28.2 解直角三角形及其應(yīng)用 同步練習

28.2解直角三角形及其應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200m，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α=30°，則飛機A與指揮臺B的距離是（

）A．1200 B．12003 C．2400 D．2．如圖，電線桿AB的中點C處有一標志物，在地面D點處測得標志物的仰角為32°，若點D到電線桿底部點B的距離為a米，則電線桿AB的長可表示為（

）A．a(chǎn)sin32° B．2atan32°米 C．2a·tan32°米 D．3．我國航天事業(yè)捷報頻傳，神州十五號于2022年11月29日晚11點08分在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空，震撼人心．當神州十五號從地面到達點A處時，在P處測得A點的仰角∠DPA為30°，A與Р兩點的距離為12千米；它沿鉛垂線上升到達B處時，此時在Р處測得B點的仰角∠DPB為45°，則神州十五號從A處到B處的距離AB的長為（A．6?62 B．62?6 C．6?64．一次數(shù)學活動課上，老師帶領(lǐng)學生去測一條東西流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點A處觀測到河對岸有一點C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到達B處，又測得C在B的南偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計算出這條河的寬度．（結(jié)果保留根號）這條河的寬度是（

）mA．103+10 B．103+20 C．5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AC邊上一點，連接BD，點E是線段BD延長線上一點，連接AE，CE．使∠CAE=∠CBE，過點C作CF⊥CE，交BD于點F．若∠ABC=α0°＜α＜90°，則線段AE與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．AE=BF?tanα B．BF=AE?tanα C．BF=AE?cosα D．BF=AE?sinα二、填空題6．一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故．一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援．海警船大約需_____小時到達事故船C處，(sin53°≈0.8，7．如圖，學校操場上有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成30°時，第二次時陽光與地面成60°，兩次測量的影長相差6米，則樹高___________米．8．如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=44cm，則高AD約為________cm．（結(jié)果精確到0.01cm，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos29．如圖，在△ABC中，，sinB=23，∠C=45°10．已知在△ABC中，∠A、∠B是銳角，且sinB=513，tanA=1三、解答題11．某大型超市為緩解停車難問題，建筑設(shè)計師提供了樓頂停車場的設(shè)計示意圖．按規(guī)定，停車場坡道口上坡要張貼限高標志，以便告知車輛能否安全駛?cè)耄埜鶕?jù)如圖，求出汽車通過坡道口的限高DF的長（結(jié)果精確到0.1m，sin28°≈0.47，cos212．體溫檢測是疫情防控中的一項重要工作，某公司設(shè)計了一款紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射的能量對進入測溫區(qū)域的人員進行快速體溫檢測．如圖，AC是水平地面，其中AB是測溫區(qū)域，測溫儀安裝在豎直標桿PC上的點D處，設(shè)備安裝高度CD為2米，若該測溫儀能識別體溫的最大張角為72°（即∠ADC=72°），能識別體溫的最小張角為26.6°（即∠BDC=26.6°）．求：測溫區(qū)域AB的長度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，13．為緩解交通擁堵，某區(qū)擬計劃修建一地下通道，該通道一部分的截面如圖所示（圖中地面AD與通道BC平行），通道水平寬度BC為8米，，通道斜面CD的長為6米，通道斜面AB的坡度i=1:2．(1)求通道斜面AB的長為米；(2)為增加市民行走的舒適度，擬將設(shè)計圖中的通道斜面CD的坡度變緩，修改后的通道斜面DE的坡角為30°，求此時的長．（結(jié)果保留根號）14．如圖、為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距180m的P和Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正南方向，在Q的南側(cè)南偏西50°的方向，求河寬（結(jié)果精確到1m、參考數(shù)據(jù)：，cos50°≈0.64，tan15．如圖，已知在△ABC中，AB=5，BC=7，．(1)求；(2)求AC．能力提升練一、單選題1．如圖，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACB交AB于點E，則線段CE的長為(A．3+1 B．2 C．2 D．6-22．某公園有一座古塔，古塔前有一個斜坡CD,坡角∠DCE=42°，斜坡高DE=1.8米，DQ是平行于水平地面BC的一個平臺、小華想利用所學知識測量古塔的高度AB，她在平臺的點G處水平放置一平面鏡，AB⊥BC,MN⊥DO她沿著GQ方向移動，當移動到點N時，剛好在鏡面中看到古塔頂端點A的像，這時，測得小華眼睛與地面的距離MN=1.5米，GN=2米，BC=16米，DG=8米，已知，根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，古塔的高度AB約為（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67,cos42A．19.5 B．19.7 C．21.3 D．22.13．為了消防安全，學校在校園廣場步行梯（折線ABCD）處新建了學生宿舍安全通道（折線AEF），其剖面示意圖如圖所示，廣場步行梯AB，CD的坡角都是32°，且AB=6米，CD=4米，水平部分BC=2.4米；新建安全通道中水平部分米，步梯EF的坡度（即坡角的正切值）．新建安全通道頂端點F到廣場步行梯底部所在水平面DG的距離DF的長約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）A．8.8米 B．9.0米 C．9.4米 D．9.6米4．5G時代，萬物互聯(lián)．互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能與各行業(yè)應(yīng)用深度融合，助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展，共建智慧生活．網(wǎng)絡(luò)公司在改造時，把某一5G信號發(fā)射塔MN建在了山坡BC的平臺CD上，已知山坡BC的坡度為1:2.4．身高1.6米的小明站在A處測得塔頂M的仰角是，向前步行6米到達B處，再延斜坡BC步行6.5米至平臺點C處，測得塔頂M的仰角是50°，若A,B,C,D,M,N在同一平面內(nèi)，且A,B和C,D,N分別在同一水平線上，則發(fā)射塔MN的高度約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，，sin50°≈0.77，A．17.3米 B．18.9米 C．65.0米 D．66.6米5．如圖，重慶歡樂谷的摩天輪是西南地區(qū)最高的摩天輪，號稱“重慶之限”．摩天輪是一個圓形，直徑AB垂直水平地面于點C，最低點B離地面的距離BC為1.6米．某天，媽媽帶著洋洋來坐摩天輪，當她站在點D仰著頭看見摩天輪的圓心時，仰角為37o，為了選擇更佳角度為洋洋拍照，媽媽后退了49米到達點D’，當洋洋坐的橋廂F與圓心O在同一水平線時，他俯頭看見媽媽的眼睛，此時俯角為42o，已知媽媽的眼睛到地面的距離為1.6米，媽媽兩次所處的位置與摩天輪在同一平面上，則該摩天輪最高點A離地面的距離AC約是（

）（參考數(shù)據(jù)：sin37o≈0.60，tan37o≈0.75，sin42o≈0.67，tan42o≈0.90）A．118.8米 B．127.6米 C．134.4米 D．140.2米二、填空題6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，平分∠ABC，交AD于點F，AE與交于點P，連接EF，PD．若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，則tan∠ADP的值為________．7．如圖1是一種可折疊手機平板支架，由托板、支撐板和底座組成，手機放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長AB=17cm，支撐板長CD=12cm，底座長DE=13cm，托板AB固定在支撐板頂端點C處，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動，當∠ACD=2∠D=60°時，點A到直線DE的距離是點C到直線DE的距離的2倍．為了觀看舒適，把AB繞點C旋轉(zhuǎn)，再將CD繞點D旋轉(zhuǎn)，使點B與點8．圖1是一張可調(diào)節(jié)靠椅，調(diào)節(jié)示意圖如圖2，已知兩支腳AB＝AC＝10分米，BC＝12分米，O為AC上固定連接點，靠背OD＝10分米．檔位為Ⅰ檔時，OD∥AB．檔位為Ⅱ檔時，OD⊥AC．當靠椅由Ⅰ檔調(diào)節(jié)為Ⅱ檔時，EF＝________分米．9．長嘴壺茶藝表演是一項深受群眾喜愛的民俗文化，是我國茶文化的一部分，所用到的長嘴壺更是歷史悠久，源遠流長．圖①是現(xiàn)今使用的某款長嘴壺放置在水平桌面上的照片，圖②是其抽象示意圖，l是水平桌面，測得壺身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB．壺嘴EF=80cm，∠FED=70°．(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,tan80°≈5.6（1）FE與水平桌面l的夾角為________°．（2）如圖③，若長嘴壺中裝有若干茶水，繞點A轉(zhuǎn)動壺身，當恰好倒出茶水時，EF∥l，此時點F下落的高度為________cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）．10．如圖1是某品牌自行車，圖2是其示意圖．已知∠ABC=120°，∠CBR=15°，AB∥CD，BD=3DK，AB=2BC=12dm，自行車坐墊FG∥BR，平行地面，垂直地面，自行車輪子半徑等于5dm，則A點到所在直線的距離為______dm，坐墊FG到地面的距離為____________dm．（已知sin15°=三、解答題11．在△ABC中，，，為銳角且tanC=1．(1)求△ABC的面積；(2)求AB的值；(3)求cos∠12．一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實線所示，底座為△ABC，點B、C、D在同一條直線上，測得∠ACB=90°，∠ABC=60°，，∠BDE=75°，其中一段支撐桿，另一段支撐桿，(1)求BC的距離；(2)求支撐桿上的E到水平地面的距離EF是多少？（用四舍五入法對結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，13．數(shù)學興趣小組想利用所學的知識了解某廣告牌的高度，已知CD＝2m．經(jīng)測量，得到其它數(shù)據(jù)如圖所示．其中∠CAH＝30°，∠DBH＝45°，AB＝10m，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算GH的長．（結(jié)果保留根號）14．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=(1)求證：△ADF(2)連接AE，當△ABE為直角三角形時，AB=8，AD=63，AF=43，sin15．如圖1是一個水龍頭的示意圖，類似于字母“F”的形狀，將其抽象成如圖2所示的截面圖形，線段是一根固定的軸，線段AB，CD均垂直于線段，出水口在點D處，AB為自來水開關(guān)，AB⊥BC即為無水狀態(tài)，將AB繞點B逆時針向上轉(zhuǎn)動即是開水．若已知BC=10cm，AB=20cm，CD=30cm．（參考數(shù)據(jù)，精確到0．1，sin34°=0.56，cos34°=0.83，2(1)求出水龍頭不開時，點A與出水口的距離；(2)當BA向上旋轉(zhuǎn)34°時，即是最大出水量，求出最大出水量時，點A與出水口的距離．16．學習過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊(1)sad60°的值為___________A．12

B．1

C．32(2)對于0°<A<180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是___________．(3)已知sinα=35，其中α17．【閱讀理解】：如圖，在Rt△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，∠C=90°，其外接圓半徑為．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA=ac，sinB=b【探究活動】：如圖，在銳角△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，其外接圓半徑為，那么：asinA___________bsinB【初步應(yīng)用】：事實上，以上結(jié)論適用于任意三角形．在∠ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．已知∠B=30°，∠C=45°，b=2，求c【綜合應(yīng)用】：如圖，在某次數(shù)學實踐活動中，小瑩同學測量一棟樓AB的高度，在A處用測角儀測得地面點C處的俯角為45°，點D處的俯角為15°，B，C，D在一條直線上，且C，D兩點的距離為100m，求樓AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin18．某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺PC，PC正前方有兩艘漁船M，N．觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且(1)求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；(2)已知壩高24米，壩長100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，為提高大壩防洪能力，請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成這項工程需填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：，）拓展培優(yōu)練一、單選題1．如圖，一條河兩岸互相平行，為測得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測P、Q兩點距離為m米，∠PQT=α，則河寬PT的長度是（

A．msinα B．mcosα C．2．如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°，在點B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點在同一直線上，若AB=16m，則這棵樹CD的高度是（

）A．8(3?3)m B．8(3+3)m C．3．如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（

）A．12sinα米 B．12cosα米 C．12sin4．如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A．mcosα?sinα B．msin5．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)淡然無存，但底部未曾受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為(

)A．120m B．60m C．605m D．120m6．數(shù)學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（

）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，A．28m B．34m C．37m D．46m二、填空題7．一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時與燈塔P的距離約為________海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，8．2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，某一時刻觀測點D測得返回艙底部C的仰角∠CDE＝45°，降落傘底面圓A點處的仰角∠ADE＝46°12′．已知半徑OA長14米，拉繩AB長50米，返回艙高度BC為2米，這時返回艙底部離地面的高度CE約為______米（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin46°12'≈0.72，cos49．在△ABC中，AB=36，AC=6，∠B=45°10．如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離是_____nmile．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，311．在Rt△ABC中，∠C=90°，有一個銳角為60°，AB=6，若點P在直線AB上（不與點A，B重合），且∠PCB=30°，則AP12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為_________．三、解答題13．某班同學在一次綜合實踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．14．隨著我國科學技術(shù)的不斷發(fā)展，科學幻想變?yōu)楝F(xiàn)實.如圖1是我國自主研發(fā)的某型號隱形戰(zhàn)斗機模型，全動型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機亮點之一.圖2是垂尾模型的軸切面，并通過垂尾模型的外圍測得如下數(shù)據(jù)，BC=8，CD=2，∠D=135°，∠C=60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面積.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3

15．位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是為紀念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻身的革命烈士的而興建的，某校數(shù)學興趣小組利用無人機測量紀念塔的高度．無人機在點A處測得紀念塔頂部點B的仰角為45°，紀念塔底部點C的俯角為61°，無人機與紀念塔的水平距離AD為10m，求紀念塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）16．知識再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵sinA=∴c=asin∴a(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄縜sinA，bsin(2)解決問題：如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側(cè)的點C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點A到點B的距離．17．閱讀下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：asin證明：如圖1，過點C作CD⊥AB于點D，則：在中，CD=asinB在中，CD=bsin∴asin根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.818．如圖，計劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF．在點E處測得山頂A的仰角為45°，在距E點80m的C處測得山頂A的仰角為30°，從與F點相距10m的D處測得山頂A的仰角為45°，點C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長度．19．勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,20．某數(shù)學興趣小組準備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進8m到達E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.7）

28.2解直角三角形及其應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200m，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α=30°，則飛機A與指揮臺B的距離是（

）A．1200 B．12003 C．2400 D．【答案】C【詳解】解：由題意得，∠B=α=30°，∠∴AB=2AC=2400m，答：飛機A與指揮臺B的距離為2400m,故選C．2．如圖，電線桿AB的中點C處有一標志物，在地面D點處測得標志物的仰角為32°，若點D到電線桿底部點B的距離為a米，則電線桿AB的長可表示為（

）A．a(chǎn)sin32° B．2atan32°米 C．2a·tan32°米 D．【答案】C【詳解】解：∵BD=a，∠∴BC=BD·tan∵點C是AB的中點，∴AB=2BC=2a·tan故選：C．3．我國航天事業(yè)捷報頻傳，神州十五號于2022年11月29日晚11點08分在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空，震撼人心．當神州十五號從地面到達點A處時，在P處測得A點的仰角∠DPA為30°，A與Р兩點的距離為12千米；它沿鉛垂線上升到達B處時，此時在Р處測得B點的仰角∠DPB為45°，則神州十五號從A處到B處的距離AB的長為（）千米．A．6?62 B．62?6 C．6?6【答案】D【詳解】解：∵在Rt△ADP中，∠∴PD=AP?cos∠APD=6∵在Rt△BDP中，∠∴BD=PD?∴AB=BD?AD=6故選D．4．一次數(shù)學活動課上，老師帶領(lǐng)學生去測一條東西流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點A處觀測到河對岸有一點C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到達B處，又測得C在B的南偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計算出這條河的寬度．（結(jié)果保留根號）這條河的寬度是（

）mA．103+10 B．103+20 C．【答案】A【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥AB于設(shè)CD=xm，在Rt△∵∠CBD=45°∴BD=CD=xm．在Rt△ACD中，∠DAC=90°?60°=30°，AD=AB+BD=20+xm∴CD=tan∴x=3解得x=103∴CD=103故選：A．5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AC邊上一點，連接BD，點E是線段BD延長線上一點，連接AE，CE．使∠CAE=∠CBE，過點C作CF⊥CE，交BD于點F．若∠ABC=α0°＜α＜90°，則線段AE與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．AE=BF?tanα B．BF=AE?tanα C．BF=AE?cosα D．BF=AE?sinα【答案】A【詳解】解：∵∠BCA=∴∠BCF=∵∠CAE=∴△BCF∴AEBF∵∠ABC=α∴tanα∴AE=BF·tan故選：A．二、填空題6．一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故．一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援．海警船大約需_____小時到達事故船C處，(sin53°≈0.8，【答案】5【詳解】解：如圖，C作CD⊥AB交AB延長線于D，在Rt△∵∠ADC=90°，∴CD=1在Rt△CBD中，∠∴(海里)，∴海警船到達事故船C處所需的時間大約為：50÷40=5故答案為：547．如圖，學校操場上有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成30°時，第二次時陽光與地面成60°，兩次測量的影長相差6米，則樹高___________米．【答案】3【詳解】解：如圖所示，在Rt△ABD中，∵tan∴BD=AB在Rt△ACB中，∵tan∴BC=AB∵BC?BD=6，∴3AB3∴AB=33故答案為：338．如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=44cm，則高AD約為________cm．（結(jié)果精確到0.01cm，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos2【答案】11.22【詳解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=44cm，∴BD=CD=1∵在Rt△ABD中，tan∠∴AD=tan故答案為：11.22．9．如圖，在△ABC中，，sinB=23，∠C=45°【答案】2【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，∵，sinB∴AD=sin∵∠C=45°，AD∴AC=AD故答案為：2210．已知在△ABC中，∠A、∠B是銳角，且sinB=513，tanA=1【答案】220【詳解】解：如圖：過點C作AB的垂線，垂足為點D．，設(shè)CD=5x，，，可設(shè)CD=y，，，，，由，得，則CD=5x=10故SΔABC故答案是：220三、解答題11．某大型超市為緩解停車難問題，建筑設(shè)計師提供了樓頂停車場的設(shè)計示意圖．按規(guī)定，停車場坡道口上坡要張貼限高標志，以便告知車輛能否安全駛?cè)耄埜鶕?jù)如圖，求出汽車通過坡道口的限高DF的長（結(jié)果精確到0.1m，sin28°≈0.47，cos2【答案】4.2m【詳解】解：在Rt△ABC中，∠A=28°，AC=10∴BC=ACtan∴BD=BC?CD=5.3?0.5=4.8，在RtΔBDF中，∠BDF=∠A=28°，BD=4.8，∴DF=BDcos答：坡道口的限高DF的長是4.2m．12．體溫檢測是疫情防控中的一項重要工作，某公司設(shè)計了一款紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射的能量對進入測溫區(qū)域的人員進行快速體溫檢測．如圖，AC是水平地面，其中AB是測溫區(qū)域，測溫儀安裝在豎直標桿PC上的點D處，設(shè)備安裝高度CD為2米，若該測溫儀能識別體溫的最大張角為72°（即∠ADC=72°），能識別體溫的最小張角為26.6°（即∠BDC=26.6°）．求：測溫區(qū)域AB的長度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，【答案】測溫區(qū)域AB的長度約為5米【詳解】解：在Rt△ACD中，∠∴AC=CD?在Rt△BCD中，∠∴BC=CD?∴AB=AC?BC≈5米，∴測溫區(qū)域AB的長度約為5米．13．為緩解交通擁堵，某區(qū)擬計劃修建一地下通道，該通道一部分的截面如圖所示（圖中地面AD與通道BC平行），通道水平寬度BC為8米，，通道斜面CD的長為6米，通道斜面AB的坡度i=1:2．(1)求通道斜面AB的長為米；(2)為增加市民行走的舒適度，擬將設(shè)計圖中的通道斜面CD的坡度變緩，修改后的通道斜面DE的坡角為30°，求此時的長．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)7.4米;(2)8+32【詳解】（1）過點A作AN⊥CB于點N，過點D作DM⊥BC于點∵，∴∠DCM=45°∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6∴DM=CM=2∴AN=DM=32∵通道斜面AB的坡度i=1:2∴tan∠∴BN=2∴AB=A即通道斜面AB的長約為7.4米；（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∴EM=3∴EC=EM?CM=36∴BE=BC?EC==8?314．如圖、為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距180m的P和Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正南方向，在Q的南側(cè)南偏西50°的方向，求河寬（結(jié)果精確到1m、參考數(shù)據(jù)：，cos50°≈0.64，tan【答案】河寬約為151m【詳解】解：在Rt△，∠PTQ=50°，∴PT=答：河寬約為151m．15．如圖，已知在△ABC中，AB=5，BC=7，．(1)求；(2)求AC．【答案】(1)1;(2)【詳解】（1）解：過點A作AD⊥BC于點D，則sinB∵AB=5，∴AD=4，∴BD=A∴CD=BC?BD=7?3=4，∴tan∠（2）解：由（1）知，在中，AC=A能力提升練一、單選題1．如圖，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACB交AB于點E，則線段CE的長為(A．3+1 B．2 C．2 D．6-2【答案】B【詳解】如圖，作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，在Rt△ABD中，BD=AD=AB?在Rt△ADC中，∠DAC=90°?∠ACB=30°∴BC=在Rt△BEF中，設(shè)BF=EF=x，在Rt△EFC中，∠FECCF=EF?由CF+BF=BC得，3x+x=∴x=1∴EC故答案為：B．2．某公園有一座古塔，古塔前有一個斜坡CD,坡角∠DCE=42°，斜坡高DE=1.8米，DQ是平行于水平地面BC的一個平臺、小華想利用所學知識測量古塔的高度AB，她在平臺的點G處水平放置一平面鏡，AB⊥BC,MN⊥DO她沿著GQ方向移動，當移動到點N時，剛好在鏡面中看到古塔頂端點A的像，這時，測得小華眼睛與地面的距離MN=1.5米，GN=2米，BC=16米，DG=8米，已知，根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，古塔的高度AB約為（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67,cos42A．19.5 B．19.7 C．21.3 D．22.1【答案】C【詳解】解：在Rt△CDE中，tan∠DCE=DE∴0.9=1.8∴CE＝2，延長GD交AB于點H，則BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，∴△AHG∽△MNG，∴AHMN=HG∴AH＝19.5（米），∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．答：古塔的高度AB為21.3米．故選：C．3．為了消防安全，學校在校園廣場步行梯（折線ABCD）處新建了學生宿舍安全通道（折線AEF），其剖面示意圖如圖所示，廣場步行梯AB，CD的坡角都是32°，且AB=6米，CD=4米，水平部分BC=2.4米；新建安全通道中水平部分米，步梯EF的坡度（即坡角的正切值）．新建安全通道頂端點F到廣場步行梯底部所在水平面DG的距離DF的長約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）A．8.8米 B．9.0米 C．9.4米 D．9.6米【答案】D【詳解】解：如圖所示：過B作BH⊥AE于H，延長BC交DF于M，設(shè)AE交DF于N，則MN＝BH，HN＝BM，BM∥DG，∴∠DCM＝∠CDG＝32°，在Rt△CDM中，sin∠DCM＝AGGD，cos∠DCM＝CM∴DM＝CD?sin32°≈4×0.53＝2.12（米），CM＝CD?cos32°≈4×0.85＝3.4（米），∴HN＝BM＝BC＋CM＝2.4＋3.4＝5.8（米），在Rt△ABH中，∠A＝32°，sinA＝BHAB，cosA＝AH∴MN＝BH＝AB?sin32°≈6×0.53＝3.18（米），AH＝AB?cos32°≈6×0.85＝5.1（米），∴AN＝AH＋HN＝5.1＋5.8＝10.9（米），∴EN＝AN?AE＝10.9?3.9＝7（米），∵步梯EF的坡度i≈0.62＝FNEN∴FN≈0.62×7＝4.34（米），∴DF＝DM＋MN＋FN＝2.12＋3.18＋4.34≈9.6（米），故選：D．4．5G時代，萬物互聯(lián)．互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能與各行業(yè)應(yīng)用深度融合，助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展，共建智慧生活．網(wǎng)絡(luò)公司在改造時，把某一5G信號發(fā)射塔MN建在了山坡BC的平臺CD上，已知山坡BC的坡度為1:2.4．身高1.6米的小明站在A處測得塔頂M的仰角是，向前步行6米到達B處，再延斜坡BC步行6.5米至平臺點C處，測得塔頂M的仰角是50°，若A,B,C,D,M,N在同一平面內(nèi)，且A,B和C,D,N分別在同一水平線上，則發(fā)射塔MN的高度約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，，sin50°≈0.77，A．17.3米 B．18.9米 C．65.0米 D．66.6米【答案】B【詳解】解：如圖，設(shè)C點處垂線與B處視線交點為F，過點F作FL⊥MN于L，過點E作EI⊥MN于I，延長MN交AB的延長線于H，設(shè)MN=xm，CN=ym，AE=CF=1.6m在Rt△∵CGBG=∴BC=13∵BC=6.5m，∴BG=6m，CG=5在Rt△MFL中，tan5∵ML=MN?LN=MN?FC=x?1.6m，∴x?1.6y=1.2，則在Rt△EIM中，tan3∵EI=AH=AB+BG+GH=(12+y)m，MI=MN+NI=MN+NH?IH=x+2.5?1.6=(x+0.9)m，∴x+0.912+y=0.75，則∴56解得x=284故選：B．5．如圖，重慶歡樂谷的摩天輪是西南地區(qū)最高的摩天輪，號稱“重慶之限”．摩天輪是一個圓形，直徑AB垂直水平地面于點C，最低點B離地面的距離BC為1.6米．某天，媽媽帶著洋洋來坐摩天輪，當她站在點D仰著頭看見摩天輪的圓心時，仰角為37o，為了選擇更佳角度為洋洋拍照，媽媽后退了49米到達點D’，當洋洋坐的橋廂F與圓心O在同一水平線時，他俯頭看見媽媽的眼睛，此時俯角為42o，已知媽媽的眼睛到地面的距離為1.6米，媽媽兩次所處的位置與摩天輪在同一平面上，則該摩天輪最高點A離地面的距離AC約是（

）（參考數(shù)據(jù)：sin37o≈0.60，tan37o≈0.75，sin42o≈0.67，tan42o≈0.90）A．118.8米 B．127.6米 C．134.4米 D．140.2米【答案】B【詳解】解：連接EB，∵D′E′=DE=BC=1.6∴E′，E，B在同一條直線上，且E′B⊥AC，過F做FH⊥BE于H，則四邊形BOFH是正方形，∴BH=FH=OB，設(shè)AO=OB=r，∴FH=BH=r，∵∠OEB=37°，∴tan37°=OBBE∴BE=43∴EH=BD-BH=13∵EE′=DD′=49，∴E′H=49+13∵∠FE′H=42°，∴tan42°=FHE解得r≈63，∴AC=2×63+1.6=127.6米，故選：B．二、填空題6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，平分∠ABC，交AD于點F，AE與交于點P，連接EF，PD．若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，則tan∠ADP的值為________．【答案】2【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC∴∠AFB=∵∠ABF=∴∠ABF=∴AB=AF同理AB=BE，∴四邊形ABEF是菱形；∴AE∵∠ABC=60°∴∠ABF=30°，∠BAP=，∴AP=2如圖，過點P作PM⊥AD于M，∴PM=3，AM=1∵AD=6∴DM=5∴PD=故答案為：277．如圖1是一種可折疊手機平板支架，由托板、支撐板和底座組成，手機放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長AB=17cm，支撐板長CD=12cm，底座長DE=13cm，托板AB固定在支撐板頂端點C處，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動，當∠ACD=2∠D=60°時，點A到直線DE的距離是點C到直線DE的距離的2倍．為了觀看舒適，把AB繞點C旋轉(zhuǎn)，再將CD繞點D旋轉(zhuǎn)，使點B與點【答案】204【詳解】解：如圖，過點A作于F，延長AB，DE交于點，作CG⊥DH，垂足為G，∵∠ACD=2∴∠CDH=30°∴∠H=∴∠H=∴CH=CD=12cm∵CG⊥∴，即點C到直線DE的距離為6cm∴點A到直線DE的距離為12cm，即AF=12∵CG⊥∴CG∥∴△CHG∴CGAF=CH∴AH=24cm∴AC=AH?CH=12cm,旋轉(zhuǎn)后，如圖：過點A作AG⊥BD于G，交CD于．∵BC=5cm，∴BC∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°∴∠D+∵∠A+∴∠A=∴cosA在Rt△AGB中，AG=AB即：點A到直線DE的距離為20413故答案為：204138．圖1是一張可調(diào)節(jié)靠椅，調(diào)節(jié)示意圖如圖2，已知兩支腳AB＝AC＝10分米，BC＝12分米，O為AC上固定連接點，靠背OD＝10分米．檔位為Ⅰ檔時，OD∥AB．檔位為Ⅱ檔時，OD⊥AC．當靠椅由Ⅰ檔調(diào)節(jié)為Ⅱ檔時，EF＝________分米．【答案】2【詳解】如圖，作AN⊥BC于點N，交PO于G點，延長GO，交DE于H，交D'F于M，根據(jù)PO∥BC，DO∥AB，得到∠DOH=∠ABN，從而得到cos∠DOH=35，解直角三角形即可得到OH的長度；再根據(jù)OD'⊥AC，得到∠COM=∠ACB=∠D'∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BN=CN=6，AN=1∴cos∠由題意得：PO∥BC，DO∴∠ABN=∠APO，∠DOH=∴∠DOH=∴cos∠∵OD=10，∴OH=CD?∵O∴∠D'∴∠∵PO∥∴∠∵sin∴sin∴OM=O∴HM=OM?OH=2∴EF=2故答案為：2．9．長嘴壺茶藝表演是一項深受群眾喜愛的民俗文化，是我國茶文化的一部分，所用到的長嘴壺更是歷史悠久，源遠流長．圖①是現(xiàn)今使用的某款長嘴壺放置在水平桌面上的照片，圖②是其抽象示意圖，l是水平桌面，測得壺身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB．壺嘴EF=80cm，∠FED=70°．(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,tan80°≈5.6（1）FE與水平桌面l的夾角為________°．（2）如圖③，若長嘴壺中裝有若干茶水，繞點A轉(zhuǎn)動壺身，當恰好倒出茶水時，EF∥l，此時點F下落的高度為________cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】

30°

40.3【詳解】解：（1）過點C、D分別作AB的垂線，垂足分別為H、G，過點E作EM∥AB，∵AD=BC，CD∥AB．∴四邊形ABCD是等腰梯形，∵AD=BC=24cm，AB=30cm，CD=22cm，∴AG=BH=12(AB-CD∴cos∠DAB=AGAD=≈0.17，∵cos80°≈0.17，∴∠DAB=80°，∴∠MEA=∠DAB=80°，∵∠FED=70°．∴∠FEM=180°-80°-70°=30°．故答案為：30°．（2）過點F作FN⊥EM于點N，過點E作EP⊥AB于點P，如圖1所示∵∠FEM=30°，EF=80cm，∴FN=12EF在Rt△AEP中，∠EAP=80°，AE=×24=8(cm)，∴EP=AEsin∠EAP≈8×0.98=7.84(cm)，當繞點A轉(zhuǎn)動壺身，EF∥l時，過點E作EQ⊥l于點Q，如圖2所示在Rt△AEQ中，∠EAQ=180°-80°-30°=70°，AE=×24=8(cm)，∴EQ=AEsin∠EAQ≈8×0.94=7.52(cm)，此時點E下落的高度為7.84-7.52≈0.3(cm)，∴此時點F下落的高度為40.3cm故答案為：40.3．10．如圖1是某品牌自行車，圖2是其示意圖．已知∠ABC=120°，∠CBR=15°，AB∥CD，BD=3DK，AB=2BC=12dm，自行車坐墊FG∥BR，平行地面，垂直地面，自行車輪子半徑等于5dm，則A點到所在直線的距離為______dm，坐墊FG到地面的距離為____________dm．（已知sin15°=【答案】

62

【詳解】解：（1）過點A作AH垂直RB的延長線于H點，故AH即為所求A到所在直線距離∵∠ABC=120°，∠CBR=15°∴∠ABH=180°?在Rt△AHB中，cos即故AH=2過點D作DM⊥BR于點M，過點C作CN⊥DM于點N，過點K作KP⊥BR于P，延長交地面于點Q故有MRNC為矩形，∴所求FG到地面距離為KP+RQ，即KP+CQ?CR，在Rt△DBM和Rt△KBP中∴Rt△∴，∴又∵AB∥∴∠∴∠DCR=又∵DM∥∴∠MDC=180°?在Rt△NDC中，cos∴DN=2在Rt△BCR中，sin∴CR=12∴，∴KP=4∴KP+CQ?CR=26即GF到底面的距離為62故答案為：62；6三、解答題11．在△ABC中，，，為銳角且tanC=1．(1)求△ABC的面積；(2)求AB的值；(3)求cos∠【答案】(1)12;(2);(3)55【詳解】（1）解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，∴∠ADC=∵為銳角且tanC=1∴∠C=45°∴∠DAC=90°?∴∠DAC=∴AD=DC，在Rt△∵sinC=AD∴DC=AD=ACsin∵，∴S△∴△ABC的面積為12．（2）∵DC=AD=4，，∴BD=BC?DC=6?4=2，在Rt△AB=A∴AB的值為．（3）在Rt△ABD中，AB=25，BD∴cos∠∴cos∠ABC的值為12．一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實線所示，底座為△ABC，點B、C、D在同一條直線上，測得∠ACB=90°，∠ABC=60°，，∠BDE=75°，其中一段支撐桿，另一段支撐桿，(1)求BC的距離；(2)求支撐桿上的E到水平地面的距離EF是多少？（用四舍五入法對結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，【答案】(1)16cm;(2)105cm【詳解】（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=60°∴BC=AB·cos60°=（2）如圖，作DG⊥EF于點G，過點C作PQ∥EF，交DG于點Q，交AB于點∵DG⊥EF，AF⊥EF，PQ∴DG⊥PQ，AF⊥PQ，DG∴四邊形FPQG是矩形，F(xiàn)G=PQ，∠∴CQ=CD?sin60°=84×32=423∵∠∴∠EDG=75°-60°=15°∴EG=DE?sin1∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=423+83故E到地面的距離EF為105cm．13．數(shù)學興趣小組想利用所學的知識了解某廣告牌的高度，已知CD＝2m．經(jīng)測量，得到其它數(shù)據(jù)如圖所示．其中∠CAH＝30°，∠DBH＝45°，AB＝10m，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算GH的長．（結(jié)果保留根號）【答案】GH的長為10m【詳解】解：延長CD交AH于點E，則CE⊥設(shè)DE＝xm，則CE＝（x+2）m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝CE∴AE＝ECtan3∵AE?BE＝AB∴ECtan37°解得：x＝8，∴DE＝8m∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m答：GH的長為10m．14．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=(1)求證：△ADF(2)連接AE，當△ABE為直角三角形時，AB=8，AD=63，AF=43，sin【答案】(1)見解析；(2)34【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥∴，∠B+∠又∵∠AFE=∠B，∠AFE+∴∠C=∴△ADF（2）解：連接AE，∵△∴ADDE=AFCD，即∴DE>AD當∠AEB=90°則∠DAE=由勾股定理可得：AE=Dsin∠當∠BAE=90°由題意可得：∠B=∠ADC，∠B+∠BAD=180°，∠∴∠∴∠DAE+∴∠∴AD>DE與AD<DE矛盾，∴∠BAE≠90°綜上，故答案為：315．如圖1是一個水龍頭的示意圖，類似于字母“F”的形狀，將其抽象成如圖2所示的截面圖形，線段是一根固定的軸，線段AB，CD均垂直于線段，出水口在點D處，AB為自來水開關(guān)，AB⊥BC即為無水狀態(tài)，將AB繞點B逆時針向上轉(zhuǎn)動即是開水．若已知BC=10cm，AB=20cm，CD=30cm．（參考數(shù)據(jù)，精確到0．1，sin34°=0.56，cos34°=0.83，2(1)求出水龍頭不開時，點A與出水口的距離；(2)當BA向上旋轉(zhuǎn)34°時，即是最大出水量，求出最大出水量時，點A與出水口的距離．【答案】(1)14.1cm;(2)25.1cm【詳解】（1）連接AD，過點A作AF⊥CD于F，由題意知：AB⊥BC，DC⊥BC，則四邊形ABCF是矩形，∴CF=AB=20cm，AF=BC=10cm，∵CD=30cm，∴DF=CD-CF=30-20=10(cm)，在Rt△AFD中，∠AFD=90°，AF=10cm，DF=10cm，∵AD2=AF2+DF2=102+102=200，∴AD=102≈10×1.414≈14.1(cm)；即出水龍頭不開時，點A（2）連接A'D，過點A'作A'F'⊥CD于F在Rt△A'BG中，∠A'GB=90°，∠GBA'=34°,A'B=AB=20cm，∵sin∠A'BG=A'GA'B，∴A'G=A'B?sin34°16．學習過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊(1)sad60°的值為___________A．12

B．1

C．32(2)對于0°<A<180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是___________．(3)已知sinα=35，其中α【答案】(1)B;(2)5;(3)10【詳解】（1）解：根據(jù)正對定義，當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，則三角形為等邊三角形，則sad60°=1故選B；（2）解：當∠A接近0°時，sadα接近0，當∠A近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范圍是5．故答案為5；（3）解：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠在AB上取點D，使AD=AC，作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，則AD=AC=(5k又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠∴DH=ADsin∠A=則在△CDH中，CH=AC?AH=45k于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=4由正對的定義可得：sadA=CDAD=17．【閱讀理解】：如圖，在Rt△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，∠C=90°，其外接圓半徑為．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA=ac，sinB=b【探究活動】：如圖，在銳角△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，其外接圓半徑為，那么：asinA___________bsinB【初步應(yīng)用】：事實上，以上結(jié)論適用于任意三角形．在∠ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．已知∠B=30°，∠C=45°，b=2，求c【綜合應(yīng)用】：如圖，在某次數(shù)學實踐活動中，小瑩同學測量一棟樓AB的高度，在A處用測角儀測得地面點C處的俯角為45°，點D處的俯角為15°，B，C，D在一條直線上，且C，D兩點的距離為100m，求樓AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin【答案】探究活動：=，=；初步應(yīng)用：c=2；綜合應(yīng)用：樓AB高度約為35m．【詳解】解：探究活動：如圖，過點C作直徑CD，連接BD，∴∠A=∠D，∠DBC=90°∴，∴asin同理可證：bsin∴asin故答案為：=，=；初步應(yīng)用：∵bsinB=csinC=2R∴，∴21∴c=2；綜合應(yīng)用：如圖，由題意得：∠ABD=90，∠MAD=15°，∠MAC=45°，CD=100m，∴∠CAD=30°∵AM∥∴∠ADB=∠MAD=15°，∠ACB=設(shè)樓，則AC=2xm∵，∴2x∴2x∴，∴樓AB高度約為35m．18．某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺PC，PC正前方有兩艘漁船M，N．觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且(1)求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；(2)已知壩高24米，壩長100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，為提高大壩防洪能力，請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成這項工程需填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)兩漁船M，N之間的距離約為20米;(2)需要填筑的土石方為43200立方米【詳解】（1）解：由題意得∠E＝90°，∠PME=α=31°，∠PNE=β=45°，PE在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，在Rt△PEM中，tan∴ME≈30∴MN＝EM－EN≈50－30＝20（米）答：兩漁船M，N之間的距離約為20米（2）如圖，過點D作DG⊥AB于G，壩高DG＝24米，∵背水坡AD的坡度i＝1：0.25，∴DG：AG＝1：0.25，∴AG＝24×0.25＝6（米），∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42（米）∴AH＝GH－GA＝42－6＝36（米）∴SΔADH∴需要填筑的土石方為432×100＝43200（立方米）答：需要填筑的土石方為43200立方米．拓展培優(yōu)練一、單選題1．如圖，一條河兩岸互相平行，為測得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測P、Q兩點距離為m米，∠PQT=α，則河寬PT的長度是（

A．msinα B．mcosα C．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意可得：tanα∴PT=PQ·tan故選C．2．如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°，在點B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點在同一直線上，若AB=16m，則這棵樹CD的高度是（

）A．8(3?3)m B．8(3+3)m C．【答案】A【詳解】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴tanB即：x16?x解得x=8(3?3故選A．3．如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（

）A．12sinα米 B．12cosα米 C．12sin【答案】A【詳解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=BCAB∴BC=sinα?AB=12sinα（米），故選：A．4．如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A．mcosα?sinα B．msin【答案】A【詳解】解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線交于點D，則AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故選：A．5．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)淡然無存，但底部未曾受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為(

)A．120m B．60m C．605m D．120m【答案】B【詳解】如圖，∵底部是邊長為120m的正方形，∴BC＝12∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝BCsin∴AC＝＝603m．答：這個金字塔原來有603故選：B．6．數(shù)學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（

）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，A．28m B．34m C．37m D．46m【答案】C【詳解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ABDB∴DB=AB在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABCB∴tan2解得：AB=112故選：C．二、填空題7．一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時與燈塔P的距離約為________海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，【答案】50【詳解】解：如圖所示標注字母，根據(jù)題意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，∴∠B=37°，?PAB為直角三角形，∴sin∠∴BP=APsin故答案為：50．8．2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，某一時刻觀測點D測得返回艙底部C的仰角∠CDE＝45°，降落傘底面圓A點處的仰角∠ADE＝46°12′．已知半徑OA長14米，拉繩AB長50米，返回艙高度BC為2米，這時返回艙底部離地面的高度CE約為______米（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin46°12'≈0.72，cos4【答案】1614【詳解】解：在Rt△OB=A∴AF=OE=OB+BC+CE=48+2+CE∵∠CDE=45°，∠DEC=90°∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE=CE設(shè)DE=CE=x米，則AF=50+x米，DF=∵∠ADE=46°12'∴tan4解得x≈1614，∴CE=1614故答案為：1614．9．在△ABC中，AB=36，AC=6，∠B=45°【答案】33+3【詳解】解：情況一：當△ABC為銳角三角形時，如圖1所示：過A點作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH為等腰直角三角形，∴AH=BH=AB在Rt△ACH中，由勾股定理可知：CH=A∴BC=BH+CH=33情況二：當△ABC為鈍角三角形時，如圖2所示：由情況一知：AH=BH=AB2=∴BC=BH?CH=33故答案為：33+3或10．如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離是_____nmile．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3【答案】34【詳解】解：作CF⊥AB與點F，則CF為C島到航線由圖可知：∠CAF=80°?50°=30°，AD∥∵AD∥BE，∴，∵∠EBC=40°∴∠CBF=60°設(shè)CF=xnmile，則AF=CFtan∵，解得：．∴C島到航線AB的最短距離是34nmile．故答案為：3411．在Rt△ABC中，∠C=90°，有一個銳角為60°，AB=6，若點P在直線AB上（不與點A，B重合），且∠PCB=30°，則AP【答案】92【詳解】解：當∠ABC=60°時，則∠BAC=30°，∴BC=1∴AC=A當點P在線段AB上時，如圖，∵∠PCB=30°∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，∴AP=AC?當點P在AB的延長線上時，∵∠PCB=30°，∠PBC=∠PCB+∠CPB∴∠CPB=30°，∴∠CPB=∠PCB，∴PB=BC=3，∴AP=AB+PB=9；當∠ABC=30°時，則∠BAC=60°，如圖，∴AC=1∵∠PCB=30°∴∠APC=60°，∴∠ACP=60°，∴∠APC=∠PAC=∠ACP，∴△APC為等邊三角形，∴PA=AC=3．綜上所述，AP的長為92故答案為：9212．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為_________．【答案】2【詳解】解：由題意可得：DE=1,DC=15?12=3,∵∠∴AB=同理：AD=DE∴BD=AB?AD=故答案為：2三、解答題13．某班同學在一次綜合實踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【答案】13.6米【詳解】解：連接EF，交BD于點M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，在