=3DK,AB=2BC=12dm,自行車坐墊FG∥BR,平行地面,垂直地面,自行車輪子半徑等于5dm,則A點到所在直線的距離為______dm,坐墊FG到地面的距離為____________dm.(已知sin15°=【答案】

62

【詳解】解:(1)過點A作AH垂直RB的延長線于H點,故AH即為所求A到所在直線距離∵∠ABC=120°,∠CBR=15°∴∠ABH=180°?在Rt△AHB中,cos即故AH=2過點D作DM⊥BR于點M,過點C作CN⊥DM于點N,過點K作KP⊥BR于P,延長交地面于點Q故有MRNC為矩形,∴所求FG到地面距離為KP+RQ,即KP+CQ?CR,在Rt△DBM和Rt△KBP中∴Rt△∴,∴又∵AB∥∴∠∴∠DCR=又∵DM∥∴∠MDC=180°?在Rt△NDC中,cos∴DN=2在Rt△BCR中,sin∴CR=12∴,∴KP=4∴KP+CQ?CR=26即GF到底面的距離為62故答案為:62;6三、解答題11.在△ABC中,,,為銳角且tanC=1.(1)求△ABC的面積;(2)求AB的值;(3)求cos∠【答案】(1)12;(2);(3)55【詳解】(1)解:過點A作AD⊥BC,垂足為D,∴∠ADC=∵為銳角且tanC=1∴∠C=45°∴∠DAC=90°?∴∠DAC=∴AD=DC,在Rt△∵sinC=AD∴DC=AD=ACsin∵,∴S△∴△ABC的面積為12.(2)∵DC=AD=4,,∴BD=BC?DC=6?4=2,在Rt△AB=A∴AB的值為.(3)在Rt△ABD中,AB=25,BD∴cos∠∴cos∠ABC的值為12.一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上,這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實線所示,底座為△ABC,點B、C、D在同一條直線上,測得∠ACB=90°,∠ABC=60°,,∠BDE=75°,其中一段支撐桿,另一段支撐桿,(1)求BC的距離;(2)求支撐桿上的E到水平地面的距離EF是多少?(用四舍五入法對結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,【答案】(1)16cm;(2)105cm【詳解】(1)∵∠ACB=90°,∠ABC=60°∴BC=AB·cos60°=(2)如圖,作DG⊥EF于點G,過點C作PQ∥EF,交DG于點Q,交AB于點∵DG⊥EF,AF⊥EF,PQ∴DG⊥PQ,AF⊥PQ,DG∴四邊形FPQG是矩形,F(xiàn)G=PQ,∠∴CQ=CD?sin60°=84×32=423∵∠∴∠EDG=75°-60°=15°∴EG=DE?sin1∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=423+83故E到地面的距離EF為105cm.13.數(shù)學興趣小組想利用所學的知識了解某廣告牌的高度,已知CD=2m.經(jīng)測量,得到其它數(shù)據(jù)如圖所示.其中∠CAH=30°,∠DBH=45°,AB=10m,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算GH的長.(結(jié)果保留根號)【答案】GH的長為10m【詳解】解:延長CD交AH于點E,則CE⊥設(shè)DE=xm,則CE=(x+2)m,在Rt△AEC和Rt△BED中,tan37°=CE∴AE=ECtan3∵AE?BE=AB∴ECtan37°解得:x=8,∴DE=8m∴GH=CE=CD+DE=2m+8m=10m答:GH的長為10m.14.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為BC邊上一點,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點,且∠AFE=(1)求證:△ADF(2)連接AE,當△ABE為直角三角形時,AB=8,AD=63,AF=43,sin【答案】(1)見解析;(2)34【詳解】(1)證明:在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,AD∥∴,∠B+∠又∵∠AFE=∠B,∠AFE+∴∠C=∴△ADF(2)解:連接AE,∵△∴ADDE=AFCD,即∴DE>AD當∠AEB=90°則∠DAE=由勾股定理可得:AE=Dsin∠當∠BAE=90°由題意可得:∠B=∠ADC,∠B+∠BAD=180°,∠∴∠∴∠DAE+∴∠∴AD>DE與AD<DE矛盾,∴∠BAE≠90°綜上,故答案為:315.如圖1是一個水龍頭的示意圖,類似于字母“F”的形狀,將其抽象成如圖2所示的截面圖形,線段是一根固定的軸,線段AB,CD均垂直于線段,出水口在點D處,AB為自來水開關(guān),AB⊥BC即為無水狀態(tài),將AB繞點B逆時針向上轉(zhuǎn)動即是開水.若已知BC=10cm,AB=20cm,CD=30cm.(參考數(shù)據(jù),精確到0.1,sin34°=0.56,cos34°=0.83,2(1)求出水龍頭不開時,點A與出水口的距離;(2)當BA向上旋轉(zhuǎn)34°時,即是最大出水量,求出最大出水量時,點A與出水口的距離.【答案】(1)14.1cm;(2)25.1cm【詳解】(1)連接AD,過點A作AF⊥CD于F,由題意知:AB⊥BC,DC⊥BC,則四邊形ABCF是矩形,∴CF=AB=20cm,AF=BC=10cm,∵CD=30cm,∴DF=CD-CF=30-20=10(cm),在Rt△AFD中,∠AFD=90°,AF=10cm,DF=10cm,∵AD2=AF2+DF2=102+102=200,∴AD=102≈10×1.414≈14.1(cm);即出水龍頭不開時,點A(2)連接A'D,過點A'作A'F'⊥CD于F在Rt△A'BG中,∠A'GB=90°,∠GBA'=34°,A'B=AB=20cm,∵sin∠A'BG=A'GA'B,∴A'G=A'B?sin34°16.學習過三角函數(shù),我們知道在直角三角形中,一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定,因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的,可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系,我們定義:等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖,在△ABC中,AB=AC,頂角A的正對記作sadA,這時sadA=底邊(1)sad60°的值為___________A.12

B.1

C.32(2)對于0°<A<180°,∠A的正對值sadA的取值范圍是___________.(3)已知sinα=35,其中α【答案】(1)B;(2)5;(3)10【詳解】(1)解:根據(jù)正對定義,當頂角為60°時,等腰三角形底角為60°,則三角形為等邊三角形,則sad60°=1故選B;(2)解:當∠A接近0°時,sadα接近0,當∠A近180°時,等腰三角形的底接近于腰的二倍,故sadα接近2.于是sadA的取值范圍是5.故答案為5;(3)解:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,sin∠在AB上取點D,使AD=AC,作DH⊥AC,H為垂足,令BC=3k,AB=5k,則AD=AC=(5k又∵在△ADH中,∠AHD=90°,sin∠∴DH=ADsin∠A=則在△CDH中,CH=AC?AH=45k于是在△ACD中,AD=AC=4k,CD=4由正對的定義可得:sadA=CDAD=17.【閱讀理解】:如圖,在Rt△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊,∠C=90°,其外接圓半徑為.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義:sinA=ac,sinB=b【探究活動】:如圖,在銳角△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊,其外接圓半徑為,那么:asinA___________bsinB【初步應(yīng)用】:事實上,以上結(jié)論適用于任意三角形.在∠ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊.已知∠B=30°,∠C=45°,b=2,求c【綜合應(yīng)用】:如圖,在某次數(shù)學實踐活動中,小瑩同學測量一棟樓AB的高度,在A處用測角儀測得地面點C處的俯角為45°,點D處的俯角為15°,B,C,D在一條直線上,且C,D兩點的距離為100m,求樓AB的高度.(參考數(shù)據(jù):3≈1.7,sin【答案】探究活動:=,=;初步應(yīng)用:c=2;綜合應(yīng)用:樓AB高度約為35m.【詳解】解:探究活動:如圖,過點C作直徑CD,連接BD,∴∠A=∠D,∠DBC=90°∴,∴asin同理可證:bsin∴asin故答案為:=,=;初步應(yīng)用:∵bsinB=csinC=2R∴,∴21∴c=2;綜合應(yīng)用:如圖,由題意得:∠ABD=90,∠MAD=15°,∠MAC=45°,CD=100m,∴∠CAD=30°∵AM∥∴∠ADB=∠MAD=15°,∠ACB=設(shè)樓,則AC=2xm∵,∴2x∴2x∴,∴樓AB高度約為35m.18.某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD,其中AB∥CD,大壩頂上有一瞭望臺PC,PC正前方有兩艘漁船M,N.觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角α為31°,漁船N的俯角β為45°.已知MN所在直線與PC所在直線垂直,垂足為E,且(1)求兩漁船M,N之間的距離(結(jié)果精確到1米);(2)已知壩高24米,壩長100米,背水坡AD的坡度i=1:0.25,為提高大壩防洪能力,請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進行加固,壩底BA加寬后變?yōu)锽H,加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75,完成這項工程需填筑土石方多少立方米?(參考數(shù)據(jù):,)【答案】(1)兩漁船M,N之間的距離約為20米;(2)需要填筑的土石方為43200立方米【詳解】(1)解:由題意得∠E=90°,∠PME=α=31°,∠PNE=β=45°,PE在Rt△PEN中,PE=NE=30米,在Rt△PEM中,tan∴ME≈30∴MN=EM-EN≈50-30=20(米)答:兩漁船M,N之間的距離約為20米(2)如圖,過點D作DG⊥AB于G,壩高DG=24米,∵背水坡AD的坡度i=1:0.25,∴DG:AG=1:0.25,∴AG=24×0.25=6(米),∵背水坡DH的坡度i=1∶1.75,∴DG∶GH=1∶1.75,∴GH=24×1.75=42(米)∴AH=GH-GA=42-6=36(米)∴SΔADH∴需要填筑的土石方為432×100=43200(立方米)答:需要填筑的土石方為43200立方米.拓展培優(yōu)練一、單選題1.如圖,一條河兩岸互相平行,為測得此河的寬度PT(PT與河岸PQ垂直),測P、Q兩點距離為m米,∠PQT=α,則河寬PT的長度是(

A.msinα B.mcosα C.【答案】C【詳解】解:根據(jù)題意可得:tanα∴PT=PQ·tan故選C.2.如圖,某數(shù)學興趣小組測量一棵樹CD的高度,在點A處測得樹頂C的仰角為45°,在點B處測得樹頂C的仰角為60°,且A,B,D三點在同一直線上,若AB=16m,則這棵樹CD的高度是(

)A.8(3?3)m B.8(3+3)m C.【答案】A【詳解】設(shè)CD=x,在Rt△ADC中,∠A=45°,∴CD=AD=x,∴BD=16-x,在Rt△BCD中,∠B=60°,∴tanB即:x16?x解得x=8(3?3故選A.3.如圖,某博物館大廳電梯的截面圖中,AB的長為12米,AB與AC的夾角為α,則高BC是(

)A.12sinα米 B.12cosα米 C.12sin【答案】A【詳解】解:在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∴sinα=BCAB∴BC=sinα?AB=12sinα(米),故選:A.4.如圖,坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB,當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下,在斜坡上的樹影BC長為m,則大樹AB的高為(

)A.mcosα?sinα B.msin【答案】A【詳解】解:如圖,過點C作水平線與AB的延長線交于點D,則AD⊥CD,∴∠BCD=α,∠ACD=45°.在Rt△CDB中,CD=mcosα,BD=msinα,在Rt△CDA中,AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα,∴AB=AD-BD=(mcosα-msinα)=m(cosα-sinα).故選:A.5.如圖,一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時,頂部已經(jīng)淡然無存,但底部未曾受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形,且每一個側(cè)面與地面成60°角,則金字塔原來高度為(

)A.120m B.60m C.605m D.120m【答案】B【詳解】如圖,∵底部是邊長為120m的正方形,∴BC=12∵AC⊥BC,∠ABC=60°,∴∠BAC=30°,∴AB=BCsin∴AC==603m.答:這個金字塔原來有603故選:B.6.數(shù)學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖,他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°,再向前70m至D點,又測得最高點A的仰角為58°,點C,D,B在同一直線上,則該建筑物AB的高度約為(

)(精確到1m.參考數(shù)據(jù):sin22°≈0.37,tan22°≈0.40,A.28m B.34m C.37m D.46m【答案】C【詳解】解:在Rt△ABD中,tan∠ADB=ABDB∴DB=AB在Rt△ABC中,tan∠ACB=ABCB∴tan2解得:AB=112故選:C.二、填空題7.一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向,距離燈塔30海里的A處,它沿北偏東30°方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處,此時與燈塔P的距離約為________海里.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈35,【答案】50【詳解】解:如圖所示標注字母,根據(jù)題意得,∠CAP=∠EPA=60°,∠CAB=30°,PA=30,∴∠PAB=90°,∠APB=180°-67°-60°=53°,∴∠B=37°,?PAB為直角三角形,∴sin∠∴BP=APsin故答案為:50.8.2022年4月16日9時56分,神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸,某一時刻觀測點D測得返回艙底部C的仰角∠CDE=45°,降落傘底面圓A點處的仰角∠ADE=46°12′.已知半徑OA長14米,拉繩AB長50米,返回艙高度BC為2米,這時返回艙底部離地面的高度CE約為______米(精確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin46°12'≈0.72,cos4【答案】1614【詳解】解:在Rt△OB=A∴AF=OE=OB+BC+CE=48+2+CE∵∠CDE=45°,∠DEC=90°∴△CDE是等腰直角三角形,∴DE=CE設(shè)DE=CE=x米,則AF=50+x米,DF=∵∠ADE=46°12'∴tan4解得x≈1614,∴CE=1614故答案為:1614.9.在△ABC中,AB=36,AC=6,∠B=45°【答案】33+3【詳解】解:情況一:當△ABC為銳角三角形時,如圖1所示:過A點作AH⊥BC于H,∵∠B=45°,∴△ABH為等腰直角三角形,∴AH=BH=AB在Rt△ACH中,由勾股定理可知:CH=A∴BC=BH+CH=33情況二:當△ABC為鈍角三角形時,如圖2所示:由情況一知:AH=BH=AB2=∴BC=BH?CH=33故答案為:33+3或10.如圖,我海軍艦艇在某海域C島附近巡航,計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛.測得C島在A島的北偏東50°方向,在B島的北偏西40°方向.A,B之間的距離為80nmile,則C島到航線AB的最短距離是_____nmile.(參考數(shù)據(jù):2≈1.4,3【答案】34【詳解】解:作CF⊥AB與點F,則CF為C島到航線由圖可知:∠CAF=80°?50°=30°,AD∥∵AD∥BE,∴,∵∠EBC=40°∴∠CBF=60°設(shè)CF=xnmile,則AF=CFtan∵,解得:.∴C島到航線AB的最短距離是34nmile.故答案為:3411.在Rt△ABC中,∠C=90°,有一個銳角為60°,AB=6,若點P在直線AB上(不與點A,B重合),且∠PCB=30°,則AP【答案】92【詳解】解:當∠ABC=60°時,則∠BAC=30°,∴BC=1∴AC=A當點P在線段AB上時,如圖,∵∠PCB=30°∴∠BPC=90°,即PC⊥AB,∴AP=AC?當點P在AB的延長線上時,∵∠PCB=30°,∠PBC=∠PCB+∠CPB∴∠CPB=30°,∴∠CPB=∠PCB,∴PB=BC=3,∴AP=AB+PB=9;當∠ABC=30°時,則∠BAC=60°,如圖,∴AC=1∵∠PCB=30°∴∠APC=60°,∴∠ACP=60°,∴∠APC=∠PAC=∠ACP,∴△APC為等邊三角形,∴PA=AC=3.綜上所述,AP的長為92故答案為:9212.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,直尺的一邊與BC重合,另一邊分別交AB,AC于點D,E.點B,C,D,E處的讀數(shù)分別為15,12,0,1,則直尺寬BD的長為_________.【答案】2【詳解】解:由題意可得:DE=1,DC=15?12=3,∵∠∴AB=同理:AD=DE∴BD=AB?AD=故答案為:2三、解答題13.某班同學在一次綜合實踐課上,測量校園內(nèi)一棵樹的高度.如圖,測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°,C處測得樹頂D的仰角為37°(點A,B,C在一條水平直線上),已知測量儀高度AE=CF=1.6米,AC=28米,求樹BD的高度(結(jié)果保留小數(shù)點后一位.參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).【答案】13.6米【詳解】解:連接EF,交BD于點M,則EF⊥BD,AE=BM=CF=1.6米,在

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